第三章 蒙特卡罗方法概述

随 机 过 程
马尔可夫过程：保留因果影响而又最简单的关联。即某一时刻的随机 变量分布是与它紧邻时刻的变量取值有关，而与经历的历史无关，即 过程失去了对紧邻时刻以前过程的历史的记忆。
P( xn , t n | xn −1 , t n −1 ;L; x1 , t1 ) = P ( xn , t n | xn −1 , t n −1 ).
∑ x ，当N → ∞时，
n =1 n
N
( x − µ )2 . 随机序列x 服从分布 x服从分布 exp − 2 2 2σ 2πσ
进一步地，对任意实数λ > 0， 1 2 λ λσ 有 lim P ∑ xn − µ ≤ = ∫0 e N →∞ π N N n =1 α称置信度，− α称置信水平。 1
ρ n ( xn , t n )
.
完全随机过程：跃迁几率与 tn 以前的随机变量取值完全无关，即随机 变量在不同时刻的取值完全没有关联，在物理上不存在任何因果联系 （例如连续抛掷骰子） ：
P( xn , t n | xn −1 , t n −1 ;L; x1 , t1 ) = P( xn , t n ).
蒙特卡罗方法概述
《蒙特卡罗方法》讲义 第三部分
预备知识
随机变量与密度函数 大数定理与中心极限定理、 大数定理与中心极限定理、正态分布 马尔科夫链 分子动力学与随机动力学 蒙特卡罗方法
MC方法的起源与特点 方法的起源与特点 MC方法求定积分的思想 方法求定积分的思想
随机变量与密度函数
随机变量：变量的每次取值无法实现预言，但是它的取值分 布是已知的，即它取某一个值的概率是确定的。 假设x是在[A,B]间连续分布的随机变量，它在[a,b]间取值的 概率为： b
非马尔可夫过程：在某时刻随机变量的分布函数，与以往各时刻随机 变量的取值历史都有关，对历史存在记忆。
P( xn , t n | xn −1 , t n −1 ;L; x1 , t1 ).
思考题： 在我们已经讲过的内容中，有没 有马尔科夫过程或非马尔科夫过 程的例子？若有，请举例。
分子动力学：计算一组分子的相空间轨迹，其中每 个分子各自服从经典牛顿定律。 随机动力学：模拟构建一个统计系统的N个粒子的 轨道，其中每一个粒子都遵守朗之万方程。 蒙特卡罗方法：构建一个统计模型，使问题的解等 于该模型的某个参数，然后用随机数序列建立该统 计模型的样本，从而得出该参数的估计值。
1 = ∫ ρ n ( xn , t n ; xn −1 , tn −1 ;L; x1 , t1 )dxn dxn −1 L dx1.
跃迁几率P： P( xn , t n | xn −1 , tn −1 ;L; x1 , t1 ) =
ρ n −1 ( xn −1 , t n −1 ; xn − 2 , t n − 2 ;L; x1 , t1 )
N t2 − 2
dt = 1 − α .
大数定理和中心极限定理可做进一步推广： 若随机变量x1 , x2 ,..., xn ,...相互独立且服从相同的分布f ( x)， 设I = ∫ g ( x) f ( x)dx，则 ： 1 lim P N →∞ N 并且对任意λ > 0，有： 1 P N ∑ g ( xn ) = I = 1; n =1
n
∑ xn − µ < ε = 1 n =1
N
∑ x 依概率收敛于µ.
n =1
抽取的样本数越多，计算结果就越接近理想值； 如何确定有限样本数的条件下，计算结果的收敛速度、误差水平 和置信度？这需要知道x 的极限分布。
中心极限定理
设随机变量x1 , x2 ,..., xn ,...相互独立且服从相同的分布f ( x)，并且： E ( xn ) = µ , D ( xn ) = σ 2 1 做前N个随机变量的算术平均x = N 1
N
∑ g(x ) − I
n =1 n
N
≤
λσ
= ∫e π0 N
2
λ
t2 − 2
dt = 1 − α .
其中，σ 2 ( g | f ) = ∫ g 2 ( x) f ( x)dx − I 2 . 也就是说，在一定的置信水平下，随机模拟的误差为： = ε
λσ
N
.
思考题： 1、为什么现实世界中普遍存在 正态分布或者近似正态分布？ 2、能不能举几个中心极限定理 的简单例证？
随机过程
在非平衡条件下，随机变量的几率密度函数应该随时间变化， 即分布密度是关于时间t的函数：ρ ( x, t ).
对各时刻引入含时间的n阶联合几率密度：
ρ n ( xn , t n ; xn −1 , t n −1 ;L; x1 , t1 ) ρ n −1 ( xn −1 , t n −1 ;L; x1 , t1 ) = ∫ ρ n ( xn , t n ; xn −1 , t n −1 ;L; x1 , t1 )dxn ;
随机模拟方法的起源：投针法求 随机模拟方法的起源：投针法求π
针与平行线相交的条件 : x ≤ l sin θ
蒙特卡罗求定积分的思想
然后求和：
若g ( x)在[a, b]有界，可采取数学手段 (教材P5 ~ 6)将积分区间 转换为[0,1] ，即∫ g ( s )ds → ∫ g ( x)dx.
b 1 a 0
蒙特卡罗求方法的特点
大数定理
设随机变量x1 , x2 ,..., xn ,...相互独立且服从相同的分布f ( x)，并且： E ( xn ) = µ , D ( xn ) = σ 2 1 做前N个随机变量的算术平均x = N 当N → ∞时有 : 1 即序列x = N
N
∑ x ，则对任意ε > 0，
n =1 n
N
1 lim P{ x − µ < ε } = lim P N →∞ n →∞ N
p( x ∈ [a, b]) = ∫ f ( x)dx
a
则f(x)是随机变量x的概率密度函数。 分布函数定义为
F ( x) = ∫ f ( s)ds ∈ [0,1]
x A
二者的关系是
dF ( x ) f ( x) = dx
伽顿板实验
教科书中的解释： 教科书中的解释： 结果（小球落入哪个槽）的偶然性起源于原因（ 结果（小球落入哪个槽）的偶然性起源于原因（小球 的初始位置、速度、小球质量及其均匀性、环境等） 的初始位置、速度、小球质量及其均匀性、环境等）的不 确定性。 大量地重复这些偶然事件， 确定性。……大量地重复这些偶然事件，将以不同的概率 大量地重复这些偶然事件 给出小球按槽的分布，这就是统计规律性。 给出小球按槽的分布，这就是统计规律性。……只要小球 只要小球 分布的数目足够多，则这种分布将十分接近最概然分布。 分布的数目足够多，则这种分布将十分接近最概然分布。