微积分期末测试题及答案

一 单项选择题(每小题3分,共15分)

1.设lim ()x a

f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对

2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim

h f a h f a h h

→+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ).

①(-1,1) ②,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2

()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在

5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0

lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时

③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0

lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim

sin x x x x x

→∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________.

3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________.

三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1

x x x →-- 2.t t x e y te ⎧=⎨=⎩

,求22d y dx

3.ln(y x =+,求dy 和22d y dx .

4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx

.

5.设111

1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.

6.lim(32x x →∞

-=,求常数a ,b . 四 证明题(每小题10分,共30分)

1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()lim lim 0x x f x f x x x

→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .

2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2

()lim 0x f x x →+∞=. 3.证明函数1

sin y x =在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.

答案

一 单项选择题(每小题3分,共15分)

1.④

2.①

3.④

4.③

5.②

二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim

sin x x x x x

→∞-=+__1_ . 2.31lim(1)x x x +→∞+= __e_.

3.()f x =那么左导数(0)f -'=__-1__,右导数(0)f +'=__1__.

三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)

2.t t x e y te

⎧=⎨=⎩,求22d y dx

3.ln(y x =+,求dy 和22d y dx .

4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求

dy dx

. 5.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.

6.lim(32x x →∞

-=,求常数a ,b . 四 证明题(每小题10分,共30分)

1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()lim lim 0x x f x f x x x

→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .

2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2

()lim 0x f x x →+∞=. 3.证明函数1

sin y x =在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.