样本及抽样分布
概率论与数理统计 第六章 样本及抽样分布
x0 o.w.
n 1
n5
n 15
15
（2）t-分布（学生分布）
设 X ~ N ( 0 ,1), Y ~ 2 ( n ) 且X、Y为独立随 机变量，则称随机变量
t
X Y /n
X
1 n 2 ( X 12 ...... X n )
为自由度为n的t-分布。记为： t ~ t ( n ) 。
3
§1 随机样本
总体: 研究对象在某项数量指标的全体. 记为X。通常称总体X。 个体: 总体X中的每一个元素（实数）xi。 根据总体所含的个体数分为： 有限总体和无限总体。
4
总体与取样
X1
X
X2 X3 Xn
取样模型
X
X2 X1
X3
X4
X5
河流污染取样
5
总体、样本、统计量
总体 样本 统计量
X1 X2
2 ( n ) 分布:
具有可加性
2 X X 12 ...... X n , X i ~ N (0,1)
3. 4.
t ( n ) 分布:
X ~ N (0,1), Y ~ 2 ( n )
t(n) X Y /n
F ( n1 , n 2 ) 分布: U ~ 2 ( n1 ), V ~ 2 ( n 2 )
F (n1 , n2 )
19
分位点及性质:
定义: Pr[ X z ]
z
(1)标准正态分布分位点
(x)
( x)dx 1 ( x)dx
z
z1
( x)
Pr[ X z ]
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
样本及其抽样分布基本概念
第六章
样本及抽样分布
第1，2节 基本概念
一、总体、个体 二、随机样本、直方图 三、样本函数与统计量 四、小结
一、总体与个体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体.
总体
总体 …
研究某批灯泡的心每个 个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有 的数量指标的全体就是总体.
直方图
5
8
4.5
7
4 6
3.5 5
3
2.5
4
2
3
1.5 2
1
1 0.5
0
0
140
150
160
170
180
190
200
147
157
167
177
187
197
三、统计量
由样本推断总体特征,需要对样本进行 “加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的 函数,它把样本中所含的信息集中起来.
1. 代表性： X1,X2,…, Xn中每一个与所考察的 总体X有相同的分布. 2. 独立性： X1,X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
满足上述两条性质的样本称为简单随机样本. 获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样.
为了使大家对总体和样本有一个明确的 概念,我们给出如下定义:
定义 一个随机变量X或其相应的分布 函数F(x)称为一个总体.
4. 直方图 4.1 频数--频率分布表
样本数据的整理是统计研究的基础，整理数据的最 常用方法之一是给出其频数分布表或频率分布表。
例3 为研究某厂工人生产某种产品的能力， 我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品 的数量，数据如下
抽样分布样本统计量的分布及其应用
抽样分布样本统计量的分布及其应用在统计学中，抽样是一种数据分析的方法，它通过对总体中的一部分个体进行观察和测量来推断总体的特征。
而抽样分布是指抽取相同样本量的多个样本后得到的统计量的分布。
样本统计量是对样本数据进行计算得到的统计指标，它可以用来估计总体参数，并进行假设检验。
1. 抽样分布的基本概念抽样分布具有一些基本性质，首先是无偏性。
当样本容量趋向于总体容量时，样本统计量的期望值会无限接近总体参数的真实值。
其次是有效性，即样本统计量的方差趋近于零，它可以用来估计总体参数的精确度。
最后是一致性，样本统计量在样本容量逐渐增大时趋近于总体参数。
2. 抽样分布的常见形式常见的抽样分布有正态分布、t分布和卡方分布。
其中正态分布应用最为广泛，它在中心极限定理的作用下，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
而t分布则适用于当总体标准差未知、样本容量较小的情况下，它的形状比正态分布要略扁平一些。
卡方分布则主要用于样本方差的估计与检验。
3. 抽样分布的应用抽样分布的应用非常广泛，常用于以下几个方面：3.1 参数估计通过抽样分布，我们可以利用样本统计量对总体参数进行估计。
例如，可以利用样本均值估计总体均值，利用样本标准差估计总体标准差。
通过计算置信区间，我们可以得到对总体参数的范围估计。
3.2 假设检验假设检验是统计学中非常重要的一项工具，用于判断样本数据是否支持某个假设。
基于抽样分布，我们可以计算统计量的P值，进而判断样本数据与假设的一致性。
常用的假设检验有均值检验、方差检验、比例检验等。
3.3 质量控制在生产过程中，质量控制是非常关键的。
通过对样本数据进行分析，可以判断生产过程是否正常。
例如，可以通过控制图分析样本均值的变化情况，以判断过程是否处于控制状态。
3.4 统计决策在实际决策中，我们往往需要依据样本数据来进行判断。
抽样分布提供了一种基于统计的决策依据。
例如，在市场调研中，我们可以通过对样本数据进行分析，对市场潜力进行预测，从而指导营销策略的制定。
概率论第六章样本及抽样分布
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
3样本及抽样分布
x
n n 1 1 2 2 2 2 s ( x x ) [ x n x ] i i n 1 i 1 n 1 i 1
x n
i 1
i
第三章 样本及抽样分布
s
1 2 ( xi x) n 1 i 1
n
§3 抽样分布
1 n k a k x i , k 1,2 n i 1 1 n bk ( x i x ) k , k 1,2 n i 1
2
n
第三章 样本及抽样分布
§3 抽样分布
二、 常用统计量的分布
1) 2 分布 设( X 1 , X n )为来自于正态总体 N (0,1)的样本，
则称统计量：
X X
2 2 1
2
2 n
所服从的分布为自由度 是n的 分布。
记为 ~ (n)
2 2
2 分布具有下面的性质：
t 0.95 (9) 1.___ 8331. 2 __________
第三章 样本及抽样分布
3) F 分布
X / n1 F Y / n2
§3 抽样分布
若 X ~ 2 (n1 ), Y ~ 2 (n2 ), X ,Y 独立， 则 称随机变量
所服从的分布为自由度
是n1 , n2 的 F 分布，记作 F ~ F (n1 , n2 ).
定理：若 F ~ F (n1 , n2 ),则 1 / F ~ F (n2 , n1 ).
对于给定的 (0 1)， 称 满 足 条 件 ： P{ F F ( n1 , n2 )}
的点 F (n1 , n2 )为F分布的 上分位点 。
F (n1 , n2 )
四章样本及抽样分布
E(X )
1 n
n i 1
E( X i )
D(X )
1 n2
n
2
D(Xi )
i 1
n
X ~ N(, 2 )
n
X ~ N (0, 1) / n
iid
2.若X1,,X n ~ N (, 2 ), 则 (1) X与S 2相互独立; (2) 2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1);
(3)T X ~ t(n 1).
第四 章 样本及抽样分布
引言 run 随机样本 抽样分布
4.1 随机样本 一、总体与样本
1. 总体：研究对象旳全体。 一般指研究对象旳某项数量指标。 构成总体旳元素称为个体。
从本质上讲，总体就是所研究旳随机变量或 随机变量旳分布。
2. 样本：来自总体旳部分个体X1， … ，Xn 假如满足： （1）同分布性： Xi， i=1,…,n与总体同分布. （2）独立性： X1，… ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 旳简朴随
P{ 1
1
P{ 1 F
F (n2 , n1)}
} 1
F F1 (n1, n2 )
P{ 1
1 }
得证!
F F1 (n1, n2 )
4.3 正态总体旳抽样分布定理
iid
1.若X1 ,,Xn ~ N(, 2 ), 则U
X / n
~
N(0, 1)
证明:
X
1 n
n i 1
Xi
是n 个独立旳正态随 机变量旳线性组合,故 服从正态分布
i 1
称为自由度为n的 2 分布.
2.2—分布旳密度函数f(y)曲线
f
(y)
(完整版)样本及抽样分布
第六章样本及抽样分布【基本要求】1、理解总体、个体和样本的概念；2、理解样本均值、样本方差和样本矩的概念并会计算；3、理解统计量的概念，掌握几种常用统计量的分布及其结论；4、理解分位数的概念，会计算几种重要分布的分位数。
【本章重点】样本均值、样本方差和样本矩的计算；抽样分布——2 分布，t分布，F分布；分位数的理解和计算。
【本章难点】对样本、统计量及分位数概念的理解；样本矩的计算。
【学时分配】4学时【授课内容】§6.0 前言前面五章我们研究了概率论的基本内容，从中得知：概率论是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。
它是从一个数学模型出发（比如随机变量的分布）去研究它的性质和统计规律性；而我们下面将要研究的数理统计，也是研究大量随机现象的统计规律性，并且是应用十分广泛的一门数学分支。
所不同的是数理统计是以概率论为理论基础，利用观测随机现象所得到的数据来选择、构造数学模型（即研究随机现象）。
其研究方法是归纳法（部分到整体）。
对研究对象的客观规律性做出种种合理性的估计、判断和预测，为决策者和决策行动提供理论依据和建议。
数理统计的内容很丰富，这里我们主要介绍数理统计的基本概念，重点研究参数估计和假设检验。
§6.1 随机样本一、总体与样本1.总体、个体在数理统计学中，我们把所研究的全部元素组成的集合称为总体；而把组成总体的每个元素称为个体。
例如：在研究某批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡就是个体；在研究我校男大学生的身高和体重的分布情况时，该校的全体男大学生组成了总体，而每个男大学生就是个体。
但对于具体问题，由于我们关心的不是每个个体的种种具体特性，而仅仅是它的某一项或几项数量指标X(可以是向量)和该数量指标X在总体的分布情况。
在上述例子中X是表示灯泡的寿命或男大学生的身高和体重。
在试验中，抽取了若干个个体就观察到了X的这样或那样的数值，因而这个数量指标X是一个随机变量（或向量），而X的分布就完全描写了总体中我们所关心的那个数量指标的分布状况。
6样本及抽样分布
1 n 2 样本方差 S 2 (Xi X ) n 1 i 1 n 2 1 2 X i nX n 1 i 1
1 样本标准差 S S n 1 i 1
2
它反映了总体方差 n ( X 的信息2 X)
i
西华大学数学与计算机学院
西华大学数学与计算机学院
14
它们的观察值分别为：
1 n x xi n i 1
样本均值
概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
样本方差
n 1 n 1 2 2 2 s ( xi x ) [ x i nx 2 ] n 1 i 1 n 1 i 1
s
1 n ( xi x )2 n 1 i 1
注：统计量是随机变量。
x1,x2,„, xn是相应于样本X1,X2,„, Xn的样本值, 则称g(x1,x2,„, xn)是g(X1,X2,„, Xn)的观察值。
西华大学数学与计算机学院
11
思考？Biblioteka 概 率 论 与 数 理 统 计 课 件
设 X 1 , X n 为来自总体 X ~ N ( , 2 ) 的一个样本， 其中未知 , 2已知， 问下列随机变量中那些是统计量
数理统计不同于一般的资料统计，它更侧重 于应用随机现象本身的规律性进行资料的收集、 整理和分析. 由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，
因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多
次观察，被研究的随机现象的规律性一定能清
楚地呈现出来.
西华大学数学与计算机学院
5
现实世界中存在着形形色色的数据, 分析这些 数据需要多种多样的方法.
P
依概率收敛的序列性质知道 g为连续函数
样本及抽样分布范文
样本及抽样分布范文样本是从总体中抽取的一部分个体或观测值。
样本是对总体的一种估计，通过对样本进行分析和统计推断，可以得出关于总体的结论。
抽样是从总体中选择样本的过程。
抽样方法应该是随机的，以避免选择偏见和结果的错误推断。
抽样方法有很多种，常用的有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、群组抽样等。
抽样分布是样本统计量的分布。
当我们从总体中抽取不同的样本并计算出样本统计量时，这些统计量构成了抽样分布。
常见的样本统计量有样本均值、样本方差、样本比例等。
在统计推断中，我们通常使用样本统计量来估计总体参数。
样本统计量的抽样分布是用来描述这些统计量的变异情况的。
抽样分布的性质决定了我们对总体参数的估计的置信度。
中心极限定理是关于抽样分布的重要定理之一、中心极限定理指出，当样本容量足够大时，无论总体的形态如何，样本均值的抽样分布都近似服从正态分布。
这意味着当我们拥有一个具有较大样本容量的随机样本时，我们可以使用正态分布的性质来进行统计推断。
在使用抽样分布进行统计推断时，我们通常考虑置信区间和假设检验两个方面。
置信区间是对总体参数估计的一种方法。
通过计算样本统计量的抽样分布，我们可以构造一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的估计范围。
置信区间的计算通常使用样本统计量、抽样分布的分位数和置信水平来确定。
假设检验是用来检验总体参数的一些特定假设是否成立的方法。
在假设检验中，我们首先建立原假设和备择假设，然后根据样本统计量的抽样分布来计算一个检验统计量，并以此来判断原假设的可信性。
假设检验通常有三种结论：接受原假设、拒绝原假设或无法做出结论。
总之，样本及抽样分布是统计学中非常重要的概念。
通过对样本进行抽样分布的分析和推断，我们可以对总体的特征和参数进行估计，并进行统计推断。
中心极限定理、置信区间和假设检验是样本及抽样分布的重要理论和方法，为我们的研究和决策提供了有力的依据。
第六章 样本及抽样分布
∑
n
i =1
X i , k = 1,2 , L
k
( 5 ) 样本 k 阶（中心）矩 中心）
∑
n
i =1
( X i − X ) k , k = 1,2 , L
常用统计量的性质
以下约定： 表示总体的均值， 表示总体的方差， 以下约定： µ 表示总体的均值， σ 2 表示总体的方差， α k 表示 总体的 k阶原点矩， µ k 表示总体的 k阶中心矩，即记 阶原点矩， 阶中心矩， EX = µ , D ( X ) = E ( X − µ ) 2 = σ 2 EX k = α k , E ( X − µ ) k = µ k 并且约定， 并且约定，在我们用到 α（或 µ k）时，假定它是存在的 。 k 定理 1 设总体 X 服从分布 F ( x ), X = ( X 1 , X 2 , L , X n )是从该总体
第六章 样本及抽样分布
数理统计的基本概念 抽样分布
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Байду номын сангаас
数理统计的基本概念
总体和样本 统计量 顺序统计量和经验分布函数
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总体、 总体、个体
总体：在统计学中， 总体：在统计学中，把所研究的全部元素组成 的集合称为母体， 总体。 的集合称为母体，或总体。 个体：而把组成母体的每个元素称为个体， 个体：而把组成母体的每个元素称为个体， 个体 例如：灯泡的平均寿命， 例如：灯泡的平均寿命，该批灯泡的全体就组 成了母体，而其中每个灯泡就是个体。 成了母体，而其中每个灯泡就是个体。但是在统 计里， 计里，由于我们关心的不是每个个体的种种具体 特性，而仅仅是它的某一项或某几项数量指标X 特性，而仅仅是它的某一项或某几项数量指标 和该数量指标X在总体中的分布情况 和该数量指标 在总体中的分布情况
概率课件-样本及抽样分布
(1) E( X ) E( X ) ,
(2) D( X ) D( X ) 2 n ,
n
(3) E(S 2 ) D( X ) 2
矩估計法的 理論根據
若总体X的k阶矩E( X k ) k存在，则
(4) Ak
1 n
n i 1
Xik
p k
k 1, 2,
.
(3)证明：E(S2 )
2. 樣本
• 總體分佈一般是未知，或只知道是包含未知參 數的分佈。
• 為推斷總體分佈及各種特徵，按一定規則從總 體中抽取若干個體進行觀察試驗，以獲得有關 總體的資訊，這一抽取過程稱為 “抽樣”。
• 所抽取的部分個體稱為樣本。 • 樣本中所包含的個體數目稱為樣本容量。
对总体X在相同的条件下，进行n次重复、独立 观察，其结果依次记为X1，X2，，Xn .
概率論與數理統計的區別： • 概率論所研究的隨機變數，其分佈都是假設已知
的，在這個前提下研究其性質、特點和規律性。 • 數理統計所研究的隨機變數，其分佈是未知或不
完全知道的。需要通過獨立重複的觀察並對觀察 數據進行分析，來推斷其分佈。
數理統計的任務就是研究有效地收集、整理、 分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題, 盡 可能地作出精確可靠的結論.
Y ( X1 X2 X3 )2 ( X4 X5 X6 )2
试决定常数C，使随机变量CY 服从 2分布.
解: 因为 X1 X2 X3 ~ N (0,3) 所以 X1 X2 X3 ~ N (0,1) 3
从而
X1
X2 3
X3
2
~
2 (1)
同理可知
X4
X5 3
X6
2
抽样分布公式样本均值样本比例的抽样分布计算
抽样分布公式样本均值样本比例的抽样分布计算抽样分布公式是统计学中常用的一种计算方法，用于估计总体的参数。
在抽样过程中，我们从总体中抽取一部分样本，然后利用样本的统计量来推断总体参数的值。
抽样分布公式包括样本均值的抽样分布和样本比例的抽样分布，下面分别介绍这两种抽样分布的计算方法。
一、样本均值的抽样分布计算当从总体中抽取n个独立观测值时，它们的总体均值为μ，总体标准差为σ。
根据中心极限定理，当样本容量n足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
样本均值的抽样分布计算公式如下：样本均值的抽样分布：样本均值的均值为总体均值（μ），样本均值的标准差为总体标准差除以样本容量的平方根（σ/√n）。
根据这个公式，我们可以计算出样本均值的抽样分布。
例如，从一个服从正态分布的总体中抽取100个样本，样本均值的总体均值为100，总体标准差为20。
根据公式，样本均值的抽样分布的均值为100，标准差为20/√100=2。
这表明，在多次抽样中，样本均值的抽样分布的平均值接近总体均值，标准差越小则样本均值越稳定。
二、样本比例的抽样分布计算在统计学中，样本比例是指样本中具有某种特征或满足某个条件的观测值占样本总数的比例。
比如，在一份问卷调查中，我们想估计整个人群中支持某个政党的比例。
样本比例的抽样分布可以用二项分布进行近似。
样本比例的抽样分布：样本比例的均值为总体比例（p），样本比例的标准差为总体比例乘以（1-总体比例）再除以样本容量的平方根（√(p*(1-p)/n)）。
样本比例的抽样分布的计算方法与样本均值类似。
假设我们从一个总体中抽取了100个样本，并且总体比例为0.5。
根据公式，样本比例的抽样分布的均值为0.5，标准差为√(0.5*(1-0.5)/100)≈0.05。
这说明，在多次抽样中，样本比例的抽样分布的平均值接近总体比例，标准差越小则样本比例越稳定。
总结：抽样分布公式用于计算样本均值和样本比例的抽样分布。
样本均值的抽样分布近似服从正态分布，计算公式为样本均值的均值为总体均值（μ），标准差为总体标准差除以样本容量的平方根（σ/√n）。
样本及抽样分布
6. 1 数理统计的基本概念
• (2)若X是连续型随机变量，且具有概率密度f (x)，则样本的联合概率 • 密度为
• 二、统计量
• 样本是总体特征及性质的代表和反映，因此我们可以根据样本所提供 的信息对总体进行估计和推断.但是在获取样本后，我们不能直接用 样本进行推断，而是需要对样本进行适当的“加工”，将样本中的主 要信息“提炼”出来.要做到这一点，我们常常利用样本构造出适当 的函数，这个函数只依赖于样本，而不依赖任何未知参数.为此，我 们引入统计量的概念.
• 5.样本k阶中心矩
•用
分别表示
把定义中的Xi改为xi ,改为 即可
的观察值，此时只需
• 我们知道，总体X最基本的两种数字特征是期望E (X)与方差D (X).相
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6. 1 数理统计的基本概念
• 当我们用数理统计的方法来研究总体时，往往关心的不是每个个体本 身，而是每个个体的某种数量指标.例如对于研究学生身高的问题， 我们关心的是数量指标身高X的概率分布问题;对于研究灯泡寿命的问 题，我们关心的是灯泡寿命X的概率分布问题.因此，对总体的研究， 实际上就是对某一个随机变量X的概率分布的研究.为了方便起见，我 们把总体和相应数量指标等同起来，即总体是一个随机变量X，其概 率分布用F(x)来表示.例如对于灯泡寿命的问题，总体就是灯泡的寿命 X，它服从相应的概率分布F(x).
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6. 1 数理统计的基本概念
• 我们知道，对总体X的任何一个容量为n的样本，抽样结果x1， x2，…，xn,，是n个完全确定的数值.但是由于抽样是一个随机试验， 所以这n个结果是随每次抽样而改变的，具有随机性.如果我们对总体 做多次抽样(每次抽取容量为n的样本)，则抽样结果是n个随机变量x1， x2，…，xn, ，我们称这n个随机变量X1 X2 ,…，X n，为总体的一个 样本.当一次抽样完成时，我们就得到一组实数x1，x2，…，xn, ，它 们称为样本x1，x2，…，xn,，的观察值，也叫样本值.
概率论-样本及抽样分布
抽到哪5辆是随机的
对总体X在相同的条件下，进行n次重复、独立 观察，其结果依次记为X1，X2，，Xn .
这样得到的随机变量X1, X2 , Xn是来自总体X 的一个简单随机样本，与总体随机变量具有相同的
分布. n称为这个样本的容量.
一旦取定一组样本X1, … ,Xn ,得到n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
2. 样本
• 总体分布一般是未知，或只知道是包含未知参 数的分布。
• 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总 体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关 总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”。
• 所抽取的部分个体称为样本。 • 样本中所包含的个体数目称为样本容量。
从国产轿车中抽5辆进行 耗油量试验
某批 灯泡的寿命
国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的全 体就是总体
国产轿车每公里耗油量 的全体就是总体
• 总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因 此它是某一随机变量X 的值
• 一个总体对应一个随机变量X • 不再区分总体和相应的随机变量，统称为总体X • X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数
,max 1 i 5
Xi
,
X5
2
p,( X5
X1 )2 之中哪些是统计量, 哪些
不是统计量，为什么？
几个常见统计量
样本平均值
X
1 n
n i 1
Xi
它反映了 总体均值 的信息
样本方差
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
它反映了总体 方差的信息
n
1
1
n
样本及抽样分布1随机样本与直方图
整群随机抽样
定义
将总体分成若干个群或组，然后从每个群或组中 随机抽取一定数量的观察单位组成样本。
优点
便于组织调查，适用于总体数量较小的情况。
ABCD
方法
先对总体进行分群，然后在每个群内进行随机抽 样。
缺点
如果群内差异较大，可能会影响样本的代表性。
03
直方图的绘制步骤
数据收集与整理
收集数据
通过调查、实验或其他方式获取原始数据。
标注信息
在直方图上标注标题、组距、组数等必要信 息。
04
直方图的解读与分析
直方图的形状分析
偏态分析
通过观察直方图的形状，判断数据分布是否对称。如果数据分布不对称，则说明存在偏态。
峰度分析
峰度是描述数据分布形态的统计量，如果峰度值较小，说明数据分布较为平坦；如果峰度值较大，则说明数据分 布较为尖锐。
论文数据支撑
02
在学术论文中，使用随机样本和直方图可以提供有力的数据支
撑，增强论文的说服力和可信度。
学术交流与合作
03
通过共享随机样本和直方图数据，促进学术交流与合作，推动
学科发展。
THANKS
感谢观看
质量改进
通过分析随机样本数据，可以了解产品质量分布和缺陷情况，针对 性地进行质量改进和优化。
持续改进
通过持续收集和分析随机样本数据，可以监测生产过程的持续改进效 果，确保稳定的质量输出。
科学研究与学术论文
实验数据分析
01
在科学实验中，通过收集随机样本数据，绘制直方图，可以对
实验结果进行统计分析，支持科学结论的得出。
数据筛选
去除异常值和缺失值，确保数据质量。
数据排序
抽样分布和样本分布
抽样分布和样本分布你们知道抽样分布和样本分布各是什么吗?以下是有店铺为大家整理的抽样分布和样本分布，希望能帮到你。
抽样分布:从已知的总体中以一定的样本容量进行随机抽样，由样本的统计数所对应的概率分布称为抽样分布。
抽样分布是统计推断的理论基础。
如果从容量为的有限总体抽样，若每次抽取容量为的样本，那么一共可以得到N取n的组合个样本(所有可能的样本个数)。
抽样所得到的每一个样本可以计算一个平均数，全部可能的样本都被抽取后可以得到许多平均数。
如果将抽样所得到的所有可能的样本平均数集合起来便构成一个新的总体，平均数就成为这个新总体的变量。
由平均数构成的新总体的分布，称为平均数的抽样分布。
随机样本的任何一种统计数都可以是一个变量，这种变量的分布称为统计数的抽样分布。
样本分布：总体是指考察的对象的全体，个体是总体中的每一个考察的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目样本分布是用来估计总体分布的。
样本分布有区别于总体分布，它是从总体中按一定的分组标志选出来的部分样本容量。
实际中很多不确定现象都可以用随机变量描述，而应用中的一个十分重要的问题是找到随机变量的分布或其数字特征。
例如：某进出口贸易公司进口了10万台微型计算器，按产品技术规定，使用寿命小于4000小时即为次品,且次品率大于1% 就不接受这批产品。
如何得知这批产品的次品率呢?是否要测量每一台计算器呢?显然，这是不现实的，解决这个问题的好办法就是随机抽样，然后根据抽样检验得到的次品率来估计整批产品的次品率。
也就是从10万台产品中按随机原则，抽取一部分(假如100件)产品组成一个样本，由样本(100件产品)次品率推断整批产品的次品率。
这里，我们把被观察对象的全体(本例中的10万台计算器)称作总体，把从总体中随机抽取的(被抽中的100台计算器)小群体称作样本，而样本中所包含的个体单位数目称为样本容量(100个)。
对于这批计算器，我们关心的是它的使用寿命(低于4000小时的比例有多少)的分布，设X表示“任一台计算器的使用寿命”，它是一个随机变量，我们把随机抽中的100件产品看作是100个随机变量X1，X2……，X100，每一个计算器的使用寿命都是一个随机变量，一旦测试完毕，测试的结果就是100个观测值x1,x2,……x100, 统计抽样的任务就是根据测试结果x1,x2,……x100来估计总体X的分布情况。
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样本及抽样分布
§6.1 基本概念
一、总体:
在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体, 总体中的每一个元素称为个体。
我们只研究感兴趣的某个或者几个指标(记为X)，因此
把这些指标的分布称为总体的分布，记为X～F(x)。
二、样本:
设总体X具有分布函数
F(x),若X
1, X
2
,…,X
n
是具有分布
函数F(x)的相互独立的随机向量，则称其为总体F（或总体X ）的简单随机样本, 简称样本,
它们的观察值x
1,x
2
, …, x
n
称为样
本观察值, 又称为X 的n 个独立的观察值。
三、统计量:
设X 1, X 2, …
, X n 是来自总体X 的一个样本, g (X 1, X 2, …
, X n )是一个与总体分布中未知参数无关的样本的连续函数，则称g (X 1,X 2,…
,X n )为统计量。
统计量是样本的函数,它是一个随机变量，如果x 1, x 2, …
, x n 是样本观察值, 则g (x 1, x 2, …
, x n )是统计量g (X 1, X 2, …
, X n )的一个观察值.
四、 常用的统计量:
, ,)(x 11s ,,x 1x 1. n
1
2
i
2n
1
i 称为样本方差均值仍称为样本
它们的观察值为∑∑==--==i i x n n .
B ,,
1,2,X A ,1k 2.222
21S S n
n B k ≈-====当样本容量很大时时当时当3.k
k
k
k
若总体X 的k 阶矩E(X )存在,
则当n
时, A .
P
注：
n
i i 1
11. X X ;
n ==∑样本均值2
n 2
i i 1
12. S (X );
n-1X ==-∑样本方差n k
k i 1
13. k A X , k 1, 2,
;
n i ===∑样本阶原点矩n
k i i 1
14. k B (X ) , k 2, 3,
.
n k X ==-=∑样本阶中心矩
4.样本的联合分布：
2) 若总体X 是离散型随机变量，其分布律为 p x =P (X=x ) , x=x 1,x 2,… 则样本X 1, X 2, …, X n 的联合分布:
111
12(,
,)()
,,
;(1,2,,)n
n n i i i i P X y X y P X y y x x i n =======∏其中
12n *
12i 1
3)(), ,X , (, ,
)()
n n i X f x X X f x x x f x ==∏若具有概率密度则的
联合概率密度为
1212121
1)(),,,,, ,,
,:
()()
n n n
*
n i i X ~F x X X X F X X X F x , x ,
x F x ==∏若为的一个样本则
的联合分布函数为
例1：X~U (0,θ),X 1, X 2, …, X n 是来自X 的样本，
求（X 1, X 2, …, X n ）的联合密度函数。
求样本的联合分布律。
的样本，为来自：例X X X X x p p x X P X n x x ),,,(1
,0,)1()(~2211 =-==-
定理: 设X 1, X 2, …, X n 是
来自总体X 的一个样本, 并设总体二阶矩存在,EX=μ,DX=σ2
,则有
2
22,()(2).
n EX D X n ES n σμσ==
=≥。