样本及抽样分布

样本及抽样分布

§6.1 基本概念

一、总体:

在统计学中, 我们把所研究的全部元素组成的集合称作母体或总体, 总体中的每一个元素称为个体。

我们只研究感兴趣的某个或者几个指标(记为X)，因此

把这些指标的分布称为总体的分布，记为X～F(x)。

二、样本:

设总体X具有分布函数

F(x),若X

1, X

2

,…,X

n

是具有分布

函数F(x)的相互独立的随机向量，则称其为总体F（或总体X ）的简单随机样本, 简称样本,

它们的观察值x

1,x

2

, …, x

n

称为样

本观察值, 又称为X 的n 个独立的观察值。

三、统计量:

设X 1, X 2, …

, X n 是来自总体X 的一个样本, g (X 1, X 2, …

, X n )是一个与总体分布中未知参数无关的样本的连续函数，则称g (X 1,X 2,…

,X n )为统计量。

统计量是样本的函数,它是一个随机变量，如果x 1, x 2, …

, x n 是样本观察值, 则g (x 1, x 2, …

, x n )是统计量g (X 1, X 2, …

, X n )的一个观察值.

四、 常用的统计量:

, ,)(x 11s ,,x 1x 1. n

1

2

i

2n

1

i 称为样本方差均值仍称为样本

它们的观察值为∑∑==--==i i x n n .

B ,,

1,2,X A ,1k 2.222

21S S n

n B k ≈-====当样本容量很大时时当时当3.k

k

k

k

若总体X 的k 阶矩E(X )存在,

则当n

时, A .

P

注：

n

i i 1

11. X X ;

n ==∑样本均值2

n 2

i i 1

12. S (X );

n-1X ==-∑样本方差n k

k i 1

13. k A X , k 1, 2,

;

n i ===∑样本阶原点矩n

k i i 1

14. k B (X ) , k 2, 3,

.

n k X ==-=∑样本阶中心矩

4.样本的联合分布：

2) 若总体X 是离散型随机变量，其分布律为 p x =P (X=x ) , x=x 1,x 2,… 则样本X 1, X 2, …, X n 的联合分布:

111

12(,

,)()

,,

;(1,2,,)n

n n i i i i P X y X y P X y y x x i n =======∏其中

12n *

12i 1

3)(), ,X , (, ,

)()

n n i X f x X X f x x x f x ==∏若具有概率密度则的

联合概率密度为

1212121

1)(),,,,, ,,

,:

()()

n n n

*

n i i X ~F x X X X F X X X F x , x ,

x F x ==∏若为的一个样本则

的联合分布函数为

例1：X~U (0,θ),X 1, X 2, …, X n 是来自X 的样本，

求（X 1, X 2, …, X n ）的联合密度函数。

求样本的联合分布律。

的样本，为来自：例X X X X x p p x X P X n x x ),,,(1

,0,)1()(~2211 =-==-

定理: 设X 1, X 2, …, X n 是

来自总体X 的一个样本, 并设总体二阶矩存在,EX=μ,DX=σ2

,则有

2

22,()(2).

n EX D X n ES n σμσ==

=≥