2020-2021学年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)及答案解析

辽宁省大连市高考数学二模试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（）A．2 B．4 C．2i D．4i3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β4．执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t的值为（）A．6 B．8 C．10 D．125．已知{a n}为等差数列，3a4+a8=36，则{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．17 C．36 D．816．已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.48．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．64 B．C．16 D．9．D是△ABC所在平面内一点，=λ+μ（λ，μ∈R），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC内部（不含边界）的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件10．命题p：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜C．a≥1 D．a≥11．过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（﹣1，2），若•=0，则直线l的斜率k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．函数f（x）=e ax﹣lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤B．0＜a≤C．a≥D．a≥二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡上的相应位置上13．将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行，若2本语文书相邻排放，则不同的排放方案共有______种（用数字作答）14．设F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，点M（a，b）．若∠MF1F2=30°，则双曲线的离心率为______．15．已知函数f（x）=，若曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，则a的取值范围是______．16．若数列{a n}满足：a1=0，a2=3且（n﹣1）a n+1=（n+1）a n﹣n十1（n∈N*，n≥2），数列{b n}满足b n=••（）n﹣1，则数列{b n}的最大项为第______项．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2016•大连二模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，b=acosC+ asinC．（I）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c≥4，求△ABC的面积．18．（12分）（2016•大连二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况，每一局甲胜的概率为，乙胜的概率为，如果比赛采用“五局三胜制”（先胜三局者获胜，比赛结束）．（1）求甲获得比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时的局数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）（2016•大连二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AA1=2，AC=2，M是CC1的中点，P是AM的中点，点Q在线段BC1上，且BQ=QC1．（1）证明：PQ∥平面ABC；（2）若直线BA1与平面ABM成角的正弦值为，求∠BAC的大小．20．（12分）（2016•大连二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+2．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设点D为椭圆上任意一点，直线y=m和椭圆C交于A、B两点，且直线DA、DB与y 轴分别交于P、Q两点，试探究∠PF1F2和∠QF1F2之间的等量关系并加以证明．21．（12分）（2016•大连二模）已知函数f（x）=lnx+kx（k∈R）．（1）当k=﹣1时，求函数f（x）的极值点；（2）当k=0时，若f（x）+﹣a≥0（a，b∈R）恒成立，试求e a﹣1﹣b+1的最大值；（3）在（2）的条件下，当e a﹣1﹣b+1取最大值时，设F（b）=﹣m（m∈R），并设函数F （x）有两个零点x1，x2，求证：x1•x2＞e2．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题计分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑题号[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•大连二模）已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，CD 分别交AE、AB于点F、D，∠ADF=45°．（1）求证：CD为∠ACB的平分线；（2）若AB=AC，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•大连二模）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．从极点作圆C的弦，记各条弦中点的轨迹为曲线C1．（1）求C1的极坐标方程；（2）已知曲线l的参数方程为，（0≤α＜π，t为参数，且t≠0），l与C交于点A，l与C1交于点B，且||=，求α的值．[选修4-5：不等式证明选讲]24．（2016•大连二模）已知a，b，c均为正实数，且++=1．（1）证明：++≤；（2）求证：++≥1．参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】子集与真子集．【分析】先确定集合B，再求出B的子集的个数．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，∴B={（2，1）}，∴B的子集共有2个．故选：A．【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，确定集合B是关键．2．复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，且||=，则z的虚部为（）A．2 B．4 C．2i D．4i【考点】复数的基本概念．【分析】复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，可得a＞0，=1﹣ai．由||=，可得=，解得a．【解答】解：复数z=1+ai（a∈R）在复平面对应的点在第一象限，∴a＞0，=1﹣ai．∵||=，∴=，解得a=2．则z的虚部为2．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β=m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或相行；在B中，α与β不一定垂直；在C中，由由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面平行的判定定理得α∥β．【解答】解：在A中，m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或相行，故A错误；在B中，m⊥n，α∩β=m，n⊂α，则α与β不一定垂直，故B错误；在C中，m∥n，n⊥β，m⊂α，由由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，m∥n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4．执行如图的程序框图，如果输入x=1，则输出t的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的x，t的值，当x=121时满足条件x＞120，退出循环，输出t的值为8．【解答】解：模拟程序的运行过程，可得x=1，t=0执行循环体，x=4，t=2不满足条件x＞120，执行循环体，x=13，t=4不满足条件x＞120，执行循环体，x=40，t=6不满足条件x＞120，执行循环体，x=121，t=8满足条件x＞120，退出循环，输出t的值为8．故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力，属于基础题．5．已知{a n}为等差数列，3a4+a8=36，则{a n}的前9项和S9=（）A．9 B．17 C．36 D．81【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列性质得到a1+4d=a5=9，由此能求出{a n}的前9项和．【解答】解：∵{a n}为等差数列，3a4+a8=36，∴3（a1+3d）+a1+7d=4a1+8d=36，解得a1+4d=a5=9，∴S9=×（a1+a9）=9a5=9×9=81．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6．已知函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）的图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用已知条件求出函数f（﹣x），然后利用二次函数的性质，判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）=﹣x2﹣x+2，则函数y=f（﹣x）=﹣x2+x+2．函数的图象开口向下，经过（﹣1，0）与（2，0），函数的图象为：．故选：D．【点评】本题考查函数的图象，二次函数的性质的应用，考查计算能力．7．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．=0.4x+2.3 B．=2x﹣2.4 C．=﹣2x+9.5 D．=﹣0.3x+4.4【考点】线性回归方程．【分析】变量x与y正相关，可以排除C，D；样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程．【解答】解：∵变量x与y正相关，∴可以排除C，D；样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合，故选：A．【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．64 B．C．16 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图知几何体是三棱锥、为棱长为4的正方体一部分，画出直观图，由正方体的性质判断出线面位置关系、求出底面的面积，由椎体的体积公式求出该多面体的体积．【解答】解：根据三视图知几何体是：三棱锥D﹣ABC、为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B是棱的中点，由正方体的性质得，CD⊥平面ABC，△ABC的面积S==4，所以该多面体的体积V==，故选：D．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9．D是△ABC所在平面内一点，=λ+μ（λ，μ∈R），则0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC内部（不含边界）的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若=λ+μ（λ，μ∈R），点D在△ABC内部，可得：0＜λ＜1，0＜μ＜1；反之不成立，例如时，点D为边BC的中点．即可判断出结论．【解答】解：若=λ+μ（λ，μ∈R），点D在△ABC内部，则0＜λ＜1，0＜μ＜1，反之不成立，例如时，点D为边BC的中点．∴0＜λ＜1，0＜μ＜1是点D在△ABC内部（不含边界）的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．命题p：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．a＜1 B．a＜C．a≥1 D．a≥【考点】特称命题．【分析】特称命题转化为全称命题，求出sin（2x+）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】解：“∃x0∈[0，]，sin2x0+cos2x0＞a”是假命题，即∀x∈[0，]，sin2x+cos2x≤a是真命题，由sin2x+cos2x=sin（2x+）≤a，得：sin（2x+）≤，由x∈[0，]得：2x+∈[，]，故sin（2x+）的最大值是1，故只需≥1，解得：a≥，故选：D．【点评】本题考查了特称命题转化为全称命题，考查三角函数问题，是一道中档题．11．过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l交C于A，B两点，点M（﹣1，2），若•=0，则直线l的斜率k=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=﹣4，由•=0，求得k值．【解答】解：∵抛物线的方程为y2=4x，∴F（1，0），设焦点弦方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0由韦达定理：x1+x2=2+，x1x2=1，y1y2=﹣4，y1+y2=∵M（﹣1，2），•=0，∴（x1+1，y1﹣2）•（x2+1，y2﹣2）=0，∴1﹣2k+k2=0，∴k=1．故选：C．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．12．函数f（x）=e ax﹣lnx（a＞0）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．0＜a≤B．0＜a≤C．a≥D．a≥【考点】函数零点的判定定理．【分析】先考虑函数f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）图象仅有一个交点，且在公共点处有公共的切线，a的值，再利用换元法，即可得出结论．【解答】解：先考虑函数f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）图象仅有一个交点，且在公共点处有公共的切线，a的值．两函数互为反函数，则该切线即为y=x，设切点A，可求出A（e，e），此时a=e．若a＞e时，则f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）无公共点；若1＜a＜e时，则f（x）=a x与g（x）=log a x（a＞1）有两个公共点．对f（x）=e ax﹣lnx（a＞0），换元令t=e a，即得t x=log t x，由上知1＜e a=t≤e，得0＜a≤．故选：A．【点评】本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生转化问题的能力，属于中档题．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。