解分式方程的特殊方法与技巧

分式方程意义及解法

一、内容综述：

1．解分式方程的基本思想

在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程

2．解分式方程的基本方法

(1)去分母法

去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。

产生增根的原因：

当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．

检验根的方法：

（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。

（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．

用去分母法解分式方程的一般步骤：

(i)去分母，将分式方程转化为整式方程；

(ii)解所得的整式方程；

(iii)验根做答

(2)换元法

为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．

用换元法解分式方程的一般步骤：

(i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；

(ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；

(iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；

(iv)检验做答．

注意：

（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。

（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。

（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。

二、例题精析：

例1．解分式方程：。

分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。

解：方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得

x+4-x=2(x+2)+x(x+2)

整理后，得x2+4x=0

解这个方程，得x1=0, x2=-4,

代入公分母检验：

当x1=0时，x(x+2)=0×(0+2)=0, ∴x=0是增根；

当x2=-4时，x(x+2)=-4×(-4+2)≠0, ∴ x=-4是原方程的根。

故原方程的根是x=-4。

例2．解方程：。

分析：本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法），；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项，将方程化简。

解：

即，

移项，整理，得，

即，

亦即

去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7.

经检验，x=7是原方程的根。

∴原方程的根是x=7。

解法1：方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得(x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3)

=(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5)

即4x+14=0, ∴，

经检验知是原方程的解。

解法2：方程两边分别通分，得

，

即，

∴ (x+5)(x+4)=(x+2)(x+3)

解得。

解法3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。

原方程可化为

即：，

两边分别通分，得，

解之，得。

解：设，则原方程变形为y2-5y+6=0,

解得y1=2, y2=3,

由=2，解得x1=4;

由，解得x2=3.

经检验x1=4, x2=3，都是原方程的根。

例5．用换元法解方程.

解：设2x2+3x=y，于是原方程变为,

整理，得y2-4y-5=0

解得y1=5, y2=-1.

当y=5时，即2x2+3x=5,

解得x1=1, ,

当y=-1时，2x2+3x=-1，解得x3=-1, ,

经检验，都是原方程的根。∴原方程的根为。

例6．解方程。

分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解。解：设，所以原方程变形为：y+=7,

整理得：y2-7y+10=0

解得y1=2, y2=5，

当y1=2时，即，

∴x1=0, x2=2;

当y2=5时，，

即x2-5x+9=0 （Δ<0，此方程无实根）

经检验，x1=0, x2=2是原方程的解。

例7．解方程.

分析：此方程初看起来容易把，，而实际上，所以.但是,就是说原方程可变形为

, 变形后才可用换元法解此方程。

解：原方程可化为

即,

设, 则原方程可化为：2y2-3y-5=0

解得y1=-1, y2=,

当y=-1时，,

去分母整理，得x2+x+1=0

解这个方程，∵Δ<0, ∴方程无解。