【步步高高考数学总复习】第三编 导数及其应用
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第三编 导数及其应用 §3.1 变化率与导数、导数的计算
基础自测
1.在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则x
y ∆∆为 （ ）
A .2
1+∆+
∆x
x B .21-∆-
∆x
x C .2+∆x
D .x
x ∆-
∆+12
答案 C
2.已知f (x )=sin x (cos x +1)，则)(x f '等于 （ ）
A .cos2x -cos x
B .cos2x -sin x
C .cos2x +cos x
D .cos 2x +cos x 答案 C
3.若函数y =f (x )在R 上可导且满足不等式x )(x f '＞-f (x )恒成立，且常数a ,b 满足a ＞b ,则下列不等式一定成立
的是 （ ）
A .af (b )＞bf (a )
B .af (a )＞bf (b )
C .af (a )＜bf (b )
D .af (b )＜bf (a )
答案 B
4.（2008·辽宁理，6）设P 为曲线C ：y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡
4,
0π，则点P
横坐标的取值范围为
（ ）
A .⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡--21,1 B .［-1，0］ C .［0，1］ D .⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1,21
答案 A
5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y =e ax 在点（0，1）处的切线与直线x +2y +1=0垂直，则a = . 答案 2
例1 求函数y =12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.
解 ∵Δy =1
1)(11)(11)(20
2
02
02
020
2
0++
+∆+--+∆+=
+-
+∆+x x x x x x x x x
.1
1)(2,1
1)()(220
2
0020
2
02
0++
+∆+∆+=
∆∆∴
++
+∆+∆+∆=
x x x x
x x
y x x x x x x 例2 求下列各函数的导数： （1）;sin 25
x
x
x x y ++=
（2）);3)(2)(1(+++=x x x y
（3）;4cos 212sin
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=x x y （4）.1111x
x
y +
+-
=
解 (1)≧,sin sin 2
3
2
32
5
21
x
x x x x
x
x x y +
+=++=
-
≨y ′.cos sin 232
3)sin ()()(2
3
22
52
32
3x x
x x
x x x x
x x ---
--+-+-
='+'+'=
（2）方法一 y =（x 2+3x +2）（x +3）=x 3+6x 2+11x +6，≨y ′=3x 2+12x +11. 方法二 'y =[])3)(2)(1()3()2)(1('+++++'
++x x x x x x =[])2)(1()2(）1（'++++'+x x x x （x +3）+（x +1）（x +2）
=（x +2+x +1）（x +3）+（x +1）（x +2）=（2x +3）（x +3）+（x +1）（x +2）=3x 2+12x +11. （3）≧y =,sin 2
1
2cos 2sin
x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--
≨.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭
⎫
⎝⎛='
（4）x
x x x x x
x
y -=
+
-
-++=
+
+-
=
12)
1)(1(111111 ，
≨.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--=
'
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=' 例3 （12分）已知曲线y =.3
43
13
+
x
（1）求曲线在x =2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程
.
解 （1）≧y ′=x 2,≨在点P （2，4）处的切线的斜率k ='y |x =2=4. 2分 ≨曲线在点P （2，4）处的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0. 4分 （2）设曲线y =
3
4313
+
x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
343
1
,3
00x x A ，
则切线的斜率k ='y |0
x x ==20
x . 6分
≨切线方程为),(343
102
03
0x x x x y -=⎪⎭
⎫
⎝⎛+
-即.
34323020+-⋅=x x x y 8分
≧点P （2，4）在切线上，≨4=,3
43223
02
+
-x x
即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ≨,0)1)(1(4)1(0002
0=-+-+x x x x
≨(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,
故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0. 12分
1.求y =x 在x =x 0处的导数.
解 )
()
)((lim
lim
lim
0000000
00
x x x x x x x x x x x
x x x x
y x x x +
∆+∆+
∆+-
∆+=∆-
∆+=∆∆→∆→∆→∆
.211lim
00
x x x x x =
+
∆+=→∆
2. 求y =tan x 的导数.
解 y ′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 2
22
2
2x
x x
x x x x x x x x =
+='-'=
'⎪⎭
⎫
⎝⎛=
3．若直线y =kx 与曲线y =x 3-3x 2
+2x 相切，则k = . 答案 2或4
1-
一、选择题 1.若,2)(0='x f 则()k
x f k x f k 2)
(lim
000
--→等于 ( )