2020-2021学年福建省泉州一中高一上学期期中考试理科数学试卷 答案和解析
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考点：函数的周期性.
13．D
【分析】
根据题意得到 ，计算 和 得到答案.
【详解】
和 在 上是“密切函数”
则 即 ，即
故 恒成立.
，恒成立；
综上所述：
故选：
【点睛】
本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的应用能力.
14．A
【解析】
试题分析：在 中由 可得： ，由 可得 反之也成立所以①正确；由 可得： ，当且仅当 即
（2）当Байду номын сангаас公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
19．已知函数 为常数， ）
（1）求证：当 时， 在 上是增函数；
（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数m的取值范围.
20．（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数）．
【最新】福建省泉州一中高一上学期期中考试理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
2．曲线 在 处的切线的斜率 ．
3．在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，且 ，则 __________．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．计算： （）
A．－2015B．2015C．4030D．－4030
10． 的三个内角为 ， ， ，若 ，则 =（）
A． B．1C． D．
11．设函数 ，以下关于 的说法正确的是（）
A．其图象可由 向右平移 得到
B．其图象关于直线 对称
（Ⅰ）分别求出曲线 和直线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 在曲线 上，且 到直线 的距离为1，求满足这样条件的点 的个数．
21．选修4—5：不等式选讲
已知 ，且 ．
（Ⅰ）试利用基本不等式求 的最小值 ；
（Ⅱ）若实数 满足 ，求证： ．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析： , ， ，故答案为C.
考点：元素与集合的关系及集合间的运算.
4．已知 ，对于任意实数 都有 成立，且 ，
则 =．
5．已知函数 ,若对 , ,则实数m的取值范围是_____________.
6．定义在 上的函数 ，其图象是连续不断的，如果存在非零常 ，使得对任意的 ，都有 ，则称 为“倍增函数”， 为“倍增系数”，下列命题为真命题的是（写出所有真命题对应的序号）．
A． B． C． D．
14．给出下列四个命题：其中所有正确命题的序号为（）
① 中， 是 成立的充要条件；
②已知锐角 满足 ，则 的最大值是 ；
③将 的图象绕坐标原点O逆时针旋转角 后第一次与y轴相切，则 ；
④若函数 为R上的奇函数，则函数 的图象一定关于点 成中心对称．
A．①②③B．②④C．①③④D．①②④
考点：三角函数的性质.
5．
【解析】
试题分析：函数 在区间 的最小值为 ，函数 在区间 上的最大值为 ；由题意可得：函数 的最小值应不小于 的最大值，所以
考点：函数性质的应用.
6．①③
【解析】
试题分析：因为函数 是倍增系数 的倍增函数，所以 ，当 时 ，（ⅰ）若 任一个为0则函数有零点；（ⅱ）若 全不为0则 必为异号所以根据零点存在定理可得函数也有零点所以①正确；因为函数 是倍增函数，所以 即 与 矛盾所以②错误；因为函数 是倍增函数，所以 即 .
C．其图象关于点 对称
D．在区间 上是增函数
12．设 是定义在 上的周期为 的周期函数，如图表示该函数在区间 上的图像，则 ＋ ＝（ ）
A．3B．2C．1D．0
13．设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若对任意 ，都有 成立，则称 和 在 上是“密切函数”，区间 称为“密切区间”．若 与 在 上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是( )
考点：1、充分条件与必要条件；2、三角函数性质.
9．C
【解析】
试题分析： .
考点：定积分.
10．B
【解析】
试题分析：由 可得： ，所以
所以 ，由于角 为三角形的内角所以 ，所以
考点：三角恒等变换.
11．D
【解析】
试题分析：因为 ，所以经检验可知：应选D.
考点：三角函数的性质.
12．A
【解析】
试题分析： , ,所以 ＋ ＝ .
考点：命题真假的判断.
7．D
【解析】
试题分析：因为命题 ， 是真命题，而命题 ， 为假命题，由复合命题的真值表可知命题 是真命题．
考点：命题的真假、逻辑连结词．
8．B
【解析】
试题分析：依题意，若 是奇函数，则 ，得 ，反之，若 ，则 ，由 ，得函数 为奇函数，故“ 是奇函数”是“ ”的必要不充分条件，故选B.
①若函数 是倍增系数 的倍增函数，则 至少有1个零点；
②函数 是倍增函数，且倍增系数 ；
③函数 是倍增函数，且倍增系数 ．
二、单选题
7．已知命题 ， ，命题 ， ，则（ ）
A．命题 是假命题B．命题 是真命题
C．命题 是真命题D．命题 是假命题
8．f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ= ”的（ ）
2．2
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，所以它在 处的切线的斜率 .
考点：导数的应用.
3．
【解析】
由已知，得2sinAsinB＝ sinB，且B∈ ，
∴sinB≠0，∴sinA＝ ，且A∈ ，∴A＝ .
4． 或
【解析】
试题分析：由题意可得：当 时，函数有最值.
当有最大值时应满足 ；当有最小值时应满足 ；所以 或 .
（2）如果△ABC的三边 所对的角分别为 ，且满足 求 的值.
18．（本小题满分12分）某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为 万元．
（1）该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）；
三、解答题
15．已知 为常数）
（1）若 ，求 的最小正周期；
（2）若 在[ 上最大值与最小值之和为3，求 的值．
16．（本小题满分12分）已知命题 ： ，命题 ： ，若“ 且 ”为真命题，求实数a的取值范围．
17．（本小题满分12分）已知向量 ， 函数 的最小正周期为 .
（1）求函数 的单调增区间；
13．D
【分析】
根据题意得到 ，计算 和 得到答案.
【详解】
和 在 上是“密切函数”
则 即 ，即
故 恒成立.
，恒成立；
综上所述：
故选：
【点睛】
本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的应用能力.
14．A
【解析】
试题分析：在 中由 可得： ，由 可得 反之也成立所以①正确；由 可得： ，当且仅当 即
（2）当Байду номын сангаас公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？
19．已知函数 为常数， ）
（1）求证：当 时， 在 上是增函数；
（2）若对任意的 ，总存在 ，使不等式 成立，求实数m的取值范围.
20．（本小题满分7分）选修4—4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数）．
【最新】福建省泉州一中高一上学期期中考试理科数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知集合 ， ，则下列结论正确的是（）
A．
B．
C．
D．
2．曲线 在 处的切线的斜率 ．
3．在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ，且 ，则 __________．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．计算： （）
A．－2015B．2015C．4030D．－4030
10． 的三个内角为 ， ， ，若 ，则 =（）
A． B．1C． D．
11．设函数 ，以下关于 的说法正确的是（）
A．其图象可由 向右平移 得到
B．其图象关于直线 对称
（Ⅰ）分别求出曲线 和直线 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点 在曲线 上，且 到直线 的距离为1，求满足这样条件的点 的个数．
21．选修4—5：不等式选讲
已知 ，且 ．
（Ⅰ）试利用基本不等式求 的最小值 ；
（Ⅱ）若实数 满足 ，求证： ．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析： , ， ，故答案为C.
考点：元素与集合的关系及集合间的运算.
4．已知 ，对于任意实数 都有 成立，且 ，
则 =．
5．已知函数 ,若对 , ,则实数m的取值范围是_____________.
6．定义在 上的函数 ，其图象是连续不断的，如果存在非零常 ，使得对任意的 ，都有 ，则称 为“倍增函数”， 为“倍增系数”，下列命题为真命题的是（写出所有真命题对应的序号）．
A． B． C． D．
14．给出下列四个命题：其中所有正确命题的序号为（）
① 中， 是 成立的充要条件；
②已知锐角 满足 ，则 的最大值是 ；
③将 的图象绕坐标原点O逆时针旋转角 后第一次与y轴相切，则 ；
④若函数 为R上的奇函数，则函数 的图象一定关于点 成中心对称．
A．①②③B．②④C．①③④D．①②④
考点：三角函数的性质.
5．
【解析】
试题分析：函数 在区间 的最小值为 ，函数 在区间 上的最大值为 ；由题意可得：函数 的最小值应不小于 的最大值，所以
考点：函数性质的应用.
6．①③
【解析】
试题分析：因为函数 是倍增系数 的倍增函数，所以 ，当 时 ，（ⅰ）若 任一个为0则函数有零点；（ⅱ）若 全不为0则 必为异号所以根据零点存在定理可得函数也有零点所以①正确；因为函数 是倍增函数，所以 即 与 矛盾所以②错误；因为函数 是倍增函数，所以 即 .
C．其图象关于点 对称
D．在区间 上是增函数
12．设 是定义在 上的周期为 的周期函数，如图表示该函数在区间 上的图像，则 ＋ ＝（ ）
A．3B．2C．1D．0
13．设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若对任意 ，都有 成立，则称 和 在 上是“密切函数”，区间 称为“密切区间”．若 与 在 上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是( )
考点：1、充分条件与必要条件；2、三角函数性质.
9．C
【解析】
试题分析： .
考点：定积分.
10．B
【解析】
试题分析：由 可得： ，所以
所以 ，由于角 为三角形的内角所以 ，所以
考点：三角恒等变换.
11．D
【解析】
试题分析：因为 ，所以经检验可知：应选D.
考点：三角函数的性质.
12．A
【解析】
试题分析： , ,所以 ＋ ＝ .
考点：命题真假的判断.
7．D
【解析】
试题分析：因为命题 ， 是真命题，而命题 ， 为假命题，由复合命题的真值表可知命题 是真命题．
考点：命题的真假、逻辑连结词．
8．B
【解析】
试题分析：依题意，若 是奇函数，则 ，得 ，反之，若 ，则 ，由 ，得函数 为奇函数，故“ 是奇函数”是“ ”的必要不充分条件，故选B.
①若函数 是倍增系数 的倍增函数，则 至少有1个零点；
②函数 是倍增函数，且倍增系数 ；
③函数 是倍增函数，且倍增系数 ．
二、单选题
7．已知命题 ， ，命题 ， ，则（ ）
A．命题 是假命题B．命题 是真命题
C．命题 是真命题D．命题 是假命题
8．f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ∈R），则“f（x）是奇函数”是“φ= ”的（ ）
2．2
【解析】
试题分析：因为 ，所以 ，所以它在 处的切线的斜率 .
考点：导数的应用.
3．
【解析】
由已知，得2sinAsinB＝ sinB，且B∈ ，
∴sinB≠0，∴sinA＝ ，且A∈ ，∴A＝ .
4． 或
【解析】
试题分析：由题意可得：当 时，函数有最值.
当有最大值时应满足 ；当有最小值时应满足 ；所以 或 .
（2）如果△ABC的三边 所对的角分别为 ，且满足 求 的值.
18．（本小题满分12分）某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为 万元．
（1）该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）；
三、解答题
15．已知 为常数）
（1）若 ，求 的最小正周期；
（2）若 在[ 上最大值与最小值之和为3，求 的值．
16．（本小题满分12分）已知命题 ： ，命题 ： ，若“ 且 ”为真命题，求实数a的取值范围．
17．（本小题满分12分）已知向量 ， 函数 的最小正周期为 .
（1）求函数 的单调增区间；