【步步高高考数学总复习】第三编 导数及其应用

第三编 导数及其应用 §3.1 变化率与导数、导数的计算
基础自测
1.在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则x
y ∆∆为 （ ）
A .2
1+∆+
∆x
x B .21-∆-
∆x
x C .2+∆x
D .x
x ∆-
∆+12
答案 C
2.已知f (x )=sin x (cos x +1)，则)(x f '等于 （ ）
A .cos2x -cos x
B .cos2x -sin x
C .cos2x +cos x
D .cos 2x +cos x 答案 C
3.若函数y =f (x )在R 上可导且满足不等式x )(x f '＞-f (x )恒成立，且常数a ,b 满足a ＞b ,则下列不等式一定成立
的是 （ ）
A .af (b )＞bf (a )
B .af (a )＞bf (b )
C .af (a )＜bf (b )
D .af (b )＜bf (a )
答案 B
4.（2008·辽宁理，6）设P 为曲线C ：y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡
4,
0π，则点P
横坐标的取值范围为
（ ）
A .⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡--21,1 B .［-1，0］ C .［0，1］ D .⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1,21
答案 A
5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y =e ax 在点（0，1）处的切线与直线x +2y +1=0垂直，则a = . 答案 2
例1 求函数y =12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.
解 ∵Δy =1
1)(11)(11)(20
2
02
02
020
2
0++
+∆+--+∆+=
+-
+∆+x x x x x x x x x
.1
1)(2,1
1)()(220
2
0020
2
02
0++
+∆+∆+=
∆∆∴
++
+∆+∆+∆=
x x x x
x x
y x x x x x x 例2 求下列各函数的导数： （1）;sin 25
x
x
x x y ++=
（2）);3)(2)(1(+++=x x x y
（3）;4cos 212sin
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=x x y （4）.1111x
x
y +
+-
=
解 (1)≧,sin sin 2
3
2
32
5
21
x
x x x x
x
x x y +
+=++=
-
≨y ′.cos sin 232
3)sin ()()(2
3
22
52
32
3x x
x x
x x x x
x x ---
--+-+-
='+'+'=
（2）方法一 y =（x 2+3x +2）（x +3）=x 3+6x 2+11x +6，≨y ′=3x 2+12x +11. 方法二 'y =[])3)(2)(1()3()2)(1('+++++'
++x x x x x x =[])2)(1()2(）1（'++++'+x x x x （x +3）+（x +1）（x +2）
=（x +2+x +1）（x +3）+（x +1）（x +2）=（2x +3）（x +3）+（x +1）（x +2）=3x 2+12x +11. （3）≧y =,sin 2
1
2cos 2sin
x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--
≨.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭
⎫
⎝⎛='
（4）x
x x x x x
x
y -=
+
-
-++=
+
+-
=
12)
1)(1(111111 ，
≨.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--=
'
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=' 例3 （12分）已知曲线y =.3
43
13
+
x
（1）求曲线在x =2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程
.
解 （1）≧y ′=x 2,≨在点P （2，4）处的切线的斜率k ='y |x =2=4. 2分 ≨曲线在点P （2，4）处的切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0. 4分 （2）设曲线y =
3
4313
+
x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
343
1
,3
00x x A ，
则切线的斜率k ='y |0
x x ==20
x . 6分
≨切线方程为),(343
102
03
0x x x x y -=⎪⎭
⎫
⎝⎛+
-即.
34323020+-⋅=x x x y 8分
≧点P （2，4）在切线上，≨4=,3
43223
02
+
-x x
即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ≨,0)1)(1(4)1(0002
0=-+-+x x x x
≨(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,
故所求的切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0. 12分
1.求y =x 在x =x 0处的导数.
解 )
()
)((lim
lim
lim
0000000
00
x x x x x x x x x x x
x x x x
y x x x +
∆+∆+
∆+-
∆+=∆-
∆+=∆∆→∆→∆→∆
.211lim
00
x x x x x =
+
∆+=→∆
2. 求y =tan x 的导数.
解 y ′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 2
22
2
2x
x x
x x x x x x x x =
+='-'=
'⎪⎭
⎫
⎝⎛=
3．若直线y =kx 与曲线y =x 3-3x 2
+2x 相切，则k = . 答案 2或4
1-
一、选择题 1.若,2)(0='x f 则()k
x f k x f k 2)
(lim
000
--→等于 ( )
A .-1
B .-2
C .1
D .
2
1
答案 A
2.（2008·全国Ⅰ理，7）设曲线y =
1
1-+x x 在点（3，2）处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a 等于
（ ）
A .2
B .2
1 C .2
1- D .-2
答案 D
3.若点P 在曲线y =x 3-3x 2+(3-3)x +4
3上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是
（ ）
A .⎪⎭⎫
⎢⎣⎡
2,
0π B .⎪⎭
⎫
⎢
⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,322,0
C .⎪⎭
⎫⎢
⎣⎡ππ
,32 D .⎥⎦
⎤
⎝⎛⎪⎭⎫
⎢⎣
⎡32,22,
0πππ 答案 B
4.曲线y =x 3-2x 2-4x +2在点（1,-3）处的切线方程是 ( )
A .5x +y +2=0
B .5x -y -2=0
C .5x +y -2=0
D .5x -y +2=0 答案 C
5.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间（1，2）上的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），|f （x 2）-f （x 1）|＜|x 2-x 1|恒成立”的只
有 （ ） A .x
x f 1)(=
B .f (x )=|x |
C .f (x )=2x
D .f (x )=x
2
答案 A
6.已知曲线S :y =3x -x 3及点P （2，2），则过点P 可向S 引切线，其切线条数为 ( )
A .0
B .1
C .2
D .3 答案 D 二、填空题 7.曲线y =
x
1和y =x 2
在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 .
答案
4
3
8. 若函数f (x )的导函数为)(x f '=-x (x +1),则函数g (x )=f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是 . 答案 ⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡a
1,1
三、解答题
9. 求下列函数在x =x 0处的导数. （1）f （x ）=
;
2,1e 1e 0=+
+-
x x
x
x
x
（2）.1,ln )(02
2
3=+-=
x x
x
x x x x f
解 （1）∵,)1(e )2(2)1()1(e 2)1()e 2(1e 2)(2
2x x x x x x x f x
x x x --=-'---'='⎪⎭
⎫
⎝⎛-='∴)2(f '=0. （2）∵,112
3)(ln )()(2
52
3
x
x
x x x x f +
--
='+'-'='-
-
∴.2
3)1(-
='f
10. 求曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离.
解 设曲线上过点P （x 0,y 0）的切线平行于直线2x -y +3=0，即斜率是2， 则.2122
|122|)12(121|00
00=-=-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'-⋅-='===x x x x y x x x x x x 解得x 0=1,所以y 0=0,即点P （1，0），点P 到直线2x -y +3=0的距离为
5)
1(2
|302|2
2
=
-++-，
≨曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离是5. 11.（2008·海南、宁夏，21）设函数b
x ax x f ++=1)( (a ,b ∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y =3.
（1）求)(x f 的解析式；
（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值. （1）解 2
)
(1)(b x a x f +-
='，
于是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=++,
0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,4
9b a
因为a,b ∈Z ，故.1
1)(-+
=x x x f
（2）证明 在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+11
,00
x x x ．
由2
00
)
1(11)(--
='x x f 知，过此点的切线方程为
)()1(111
102
0002
0x x x x x x y -⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=-+--
．
令x =1，得11
0-+=
x x y ，切线与直线x =1交点为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
-+11,10
0x x ． 令y =x ，得120
-=x y ，切线与直线y =x 的交点为)12,12(0
--x x ．
直线x =1与直线y =x 的交点为(1,1)． 从而所围三角形的面积为
2
221
2
21
11211
12100000=--=
----+x x x x x ．
所以，所围三角形的面积为定值2.
12. 偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx +e 的图象过点P （0，1），且在x =1处的切线方程为y =x-2，求y =f （x ）的解析式.
解 ≧f （x ）的图象过点P （0，1），≨e =1. ①
又≧f （x ）为偶函数，≨f （-x ）=f （x ）. 故ax 4+bx 3+cx 2+dx +e =ax 4-bx 3+cx 2-dx +e .
≨b =0，d =0. ② ≨f （x ）=ax 4+cx 2+1.
≧函数f （x ）在x =1处的切线方程为y =x -2，≨可得切点为（1，-1）.
≨a +c +1=-1. ③ ≧)1('f =(4ax 3+2cx )|x =1=4a +2c ，≨4a +2c =1. ④ 由③④得a =
2
5，c =2
9-
. ≨函数y =f （x ）的解析式为.
12
92
5)(2
4
+-
=
x x x f
§3.2 导数的应用
基础自测
1.函数y =f (x )的图象过原点且它的导函数g =)(x f '的图象是如图所示的一条直线，则y =f (x )图象的顶点在 （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 答案 A
2.已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x ＞0时，)(x f '＞0,)(x g '＞0，则x ＜0时 （ ）
A .)(x f '＞0, )(x g '＞0
B .)(x f '＞0, )(x g '＜0
C .)(x f '＜0, )(x g '＞0
D . )(x f '＜0, )(x g '＜0
答案 B
3.（2008·广东理）设∈a R ，若函数y =e ax +3x ，∈x R 有大于零的极值点，则 （ ）
A ．a ＞-3
B ．a ＜-3
C ．a ＞-3
1 D ．a ＜-
3
1
答案 B
4.函数y =3x 2
-2ln x 的单调增区间为 ，单调减区间为 .
答案 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
+∞33,0,33
5.（2008·江苏，14）f (x )=ax 3-3x +1对于x ∈［-1,1］总有f (x )≥0成立，则a = . 答案 4
例1 已知f (x )=e x -ax -1. （1）求f (x )的单调增区间；
（2）若f (x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；
（3）是否存在a ,使f (x )在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
解 )(x f '=e x -a .
（1）若a ≤0，)(x f '=e x -a ≥0恒成立，即f (x )在R 上递增.
若a >0,e x -a ≥0,≨e x ≥a ,x ≥ln a .≨f (x )的单调递增区间为(ln a ,+≦).
（2）≧f （x ）在R 内单调递增，≨)(x f '≥0在R 上恒成立. ≨e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立.
≨a ≤（e x ）min ，又≧e x >0，≨a ≤0.
（3）方法一 由题意知e x -a ≤0在（-≦，0］上恒成立. ≨a ≥e x 在（-≦，0］上恒成立.≧e x 在（-≦，0］上为增函数.
≨x =0时，e x 最大为1.≨a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+≦）上恒成立. ≨a ≤e x 在［0，+≦）上恒成立.≨a ≤1，≨a =1.
方法二 由题意知，x =0为f (x )的极小值点.≨)0('f =0,即e 0-a =0,≨a =1. 例2 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,曲线y =f (x ）在点x =1处的切线为l :3x -y +1=0，若x =
3
2时，y =f (x ）有极值.
（1）求a ,b ,c 的值；
（2）求y =f (x ）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解 （1）由f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,得)(x f '=3x 2+2ax +b ,
当x =1时，切线l 的斜率为3，可得2a +b =0 ① 当x =
3
2时，y =f (x )有极值，则⎪⎭
⎫
⎝⎛'32f =0,可得4a +3b +4=0 ②
由①②解得a =2,b =-4.由于切点的横坐标为x =1,≨f (1)=4.
≨1+a +b +c =4.≨c =5.
（2）由（1）可得f (x )=x 3+2x 2-4x +5,≨)(x f '=3x 2+4x -4, 令)(x f '=0,得x =-2,x =
3
2.
当x 变化时，y ,y ′的取值及变化如下表：
≨y =f （x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.27
95
例3 （12分）已知函数f (x )=x 2e -ax (a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.
解 ≧f （x ）=x 2e -ax （a ＞0）,≨)(x f '=2x e -ax +x 2·（-a )e -ax =e -ax (-ax 2+2x ). 1分 令)(x f '>0,即e -ax (-ax 2+2x )>0,得0<x <a
2.
≨f (x )在（-≦,0),⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,2
a 上是减函数，在⎪⎭
⎫
⎝
⎛a 2,0上是增函数.
①当0<
a
2<1,即a >2时,f (x ）在（1，2）上是减函数,
≨f （x ）max =f （1）=e -a . 6分 ②当1≤
a
2≤2,即1≤a ≤2时，
f (x )在⎪⎭
⎫
⎝
⎛a 2,1上是增函数，在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,2a 上是减函数，
≨f (x )max =f ⎪⎭
⎫ ⎝⎛a 2=4a -2e -2
. 9分
③当
a
2>2时，即0<a <1时，f (x )在（1，2）上是增函数，
≨f （x ）max =f （2）=4e -2a .
综上所述，当0<a <1时，f (x )的最大值为4e -2
a , 当1≤a ≤2时，f (x )的最大值为4a -2e -2
,
当a >2时，f (x )的最大值为e -a . 12分
例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为(12-x )2万件.
（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.
解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L =(x -3-a )(12-x )2,x ∈［9,11］. (2))(x L ' =(12-x )2
-2(x -3-a )(12-x )=(12-x )(18+2a -3x ). 令'L =0得x =6+
3
2a 或x =12（不合题意，舍去）.
≧3≤a ≤5,≨8≤6+3
2a ≤
3
28.
在x =6+
3
2a 两侧L ′的值由正变负.
所以①当8≤6+3
2a ＜9即3≤a ＜
2
9时，L max =L (9)=(9-3-a )(12-9)2=9(6-a ).
②当9≤6+
3
2a ≤3
28，即
2
9≤a ≤5时，
L max =L (6+32a )=(6+
3
2a -3-a )［12-(6+
3
2a )］2
=4(3-
3
1a )3
.
所以⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<≤-=.
52
9,3134,
2
93),6(9)(3
a a a a a Q
答 若3≤a ＜
2
9，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a )（万元）；若
2
9≤a ≤5，
则当每件售价为(6+3
2a )元时，分公司一年的利润L 最大，最大值
Q (a )=3
3134⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-a (万元).
1．已知函数f (x )=x 3-ax -1.
（1）若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；
（2）是否存在实数a ,使f (x )在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由； （3）证明：f (x )=x 3-ax -1的图象不可能总在直线y =a 的上方. （1）解 由已知)(x f '=3x 2-a ,≧f (x )在（-≦,+≦）上是单调增函数， ≨)(x f '=3x 2-a ≥0在（-≦,+≦）上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立. ≧3x 2≥0,≨只需a ≤0,又a =0时，)(x f '=3x 2≥0, 故f (x )=x 3-1在R 上是增函数，则a ≤0.
（2）解 由)(x f '=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立，得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立.
≧-1<x <1,≨3x 2<3,≨只需a ≥3.当a =3时，)(x f '=3(x 2
-1),
在x ∈(-1,1)上，)(x f '<0,即f (x )在（-1，1）上为减函数，≨a ≥3.
故存在实数a ≥3,使f (x )在（-1，1）上单调递减.
（3）证明 ≧f (-1)=a -2<a ,≨f (x )的图象不可能总在直线y =a 的上方. 2.求函数y =x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.
解 先求导数,得y ′=4x 3-4x ,令y ′=0,即4x 3-4x =0.解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1. 导数y ′的正负以及f (-2),f (2)如下表:
从上表知,当x =±2时,函数有最大值13,当x =±1时,函数有最小值4. 3.设函数f (x )=-x (x -a )2(x ∈R ),其中a ∈R .
（1）当a =1时，求曲线y =f (x )在点（2，f (2))处的切线方程；
（2）当a ≠0时，求函数f (x )的极大值和极小值. 解 （1）当a =1时，f (x )=-x (x -1)2
=-x 3
+2x 2
-x , f (2)=-2,)(x f '=-3x 2+4x -1,
=
')2(f -12+8-1=-5,
≨当a =1时，曲线y =f (x )在点（2,f (2))处的切线方程为
5x +y -8=0.
（2）f (x )=-x (x -a )2
=-x 3
+2ax 2
-a 2
x ,
)
(x f '=-3x 2+4ax -a 2=-(3x -a )(x -a ),
令)(x f '=0,解得x =3
a 或x =a .
由于a ≠0，以下分两种情况讨论.
①若a >0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：
因此，函数f (x )在x =
3
a 处取得极小值f （
3
a ），
且f （3
a ）=-;27
43
a
函数f (x )在x =a 处取得极大值f (a ),且f (a )=0.
②若a <0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：
因此，函数f (x )在x =a 处取得极小值f (a ),且f (a )=0； 函数f (x )在x =
3a 处取得极大值f （
3
a ）,
且f （3
a ）=-
3
27
4a
.
4.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )=3 700x +45x 2-10x 3
（单位：万元），成本函数为 C (x )=460x +5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )=f (x +1)-f (x ). （1）求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
（3）求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？
解 （1）P (x )=R (x )-C (x )=-10x 3
+45x 2
+3 240x -5 000(x ∈N *
，且1≤x ≤20); MP (x )=P (x +1)-P (x )=-30x 2+60x +3 275 (x ∈N *,且1≤x ≤19). （2）)(x P '=-30x 2+90x +3 240=-30(x -12)(x +9),
≧x >0,≨)(x P '=0时,x =12，
≨当0<x <12时，)(x P '>0,当x >12时，)(x P '<0,
≨x =12时，P (x )有最大值.
即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.
（3）MP (x )=-30x 2+60x +3 275=-30(x -1)2+3 305.
所以，当x ≥1时，MP (x )单调递减， 所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N *.
MP (x )是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.
一、选择题
1.(2009·崇文模拟)已知f （x ）的定义域为R ，f （x ）的导函数)(x f '的图象如图所示，则 （ ） A .f (x )在x =1处取得极小值
B.f （x ）在x =1处取得极大值 C .f （x ）是R 上的增函数
D .f （x ）是（-∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数
答案 C
2.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数)(x f '在(a ,b )内的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )内有极小值点
（ ）
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个 答案 A
3.函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g (x )=
x
x f )(在区间（1，+∞）上一定 （ ）
A .有最小值
B .有最大值
C .是减函数
D .是增函数 答案 D
4.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为
（ ）
A .6
B .8
C .10
D .12
答案 B
5.已知f (x )=2x 3-6x 2+a (a 是常数）在［-2，2］上有最大值3，那么在［-2，2］上f (x ）的最小值是 （ ）
A .-5
B .-11
C .-29
D .-37 答案 D 6.已知函数f (x )=
2
1x 4-2x 3
+3m ,x ∈R ,若f (x )+9≥0恒成立,则实数m 的取值范围是 （ ）
A .m ≥2
3 B .m ＞2
3 C .m ≤
2
3 D .m ＜
2
3
答案 A 二、填空题
7.已知函数f (x )=x 3
-12x +8在区间［-3，3］上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M -m = . 答案 32
8.（2008·淮北模拟）已知函数f (x )的导数)(x f ' =a (x +1)·(x -a ),若f (x )在x =a 处取到极大值，则a 的取值范围是 . 答案 （-1，0） 三、解答题 9.设a ＞0,函数f (x )=
1
2
++x b ax ,b 为常数.
（1）证明：函数f (x )的极大值点和极小值点各有一个；
（2）若函数f (x ）的极大值为1，极小值为-1，试求a 的值. （1）证明 )(x f '=
,)
1(22
2
2
++--x a
bx ax
,
令)(x f '=0,得ax 2+2bx -a =0 (*) ≧Δ=4b 2+4a 2>0,
≨方程（*)有两个不相等的实根，记为x 1,x 2(x 1<x 2), 则)(x f '=
2
2
21)
1()
)((+---x x x x x a ,
当x 变化时，)(x f '与f (x ）的变化情况如下表：
可见，f (x )的极大值点和极小值点各有一个.
（2）解 由（1）得⎪⎩⎪⎨
⎧+=+--=+⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
=++=
-=++=②
1①1
,1
1
)(1
1
)(2222112
222
2
111x b ax x b ax x b ax x f x b ax x f 即
两式相加，得a (x 1+x 2)+2b =x 21
22
x -.
≧x 1+x 2=-
a
b 2,≨x 21
22
x -=0,即(x 2+x 1)(x 2-x 1)=0,
又x 1<x 2,≨x 1+x 2=0,从而b =0,≨a （x 2-1）=0，得x 1=-1,x 2=1, 由②得a =2.
10.设函数f （x ）=x 3-3ax 2+3bx 的图象与直线12x +y -1=0相切于点（1，-11）.
（1）求a ，b 的值；
（2）讨论函数f （x ）的单调性.
解 （1）求导得)(x f '=3x 2
-6ax +3b .
由于f （x ）的图象与直线12x +y -1=0相切于点（1，-11）， 所以f （1）=-11，)1('f =-12，即⎩⎨⎧-=+--=+-,
12363,11331b a b a 解得a =1，b =-3.
（2）由a =1，b =-3得
)
(x f '=3x 2-6ax +3b =3(x 2-2x -3)=3(x +1)(x -3).
由)(x f '>0,解得x <-1或x >3; 又令)(x f '<0,解得-1<x <3.
所以当x ∈(-≦,-1)和(3,+≦）时,f (x )是增函数;当x ∈(-1,3)时,f (x )是减函数. 11.已知函数f (x )=x 3-ax 2-3x .
（1）若f (x )在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若x =-3
1是f (x )的极值点，求f （x ）在［1，a ］上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b ，使得函数g （x ）=bx 的图象与函数f （x ）的图象恰有3个交点，若存在，
请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由.
解 （1）)(x f '=3x 2-2ax -3,≧f (x )在［1，+≦）上是增函数, ≨)(x f '在［1，+≦）上恒有)(x f '≥0， 即3x 2-2ax -3≥0在［1，+≦）上恒成立.则必有
3
a ≤1且)1('f =-2a ≥0,≨a ≤0.
(2）依题意，)3
1
(-'f =0，即
3
1+
3
2a -3=0,≨a =4,≨f (x )=x 3-4x 2-3x.令)(x f '=3x 2
-8x -3=0，得x 1=-3
1，x 2=3.
则当x 变化时，)(x f ',f (x )的变化情况如下表：
≨f (x )在［1，4］上的最大值是f (1)=-6.
（3）函数g (x )=bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3-4x 2-3x =bx 恰有3个不等实根 ≨x 3-4x 2-3x -bx =0，≨x =0是其中一个根，≨方程x 2-4x -3-b =0有两个非零不等实根， ≨.37,0
30)3(416-≠->∴⎩⎨
⎧≠-->++=∆b b b b 且≨存在符合条件的实数b ，b 的范围为b >-7且b ≠-3.
12. (2008·安徽文，20)已知函数f (x )=
2
3
2
33
x
x a -
+(a +1)x +1，其中a 为实数.
（1）已知函数f (x )在x =1处取得极值，求a 的值；
（2）已知不等式)(x f '>x 2
-x -a +1对任意a ∈（0,+∞)都成立，求实数x 的取值范围.
解 （1）)(x f '=ax 2-3x +a +1,
由于函数f (x )在x =1处取得极值，所以)1('f =0,即a -3+a +1=0,≨a =1. （2）方法一 由题设知:ax 2-3x +a +1>x 2-x -a +1对任意a ∈(0,+≦)都成立， 即a (x 2+2)-x 2-2x >0对任意a ∈(0,+≦)都成立.
设g (a )=a (x 2+2)-x 2-2x (a ∈R )，则对任意x ∈R ,g (a )为单调递增函数(a ∈R )，
≨对任意a ∈(0,+≦),g (a )>0恒成立的充分必要条件是g (0)≥0,即-x 2-2x ≥0,≨-2≤x ≤0. 于是x 的取值范围是{x |-2≤x ≤0}.
方法二 由题设知:ax 2-3x +a +1>x 2-x -a +1对任意a ∈(0,+≦)都成立， 即a (x 2+2)-x 2-2x >0对任意a ∈(0,+≦)都成立.于是a >2
22
2
++x x x 对任意a ∈(0,+≦)都成立，
即
2
222
++x x x ≤0,≨-2≤x ≤0.≨x 的取值范围是{x |-2≤x ≤0}.
单元检测三
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.（2007·海南、宁夏文，10）曲线y =e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）
A .4
9e 2 B .2e 2 C .e 2 D .
2
e
2
答案 D
2.（2008·福建文，11）如果函数y =f (x )的图象如图所示，那么导函数y =)(x f '的图象可能是 ( )
答案 A
3.设f (x )=x 2(2-x ),则f (x )的单调增区间是 （ ） A .(0,)3
4
B .(,3
4
+∞) C.(-∞,0)
D.(-∞,0)∪(
3
4,+∞）
答案 A
4.(2008·广东文，9）设a ∈R ,若函数y =e x +ax ,x ∈R 有大于零的极值点，则 ( )
A .a <-1
B .a >-1
C .a <-e
1 D .a >-
e
1
答案 A
5.已知函数y =f (x )=x 3+px 2+qx 的图象与x 轴切于非原点的一点，且y 极小值
=-4，那么p 、q 的值分别为 （ ）
A.6,9
B.9,6
C.4,2
D.8,6
答案 A
6.已知x≥0,y≥0，x+3y=9,则x2y的最大值为（）
A.36
B.18
C.25
D.42
答案 A
7.下列关于函数f(x)=(2x-x2)e x的判断正确的是（）
①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};
②f(-2)是极小值，f(2)是极大值；
③f(x)没有最小值，也没有最大值.
A.①③
B.①②③
C.②
D.①②
答案D
8.函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是 ( )
A.0＜)2('f＜)3('f＜f(3)-f(2)
B.0＜)3('f＜f(3)-f(2) ＜)2('f
C.0＜f(3)＜)2('f＜f(3)-f(2)
D.0＜f(3)-f(2)＜)2('f＜)3('f
答案 B
9.若函数f(x)=x3-ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）
A.a≥3
B.a=3
C.a≤3
D.0<a<3
答案 A
10.函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1时有极值10，则a、b的值为（）
A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11
B.a=-4,b=11
C .a =3,b =-3
D .以上都不正确
答案 B
11.使函数f (x )=x +2cos x 在［0，2
π
］上取最大值的x 为 （ ）
A .0
B .
6
π
C .
3
π
D .
2
π
答案 B
12.若函数f (x )=x 3-3bx +3b 在（0，1）内有极小值，则 （ ）
A .0<b <1
B .b <1
C .b >0
D .b <
2
1
答案 A
二、填空题 (本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.若f (x )=x 3+3ax 2+3(a +2)x +1没有极值，则a 的取值范围为 .
答案 ［-1，2］
14.如图是y =f (x )导数的图象，对于下列四个判断：
①f (x ）在［-2，-1］上是增函数；
②x =-1是f (x )的极小值点；
③f (x )在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数；
④x =3是f (x )的极小值点. 其中判断正确的是 . 答案 ②③
15.函数f (x )的导函数y =)(x f '的图象如右图，则函数f (x )的单调递增区间为 .
答案 ［-1，0］和［2，+∞）
16.已知函数f (x )的导函数为)(x f ',且满足f (x )=3x 2+2x )2('f ,则)5('f = .
答案 6
三、解答题 (本大题共6小题,共74分) 17.（12分）已知函数f (x )=x 3-2
1x 2+bx +c .
(1)若f (x )在（-∞，+∞）上是增函数，求b 的取值范围;
(2)若f (x )在x =1处取得极值，且x ∈［-1,2］时，f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围. 解 （1）)(x f '=3x 2-x +b ,因f (x )在（-≦，+≦）上是增函数，则)(x f '≥0.即3x 2-x +b ≥0, ≨b ≥x -3x 2在（-≦，+≦）恒成立.设g (x )=x -3x 2. 当x =
6
1时，g (x )max =
12
1,≨b ≥
12
1.
(2)由题意知)1('f =0，即3-1+b =0，≨b =-2.
x ∈［-1,2］时，f (x )<c 2恒成立，只需f (x )在［-1，2］上的最大值小于c 2即可.因)(x f '=3x 2-x -2,令)(x f '=0,得x =1或x =-3
2.≧f (1)=-2
3+c ,
f (-,
2
1)1(,27
22)3
2c f c +=-+=
f (2)=2+c .
≨f (x )max =f (2)=2+c ,≨2+c <c 2.解得c >2或c <-1，所以c 的取值范围为（-≦，-1）∪（2，+≦）.
18.（12分）设p :f (x )=(x 2-4)(x -a )在(-∞,-2)和(2,+∞）上是单调增函数；q :不等式x 2-2x ＞a 的解集为R .
如果p 与q 有且只有一个正确，求a 的取值范围.
解 命题p :由原式得f (x )=x 3
-ax 2
-4x +4a ,
≨)(x f '=3x 2
-2ax -4,y ′的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线.
由条件得)2(-'f ≥0且)2('f ≥0, 即⎩⎨
⎧≥-≥+.
048084a a ≨-2≤a ≤2.
命题q :a x x x >--=-1)1(222
≧该不等式的解集为R ，≨a <-1. 当p 正确q 不正确时,-1≤a ≤2;
当p 不正确q 正确时，a <-2.
≨a 的取值范围是（-≦，-2）∪［-1，2］.
19.（12分）已知函数f (x )=x (x -1)(x -a )在（2，+∞）上是增函数，试确定实数a 的取值范围.
解 f (x )=x (x -1)(x -a )=x 3-(a +1)x 2+ax ≨)(x f '=3x 2-2(a +1)x +a
要使函数f (x )=x (x -1)(x -a )在（2,+≦)上是增函数，只需)(x f '=3x 2-2(a +1)x +a 在（2，+≦）上满足)(x f '≥0即可. ≧)(x f '=3x 2-2(a +1)x +a 的对称轴是x =
3
1+a ,
≨a
的取值应满足：⎪⎩
⎪
⎨⎧≥'≤+0(2)23
1
f a 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥+'>+0)31(23
1
a f a
解得:a ≤3
8.≨a 的取值范围是a ≤3
8.
20.（12分）已知定义在R 上的函数f (x )=-2x 3+bx 2+cx (b ,c ∈R )，函数F (x )=f (x )-3x 2是奇函数，函数f (x )在x =-1处取
极值.
（1）求f (x )的解析式；
（2）讨论f (x )在区间［-3，3］上的单调性. 解 （1）≧函数F (x )=f (x )-3x 2是奇函数, ≨F (-x )=-F (x )，化简计算得b =3.
≧函数f (x )在x =-1处取极值，≨)1(-'f =0. f (x )=-2x 3+3x 2+cx , )(x f '=-6x 2+6x +c ≨)1(-'f =-6-6+c =0,c =12. ≨f (x )=-2x 3+3x 2+12x ,
（2）)(x f '=-6x 2+6x +12=-6(x 2-x -2).
令)(x f '=0,得x 1=-1,x 2=2,
≨函数f (x )在［-3，-1］和［2，3］上是减函数，
函数f (x )在［-1，2］上是增函数. 21.（12分）如图所示，P 是抛物线C ：y =
2
1x 2上一点，直线l 过点P 并与抛物线
C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q ，当点P 在抛物线C 上移动时， 求线段PQ 的中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离. 解 设P （x 0，y 0），则y 0=
,
212
0x ,
≨过点P 的切线斜率k =x 0, 当x 0=0时不合题意，≨x 0≠0. ≨直线l 的斜率k l =-0
11x -
=k ,
≨直线l 的方程为y -)(12
100
2
0x x x x --
=.
此式与y =2
2
1x
联立消去y 得
x 2+
.0222
00
=--x x x
设Q （x 1,y 1）,M (x ,y ).≧M 是PQ 的中点，
≨⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
++=+---=-=+=
1
2121)1(1122
020200000
10x x x x x x y x x x x 消去x 0，得y =x 2
+2
21x
+1 (x ≠0)就是所求的轨迹方程.由x ≠0知x 2
>0,
≨y =x 2+
2
21x
+1≥2.12121
·
2
2
+=
+x
x
上式等号仅当x 2=
2
21x
,即x =±4
2
1时成立，
所以点M 到x 轴的最短距离是2+1.
22.（14分）已知某质点的运动方程为s (t )=t 3+bt 2+ct +d ，下图是其运动轨迹的一部分，若t ∈［
2
1，4］时，s (t )<3d 2
恒成立，求d 的取值范围. 解 )(t s '=3t 2+2bt +c .
由图象可知，s (t )在t =1和t =3处取得极值. 则)1('s =0, )3('s =0. 即,06270
23⎩⎨
⎧=++=++c b c b 解得⎩
⎨⎧=-=96
c b
≨)(t s '=3t 2-12t +9=3(t -1)(t -3).
当t ∈［
2
1，1）时，)(t s '>0.
当t ∈(1,3)时，)(t s '<0. 当t ∈(3,4)时，)(t s '>0.
则当t =1时，s (t )取得极大值为4+d . 又s (4)=4+d ， 故t ∈［
2
1，4］时，s (t )的最大值为4+d .
已知s (t )<3d 2在［2
1，4］上恒成立，
≨s (t )max <3d 2.即4+d <3d 2. 解得d >
3
4或d <-1.≨d 的取值范围是{d |d >
3
4或d <-1}.。