习题课第八章
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1
1、在 n 维线性空间中，设有线性变换 A 与向量 ，使 A n1 0 ，但 A n 0 ，求证 A 在某组
0 1 基下的矩阵是 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 。 0 1 0
1 0 1 2、 F 中，线性变换 关于基 1 (1,1,1) ， 2 (1,0,1) ， 3 (0,1,1) 的矩阵为 A 1 1 0 ， 1 2 1
6、设 为 n 阶方阵 A=（a ij） 的一个特征值，求证：对某一正整数 k（1 k n） 有 -a kk a kj 。
j=1 j k n
2
7、已知三阶矩阵 A 的特征值为 1 1, 2 1, 3 0 ，对应的特征向量分别 1 , 2 , 3 ，设
3
（1）求 关于标准基 1 , 2 , 3 的矩阵； （2）设 1 6 2 3 , 1 2 3 ,求 ( ), ( ) 关于基 {1 , 2 , 3 } 的坐标。
1 1 1 2 0 0 3、设 A 2 4 2 与 B 0 2 0 相似， 3 3 a 0 0 b
= 1 + 2 + 3 ,证明：向量组 , A , A2 线性无关。
0 10、 求矩阵 H n Hn 的全部特征值以及对应的特征向量， 其中 H n 是每个元素均 1 为 n 阶矩阵。 0
11、 （1）设 (a1 , a2 ,, an ) Rn （ ai 不全为零） ，求矩阵 A= 的特征值与特征向量，并求 n
B A2 2 A 3E ，求 B 1 的特征值与相应的特征向量。
3 2 8、已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1， -1， 2，设矩阵 B A 5 A ，试求行列式 B 及 A 5E （ E 为
3 阶单位阵） 。 9、设三阶方阵 A 有三个不同的特征值 1 , 2 , 3 ，对应的特征向量依次为 1 , 2 , 3 ，令
阶矩阵 T，使 T 1 AT 为对角阵，写出此对角阵。
a1b1 a b （2）设 A 2 1 a b n 1 a1b2 a2b2 anb2 a1bn a2bn ，求 E+A 的特征值。 anbn
，n-1 且方阵 B 相似于 A，求 I+E 。 12、设 n 阶矩阵 A 有 n 个特征根 0,1, 2，
1、证明：AB 与 BA 有相同的特征值。
1 1 2、证明： 1
1 1 n 0 0 1 1 0 0 0 相似于 。 1 1 0 0 0
x 3、设 x,y,z K,令 A= y z
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y z x
z z x ，B= x y y
x y z
y y z ，C= z x x
z x y
x y z
（1）证明：A,B,C 彼此相似。 （2）若 BC=CB，则 A,B,C 的特征值至少有两个等于零。 4、设 1，2 是线性变换 A 的两个不同特征值， 1， 2 分别是 A 的属于 1，2 的特征值，证 明: 1 + 2 不是 A 的特征向量。 5、设 A 为数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性变换，满足 A 2 =A，求 A 的特征值，并证明
（1）求 a, b 的值； （2）求可逆矩阵，使 P 1 AP B 。
4、 （1）证明幂零矩阵的特征值全为零，并说明幂零矩阵 A 可对角化的充要条件是 A=0。 （2）设 为可逆矩阵 A 的特征值，则
1 为 A -1 的特征值；
（3）设 为可逆矩阵 A 的特征值，则
A
为 A 的特征值；
,且 A 与 B 有公共的特征向量系。 -1
16、设 V 是复数域上的 n 维线性空间，而线性变换 A 在基 (1 , 2 ,, n ) 的矩阵为，
3
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0
Er 三个命题等价 （1）A 相似于 k 0 0 ； （2） A2 kA； （3） Rank ( A) Rank ( A kEn ) n 。 0
19、设 A End n ( K ) ，满足 A 2 =A，且假设 V W Ker A，这里 W 是 A 的不变子空间， 证明： W Im A。 20、设 A、B M n ( R) ，证明：如果存在可逆矩阵 U M n (C ) ，使得 A= U 1BU ，则必存在可逆 矩阵 T M n ( R) ，使得 A= T 1BT 。
A 可对角化。
6、设 A M n ( K ) ，证明：如果 rankA rank ( A E ) n ，则 A 可对角化。 7、设 A M n ( K ) ，证明：如果 rank ( A E ) rank ( A E) n ，则 A 可对角化。 8、设 A M n (C) 证明：存在可逆矩阵 T GL(n, C ) ，使 T 1 AT 为上三角矩阵。 9、设 A, B M n ( K ) ，且 AB=BA 证明：如果 A, B 都可对角化，则存在可逆矩阵 T M n ( K ) 使 T 1 AT 与 T 1BT 同为对角矩阵。 10、设 V 是复数域上的 n 维线性空间， A,B 是 V 的线性变换，且 AB=BA 证明： （1）如果 是 A 的一个特征值，那么 A 的特征子空间 V 是 B 的不变子空间； （2） A,B 至少有一个公共的特征向量。
（4）设 2 阶方阵 A 的特征多项式为 X A ( ) 10 21 ，试求 A1 的特征多项式。
2
5、设 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 是 A 的属于 的特征向量，设 是矩阵 A 的特征值，
是 A 的属于 的特征向量，若 ，证明 与 正交。
证明： （1）V 中包含 1 的 A 的不变子空间只有 V 本身； （2）V 中任一非零 A 的不变子空间都包含 n ； （3）V 不能分解成两个非平凡的 A 的不变子空间的直和。 17、在 K xn 中，有微分变换 D：D f ( x) f ' ( x) ， （1）求变换 D 的特征多项式，并说明变换 D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵； （2）求变换 D 的所有不变子空间。 18、 （1）设 A M n ( K ) ，证明：如果 Rank ( A E) Rank ( A) Rank ( A E) 2n ，则 A 可对角化。 (2)设 A M n ( K ) ，a1 , a2 是 K 中两个不同的数,证明： 如果 rank ( A a1E ) rank ( A a2 E ) n ， 则 A 可对角化。 (3) 设 A 是数域 K 上的 n 阶矩阵， Rank ( A) r ， En 是 n 阶单位矩阵，0 k K ，证明下面
1 0 0 2 0 0 10 13、 （1）已知 A= 4 -1 3 ，求 A ； （2）已知 A 1 2 1 ，求 An 。 -2 0 2 1 0 1
14、(1)设 A、B 是 n 阶复方阵,且 AB=BA,则 A 与 B 同时三角化。 (2)设 A,B 为 n 阶复方阵,AB=BA,且 A k 0 ,求证: A B B 。 15、如果矩阵 A，B 满足 A+B=AB，则 A , B 的特征值均不为 1 ;若 是 A 的特征值,则 B 对应的特征值为
1、在 n 维线性空间中，设有线性变换 A 与向量 ，使 A n1 0 ，但 A n 0 ，求证 A 在某组
0 1 基下的矩阵是 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 。 0 1 0
1 0 1 2、 F 中，线性变换 关于基 1 (1,1,1) ， 2 (1,0,1) ， 3 (0,1,1) 的矩阵为 A 1 1 0 ， 1 2 1
6、设 为 n 阶方阵 A=（a ij） 的一个特征值，求证：对某一正整数 k（1 k n） 有 -a kk a kj 。
j=1 j k n
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7、已知三阶矩阵 A 的特征值为 1 1, 2 1, 3 0 ，对应的特征向量分别 1 , 2 , 3 ，设
3
（1）求 关于标准基 1 , 2 , 3 的矩阵； （2）设 1 6 2 3 , 1 2 3 ,求 ( ), ( ) 关于基 {1 , 2 , 3 } 的坐标。
1 1 1 2 0 0 3、设 A 2 4 2 与 B 0 2 0 相似， 3 3 a 0 0 b
= 1 + 2 + 3 ,证明：向量组 , A , A2 线性无关。
0 10、 求矩阵 H n Hn 的全部特征值以及对应的特征向量， 其中 H n 是每个元素均 1 为 n 阶矩阵。 0
11、 （1）设 (a1 , a2 ,, an ) Rn （ ai 不全为零） ，求矩阵 A= 的特征值与特征向量，并求 n
B A2 2 A 3E ，求 B 1 的特征值与相应的特征向量。
3 2 8、已知 3 阶矩阵 A 的特征值为 1， -1， 2，设矩阵 B A 5 A ，试求行列式 B 及 A 5E （ E 为
3 阶单位阵） 。 9、设三阶方阵 A 有三个不同的特征值 1 , 2 , 3 ，对应的特征向量依次为 1 , 2 , 3 ，令
阶矩阵 T，使 T 1 AT 为对角阵，写出此对角阵。
a1b1 a b （2）设 A 2 1 a b n 1 a1b2 a2b2 anb2 a1bn a2bn ，求 E+A 的特征值。 anbn
，n-1 且方阵 B 相似于 A，求 I+E 。 12、设 n 阶矩阵 A 有 n 个特征根 0,1, 2，
1、证明：AB 与 BA 有相同的特征值。
1 1 2、证明： 1
1 1 n 0 0 1 1 0 0 0 相似于 。 1 1 0 0 0
x 3、设 x,y,z K,令 A= y z
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y z x
z z x ，B= x y y
x y z
y y z ，C= z x x
z x y
x y z
（1）证明：A,B,C 彼此相似。 （2）若 BC=CB，则 A,B,C 的特征值至少有两个等于零。 4、设 1，2 是线性变换 A 的两个不同特征值， 1， 2 分别是 A 的属于 1，2 的特征值，证 明: 1 + 2 不是 A 的特征向量。 5、设 A 为数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性变换，满足 A 2 =A，求 A 的特征值，并证明
（1）求 a, b 的值； （2）求可逆矩阵，使 P 1 AP B 。
4、 （1）证明幂零矩阵的特征值全为零，并说明幂零矩阵 A 可对角化的充要条件是 A=0。 （2）设 为可逆矩阵 A 的特征值，则
1 为 A -1 的特征值；
（3）设 为可逆矩阵 A 的特征值，则
A
为 A 的特征值；
,且 A 与 B 有公共的特征向量系。 -1
16、设 V 是复数域上的 n 维线性空间，而线性变换 A 在基 (1 , 2 ,, n ) 的矩阵为，
3
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1
0 0 0
Er 三个命题等价 （1）A 相似于 k 0 0 ； （2） A2 kA； （3） Rank ( A) Rank ( A kEn ) n 。 0
19、设 A End n ( K ) ，满足 A 2 =A，且假设 V W Ker A，这里 W 是 A 的不变子空间， 证明： W Im A。 20、设 A、B M n ( R) ，证明：如果存在可逆矩阵 U M n (C ) ，使得 A= U 1BU ，则必存在可逆 矩阵 T M n ( R) ，使得 A= T 1BT 。
A 可对角化。
6、设 A M n ( K ) ，证明：如果 rankA rank ( A E ) n ，则 A 可对角化。 7、设 A M n ( K ) ，证明：如果 rank ( A E ) rank ( A E) n ，则 A 可对角化。 8、设 A M n (C) 证明：存在可逆矩阵 T GL(n, C ) ，使 T 1 AT 为上三角矩阵。 9、设 A, B M n ( K ) ，且 AB=BA 证明：如果 A, B 都可对角化，则存在可逆矩阵 T M n ( K ) 使 T 1 AT 与 T 1BT 同为对角矩阵。 10、设 V 是复数域上的 n 维线性空间， A,B 是 V 的线性变换，且 AB=BA 证明： （1）如果 是 A 的一个特征值，那么 A 的特征子空间 V 是 B 的不变子空间； （2） A,B 至少有一个公共的特征向量。
（4）设 2 阶方阵 A 的特征多项式为 X A ( ) 10 21 ，试求 A1 的特征多项式。
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5、设 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 是 A 的属于 的特征向量，设 是矩阵 A 的特征值，
是 A 的属于 的特征向量，若 ，证明 与 正交。
证明： （1）V 中包含 1 的 A 的不变子空间只有 V 本身； （2）V 中任一非零 A 的不变子空间都包含 n ； （3）V 不能分解成两个非平凡的 A 的不变子空间的直和。 17、在 K xn 中，有微分变换 D：D f ( x) f ' ( x) ， （1）求变换 D 的特征多项式，并说明变换 D 在任何一组基下的矩阵都不可能是对角阵； （2）求变换 D 的所有不变子空间。 18、 （1）设 A M n ( K ) ，证明：如果 Rank ( A E) Rank ( A) Rank ( A E) 2n ，则 A 可对角化。 (2)设 A M n ( K ) ，a1 , a2 是 K 中两个不同的数,证明： 如果 rank ( A a1E ) rank ( A a2 E ) n ， 则 A 可对角化。 (3) 设 A 是数域 K 上的 n 阶矩阵， Rank ( A) r ， En 是 n 阶单位矩阵，0 k K ，证明下面
1 0 0 2 0 0 10 13、 （1）已知 A= 4 -1 3 ，求 A ； （2）已知 A 1 2 1 ，求 An 。 -2 0 2 1 0 1
14、(1)设 A、B 是 n 阶复方阵,且 AB=BA,则 A 与 B 同时三角化。 (2)设 A,B 为 n 阶复方阵,AB=BA,且 A k 0 ,求证: A B B 。 15、如果矩阵 A，B 满足 A+B=AB，则 A , B 的特征值均不为 1 ;若 是 A 的特征值,则 B 对应的特征值为