2020-2021学年辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)及答案解析
高考理科数学试题及答案2024
高考理科数学试题及答案(考试时间:120分钟试卷满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.31ii+=+() A .12i + B .12i - C .2i + D .2i -2. 设集合{}1,2,4A =,{}240x x x m B =-+=.若{}1AB =,则B =()A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A .1盏B .3盏C .5盏D .9盏4. 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得,则该几何体的体积为() A .90π B .63π C .42π D .36π5. 设x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩,则2z x y =+的最小值是()A .15-B .9-C .1D .96. 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A .12种B .18种C .24种D .36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A .乙可以知道四人的成绩B .丁可以知道四人的成绩C .乙、丁可以知道对方的成绩D .乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图,如果输入的1a =-,则输出的S =()A .2 B .3 C .4 D .59. 若双曲线C:22221x y a b-=(0a >,0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2,则C 的 离心率为()A .2B .3C .2D .2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点,则()f x 的极小值为()A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中,C 120∠AB =,2AB =,1C CC 1B ==,则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为()A .32 B .155 C .105D .33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值是()A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一上学期期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷一、选择题(共8小题).1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={2,4,6,7},B={1,3,4,6},则A∩∁U B=()A.{2,7}B.{4,6}C.{2,5,7}D.{2,4,5,6,7} 2.某单位共有500名职工,其中不到35岁的有125人,35﹣49岁的有a人,50岁及以上的有b人,现用分层抽样的方法,从中抽出100名职工了解他们的健康情况.如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人,则50岁及以上的职工抽取的人数为()A.19B.95C.220D.2803.设x∈R,则“x<1”是“2x<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.2020年12月4日,中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”.据介绍,将这台量子原型机命名为“九章”,是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》.在该书的《方程》一章中有如下一题:“今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,实皆不满斗.上取中,中取下,下取上,各一秉,而实满斗.问上中下禾实一秉各几何?”其译文如下:“今有上等稻禾2束,中等稻禾3束,下等稻禾4束,各等稻禾总数都不足1斗.如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾,或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾,或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾,则刚好都满1斗.问每束上、中、下等的稻禾各多少斗?”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗?()A.B.C.D.5.在△ABC中,,.若点D满足,则=()A.B.C.D.6.设a=50.6,b=()﹣0.7,c=log0.60.7,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b7.已知实数a>0,b>0,且2a+b=2ab,则a+2b的最小值为()A.B.C.D.8.已知函数f(x)=+x(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…),若实数m满足f(m)=﹣1,则f(﹣m)=()A.4B.3C.2D.1二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列命题中错误的是()A.若a>b,则<B.若a>b,则>C.若a>b,c<d,则a﹣d>b﹣cD.若b>a>0,m>0,则>10.在某次高中学科竞赛中,5000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间中点值为代表,则下列说法中正确的是()A.考生成绩在[70,80)的人数最多B.考生成绩在[80,90)对应的频率为0.015C.不及格的考生人数为1000D.考生成绩的平均分约为70.511.已知函数f(x)=|()x﹣1|﹣b有两个零点,分别为x1,x2(x1<x2),则下列结论正确的是()A.﹣1<x1<0B.0<x2<2C.()+()=2D.0<b<112.若关于x的方程=的解集中只含有一个元素,则满足条件的实数k可以为()A.﹣B.﹣1C.1D.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.计算lg8+lg25﹣lg2的结果是.14.设A,B,C为三个随机事件,若A与B互斥,B与C对立,且P(A)=,P(C)=,则P(A+B)=.15.已知函数f(x)=则不等式x+f(x﹣1)≤2的解集是.16.给定函数y=f(x),设集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)}.若对于∀x∈A,∃y∈B,使得x+y=0成立,则称函数f(x)具有性质P.给出下列三个函数:①;②;③y=lgx.其中,具有性质P的函数的序号是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)设A,B,C,D为平面直角坐标系中的四点,且A(2,﹣2),B(4,1),C(1,3).(1)若=,求D点的坐标及||;(2)设向量=,=,若k﹣与+3平行,求实数k的值.18.(12分)已知全集U=R,集合A={x|x2﹣4x<0},B={x|m≤x≤3m﹣2}.(1)当m=2时,求∁U(A∩B);(2)如果A∪B=A,求实数m的取值范围.19.(12分)中学阶段是学生身体发育重要的阶段,长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康.某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长(单位:小时),从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查,将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据,如表所示.如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时,则称为“过度熬夜”.甲班91113202431乙班111218202225(1)分别计算出甲、乙两班样本的平均值;(2)为了解学生过度热夜的原因,从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中,抽取2个数据,求抽到的数据来自于同一个班级的概率;(3)从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据,求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率.20.(12分)已知函数f(x)=x2+2ax+1(a∈R).(1)求f(x)在区间[1,3]上的最小值g(a);(2)设函数h(x)=,用定义证明:h(x)在(0,1)上是减函数.21.(12分)近来,国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”,以满足不同层次的多元消费,并拉动就业、带动创业,进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(以30天计),每件的销售价格P(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足P(x)=10+(k 为常数,且k>0),日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如表所示:x1015202530 Q(x)5055605550已知第10天的日销售收入为505元.(1)求k的值;(2)给出以下四个函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x﹣m|+b;③Q(x)=a•b x;④Q(xr)=a•log b x.请你根据表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式;(3)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位:元),求f(x)的最小值.22.(12分)已知函数f(x)=ln(e x+1)+kx是偶函数(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…).(1)求k的值;(2)若方程f(x)=x+b在区间[﹣1,0]上有实数根,求实数b的取值范围.参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={2,4,6,7},B={1,3,4,6},则A∩∁U B=()A.{2,7}B.{4,6}C.{2,5,7}D.{2,4,5,6,7}解:∵U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6,7},B={1,3,4,6},∴∁U B={2,5,7},A∩∁U B={2,7}.故选:A.2.某单位共有500名职工,其中不到35岁的有125人,35﹣49岁的有a人,50岁及以上的有b人,现用分层抽样的方法,从中抽出100名职工了解他们的健康情况.如果已知35﹣49岁的职工抽取了56人,则50岁及以上的职工抽取的人数为()A.19B.95C.220D.280解:计算抽样比例为,所以不到35岁的应抽取125×=25(人),所以50岁及以上的应抽取100﹣25﹣56=19(人).故选:A.3.设x∈R,则“x<1”是“2x<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:由2x<1,解得x<0,由x<0,可得x<1,反之不成立.∴“x<1”是“2x<1”的必要不充分条件.故选:B.4.2020年12月4日,中国科学技术大学宣布该校潘建伟等人成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”.据介绍,将这台量子原型机命名为“九章”,是为了纪念中国古代的数学专著《九章算术》.在该书的《方程》一章中有如下一题:“今有上禾二秉,中禾三秉,下禾四秉,实皆不满斗.上取中,中取下,下取上,各一秉,而实满斗.问上中下禾实一秉各几何?”其译文如下:“今有上等稻禾2束,中等稻禾3束,下等稻禾4束,各等稻禾总数都不足1斗.如果将2束上等稻禾加上1束中等稻禾,或者将3束中等稻禾加上1束下等稻禾,或者将4束下等稻禾加上1束上等稻禾,则刚好都满1斗.问每束上、中、下等的稻禾各多少斗?”现请你求出题中的1束上等稻禾是多少斗?()A.B.C.D.解:设上等稻禾x斗/束,中等稻禾y斗/束,下等稻禾z斗/束,由已知得:,解得:,故一束上等稻禾是斗.故选:D.5.在△ABC中,,.若点D满足,则=()A.B.C.D.解:在△ABC中,,;如图;∴=﹣=﹣,又,∴==(﹣);∴=+=+(﹣)=+;故选:C.6.设a=50.6,b=()﹣0.7,c=log0.60.7,则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b解:∵y=5x在R上递增,∴1=50<a=50.6<b=()﹣0.7=50.7,而c=log0.60.7<1,故c<a<b,故选:D.7.已知实数a>0,b>0,且2a+b=2ab,则a+2b的最小值为()A.B.C.D.解:∵a>0,b>0,且2a+b=2ab,∴=1,则a+2b=(a+2b)()==.当且仅当且=1,即a=b=时取等号.∴a+2b的最小值为.故选:B.8.已知函数f(x)=+x(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…),若实数m满足f(m)=﹣1,则f(﹣m)=()A.4B.3C.2D.1解:根据题意,函数f(x)=+x,则f(﹣x)=+(﹣x)=﹣x,则f(x)+f(﹣x)=(+x)+(﹣x)=2,即有f(m)+f(﹣m)=2,若f(m)=﹣1,则f(﹣m)=3,故选:B.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.下列命题中错误的是()A.若a>b,则<B.若a>b,则>C.若a>b,c<d,则a﹣d>b﹣cD.若b>a>0,m>0,则>解:对于A:令a=0,b=﹣1,显然错误;对于B:若a>b,则>,故B正确;对于C:若a>b,c<d,则a>b,﹣c>﹣d,则a﹣c>b﹣d,故C错误;对于D:若b>a>0,m>0,则bm>am,则ab+bm>ab+am,则b(a+m)>a(b+m),则>,故D正确;故选:AC.10.在某次高中学科竞赛中,5000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间中点值为代表,则下列说法中正确的是()A.考生成绩在[70,80)的人数最多B.考生成绩在[80,90)对应的频率为0.015C.不及格的考生人数为1000D.考生成绩的平均分约为70.5解:由成绩统计图知,考生成绩在[70,80)内的小矩形图最高,所以频率最大,对应人数最多,A正确;考生成绩在[80,90)对应的频率为0.015×10=0.15,所以B错误;60分以下的人数为(0.010+0.015)×10×5000=1250(人),所以C错误;计算考生成绩的平均分为45×0.10+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95×0.10=70.5,所以D正确.故选:AD.11.已知函数f(x)=|()x﹣1|﹣b有两个零点,分别为x1,x2(x1<x2),则下列结论正确的是()A.﹣1<x1<0B.0<x2<2C.()+()=2D.0<b<1解:函数f(x)=|()x﹣1|﹣b有两个零点,即有两个根,问题即转化为y=b与g(x)=的有两个不同交点.做出函数g(x)的图象如右:其函数解析式为:,由题意两交点横坐标分别为x1,x2(x1<x2),①若有两个交点,则0<b<1,D对;②当x<0时,令g(x)=1,得x=﹣1,故﹣1<x1<0,A对;③易知,整理得:,C对;④由③得,所以x2>0,B错.故选:ACD.12.若关于x的方程=的解集中只含有一个元素,则满足条件的实数k可以为()A.﹣B.﹣1C.1D.解:易知,当k=1时,方程只有一个根1,满足题意;当k≠1时,原方程可化为,即①方程只有一个非零实数根即可.对于方程①,显然x≠0,即x2﹣x+k﹣1=0只有一个非零实根,所以,解得.故选:CD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.计算lg8+lg25﹣lg2的结果是2.解:原式=3lg2+2lg5﹣lg2=2lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.故答案为:2.14.设A,B,C为三个随机事件,若A与B互斥,B与C对立,且P(A)=,P(C)=,则P(A+B)=.解:∵随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=,P(C)=,∴P(B)=1﹣P(C)=,∴P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.故答案为:.15.已知函数f(x)=则不等式x+f(x﹣1)≤2的解集是{x|x≤1}.解:∵函数f(x)=,∴当x﹣1≥0即x≥1时,x+f(x﹣1)≤2⇒x+1+(x﹣1)≤2⇒x≤1,故x=1;当x﹣1<0即x<1时,x+f(x﹣1)≤2⇒x+1﹣(x﹣1)≤2⇒2≤2,故x<1;∴不等式x+f(x﹣1)≤2的解集是:{x|x≤1}.故答案为:{x|x≤1}.16.给定函数y=f(x),设集合A={x|y=f(x)},B={y|y=f(x)}.若对于∀x∈A,∃y∈B,使得x+y=0成立,则称函数f(x)具有性质P.给出下列三个函数:①;②;③y=lgx.其中,具有性质P的函数的序号是①③.解:对①,A=(﹣∞,0)∪(0,+∞),B=(﹣∞,0)∪(0,+∞),显然对于∀x∈A,∃y∈B,使得x+y=0成立,即具有性质P;对②,A=R,B=(0,+∞),当x>0时,不存在y∈B,使得x+y=0成立,即不具有性质P;对③,A=(0,+∞),B=R,显然对于∀x∈A,∃y∈B,使得x+y=0成立,即具有性质P;故答案为:①③.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)设A,B,C,D为平面直角坐标系中的四点,且A(2,﹣2),B(4,1),C(1,3).(1)若=,求D点的坐标及||;(2)设向量=,=,若k﹣与+3平行,求实数k的值.解:(1)设D(x,y),则,且,,∴(2,3)=(x﹣1,y﹣3),∴,解得,∴D(3,6),,∴;(2),∴,,且与平行,∴9(2k+3)+7(3k﹣2)=0,解得.18.(12分)已知全集U=R,集合A={x|x2﹣4x<0},B={x|m≤x≤3m﹣2}.(1)当m=2时,求∁U(A∩B);(2)如果A∪B=A,求实数m的取值范围.解:(1)A={x|0<x<4},m=2时,B={x|2≤x≤4},∴A∩B={x|2≤x<4},且U=R,∴∁U(A∩B)={x|x<2或x≥4};(2)∵A∪B=A,∴B⊆A,①B=∅时,m>3m﹣2,解得m<1;②B≠∅时,,解得1≤m<2;综上,实数m的取值范围为(﹣∞,2).19.(12分)中学阶段是学生身体发育重要的阶段,长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康.某校为了解甲、乙两个班的学生每周熬夜学习的总时长(单位:小时),从这两个班中各随机抽取6名同学进行调查,将他们最近一周熬夜学习的总时长作为样本数据,如表所示.如果学生一周熬夜学习的总时长超过21小时,则称为“过度熬夜”.甲班91113202431乙班111218202225(1)分别计算出甲、乙两班样本的平均值;(2)为了解学生过度热夜的原因,从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中,抽取2个数据,求抽到的数据来自于同一个班级的概率;(3)从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据,求恰有1个数据为“过度熬夜”的概率.解:(1)甲班样本的平均值为:=(9+11+13+20+24+31)=18.乙班样本的平均成绩为:=(11+12+18+20+22+25)=18.(2)甲班符合“过度熬夜”的样本数据有2个,乙班符合“过度熬夜”的样本数据有2个,从甲、乙两班符合“过度熬夜”的样本数据中,抽取2个数据,基本事件总数n==6,抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数m==2,∴抽到的数据来自于同一个班级的概率p===.(3)甲班的6个样本数据中,为“过度熬夜”的数据有2个,从甲班的样本数据中有放回地抽取2个数据,基本事件总数n=6×6=36,恰有1个数据为“过度熬夜”包含的基本事件总数m==16,∴恰有1个数据为“过度熬夜”的概率P===.20.(12分)已知函数f(x)=x2+2ax+1(a∈R).(1)求f(x)在区间[1,3]上的最小值g(a);(2)设函数h(x)=,用定义证明:h(x)在(0,1)上是减函数.解:(1)因为f(x)=x2+2ax+1的对称轴x=﹣a,开口向上,当﹣a≤1即a≥﹣1时,g(a)=f(1)=2+2a,当﹣a≥3即a≤﹣3时,g(a)=f(3)=10+6a,当1<﹣a<3即﹣3<a<﹣1时,g(a)=f(﹣a)=1﹣a2,故g(a)=.(2)证明:h(x)==x++2a,设0<x1<x2<1,则h(x1)﹣h(x2)==(x1﹣x2)+=(x1﹣x2)()>0,∴h(x1)>h(x2),∴h(x)在(0,1)上是减函数.21.(12分)近来,国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”,以满足不同层次的多元消费,并拉动就业、带动创业,进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者,通过对每天销售情况的调查发现:该工艺品在过去的一个月内(以30天计),每件的销售价格P(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足P(x)=10+(k 为常数,且k>0),日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如表所示:x1015202530 Q(x)5055605550已知第10天的日销售收入为505元.(1)求k的值;(2)给出以下四个函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x﹣m|+b;③Q(x)=a•b x;④Q(xr)=a•log b x.请你根据表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式;(3)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位:元),求f(x)的最小值.解:(1)由题意,Q(10)•P(10)=50(10+)=505,即k=1;(2)由表中数据可知,当时间变化时,日销售量有增有减,函数不单调,而①③④均为单调函数,故Q(x)=a|x﹣m|+b,则,解得a=1,m=10,b=50.故函数解析式为Q(x)=|x﹣10|+50;(3)由(2)可知,Q(x)=|x﹣10|+50=,则f(x)=P(x)•Q(x)=.当1≤x≤10时,f(x)=600﹣1+,该函数为单调减函数,f(x)min=f(10)=505;当10<x≤30时,f(x)=400+1+10x+,在(10,30]上为增函数,则f(x)>505.综上,该工艺品的日销售收入f(x)的最小值为505元.22.(12分)已知函数f(x)=ln(e x+1)+kx是偶函数(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…).(1)求k的值;(2)若方程f(x)=x+b在区间[﹣1,0]上有实数根,求实数b的取值范围.解:(1)由f(x)是偶函数得:f(x)﹣f(﹣x)=ln(e x+1)+kx﹣ln(e﹣x+1)﹣(﹣kx)===(2k+1)x=0恒成立,故2k+1=0,即k=﹣.(2)由(1)知f(x)=ln(e x+1)x.由f(x)=x+b得b=ln(e x+1)﹣x,x∈[﹣1,0].令g(x)=ln(e x+1)﹣x=,x∈[﹣1,0].当x∈[﹣1,0]时,∈[2,1+e],故ln(1)∈[ln2,ln(1+e)].故b∈[ln2,ln(1+e)]时,方程f(x)=x+b在区间[﹣1,0]上有实数根.即b的取值范围是[ln2,ln(1+e)].。
辽宁省2021年高考数学二模试卷(理科)D卷
辽宁省2021年高考数学二模试卷(理科)D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题: (共12题;共24分)1. (2分)(2018·潍坊模拟) 设有下面四个命题:若复数满足,则;:若复数、满足,则或;:若复数,则;:若复数,满足,则,其中的真命题为()A . ,B . ,C . ,D . ,2. (2分)已知全集U={0,1,2,3,4},M={0,1,2},N={2,3},则(CUM)∩N=()A . {2}B . {3}C . {2,3,4}D . {0,1,2,3,4}3. (2分) (2018高一下·金华期末) 设实数,满足约束条件,则的取值范围是()A .B .C .D .4. (2分) (2016高一上·胶州期中) 下列函数在(0,+∞)上单调递增的是()A .B . y=(x﹣1)2C . y=21﹣xD . y=lg(x+3)5. (2分) (2016高一下·龙岩期中) 定义某种运算S=a⊗b,运算原理如图所示,则式子[(2tan )⊗lg]+[lne⊗()﹣1]的值为()A . 4B . 8C . 10D . 136. (2分) (2019高一上·西安月考) 设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()A . 若,则B . 若,则C . 若,则D . 若,则7. (2分)(2020·广西模拟) 在的展开式中,前3项的系数和为()A . 16B . 32C . 80D . 1608. (2分)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数:①f(x)=sinxcosx;②;③;④.其中“同簇函数”的是()A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④9. (2分)(2020·淄博模拟) 在中,,,,若,则实数()A .B .C .D .10. (2分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于()A . 10cm3B . 20cm3C . 30cm3D . 40cm311. (2分) (2019高二下·中山期末) 已知是离散型随机变量,,,,则()A .B .C .D .12. (2分) (2015高二下·乐安期中) 已知,f(x)在x=x0处取得最大值,以下各式中正确的序号为()①f(x0)<x0;②f(x0)=x0;③f(x0)>x0;④ ;⑤ .A . ①④B . ②④C . ②⑤D . ③⑤二、填空题: (共4题;共4分)13. (1分) (2016高一下·合肥期中) 已知数列{an}为等比数列,前n项和为Sn ,且a5=2S4+3,a6=2S5+3,则此数列的公比q=________.14. (1分) (2019高一下·南宁期末) 在区间上随机取一个数x ,则的值在之间的概率为________;15. (1分) (2017高一上·武汉期末) 若α+β= 则(1﹣tanα)(1﹣tanβ)的值为________.16. (1分) (2017高三上·泰州开学考) 已知,则函数y=2f2(x)﹣3f(x)+1的零点的个数为________个.三、解答题: (共7题;共60分)17. (10分)(2020·安徽模拟) 在中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且满足.(1)求A;(2)若,求的取值范围.18. (10分)(2019·衡阳模拟) 已知等差数列的前n项和为,且,.(1)求;(2)设数列的前n项和为,求证:.19. (10分) (2015高三上·和平期末) 在8件获奖作品中,有3件一等奖,有5件二等奖,从这8件作品中任取3件.(1)求取出的3件作品中,一等奖多于二等奖的概率;(2)设X为取出的3件作品中一等奖的件数,求随机变量X的分布列和数学期望.20. (5分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC 的中点.求证:(Ⅰ)CD⊥AE;(Ⅱ)PD⊥平面ABE.21. (10分) (2017高二下·邢台期末) 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2(a、b∈R)(1)若函数f(x)在x=1处有极值为10,求b的值;(2)若a=﹣4,f(x)在x∈[0,2]上单调递增,求b的最小值.22. (5分)已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(1+2sin2θ)=12,且曲线C的左焦点F在直线l上.(I)求实数m和曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点,求 + 的值.23. (10分) (2016高三上·烟台期中) 已知函数f(x)=log ()满足f(﹣2)=1,其中a为实常数.(1)求a的值,并判定函数f(x)的奇偶性;(2)若不等式f(x)>()x+t在x∈[2,3]上恒成立,求实数t的取值范围.参考答案一、选择题: (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题: (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题: (共7题;共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)及答案解析
2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)及答案解析河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={x|x2+x≥0},B={x|5x≥5},则A∩B=()A.{x|x≥0或x≤﹣1} B.{x|x≥﹣1} C.{x|x≥1} D.{x|x≥0}2.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=()A.﹣1 B.1 C.2 D.33.下列函数中既是奇函数又在区间,[﹣1,1]上单调递减的是()A.y=sinx B.y=﹣|x+1| C.D.y=(2x+2﹣x)4.下列说法错误的是()A.自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在线性回归分析中,相关系数r的值越大,变量间的相关性越强C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高D.在回归分析中,R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好5.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠,本题说它一共有7层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有381盏灯,问塔顶有几盏灯?你算出顶层有()盏灯.A.2 B.3 C.5 D.66.执行如图所示的程序框图,若输入x=2,则输出y的值为()A.23 B.11 C.5 D.27.双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直x轴,则双曲线的离心率为()A.B.C.1+D.1+8.已知实数x,y满足,则z=的最大值是()A.B.1 C.3 D.99.已知某几何体的三视图如图所示(图中数据单位:cm),则这个几何体的体积为()A.20cm3B.22cm3C.24cm3D.26cm310.在△ABC中,BC=7,cosA=,cosC=,若动点P满足=+(1﹣λ)(λ∈R),则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为()A.3B.4C.6D.1211.如图,在长方形ABCD中,AB=,BC=1,E为线段DC上一动点,现将△AED沿AE折起,使点D在面ABC上的射影K在直线AE 上,当E从D运动到C,则K所形成轨迹的长度为()A.B.C.D.12.已知函数f(x)=alnx﹣x2+bx存在极小值,且对于b的所有可能取值f(x)的极小值恒大于0,则a的最小值为()A.﹣e3B.﹣e2C.﹣e D.﹣二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..13.将函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称,则函数f(x)在[0,]上的最小值为______.14.若y3(x+)n(n∈N*)的展开式中存在常数项,则常数项为______.15.已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,S n是数列{a n}前n项的和,则的最小值为______.16.已知抛物线y2=4x,过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,M为抛物线的准线与x轴的交点,tan∠AMB=,则|AB|=______.三、解答题:本大题共5小题,满分60分,选做题3小题,考生任作一题,共10分17.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若=,且sin2A(2﹣cosC)=cos2B+,求角C的大小;(2)若△ABC为锐角三角形,且A=,a=2,求△ABC面积的取值范围.18.微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字,一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间情况,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名.其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如表:微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100(1)根据以上数据,能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关?(2)现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数;(3)从(2)中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装,记这3人中“微信控”的人数为X,试求X的分布列及数学期望.参考公式:,其中n=a+b+c+d.P(K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0)k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63519.在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且AB=AA1,∠A1AB=∠A1AD=60°(1)求证:平面A1BD⊥平面A1AC;(2)若BD=,A1D=2,求二面角A1﹣BD﹣B1的大小.20.已知椭圆C:的左、右焦点分别为F1(﹣c,0)、F2(c,0),P为椭圆C 上任意一点,且最小值为0.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)若动直线l2,l2均与椭圆C相切,且l1∥l2,试探究在x轴上是否存在定点B,使得点B到l1,l2的距离之积恒为1?若存在,请求出点B的坐标;若不存在,请说明理由.21.设函数f(x)=e x+ln(x+1)﹣ax.(1)当a=2时,判断函数f(x)在定义域内的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≥cosx恒成立,求实数a的取值范围.[选修4-1几何证明选讲]22.自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC,如图所示,其中割线PDC过圆心O.AB= OA,PD=,∠P=15°,(1)求∠PCB的大小;(2)分别球线段BC和PA的长度.[选修4-4坐标系与参数方程]23.已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20,将曲线C1:(α为参数)经过伸缩变换后得到C2(1)求曲线C2的参数方程;(2)若点M在曲线C2上运动,试求出M到曲线C的距离d的取值范围.[选修4-5不等式选讲]24.已知函数f(x)=|x﹣5|﹣|x+a|(1)当a=3时,不等式f(x)≥k+2的解集不是R,求k的取值范围;(2)若不等式f(x)≤1的解集为{x|x≥},求a的值.参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.集合A={x|x2+x≥0},B={x|5x≥5},则A∩B=()A.{x|x≥0或x≤﹣1} B.{x|x≥﹣1} C.{x|x≥1} D.{x|x≥0}【考点】交集及其运算.【分析】分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合A,B,然后利用交集运算得答案.【解答】解:由x2+x≥0,得x≤﹣1或x≥0,∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0},由5x≥5,得x≥1,∴B={x|5x≥5}={x|x≥1},∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}.故选:C.2.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=()A.﹣1 B.1 C.2 D.3【考点】复数代数形式的混合运算.【分析】先化简复数,再利用复数相等,解出a、b,可得结果.【解答】解:由得a+2i=bi﹣1,所以由复数相等的意义知a=﹣1,b=2,所以a+b=1 另解:由得﹣ai+2=b+i(a,b∈R),则﹣a=1,b=2,a+b=1.故选B.3.下列函数中既是奇函数又在区间,[﹣1,1]上单调递减的是()A.y=sinx B.y=﹣|x+1| C.D.y=(2x+2﹣x)【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.【解答】解:y=sinx是奇函数,但是,[﹣1,1]上单调增函数.y=﹣|x+1|不是奇函数,对于,因为f(﹣x)==﹣=﹣f(x),所以是奇函数,在[﹣1,1]上单调减函数,y=(2x+2﹣x)是偶函数,[﹣1,1]上单调递增.故选:C.4.下列说法错误的是()A.自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B.在线性回归分析中,相关系数r的值越大,变量间的相关性越强C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高D.在回归分析中,R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数.【分析】A根据相关关系的定义,判断命题A正确;B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1,线性相关性越强,判断命题B错误;C一组数据拟合程度的好坏,是残差点分布的带状区域宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高,判断命题C正确;D用相关指数R2刻画回归效果时,R2的值越大说明模型拟合效果越好,由此判断命题D正确.【解答】解:对于A,根据相关关系的定义,即可判断自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系,∴命题A正确;对于B,线性回归分析中,相关系数r的绝对值越接近1,两个变量的线性相关性越强,反之,线性相关性越弱,∴命题B错误;对于C,残差图中,对于一组数据拟合程度的好坏评价,是残差点分布的带状区域宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高,∴命题C正确;对于D,回归分析中,用相关指数R2刻画回归效果时,R2的值越大说明模型拟合效果越好,∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好,命题D正确.故选:B.5.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣:“远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠,本题说它一共有7层,每层悬挂的红灯数是上一层的2倍,共有381盏灯,问塔顶有几盏灯?你算出顶层有()盏灯.A.2 B.3 C.5 D.6【考点】等比数列的前n项和.【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得a的方程,解方程可得.【解答】解:设第七层有a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,∴由等比数列的求和公式可得=381,解得a=3,∴顶层有3盏灯,故选:B.6.执行如图所示的程序框图,若输入x=2,则输出y的值为()A.23 B.11 C.5 D.2【考点】程序框图.【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:第一次执行循环体后,y=5,不满足输出条件,故x=5,再次执行循环体后,y=11,不满足输出条件,故x=11,再次执行循环体后,y=23,满足输出条件,故输出的y值为23,故选:A.7.双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直x轴,则双曲线的离心率为()A.B.C.1+D.1+【考点】双曲线的简单性质.【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标,通过解直角三角形列出三参数a,b,c的关系,求出离心率的值.【解答】解:将x=c代入双曲线的方程=1(a>0,b>0)得y=,即M(c,).在△MF1F2中tan45°==1即,解得e==+1.故选:C.8.已知实数x,y满足,则z=的最大值是()A.B.1 C.3 D.9【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域要使z=最大,则x最小,y最大即可,利用数形结合进行求解即可.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:则x≥1,y≥1,要使z=的最大,则x最小,y最大即可,由图象知当z=经过点A时,z取得最大值,由,得x=1,y=3,即A(1,3),则z=的最大值是z==9,故选:D.9.已知某几何体的三视图如图所示(图中数据单位:cm),则这个几何体的体积为()A.20cm3B.22cm3C.24cm3D.26cm3【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图可知几何体是组合体:左边是三棱锥、右边是直四棱锥,由三视图求出几何元素的长度,由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积.【解答】解:根据三视图可知几何体是组合体:左边是三棱锥、右边是直四棱锥,直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形,高是3,由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形,直角边为1、4,由正视图得高即四棱锥的侧棱为3,∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20(cm3)故选:A.10.在△ABC中,BC=7,cosA=,cosC=,若动点P满足=+(1﹣λ)(λ∈R),则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为()A.3B.4C.6D.12【考点】轨迹方程.【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹,利用正弦定理解出AB,得出△ABC的面积,从而求出围成封闭区域的面积.【解答】解:设=.∵=+(1﹣λ)=+(1﹣λ).∴C,D,P三点共线.∴P点轨迹为直线CD.在△ABC中,sinA=.sinC=.由正弦定理得AB==.sinB=sin (A+C )=sinAcosC+cosAsinC==.∴S △ABC ==.∴S △ACD =S △ABC =.故选:B .11.如图,在长方形ABCD 中,AB=,BC=1,E 为线段DC 上一动点,现将△AED 沿AE 折起,使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上,当E 从D 运动到C ,则K 所形成轨迹的长度为()A .B .C .D .【考点】轨迹方程.【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知,若连接D'K ,则D'KA=90°,得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧,根据长方形的边长得到圆的半径,求得此弧所对的圆心角的弧度数,利用弧长公式求出轨迹长度.【解答】解:由题意,将△AED 沿AE 折起,使平面AED ⊥平面ABC ,在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ,K 为垂足,由翻折的特征知,连接D'K ,则D'KA=90°,故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧,根据长方形知圆半径是,如图当E 与C 重合时,AK==,取O 为AD ′的中点,得到△OAK 是正三角形.故∠K0A=,∴∠K0D'=,其所对的弧长为=,故选:D.12.已知函数f(x)=alnx﹣x2+bx存在极小值,且对于b的所有可能取值f(x)的极小值恒大于0,则a的最小值为()A.﹣e3B.﹣e2C.﹣e D.﹣【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】求函数的导数,根据函数存在极小值等价为f′(x)=﹣x+b=0有解,转化为一元二次方程,根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可.【解答】解:函数的定义域为(0,+∞),则函数的导数f′(x)=﹣x+b,若函数f(x)=alnx﹣x2+bx存在极小值,则f′(x)=﹣x+b=0有解,即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根,则,得b>2,(a<0),由f′(x)=0得x1=,x2=,分析易得f(x)的极小值点为x1,∵b>2,(a<0),∴x1==∈(0,),则f(x)极小值=f(x1)=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a,设g(x)=alnx+x2﹣a,x∈(0,),f(x)的极小值恒大于0等价为g(x)恒大于0,∵g′(x)=+x=<0,∴g(x)在(0,)上单调递减,故g(x)>g()=aln﹣a≥0,得ln≤,即﹣a≤e3,则a≥﹣e3,故a的最小值为是﹣e3,故选:A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷的横线上..13.将函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称,则函数f(x)在[0,]上的最小值为﹣.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【分析】根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,求得φ的值,可得函数的解析式,再利用正弦函数的定义域和值域,求得函数f(x)在[0,]上的最小值.【解答】解:将函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|<)的图象向左平移个单位后,得到y=sin(2x++φ)的图象,再根据所得图象关于原点对称,可得+φ=kπ,即φ=kπ﹣,k∈Z,又|φ|<,∴φ=﹣,f(x)=sin(2x﹣).∵x∈[0,],∴2x﹣∈[﹣,],故当2x﹣=﹣时,f(x)取得最小值为﹣,故答案为:﹣.14.若y3(x+)n(n∈N*)的展开式中存在常数项,则常数项为84 .【考点】二项式系数的性质.【分析】写出二项式(x+)n的展开式的通项,可得y3(x+)n 的展开式的通项,再由x,y的指数为0求得n,r的值,则答案可求.【解答】解:二项式(x+)n的展开式的通项为,则要使y3(x+)n(n∈N*)的展开式中存在常数项,需,即n=9,r=3.∴常数项为:.故答案为:84.15.已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,S n是数列{a n}前n项的和,则的最小值为 4 .【考点】等差数列的性质.【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d,代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n,代入利用分离常数法化简后,利用基本不等式求出式子的最小值.【解答】解:因为a1,a3,a13成等比数列,所以,又a1=1,所以(1+2d)2=1×(1+12d),解得d=2或d=0(舍去),所以a n=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,S n==n2,则====﹣2≥2﹣2=4,当且仅当时取等号,此时n=2,且取到最小值4,故答案为:4.16.已知抛物线y2=4x,过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点,M为抛物线的准线与x轴的交点,tan∠AMB=,则|AB|= 16 .【考点】抛物线的简单性质.【分析】设AB方程y=k(x﹣1),与抛物线方程y2=4x联立,利用tan∠AMB=,建立k的方程,求出k,即可得出结论.【解答】解:焦点F(1,0),M(﹣1,0),设AB方程y=k (x﹣1),设A(x1,y1),B(x2,y2)∵tan∠AMB=,∴=,整理可得2k(x1﹣x2)=(x1+1)(x2+1)+y1y2…(*)y=k(x﹣1),与y2=4x联立可得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0 可得x1x2=1,x1+x2=+2,y1y2=﹣4代入(*)可得2k(x1﹣x2)=?,∴x1﹣x2=,∴(+2)2﹣4=()2,∴k=±,∴x1+x2=+2=14,∴|AB|==16.故答案为:16.三、解答题:本大题共5小题,满分60分,选做题3小题,考生任作一题,共10分17.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若=,且sin2A(2﹣cosC)=cos2B+,求角C的大小;(2)若△ABC为锐角三角形,且A=,a=2,求△ABC面积的取值范围.【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】(1)利用正弦定理化简可得tanA=tanB,于是C=π﹣2A,代入sin2A(2﹣cosC)=cos2B+化简可求得A;(2)利用正弦定理用B表示出b,c,得到面积S关于B的函数,求出B的范围,得出S的范围.【解答】解:(1)∵,,∴tanA=tanB,∴A=B.∴C=π﹣2A.∵sin2A(2﹣cosC)=cos2B+,∴sin2A(2+cos2A)=cos2A+,即(1﹣cos2A)(2cos2A+1)=cos2A+,解得cos2A=,∵A+B+C=π,A=B,∴A,∴cosA=,∴A=,C=π﹣2A=.(2)由正弦定理得,∴b=2sinB,c=2sinC=2sin()=2sinB+2cosB.∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin(2B﹣)+1.∵△ABC为锐角三角形,∴,∴.∴<2B﹣<,∴2<sin(2B﹣)≤1+.∴△ABC面积的取值范围是(2,1+].18.微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字,一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间情况,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名.其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如表:微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100(1)根据以上数据,能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关?(2)现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数;(3)从(2)中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装,记这3人中“微信控”的人数为X,试求X的分布列及数学期望.参考公式:,其中n=a+b+c+d.P(K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0)k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用.【分析】(1)计算K2的值,与临界值比较,可得结论;(2)从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法,比例为3:2,选出5人赠送营养面膜1份,可得结论.(3)X的取值为1,2,3,再求出X取每一个值的概率,即可求得X的分布列和数学期望.【解答】解:(1)由题意,K2=≈0.65<0.708,∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关;(2)从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法,比例为3:2,选出5人赠送营养面膜1份,所抽取的5人中“微信控”有3人,“非微信控”的人数有2人;(3)X=1,2,3,则P(X=1)==0.3,P(X=2)==0.6,P(X=3)==0.1.X的分布列为:X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8.19.在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且AB=AA1,∠A1AB=∠A1AD=60°(1)求证:平面A1BD⊥平面A1AC;。
辽宁省2021年高考数学二模试卷(理科)(I)卷
辽宁省2021年高考数学二模试卷(理科)(I)卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分) (2015高二下·霍邱期中) 若复数z满足 =i,其中i为虚数单位,则z=()A . 1﹣iB . 1+iC . ﹣1﹣iD . ﹣1+i2. (2分)(2017·白山模拟) 若集合A={x∈N|﹣1<x<5},B={y|y=4﹣x,x∈A},则()A . A∪B={1,2,3}B . A=BC . A∩B={1,2,3}D . B⊆A3. (2分) (2017高三上·浦东期中) 下列四个命题中正确是()A . 函数y=ax(a>0且a≠1)与函数(a>0且a≠1)的值域相同B . 函数y=与y=的值域相同C . 函数与都是奇函数D . 函数y=与y=2x﹣1在区间[0,+∞)上都是增函数.4. (2分)执行如图所示的程序框图,输出的S值为A . -3B .C .D . 25. (2分) (2015高二上·湛江期末) 已知圆锥曲线mx2+4y2=4m的离心率e为方程2x2﹣5x+2=0的两根,则满足条件的圆锥曲线的条数为()A . 1B . 2C . 3D . 46. (2分)(2020·淮北模拟) 2020年高校招生实施强基计划,其主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生,聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域,有36所大学首批试点强基计划某中学积极应对,高考前进行了一次模拟笔试,甲、乙、丙、丁四人参加,按比例设定入围线,成绩公布前四人分别做猜测如下:甲猜测:我不会入围,丙一定入围;乙猜测:入围者必在甲、丙、丁三人中丙猜测:乙和丁中有一人入围;丁猜测:甲的猜测是对的成绩公布后,四人中恰有两人预测正确,且恰有两人入围,则入围的同学是()A . 甲和丙B . 乙和丁C . 甲和丁D . 乙和丙7. (2分)数列的前n项和为,则的前50项的和为()A . 49B . 50C . 99D . 1008. (2分)(2017·晋中模拟) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为()A . 6π+1B .C .D .9. (2分) (2020高三上·稷山月考) 抛物线C:y2=4x的焦点为F,P,R为C上位于F右侧的两点,若四边形PFRQ为正方形,则|PF|=()A . 4+2B . 4-2C . -2+2D . 2+210. (2分)除以88的余数是()A . -1B . -87C . 1D . 8711. (2分)设变量x,y满足约束条件,且目标函数的最小值为-7,则a的值为()A . -2B . -4C . -1D . 112. (2分)函数y= 的极小值为()A .B . 0C .D . 1二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分)已知向量=(1,2),=(1,0),=(3,4),若λ为实数,(+λ)⊥,则λ的值为________14. (1分)五位同学围成一圈依次循环报数,规定:第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;若报出的数为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次,当第20个数被报出时,五位同学拍手的总次数为________.15. (1分)函数f(x)=cos2x+sinx(x∈(,π)的值域是________.16. (1分) (2016高一上·浦城期中) 给出下列结论:①y=x2+1,x∈[﹣1,2],y的值域是[2,5];②幂函数图象一定不过第四象限;③函数f(x)=loga(2x﹣1)﹣1的图象过定点(1,0);④若loga >1,则a的取值范围是(,1);⑤函数f(x)= + 是既奇又偶的函数;其中正确的序号是________.三、解答题 (共7题;共50分)17. (5分)(2020·南昌模拟) 如图,D是在△ABC边AC上的一点,△BCD面积是△ABD面积的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ .(Ⅰ)若θ= ,求的值;(Ⅱ)若BC=4,AB=2 ,求边AC的长.18. (5分) (2018高三上·昭通期末) 某研究机构为了解中学生的学习习惯,对某校高中部和初中部学生分别进行了抽样调查,调查结果如下表所示:有自学习惯没有自学习惯合计高中学生18060240初中学生6040100合计240100340(I)根据表中数据,能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为是否有自学习惯与是初中生还是高中生有关;(II)用样本估计总体,从该校有自学习惯的学生中,随机抽取4人,记其中高中生人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).参考公式附表:P(K2≥氏)0.150.100.050.0250.0100.0050.001‰ 2.072 2.706 3.8415,024 6.6357.87910.82819. (5分) (2017高二下·扶余期末) 如图,四棱锥中,平面,,四边形是边长为2的菱形,,分别为和的中点.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)求四面体的体积.20. (10分)(2017·太原模拟) 已知椭圆C:的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点,点D 在椭圆C上,直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点,与x轴、y轴分别相交于点N 和M,且PM=MN,点Q是点P关于x轴的对称点,QM的延长线交椭圆于点B,过点A、B分别作x轴的垂涎,垂足分别为A1、B1(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在直线l,使得点N平分线段A1B1?若存在,求求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.21. (15分) (2016高一上·温州期中) 函数f(x)= 是定义在区间(﹣1,1)上的奇函数,且f(2)= ,(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义法证明f(x)在区间(﹣1,1)上是增函数;(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.22. (5分)己知抛物线y=x2+m的顶点M到直线l:(t为参数)的距离为1(Ⅰ)求m:(Ⅱ)若直线l与抛物线相交于A,B两点,与y轴交于N点,求|S△MAN﹣S△MBN|的值.23. (5分) (2019高二下·九江期末) 设函数().(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)求证: ,并求等号成立的条件.参考答案一、选择题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题;共50分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。
2020-2021学年辽宁省沈阳市和平区东北育才本部九年级分流考第二次数学模拟试卷(解析版)
2020-2021学年辽宁省沈阳市和平区东北育才本部九年级分流考第二次数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答,在试题卷上答题无效.3.作图可先使用2B 铅笔画出,确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑.一.选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.下列各数:,0,,0.2,cos60°,,0.303003…,中有理数个数为()A.3个B.4个C.5个D.6个2.今年肆虐全球的新冠肺炎(COVID﹣19)被世界卫生组织(WHO)标识为“全球大流行病”,它给全球人民带来了巨大的灾难.冠状病毒的直径约80﹣120nm,1nm为十亿分之一米,即10﹣9m.将120nm用科学记数法表示正确的是()米.A.1.2×10﹣7B.1.2×10﹣8C.120×10﹣9 D.12×10﹣83.一个圆柱体钢块,正中央被挖去了一个长方体孔,其俯视图如图所示.则此圆柱体钢块的主视图可能是下列选项中的()A.B.C.D.4.已知关于x,y的方程组的解都为非负数,若a+b=4,W=3a﹣2b,则W 的最小值为()A.2B.1C.﹣3D.﹣55.一组数据:5,3,4,x,2,1的平均数是3,则这组数据的方差是()A.B.C.10D.6.如图,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°至矩形AEFG,点D的旋转路径为,若AB=2,BC=4,则阴影部分的面积为()A.B.C.D.7.如果关于x的不等式组有且只有三个整数解,且关于x的方程2+a=3(4﹣x)有整数解,那么符合条件的所有整数a的和为()A.﹣5B.﹣6C.﹣9D.﹣138.若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3﹣m,n)、D(,y2)、E(2,y3)五点,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1<y3<y2B.y1<y2<y3C.y2<y3<y1D.y3<y2<y19.以AB=10为直径的⊙O中,定点C和动点P位于AB的两侧,且BC:AC=4:3,动点P在(不含A、B)上运动,CP⊥CQ与PB的延长线交于点Q.下面说法错误的是()A.当P点运动到的中点时,,B.当PC为⊙O的直径时,CQ最长C.动点P在运动过程中,∠Q是定值D.动点P在运动过程中,△ABC有可能与△PCQ全等10.如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=2,动点P从点A出发向终点D运动,连BP,并过点C作CH⊥BP,垂足为H.①△ABP∽△HCB;②AH的最小值为﹣;③在运动过程中,BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积;④在运动过程中,点H的运动路径的长为π,其中正确的有个()个.A.1B.2C.3D.4二、填空题(共8小题,每小题3分,共24分。
2020-2021学年辽宁省实验中学高三(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2020-2021学年辽宁省实验中学高三(上)月考数学试卷(10月份)一、单选题(本大题共10小题,共50.0分)1. 集合A ={x|y =√2x −1},B ={x|x 2−5x −6<0},则∁R (A ∩B)=( )A. {x|x <2或x >3}B. {x|x ≤2或x ≥3}C. {x|x <12或x ≥6}D. {x|x ≤12或x >6}2. 下列命题正确的是( )A. 若a <b ,则ac 2<bc 2B. 若a >b ,则1a <1b C. 若a >b ,c >d ,则ac >bdD. 若1ab 2<1a 2b ,则a <b3. 已知q :∀x ∈[−2,3),x 2<9,则¬q 为( )A. ∃x ∈[−2,3),x 2<9B. ∃x ∉[−2,3),x 2<9C. ∃x ∈[−2,3),x 2≥9D. ∃x ∉[−2,3),x 2≥94. 已知函数f(x)={(13)x ,x ≥3f(x +1),x <3,则f(2+log 32)的值为( )A. −227B. 154C. 227D. −545. 函数y =f(x +1)为偶函数且满足f(x)+f(−x)=0,x ∈[0,1]时,f(x)=x 3,则f(985)=( )A. 1B. −1C. 9853D. −98536. 甲、乙、丙三位同学被调查是否去过A 、B 、C 三个城市,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市;乙说:我没去过C 城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为( )A. AB. BC. CD. A 和B7. 已知函数f(x)=ln(e x +1)−12x ,下列选项正确的是( )A. 奇函数,在(−1,1)上有零点B. 奇函数,在(−1,1)上无零点C. 偶函数,在(−1,1)上有零点D. 偶函数,在(−1,1)上无零点8. 如图,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为( )尺.A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.89.下列命题正确的是()A. x+1x≥2恒成立B. √a2+4+1√a2+4的最小值为2C. m,n都是正数时,(m+1m )(n+1n)最小值为4D. a>0,b>0是b3a +3ab≥2的充要条件10.函数y=lncosx(−π2<x<π2)的图象是()A. B.C. D.二、多选题(本大题共2小题,共10.0分)11.为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况,加强垃圾分类宣传的针对性,指导市民尽快掌握垃圾分类的方法,某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了有害垃圾错误分类重量累积统计图,图中横轴表示时间(单位:周),纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量(单位:吨).根据图形分析,下列结论正确的是()A. 第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量加速增长B. 第3周和第4周有害垃圾错误分类的重量匀速增长C. 第5周和第6周有害垃圾错误分类的重量相对第3周和第4周增长了30%D. 第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量相对第1周和第2周减少了1.8吨12.已知当x>0时,f(x)=−2x2+4x,x≤0时,y=f(x+2),以下结论正确的是()A. f(x)在区间[−6,−4]上是增函数B. f(−2)+f(−2021)=2C. 函数y=f(x)周期函数,且最小正周期为2<k<4−2√2或k=2√2−4D. 若方程f(x)=kx+1恰有3个实根,则12三、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13.命题“∃x∈R,2x2−3ax+9<0”为假命题,则实数a的取值范围为______.14.函数f(x)=x2sinx−2,则f(2021)+f(−2021)=______ .15.有一支队伍长L米,以一定的速度匀速前进,排尾的传令兵因传达命令赶赴排头,到达排头后立即返回,且往返速度不变,如果传令兵回到排尾后,整个队伍正好前进了L米,则传令兵所走的路程为______ .16.若集合A1,A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一个分拆,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆,则集合A={−1,0,2}的不同分拆种数是______ .四、解答题(本大题共6小题,共70.0分)+a,x>−1}.17.已知集合A={x|y=log2(4−2x)+1},B={y|y=x+1x+1(1)求集合A和集合B;(2)若“x∈∁R B”是“x∈A”的必要不充分条件,求a的取值范围.18.已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m−1.(Ⅰ)若m=0,求f(x)在[−3,0]上的最大值和最小值;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)在[0,1]上有一个零点,求实数m的取值范围.19.已知函数f(x)为偶函数,x≥0时,f(x)=x2+4x.(1)求f(x)解析式;(2)若f(2a)<f(1−a),求a的取值范围.20.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺,某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴,并以每套80元的价格收购其生产的全部防)(万护服.A公司在收到政府x(万元)补贴后,防护服产量将增加到t=k⋅(6−12x+4件),其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1]).A公司生产t万件防护服还需投入成本(20+9x+50t)(万元).(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入);(2)在复工率为k时,政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大?(3)对任意的x∈[0,10](万元),当复工率k达到多少时,A公司才能不产生亏损?(精确到0.01).21.已知函数f(x)=−x|x−2a|+1(x∈R).(1)当a=1时,求函数y=f(x)的零点;),求函数y=f(x)在x∈[1,2]上的最大值.(2)当a∈(0,3222.若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立,则称函数f(x)在其定义域D上是“k−利普希兹条件函数”﹒(1)举例说明函数f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”;(2)若函数f(x)=√x(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”,求常数k的最小值;(3)若存在常数k(k>0),使得对定义域D内的任意x1,x2(x1≠x2),都有|f(x1)−f(x2)|>k|x1−x2|成立,则称函数f(x)在其定义域D上是“非k−利普希兹条件函数”.若函数f(x)=log2(2x−a)为[1,2]上的“非1−利普希兹条件函数”,求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】解:集合A={x|y=√2x−1}={x|x≥12},B={x|x2−5x−6<0}={x|−1< x<6},所以A∩B={x|12≤x<6},则∁R(A∩B)={x|x<12或x≥6}.故选:C.先求出集合A,B,然后利用集合交集与补集的定义求解即可.本题考查了集合的运算,主要考查了集合交集与补集定义的运用,涉及了函数定义域的求解以及一元二次不等式的解法,属于基础题.2.【答案】D【解析】解:对于A,若c=0,则ac2=bc2,故A错误;对于B,若a>0>b,则1a >1b,故B错误;对于C,若a>b,c>d,取a=2,b=1,c=−1,d=−2,此时ac=bd,故C错误;对于D,若1ab2<1a2b,则a2b2>0,所以a2b2⋅1ab2<a2b2⋅1a2b,即a<b,故D正确.故选:D.由不等式的性质逐一判断即可.本题主要考查不等式的基本性质,考查逻辑推理能力,属于基础题.3.【答案】C【解析】解:命题q:∀x∈[−2,3),x2<9,则¬q:∃x∈[−2,3),x2≥9.故选:C.根据全称命题的否定是存在量词命题,写出对应的命题即可.本题考查了全称命题的否定是存在量词命题应用问题,是基础题.4.【答案】B【解析】解:∵2+log 31<2+log 32<2+log 33,即2<2+log 32<3 ∴f(2+log 32)=f(2+log 32+1)=f(3+log 32) 又3<3+log 32<4∴f(3+log 32)=(13)3+log 32=(13)3×(13)log 32=127×(3−1)log 32=127×3−log 32=127×3log 312=127×12=154∴f(2+log 32)=154故选B先确定2+log 32的范围,从而确定f(2+log 32)的值本题考查指数运算和对数运算,要求能熟练应用指数运算法则和对数运算法则.属简单题5.【答案】A【解析】解:根据题意,函数y =f(x +1)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x =1对称,则有f(−x)=f(x +2),又由f(x)满足f(x)+f(−x)=0,即f(−x)=f(x +2), 则有f(x +2)=−f(x),综合可得:f(x +4)=−f(x +2)=f(x),f(x)是周期为4的函数, 则f(985)=f(1+4×246)=f(1)=1, 故选:A .根据题意,分析可得f(x +4)=f(x),则f(x)是周期为4的函数,据此可得f(985)=f(1),结合函数的解析式计算可得答案.本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,涉及函数的周期性,属于基础题.6.【答案】A【解析】解:由乙说:我没去过C 城市,则乙可能去过A 城市或B 城市,但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市,则乙只能是去过A ,B 中的任一个, 再由丙说:我们三人去过同一城市, 则由此可判断乙去过的城市为A . 故选:A .可先由乙推出,可能去过A 城市或B 城市,再由甲推出只能是A ,B 中的一个,再由丙即可推出结论.本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.7.【答案】D【解析】解:根据题意,函数f(x)=ln(e x +1)−12x =ln(√e x+1√ex),其定义域为R ,有f(−x)=ln(√e x+1√ex)=f(x),即函数f(x)为偶函数,设t =√e x+1√ex ,在区间[0,1)上,t =√e x+1√ex>2且是增函数,而y =lnt ,在(2,+∞)上为增函数,则f(x)在区间[0,1)上为增函数,又由f(0)=ln2>0,则在区间[0,1)上,f(x)≥f(0)>0恒成立,故f(x)在区间[0,1)上没有零点,又由f(x)为偶函数,则f(x)在(−1,1)上无零点; 故选:D .根据题意,先分析函数的奇偶性,再设t =√e x+1√ex,则y =lnt ,利用复合函数的单调性判断方法可得f(x)在区间[0,1)上为减函数,求出f(1)的值,分析可得区间[0,1)上没有零点,结合函数的奇偶性分析可得答案.本题考查函数奇偶性的性质以及应用,涉及函数零点的判断,属于基础题、8.【答案】B【解析】解:如图,已知AC +AB =10(尺),BC =3(尺),AB 2−AC 2=BC 2=9,所以(AB +AC)(AB −AC)=9,解得AB −AC =0.9, 因此{AB +AC =10AB −AC =0.9,解得{AB =5.45AC =4.55,故折断后的竹干高为4.55尺,故选:B.由题意可得AC+AB=10(尺),BC=3(尺),运用勾股定理和解方程可得AB,AC,即可得到所求值.本题考查三角形的勾股定理的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题.9.【答案】C【解析】解:x+1x≥2恒成立,不成立,因为x可以小于0,所以A不正确;√a2+4√a2+4的最小值大于2,所以B不正确;m,n都是正数时,(m+1m )(n+1n)≥2√m⋅1m⋅2⋅√n⋅1n=4,当且仅当m=n=1,表达式取得最小值为4,所以C正确;a>0,b>0是b3a +3ab≥2的充分不必要条件,所以D不正确;故选:C.利用基本不等式,判断选项的正误即可.本题考查命题的真假的判断与应用,基本不等式的应用,是基础题.10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合函数的图象识别.属于基础题.利用函数y=lncosx(−π2<x<π2)的奇偶性可排除一些选项,利用函数值与0的关系可排除一些选项.从而得以解决.【解答】解:∵cos(−x)=cosx,∴y=lncosx(−π2<x<π2)是偶函数,可排除B、D,由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C,故选:A.11.【答案】ABD【解析】对于A ,第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量明显增多,是加速增长,故A 正确;对于B ,第3周和第4周有害垃圾错误分类的重量图象是线段,是匀速增长,故B 正确; 对于C ,第5周和第6周有害垃圾错误分类的重量相对第3周和第4周是减少,故C 错误;对于D ,第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量增长0.6吨, 第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量增长2.4吨,∴第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量相对第1周和第2周减少了1.8吨,故D 正确. 故选:ABD .由分段函数图象,能够读出各段上y 对于x 变化状态,由此能求出结果.本题考查命题真假的判断,考查折线图等基础知识,考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养,是基础题.12.【答案】BD【解析】解:x ≤0时,y =f(x +2),∴f(x)在x ≤0时的图象以2为周期进行循环,如下图所示,由图象可知,f(x)在区间[−6,−4]上先增后减,所以A 错误; f(−2)+f(−2021)=f(0)+f(1)=0+2=2,所以B 正确;当x >0时,f(x)=−2x 2+4x ,f(3)≠f(1),所以y =f(x)不是以2为周期的周期函数,所以C 错误;y =kx +1恒过(0,1),由图象可知,直线与f(x)交点只可能在x ∈(−2,0)或x ∈(0,+∞)处取到,x ∈(−2,0)时,f(x)=−2x 2−4x ,∴{−k =2x +1x +4,−2<x <0−k =2x +1x −4,x >0,即y =−k 和g(x)={2x +1x +4,−2<x <02x +1x−4,x >0交点个数为3,画出g(x)图象,如下图所示,x ∈(−2,0)时,g(x)最大值为4−2√2,g(−2)=−12,x ∈(0,2)时,g(x)最小值为2√2−4, ∴y =−k 和y =g(x)要有3个交点,满足−k =4−2√2或2√2−4<−k <−12, 解得12<k <4−2√2或k =2√2−4,所以D 正确. 故选:BD .画出图象,即可判断A ;由x >0时,f(x)=−2x 2+4x ,x ≤0时,y =f(x +2),即可判断BC ;参变分离得{−k =2x +1x +4,−2<x <0−k =2x +1x −4,x >0,即可判断D . 本题考查了函数的图象与性质,函数零点问题,D 选项较难下手,属于难题.13.【答案】[−2√2,2√2]【解析】解:原命题的否定为“∀x ∈R ,2x 2−3ax +9≥0”,且为真命题, 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立, 只需△=9a 2−4×2×9≤0,解得:−2√2≤a ≤2√2. 故答案为:[−2√2,2√2]根据题意,原命题的否定“∀x ∈R ,2x 2−3ax +9≥0”为真命题,也就是常见的“恒成立”问题,只需△≤0.存在性问题在解决问题时一般不好掌握,若考虑不周全、或稍有不慎就会出错.所以,可以采用数学上正难则反的思想,去从它的反面即否命题去判定.注意“恒成立”条件的使用.14.【答案】−4【解析】解:根据题意,函数f(x)=x2sinx−2,则f(−x)=−x2sinx−2,则f(x)+f(−x)=−4,则有f(2021)+f(−2021)=−4,故答案为:−4.根据题意,求出f(−x)的解析式,分析可得f(x)+f(−x)=−4,据此分析可得答案.本题考查函数值的计算,涉及函数奇偶性的性质以及应用,属于基础题.15.【答案】(√2+1)L.【解析】解:设传令兵的速度为V1,队伍的速度为V2,传令兵从队尾到队头的时间为t1,从队头到队尾的时间为t2,队伍前进用时间为t.由传令兵往返总时间与队伍运动时间相等可得如下方程:t=t1+t2,即:LV2=LV1−V2+LV1+V2整理上式得:V12−2V1V2−V22=0解得:V1=(√2+1)V2;将上式等号两边同乘总时间t,即V1t=(√2+1)v2tV1t即为传令兵走过的路程S1,V2t即为队伍前进距离S2,则有S1=(√2+1)S2=(√2+1)L.故答案为:(√2+1)L.以队伍为参照物,可求传令兵从队尾往队头的速度,从队头往队尾的速度,利用速度公式求传令兵从队尾到队头的时间t1,传令兵从队头到队尾的时间为t2,队伍前进100用的时间t,而t=t1+t2,据此列方程求出V1、V2的关系,进而求出在t时间内通讯员行走的路程.本题考查路程的计算,关键是计算向前的距离和向后的距离,难点是知道向前的时候人和队伍前进方向相同,向后的时候人和队伍前进方向相反,解决此类问题常常用到相对运动的知识.16.【答案】27【解析】解:因为集合A中有三个元素,当A1=⌀时,必须A2=A,分拆种数为1;当A1有一个元素时,分拆种数为C31⋅2=6;当A1有2个元素时,分拆种数为C32⋅22=12;当A1=A时,分拆种数为C33⋅23=8.所以总的不同分拆种数为1+6+12+8=27种.故答案为:27.由题意中的定义,分A1=⌀,A1有一个元素,A1有2个元素,A1=A四种情况,分别求出分拆种数,即可得到答案.本题考查了新定义问题,解决此类问题,关键是读懂题意,理解新定义的本质,把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中,运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可,属于中档题.17.【答案】解:(1)集合A={x|y=log2(4−2x)+1}={x|4−2x>0}={x|x<2},B={y|y=x+1x+1+a,x>−1}={x|x+1+1x+1+a−1≥2√(x+1)⋅1x+1+a−1=a+1}={x|x≥a+1}.(2)∵集合A={x|x<2},B={x|x≥a+1}.∴∁U B={x|x<a+1},∵“x∈∁R B”是“x∈A“的必要不充分条件,∴x<2⇒x<a+1,∴a+1>2,解得a>1.∴a的取值范围是(1,+∞).【解析】(1)利用对数函数的定义域能求出集合A,利用均值定理能求出集合B.(2)推导出x<2⇒x<a+1,由此能求出a的取值范围.本题考查集合、实数的取值范围的求法,对数函数的定义域、均值定理、必要不充分条件等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.18.【答案】解:(1)当m =0时,f(x)=2x 2−1,可知函数f(x)图象在[−3,0]上单调递减,∴f(x)min =f(0)=−1,f(x)max =f(−3)=17;(2)由f(0)=0得m =12.由f(1)=0得m =−18≠12,∴m =12或−18成立; 由f(0)f(1)<0得(2m −1)(8m +1)<0,解得:−18<m <12; 综上:满足条件的m 的取值范围是:[−18,12].【解析】(1)结合函数f(x)图象可求f(x)在[−3,0]上的最大值和最小值; (2)根据f(0)f(1)<0,再验证f(0)=0及f(1)=0,可求得m 范围. 本题考查二次函数图象性质,考查数学运算能力,属于中档题.19.【答案】解:(1)根据题意,设x <0,则−x >0,则有f(−x)=x 2−4x ,又由f(x)为偶函数,则f(x)=f(−x)=x 2−4x , 则f(x)={x 2+4x,x ≥0x 2−4x,x <0;(2)由函数f(x)为偶函数可知f(2a)<f(1−a)⇔f(|2a|)<f(|1−a|),由(1)知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,∴|2a|<|1−a|,得(2a)2<(1−a)2,解得:a ∈(−1,13).【解析】(1)令x >0,则−x <0,再根据函数为偶函数可求得解析式;(2)由函数f(x)为偶函数可知f(2a)<f(1−a)⇔f(|2a|)<f(|1−a|),可求得a 的取值范围.本题考查函数奇偶性的性质以及应用、函数解析式求法、考查数学运算能力及数学抽象能力,属于中档题.20.【答案】解:(1)y =x +80t −(20+9x +50t)=30t −20−8x =30k ⋅(6−12x+4)−20−8x =180k −360k x+4−8x −20,x ∈[0,10];(2)y=180k−360kx+4−8x−20=180k+12−8[(x+4)+45kx+4],因为x∈[0,10],所以4≤x+4≤14,则(x+4)+45kx+4≥6√5√k,当且仅当x+4=45kx+4,即x=3√5√k−4时取“=”,因为k∈[0.5,1],则3√102−4≤3√5√k−4≤3√5−4,即有3√5√k−4∈[0,10],所以y≤180k+12−48√5√k,即当政府补贴为3√5√k−4万元才能使A公司的防护服利润达到最大,最大为180k+ 12−48√5√k;(3)若对任意的x∈[0,10],公司都不产生亏损,则180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立,即180k≥(8x+20)(x+4)x+2,记m=x+2,则m∈[2,12],此时(8x+20)(x+4)x+2=(8m+4)(m+2)m=8m2+20m+8m=8m+8m+20,由于函数f(m)=8m+8m+20在[2,12]单调递增,所以当m∈[2,12]时,f max(m)=f(12)=11623,∴k≥1162 3180≈0.65即k≥0.65,即当工厂工人的复工率达到0.65时,对任意的x∈[0,10],公司都不产生亏损.【解析】(1)利用已知条件列出函数的解析式,写出定义域即可.(2)由y的解析式得到y=180k+12−8[(x+4)+45kx+4],根据x的范围得到(x+4)+45k x+4≥6√5√k,结合k的范围可得3√102−4≤3√5√k−4≤3√5−4,即可求得答案(3)若对任意的x∈[0,10],公司都不产生亏损,得到180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立,利用换元法,结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果.本题考查实际问题的处理方法,函数的单调性以及函数的解析式的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.21.【答案】解:(1)当a=1时,令−x|x−2|+1=0.当x≥2时,−x(x−2)+1=0,解得:x=1+√2;当x<2时,−x(x−2)+1=0,解得:x=1.故函数零点为:1+√2和1;(2)f(x)={−x 2+2ax +1,x ≥2ax 2−2ax +!,x <2a ,其中f(0)=f(2a)=1,于是最大值在f(1),f(2),f(2a)中取.得0<2a ≤1,即0<a ≤12时,f(x)在[1,2]上单调递减.∴f(x)max =f(1)=2a ; 当a <1<2a <2,即12<a <1时,f(x)在[1,2a]上单调递增,在[2a,2]上单调递减,故f(x)max =f(2a)=1;当1≤a <2<2a ,即1≤a <2时,f(x)在[1,a]上单调递减,在[a,2]上单调递增,故f(x)max =max{f(1),f(2)},∵f(1)−f(2)2a −3<0,故f(x)max =f(2)=5−4a .综上:f(x)max={2a,0<a ≤12,1,12<a <1,5−4a,1≤a <32..【解析】(1)求函数零点转化为解方程可解决此问题; (2)根据a 讨论函数图象,根据图象特点可求函数最大值. 本题考查函数零点与最值,考查数学运算能力,属于难题.22.【答案】解:(1)f(x)=log 2x 的定义域为(0,+∞),令x 1=12,x 2=14,则f(12)−f(14)=log 212−log 214=−1−(−2)=1, 而2|x 1−x 2|=12,∴f(x 1)−f(x 2)>2|x 1−x 2|,∴函数f(x)=log 2x 不是“2−利普希兹条件函数”;(2)若函数f(x)=√x(1≤x ≤4)是“k −利普希兹条件函数”,则对于定义域[1,4]上任意两个x 1,x 2(x 1≠x 2),均有|f(x 1)−f(x 2)|≤k|x 1−x 2|成立,不妨设x 1>x 2,则k ≥√x 1−√x 2x 1−x2=√x +√x 恒成立,∵1≤x 2<x 1≤4, ∴14<√x +√x <12,∴k 的最小值为12;(3)∵|f(x 1)−f(x 2)|>k|x 1−x 2|,f(x)=log 2(2x −a)为[1,2]上的“非1−利普希兹条件函数”,∴设x 1>x 2,则|log 2(2x 1−a)−log 2(2x 2−a)|>|x 1−x 2|,∵2x1−a>0,2x2−a>0,且2x1−a2x2−a>1,∴2x1−a2x2−a >2x1−x2=2x12x2,∴2x1+x2−a⋅2x2>2x1+x2−a⋅2x1,∴a⋅2x1>a⋅2x2,∵x1>x2,∴a>0,∵2x−a>0,∴a<2x,∵x∈[1,2],∴a<2,综上,实数a的取值范围为(0,2).【解析】(1)令x1=12,x2=14,即可说明f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”;(2)依题意,k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x恒成立,而14<√x+√x<12,由此可得k的最小值;(3)由题意可得,a⋅2x1>a⋅2x2,结合x1>x2,可得a>0,由2x−a>0,x∈[1,2],可得a<2,综合即得答案.本题以新定义为背景,考查函数性质的运用,考查不等式的恒成立问题,考查分离变量法以及运算求解能力,属于中档题.。
2024年辽宁省大连育明高级中学高考数学二模试卷+答案解析
2024年辽宁省大连育明高级中学高考数学二模试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知m,,集合,集合,若,则()A.1B.2C.或1D.2.设,则“”是“复数为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.某单位有男职工60人,女职工40人,其中男职工平均年龄为35岁,方差为6,女职工平均年龄为30岁,方差是1,则该单位全体职工的平均年龄和方差分别是()A.,B.33,7C.33,10D.,44.若,则()A.1B.2C.3D.45.过点P作圆C:的两条切线,切点分别为A,B,若为直角三角形,O为坐标原点,则的取值范围为()A. B.C. D.6.已知函数若关于x的方程在上有解,则实数m 的取值范围是()A. B. C. D.7.已知双曲线C:的左,右焦点分别为,,A为C的左顶点,以为直径的圆与C的一条渐近线交于P,Q两点,且,则双曲线C的离心率为()A. B. C. D.8.设,,,,则()A. B. C. D.二、多选题:本题共3小题,共18分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知抛物线C:的焦点为F,O为坐标原点,其准线与x轴交于点M,经过点M的直线l与抛物线交于不同两点,,则下列说法正确的是()A.B.存在C.不存在以AB为直径且经过焦点F的圆D.当的面积为时,直线l的倾斜角为或10.在棱长为2的正方体中,M为中点,N为四边形内一点含边界,若平面BMD,则下列结论正确的是()A. B.三棱锥的体积为C.点N的轨迹长度为D.的取值范围为11.已知函数及其导函数的定义域均为R,若是奇函数,,且对任意x,,,则()A. B. C. D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开,现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作,若小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有______种.13.如图,圆柱的轴截面为矩形ABCD,点M,N分别在上、下底面圆上,,,,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为______.14.在中,三边a,b,c所对应的角分别是A,B,C,已知a,b,c成等比数列.若,数列满足,前n项和为,______.四、解答题:本题共5小题,共77分。
2020-2021学年高三数学(文科)高三毕业4月份联考检测试题及答案解析
最新高三(下)4月联考数学试卷(文科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则(∁U A)∩B=()A.{2} B.{4,6} C.{l,3,5} D.{4,6,7,8}2.复数=()A.1+3i B.﹣1﹣3i C.﹣1+3i D.1﹣3i3.下列有关命题的说法正确的是()A.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件B.若p:.则¬p:∀x∈R,x2﹣x﹣1<0C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题D.“若,则”的否命题是“若,则”4.若点(sin,cos)在角α的终边上,则sinα的值为()A.B. C.D.5.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号001,002,…,699,700.从中抽取70个样本,如图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第5个样本编号是()A.607 B.328 C.253 D.0076.若数列{a n}满足﹣=d(n∈N*,d为常数),则称数列{a n}为调和数列.已知数列{}为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=()A.10 B.20 C.30 D.407.已知函数图象过点,则f(x)图象的一个对称中心是()A.B.C.D.8.如图,网格纸上正方形小格的边长为1cm,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积为()A.20πcm3B.16πcm3C.12πcm3D.9.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n的值为()(参考数据:≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)A.12 B.24 C.36 D.4810.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为2,且,且||=||,则向量在方向上的投影为()A.B.3 C.D.﹣311.过椭圆+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若0<k<,则椭圆的离心率的取值范围是()A.(0,)B.(,1)C.(0,)D.(,1)12.已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同,则a∈(0,+∞)时,实数b的最大值是()A.B. C.D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知函数f(x)=,则f[f()]= .14.已知A,B,C点在球O的球面上,∠BAC=90°,AB=AC=2.球心O到平面ABC的距离为1,则球O的表面积为.15.已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=2,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则|PC|的最大值为.16.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,sinA+sinB﹣4sinC=0,且△ABC的周长L=5,面积S=﹣(a2+b2),则cosC= .三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列{a n}为等差数列,a2=3,a4=7;数列{b n}为公比为q(q>1)的等比数列,且满足集合{b1,b2,b3}={1,2,4}.(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{a n+b n}的前n项和S n.18.某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试,分数分布如表,若成绩120分以上(含120分)为优秀.分数区间甲班频率乙班频率[0,30)0.1 0.2[30,60)0.2 0.2[60,90)0.3 0.3[90,120)0.2 0.2[120,150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P(K2≥k0)(Ⅰ)求从乙班参加测试的90分以上(含90分)的同学中,随机任取2名同学,恰有1人为优秀的概率;(Ⅱ)根据以上数据完成上面的2×2列联表:在犯错概率小于0.1的前提下,你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关?19.如图所示的多面体中,ABCD是菱形,BDEF是矩形,ED⊥面ABCD,.(1)求证:平面BCF∥面AED;(2)若BF=BD=a,求四棱锥A﹣BDEF的体积.20.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=25,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A,B两点,已知OA,OB的斜率互为相反数,求直线AB的斜率.21.已知函数f(x)=lnx﹣mx2,g(x)=mx2+x,m∈R,令F(x)=f(x)+g(x).(Ⅰ)当时,求函数f(x)的单调区间及极值;(Ⅱ)若关于x的不等式F(x)≤mx﹣1恒成立,求整数m的最小值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,在△ABC中,DC⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE交DC于点F,若BF=FC=3,DF=FE=2.(1)求证:AD•AB=AE•AC;(2)求线段BC的长度.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是2ρsin(θ+)=3,射线OM:θ=与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.[选修4-5:不等式选讲]24.已知f(x)=2|x﹣2|+|x+1|(1)求不等式f(x)<6的解集;(2)设m,n,p为正实数,且m+n+p=f(2),求证:mn+np+pm≤3.高三(下)4月联考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},则(∁U A)∩B=()A.{2} B.{4,6} C.{l,3,5} D.{4,6,7,8}【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】由全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},知C U A={4,6,7,8},由此能求出(C u A)∩B.【解答】解:∵全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={1,2,3,5},B={2,4,6},∴C U A={4,6,7,8},∴(C u A)∩B={4,6}.故选B.2.复数=()A.1+3i B.﹣1﹣3i C.﹣1+3i D.1﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数,则答案可求.【解答】解:=,故选:B.3.下列有关命题的说法正确的是()A.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件B.若p:.则¬p:∀x∈R,x2﹣x﹣1<0C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题D.“若,则”的否命题是“若,则”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】A.f(0)=0推不出函数f(x)是奇函数,例如f(x)=x2;函数f(x)是奇函数,例如f(x)=,则f(0)无意义,即可判断出结论;B.利用非命题的定义即可判断出真假;C.若p∧q为假命题,则p,q至少一个为假命题,即可判断出真假;D.利用否命题的定义即可判断出真假.【解答】解:A.f(0)=0推不出函数f(x)是奇函数,例如f(x)=x2;函数f(x)是奇函数,例如f(x)=,则f(0)无意义,因此.“f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的既不充分也不必要条件,不正确;B.若p:.则¬p:∀x∈R,x2﹣x﹣1≤0,因此不正确;C.若p∧q为假命题,则p,q至少一个为假命题,因此不正确;D.“若,则”的否命题是“若,则”,正确.故选:D.4.若点(sin,cos)在角α的终边上,则sinα的值为()A.B. C.D.【考点】任意角的三角函数的定义.【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值.【解答】解:角α的终边上一点的坐标为(sin,cos)即(,),则由任意角的三角函数的定义,可得sinα=,故选:A.5.某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号001,002,…,699,700.从中抽取70个样本,如图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第5个样本编号是()A.607 B.328 C.253 D.007【考点】系统抽样方法.【分析】从第5行第6个数2的数开始向右读,依次为253,313,457,860,736,253,007,其中860,736不符合条件故可得结论.【解答】解:从第5行第6个数2的数开始向右读,第一个数为253,符合条件,第二个数为313,符合条件,第三个数为457,符合条件,以下依次为:860,736,253,007,328,其中860,736不符合条件且253与第一个重复了不能取,这样007是第四数,第五个数应为328.故第五个数为328..故选:B.6.若数列{a n}满足﹣=d(n∈N*,d为常数),则称数列{a n}为调和数列.已知数列{}为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=()A.10 B.20 C.30 D.40【考点】数列的求和.【分析】由题意知道,本题是构造新等差数列的问题,经过推导可知{x n}是等差数列,运用等差数列的性质可求解答案.【解答】解:由题意知:∵数列{}为调和数列∴﹣=x n+1﹣x n=d∴{x n}是等差数列又∵x1+x2+…+x20=200=∴x1+x20=20又∵x1+x20=x5+x16∴x5+x16=20故选:B.7.已知函数图象过点,则f(x)图象的一个对称中心是()A.B.C.D.【考点】正弦函数的图象.【分析】由题意可得=2sinφ,结合(|φ|<)可得φ的值,由五点作图法令2x+=0,可解得:x=﹣,则可求f(x)的图象的一个对称中心.【解答】解:∵函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<)的图象过点(0,),∴=2sinφ,由(|φ|<),可得:φ=,∴f(x)=2sin(2x+),∴由五点作图法令2x+=0,可解得:x=﹣,则f(x)的图象的一个对称中心是(﹣,0).故选:B.8.如图,网格纸上正方形小格的边长为1cm,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积为()A.20πcm3B.16πcm3C.12πcm3D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求出几何体的体积,再计算原几何体的体积即可.【解答】解:几何体是由两个圆柱组成,一个是底面半径为3高为2,一个是底面半径为2,高为4,组合体体积是:32π•2+22π•4=34π;底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯的体积为:32π×6=54π;所以切削掉部分的体积为54π﹣34π=20πcm3.故选:A.9.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出n的值为()(参考数据:≈1.732,sin15°≈0.2588,sin7.5°≈0.1305)A.12 B.24 C.36 D.48【考点】程序框图.【分析】列出循环过程中S与n的数值,满足判断框的条件即可结束循环.【解答】解:模拟执行程序,可得:n=6,S=3sin60°=,不满足条件S≥3.10,n=12,S=6×sin30°=3,不满足条件S≥3.10,n=24,S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056,满足条件S≥3.10,退出循环,输出n的值为24.故选:B.10.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为2,且,且||=||,则向量在方向上的投影为()A.B.3 C.D.﹣3【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由题意可得,可得四边形OBAC是平行四边形,结合||=||可得四边形OBAC是边长为2的菱形,且∠ABO=∠AC0=60°,可得∠ACB=∠AC0=30°,由投影的定义可得.【解答】解:∵,∴,即,可得四边形OBAC是平行四边形,∵△ABC的外接圆的圆心为O,半径为2,∴||=||=||=2,∴四边形OBAC是边长为2的菱形,且∠ABO=∠AC0=60°,∴∠ACB=∠AC0=30°,∴向量在方向上的投影为:cos∠ACB=2cos30°=.故选:A11.过椭圆+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若0<k<,则椭圆的离心率的取值范围是()A.(0,)B.(,1)C.(0,)D.(,1)【考点】椭圆的简单性质.【分析】作出图形,则易知|AF2|=a+c,|BF2|=,再由∠BAF2是直线的倾斜角,易得k=tan∠BAF2,然后通过0<k<,分子分母同除a2得0<<求解.【解答】解:如图所示:|AF2|=a+c,|BF2|=,∴k=tan∠BAF2=,又∵0<k<,∴0<<,∴0<<,∴<e<1.故选:D.12.已知函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同,则a∈(0,+∞)时,实数b的最大值是()A.B. C.D.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】分别求出函数f(x)的导数,函数g(x)的导数.由于两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,设为P(x0,y0),则有f(x0)=g(x0),且f′(x0)=g′(x0),解出x0=a,得到b关于a的函数,构造函数,运用导数求出单调区间和极值、最值,即可得到b的最大值.【解答】解:函数f(x)的导数为f'(x)=x+2a,函数g(x)的导数为,由于两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,设为P(x0,y0),则,由于x0>0,a>0则x0=a,因此构造函数,由h'(t)=2t(1﹣3lnt),当时,h'(t)>0即h(t)单调递增;当时,h'(t)<0即h(t)单调递减,则即为实数b的最大值.故选D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知函数f(x)=,则f[f()]= .【考点】函数的值.【分析】根据分段函数的表达式,直接代入进行求解即可.【解答】解:由分段函数可知,f()=log,f(﹣1)=,故答案为:.14.已知A,B,C点在球O的球面上,∠BAC=90°,AB=AC=2.球心O到平面ABC的距离为1,则球O的表面积为12π.【考点】球的体积和表面积.【分析】由∠BAC=90°,AB=AC=2,得到BC,即为A、B、C三点所在圆的直径,取BC的中点M,连接OM,则OM即为球心到平面ABC的距离,在Rt△OMB中,OM=1,MB=,则OA可求,再由球的表面积公式即可得到.【解答】解:如图所示:取BC的中点M,则球面上A、B、C三点所在的圆即为⊙M,连接OM,则OM即为球心到平面ABC的距离,在Rt△OMB中,OM=1,MB=,∴OA==,即球的半径R为,∴球O的表面积为S=4πR2=12π.故答案为:12π.15.已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=2,若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,则|PC|的最大值为2.【考点】圆的标准方程.【分析】得到圆心坐标和半径.等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,可得|PC|的最大值为直径,即可得出结论.【解答】解:由圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=2,∴圆心坐标C(1,2),半径r=.∵等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦,∴|PC|的最大值为直径2.故答案为:2.16.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,sinA+sinB﹣4sinC=0,且△ABC的周长L=5,面积S=﹣(a2+b2),则cosC= .【考点】余弦定理.【分析】利用正弦定理化简已知的第一个等式,得到a+b=4c,代入第二个等式中计算,即可求出c的长,利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S,代入已知的等式中,利用完全平方公式变形后,将a+b=4代入化简,即可求出cosC的值.【解答】解:△ABC中,∵sinA+sinB﹣4sinC=0,∴a+b=4c,∵△ABC的周长L=5,∴a+b+c=5,∴c=1,a+b=4.∵面积S=﹣(a2+b2),∴absinC=﹣(a2+b2)=﹣[(a+b)2﹣2ab]=ab,∴sinC=,∵c<a+b,C是锐角,∴cosC==.故答案为:.三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列{a n}为等差数列,a2=3,a4=7;数列{b n}为公比为q(q>1)的等比数列,且满足集合{b1,b2,b3}={1,2,4}.(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{a n+b n}的前n项和S n.【考点】数列的求和;数列递推式.【分析】(Ⅰ)通过联立a2=3、a4=7计算可知等差数列{a n}的首项和公差,从而可得其通项公式;通过等比数列{b n}成公比大于1的等比数列可确定b1=1、b2=2、b3=4,进而可求出首项和公比,从而可得通项公式;(Ⅱ)通过(I),利用分组求和法计算即得结论.【解答】解:(Ⅰ)设等差数列的首项和公差分别为a1、d,∵a2=3,a4=7,∴a1+d=3,a1+3d=7,解得:a1=1,d=2,∴a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1,∵等比数列{b n}成公比大于1的等比数列且{b1,b2,b3}={1,2,4},∴b1=1,b2=2,b3=4,∴b1=1,q=2,∴b n=2n﹣1;(Ⅱ)由(I)可知S n=(a1+a2+…+a n)+(b1+b2+…+b n)=+=n2+2n﹣1.18.某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试,分数分布如表,若成绩120分以上(含120分)为优秀.分数区间甲班频率乙班频率[0,30)0.1 0.2[30,60)0.2 0.2[60,90)0.3 0.3[90,120)0.2 0.2[120,150] 0.2 0.1优秀不优秀总计甲班乙班总计2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828k00.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P(K2≥k0)(Ⅰ)求从乙班参加测试的90分以上(含90分)的同学中,随机任取2名同学,恰有1人为优秀的概率;(Ⅱ)根据以上数据完成上面的2×2列联表:在犯错概率小于0.1的前提下,你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关?【考点】独立性检验;古典概型及其概率计算公式.【分析】(Ⅰ)由图表得到乙班参加测试的90分以上的同学有6人,记为A、B、C、D、E、F.成绩优秀的记为A、B.然后利用枚举法得到从这六名学生随机抽取两名的基本事件个数,进一步得到恰有一位学生成绩优秀的事件个数,由古典概型概率计算公式得答案;(Ⅱ)直接由公式求出K的值,结合图表得答案.【解答】解:(Ⅰ)乙班参加测试的90分以上的同学有6人,记为A、B、C、D、E、F.成绩优秀的记为A、B.从这六名学生随机抽取两名的基本事件有:{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F}共15个,设事件G表示恰有一位学生成绩优秀,符合要求的事件有:{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F}共8个,∴;(Ⅱ)优秀不优秀总计甲班 4 16 20乙班 2 18 20总计 6 34 40.在犯错概率小于0.1的前提下,没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系.19.如图所示的多面体中,ABCD是菱形,BDEF是矩形,ED⊥面ABCD,.(1)求证:平面BCF∥面AED;(2)若BF=BD=a,求四棱锥A﹣BDEF的体积.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面平行的性质.【分析】(1)证明FB∥平面AED,BC∥平面AED,利用面面平行的判定定理可得结论;(2)连接AC,AC∩BD=O,证明AO⊥面BDEF,即可求出四棱锥A﹣BDEF的体积.【解答】(1)证明:∵ABCD是菱形,∴BC∥AD,∵BC⊄面ADE,AD⊂面ADE,∴BC∥面ADE…∵BDEF是矩形,∴BF∥DE,∵BF⊄面ADE,DE⊂面ADE,∴BF∥面ADE,∵BC⊂面BCF,BF⊂面BCF,BC∩BF=B,∴面BCF∥面ADE…(2)解:连接AC,AC∩BD=O∵ABCD是菱形,∴AC⊥BD∵ED⊥面ABCD,AC⊂面ABCD,∴ED⊥AC,∵ED,BD⊂面BDEF,ED∩BD=D,∴AO⊥面BDEF,…∴AO为四棱锥A﹣BDEF的高由ABCD是菱形,,则△ABD为等边三角形,由BF=BD=a,则,∵,∴…20.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=25,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C的方程;(Ⅱ)过曲线C上的一点作两条直线分别交曲线于A,B两点,已知OA,OB的斜率互为相反数,求直线AB的斜率.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(Ⅰ)设圆P的半径为r,由题意得|PM|+|PN|=(1+r)+(5﹣r)=6,从而曲线C是以(﹣1,0),(1,0)为焦点,长轴长为6的椭圆,由此能求出曲线C的方程.(Ⅱ)设直线QA、QB的斜率分别为k,﹣k,则A(1+λ,),B(1+μ,),由此能求出直线AB的斜率.【解答】解:(Ⅰ)∵圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x﹣1)2+y2=25,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,设圆P的半径为r,由题意得|PM|+|PN|=(1+r)+(5﹣r)=6,∴曲线C是以(﹣1,0),(1,0)为焦点,长轴长为6的椭圆,∴曲线C的方程为.(Ⅱ)设直线QA、QB的斜率分别为k,﹣k,则直线QA、QB的一个方向向量为(1,k),(1,﹣k),则=λ(1,k),=μ(1,﹣k),∴A(1+λ,),B(1+μ,),代入=1,并整理,得,两式相减,得:λ﹣μ=﹣,两式相加,得:λ+μ=﹣,∴直线AB的斜率k AB==.21.已知函数f(x)=lnx﹣mx2,g(x)=mx2+x,m∈R,令F(x)=f(x)+g(x).(Ⅰ)当时,求函数f(x)的单调区间及极值;(Ⅱ)若关于x的不等式F(x)≤mx﹣1恒成立,求整数m的最小值.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(Ⅱ)法一:令,求出函数的导数,通过讨论m的范围求出函数的单调区间,从而求出m的最小值即可;法二:分离参数,得到恒成立,令,根据函数的单调性求出函数h(x)的最大值,从而求出m的最小值即可.【解答】解:(Ⅰ),所以.…令f′(x)=0得x=1;…由f′(x)>0得0<x<1,所以f(x)的单调递增区间为(0,1).由f′(x)<0得x>1,所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞).…所以函数,无极小值…(Ⅱ)法一:令.所以.…当m≤0时,因为x>0,所以G′(x)>0所以G(x)在(0,+∞)上是递增函数,又因为.所以关于x的不等式G(x)≤mx﹣1不能恒成立.…当m>0时,.令G′(x)=0得,所以当时,G′(x)>0;当时,G′(x)<0.因此函数G(x)在是增函数,在是减函数.…故函数G(x)的最大值为.令,因为.又因为h(m)在m∈(0,+∞)上是减函数,所以当m≥2时,h(m)<0.所以整数m的最小值为2.…法二:由F(x)≤mx﹣1恒成立知恒成立…令,则…令φ(x)=2lnx+x,因为,φ(1)=1>0,则φ(x)为增函数故存在,使φ(x0)=0,即2lnx0+x0=0…当时,h′(x)>0,h(x)为增函数当x0<x时,h′(x)<0,h(x)为减函数…所以,而,所以所以整数m的最小值为2.…请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,在△ABC中,DC⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE交DC于点F,若BF=FC=3,DF=FE=2.(1)求证:AD•AB=AE•AC;(2)求线段BC的长度.【考点】与圆有关的比例线段;圆內接多边形的性质与判定.【分析】(1)推导出B,C,D,E四点在以BC为直径的圆上,由割线定理能证明AD•AB=AE •AC.(2)过点F作FG⊥BC于点G,推导出B,G,F,D四点共圆,F,G,C,E四点共圆,由此利用割线定理能求出BC的长.【解答】证明:(1)由已知∠BDC=∠BEC=90°,所以B,C,D,E四点在以BC为直径的圆上,由割线定理知:AD•AB=AE•AC.…解:(2)如图,过点F作FG⊥BC于点G,由已知,∠BDC=90°,又因为FG⊥BC,所以B,G,F,D四点共圆,所以由割线定理知:CG•CB=CF•CD,①…同理,F,G,C,E四点共圆,由割线定理知:BF•BE=BG•BC,②…①+②得:CG•CB+BG•BC=CF•CD+BF•BE,即BC2=CF•CD+BF•BE=3×5+3×5=30,…所以BC=.…[选修4-4:坐标系与参数方程]23.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是2ρsin(θ+)=3,射线OM:θ=与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.【考点】简单曲线的极坐标方程;点的极坐标和直角坐标的互化.【分析】解:(I)利用cos2φ+sin2φ=1,即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程.(II)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,由,联立即可解得.设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,同理可解得.利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出.【解答】解:(I)利用cos2φ+sin2φ=1,把圆C的参数方程为参数)化为(x﹣1)2+y2=1,∴ρ2﹣2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ.(II)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,由,解得.设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,由,解得.∵θ1=θ2,∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2.∴|PQ|=2.[选修4-5:不等式选讲]24.已知f(x)=2|x﹣2|+|x+1|(1)求不等式f(x)<6的解集;(2)设m,n,p为正实数,且m+n+p=f(2),求证:mn+np+pm≤3.【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.【分析】(1)利用零点分段法去掉绝对值符号,转化为不等式组,解出x的范围;(2)由基本不等式,可以解得m2+n2+p2≥mn+mp+np,将条件平方可得(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9,代入m2+n2+p2≥mn+mp+np,即可证得要求证得式子.【解答】(1)解:①x≥2时,f(x)=2x﹣4+x+1=3x﹣3,由f(x)<6,∴3x﹣3<6,∴x<3,即2≤x<3,②﹣1<x<2时,f(x)=4﹣2x+x+1=5﹣x,由f(x)<6,∴5﹣x<6,∴x>﹣1,即﹣1<x <2,③x≤﹣1时,f(x)=4﹣2x﹣1﹣x=3﹣3x,由f(x)<6,∴3﹣3x<6,∴x>﹣1,可知无解,综上,不等式f(x)<6的解集为(﹣1,3);(2)证明:∵f(x)=2|x﹣2|+|x+1|,∴f(2)=3,∴m+n+p=f(2)=3,且m,n,p为正实数∴(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9,∵m2+n2≥2mn,m2+p2≥2mp,n2+p2≥2np,∴m2+n2+p2≥mn+mp+np,∴(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3(mn+mp+np)又m,n,p为正实数,∴可以解得mn+np+pm≤3.故证毕.2016年10月19日。
2021年辽宁省大连市高考数学双基试卷(3月份) (解析版)
2021年辽宁省大连市高考数学双基试卷(3月份)一、单选题(共8小题).1.已知集合A=,则A∩B为()A.∅B.{1}C.[0,+∞)D.{(0,1)} 2.设复数满足(1+2i)z=i,则|z|=()A.B.C.D.53.“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”,是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数,就将它减半;如果n为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,最终都能够得到1,得到1即终止运算,已知正整数m经过5次运算后得到1,则m的值为()A.32或5B.16或2C.16D.32或5或4 4.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:(1)如果不超过200元,则不给予优惠;(2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;(3)如果超过500元,其500元内的按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应付款是()A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元5.若数列{a n}为等比数列,则“a2,a4是方程x2﹣3x+1=0的两根”是“a3=±1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点(a,0)(a<0)倾斜角为的直线l交抛物线C、D两点.若F在以线段CD为直径的圆的外部,则a的取值范围为()A.(﹣3,﹣2+3)B.(﹣∞,﹣2+3)C.(﹣,4﹣)D.(﹣∞,4﹣)7.大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在,某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个小孩共8人,准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.36种D.48种8.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1,平面α与正方体相交,若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中恰好有m个点到平面α的距离等于d(0<d<),那么下列结论中一定正确的是()A.m≠6B.m≠5C.m≠4D.m≠3二、多选题(共4小题).9.在《增减算法统宗》中有这样一则故事:三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.则下列说法正确的是()A.此人第三天走了二十四里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C.此人第二天走的路程占全程的D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍10.已知F1、F2是双曲线C:的上、下焦点,点M是该双曲线的一条渐近线上的一点,并且以线段F1F2为直径的圆经过点M,则下列说法正确的有()A.双曲线C的渐近线方程为B.以F1F2为直径的圆方程为x2+y2=2C.点M的横坐标为D.△MF1F2的面积为11.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移个单位后,得到函数y=g(x)的图象,则()A.函数g(x)的图象关于直线对称B.函数g(x)的图象关于点(,0)对称C.函数g(x)在区间(,)上单调递增D.函数g(x)在区间(0,)上有两个零点12.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足2f(x)+xf′(x)=,f(1)=0,则下列说法正确的是()A.f(x)在x=处取得极小值,极小值为B.f(x)只有一个零点C.若f(x)<k﹣在(0,+∞)上恒成立,则k>D.f(1)<f()<f()三、填空题(共4小题).13.命题“∀x∈(1,2),x2>1”的否定是.14.设α,β是两个不同的平面,l是直线且l⊂α,则“l⊥β”是“α⊥β”的条件(参考选项:充分不必要,必要不充分,充分必要,既不充分也不必要).15.已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数β∈[0,m],使f(α)+f(β)=0,则实数m的最小值是.16.设函数f(x)在R上存在导数f′(x),∀x∈R,有f(﹣x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上f′(x)<x,若f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m,则实数m的取值范围是.四、解答题(共6小题).17.在①b2+ac=a2+c2,②a cos B=b sin A,③sin B+cos B=2,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,________,A=,b=.(1)求角B;(2)求△ABC的面积.18.已知等差数列{b n}满足b n+2n=2b n﹣1+4(n=2,3,…),数列{a n}的前n项和记为S n,且S n=2n﹣1.(1)分别求出{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=,求{c n}的前n项和T n.19.某地区2014年至2020年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表:年份2014201520162017201820192020年份代号x1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(1)若y关于t的线性回归方程为y=bt+2.3,根据图中数据求出实数b并预测2021年该地区农村居民家庭人均纯收入;(2)在2014年至2020年中随机选取三年,记X表示三年中人均纯收入高于3.6千元的个数,求X的分布列和E(X).20.如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形,PA⊥底面ABCD,E,F分别是BC,PD的中点.(1)证明:直线EF∥平面PAB;(2)设二面角E﹣FD﹣A为30°,且AC=AB=,AD=2,求四棱锥P﹣ABCD的体积.21.已知M()是椭圆C:(a>b>0)上的一点,F1F2是该椭圆的左右焦点,且|F1F2|=2.(1)求椭圆C的方程;(2)设点A,B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点,直线OA,OB,AB的斜率分别为k1,k2,k3,且k1k2=k2.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由.22.设函数f(x)=lnx﹣﹣a在开区间(1,)内有极值.(1)求实数a的取值范围;(2)若x1∈(0,1),x2=(1,+∞).求证:f(x1)﹣f(x2)>2ln2+.参考答案一、单选题(共8小题).1.已知集合A=,则A∩B为()A.∅B.{1}C.[0,+∞)D.{(0,1)}解:由集合A中的函数y=,得到1﹣x2≥0,解得:﹣1≤x≤1,又x∈Z,则集合A={﹣1,0,1};由集合B中的函数y=x2+1≥1,且x∈A,得到集合B={1,2},则A∩B={1}.故选:B.2.设复数满足(1+2i)z=i,则|z|=()A.B.C.D.5解:(1+2i)z=i,则z====+i,则|z|==,故选:B.3.“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”,是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数n,如果n是偶数,就将它减半;如果n为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,最终都能够得到1,得到1即终止运算,已知正整数m经过5次运算后得到1,则m的值为()A.32或5B.16或2C.16D.32或5或4解:根据题意,正整数m经过5次运算后得到1,所以正整数m经过4次运算后得到2,经过3次运算后得到4,经过2次运算后得到8或1(不符合题意,舍去),经过1次运算后得到16,可得正整数m的值为32或5,故选:A.4.某商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:(1)如果不超过200元,则不给予优惠;(2)如果超过200元但不超过500元,则按标价给予9折优惠;(3)如果超过500元,其500元内的按第(2)条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元,假设他一次性购买上述两次同样的商品,则应付款是()A.413.7元B.513.7元C.546.6元D.548.7元解:某人两次去购物,分别付款168元与423元,由于商场的优惠规定,168元的商品未优惠,而423元的商品是按九折优惠后的,则实际商品价格为423÷0.9=470元,如果他只去一次购买同样的商品即价值168+470=638元的商品时,应付款为:500×0.9+(638﹣500)×0.7=450+96.6=546.6(元).故选:C.5.若数列{a n}为等比数列,则“a2,a4是方程x2﹣3x+1=0的两根”是“a3=±1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:数列{a n}为等比数列,“a2,a4是方程x2﹣3x+1=0的两根”,∴=1,∴“a3=±1”;反之,满足“a3=±1”的一元二次方程有无数个,∴“a2,a4是方程x2﹣3x+1=0的两根”是“a3=±1”的充分不必要条件.故选:A.6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点(a,0)(a<0)倾斜角为的直线l交抛物线C、D两点.若F在以线段CD为直径的圆的外部,则a的取值范围为()A.(﹣3,﹣2+3)B.(﹣∞,﹣2+3)C.(﹣,4﹣)D.(﹣∞,4﹣)解:设C(x1,y1),D(x2,y2),∵F在以线段CD为直径的圆的外部,∴>0,∴(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2>0,于是(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=4x1x2﹣(a+3)(x1+x2)+3+a2>0设l的方程为:y=(x﹣a),代入抛物线方程,得x2﹣(2a+12)x+a2=0,∴x1+x2=2a+12,x1x2=a2,∴4x1x2﹣(a+3)(x1+x2)+3+a2=3a2﹣18a﹣33>0,故a>2+3或a<﹣2+3,又△=(2a+12)2﹣4a2>0,得到a>﹣3.∴﹣3<a<﹣2+3.故选:A.7.大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在,某城市关系要好的A,B,C,D四个家庭各有两个小孩共8人,准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置),其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有()A.18种B.24种C.36种D.48种解:根据题意,分2种情况讨论:①、A户家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上剩下两个要来自不同的家庭,可以在剩下的三个家庭中任选2个,再从每个家庭的2个小孩中任选一个,来乘坐甲车,有C32×C21×C21=12种乘坐方式;②、A户家庭的孪生姐妹不在甲车上,需要在剩下的三个家庭中任选1个,让其2个小孩都在甲车上,对于剩余的2个家庭,从每个家庭的2个小孩中任选一个,来乘坐甲车,有C31×C21×C21=12种乘坐方式;则共有12+12=24种乘坐方式;故选:B.8.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1,平面α与正方体相交,若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中恰好有m个点到平面α的距离等于d(0<d<),那么下列结论中一定正确的是()A.m≠6B.m≠5C.m≠4D.m≠3解:如图(1),恰好有3个点到平面α的距离为d;如图(2),恰好有4个点到平面α的距离为d;如图(3),恰好有6个点到平面α的距离为d.结合选项,故m≠5.故选:B.二、多选题;本题共4小题,每小题5分,共20分。
高中高考数学二模试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x2﹣2x≤0},则(∁U A)∩B=()A.[﹣1,0] B.[﹣1,2] C.(1,2] D.(﹣∞,1]∪[2,+∞)2.设复数z=1+i(i是虚数单位),则|+z|=()A.2 B.C.3 D.23.不等式|2x﹣1|>x+2的解集是()A.(﹣,3)B.(﹣∞,﹣)∪(3,+∞)C.(﹣∞,﹣3)∪(,+∞)D.(﹣3,+∞)4.若函数f(x)=2sin(ωx+θ)对任意x都有f(+x)=f(﹣x),则f()=()A.2或0 B.﹣2或2 C.0 D.﹣2或05.一算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为()A.﹣1 B.0 C.1 D.56.已知双曲线,它的一个顶点到较近焦点的距离为1,焦点到渐近线的距离是,则双曲线C的方程为()A.x2﹣=1 B.﹣y2=1 C.﹣y2=1 D.x2﹣=17.用a,b,c表示空间中三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;②若a∥b,a∥c,则b∥c;③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.其中真命题的序号是()A.①② B.②③ C.①④ D.②④8.设点M(x,y)是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点,O为坐标原点,则|OM|≤2的概率为()A. B.C. D.9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S17=170,则a7+a9+a11的值为()A.10 B.20 C.25 D.3010.已知△ABC三边长构成公差为d(d≠0)的等差数列,则△ABC最大内角α的取值X围为()A.<α≤B.<α<πC.≤α<πD.<α≤11.已知f(x)=在x=0处取得最小值,则a的最大值是()A.4 B.1 C.3 D.212.若对∀x,y∈[0,+∞),不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立,则实数a的最大值是()A.B.1 C.2 D.二、填空题:本大题共4小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.命题“对任意x≤0,都有x2<0”的否定为_______.14.若(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,则ab的值为_______.15.设函数f(x)=lnx的定义域为(M,+∞),且M>0,对于任意a,b,c∈(M,+∞),若a,b,c是直角三角形的三条边长,且f(a),f(b),f(c)也能成为三角形的三条边长,那么M的最小值为_______.16.已知||=1,||=, =0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n (m、n∈R),则等于_______.三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.等差数列{a n}的公差为d(d<0),a i∈{1,﹣2,3,﹣4,5}(i=1,2,3),则数列{b n}中,b1=1,点B n(n,b n)在函数g(x)=a•2x(a是常数)的图象上.(Ⅰ)求数列{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)若=a n•b n,求数列{}的前n项和S n.18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.(1)求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值;(2)若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,且设=,求λ的值.19.甲、乙两同学参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,具体成绩如下茎叶图所示,已知两同学这8次成绩的平均分都是85分.(1)求x;并由图中数据直观判断,甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定?(2)若将频率视为概率,对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 520.已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长,设点P的轨迹为曲线E;(1)求曲线E的方程;(2)是否存在一点Q(m,n),过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点,点(,)都在以原点为圆心,定值r为半径的圆上?若存在,求出m、n、r的值;若不存在,说明理由.21.已知函数(其中常数a,b∈R),.(Ⅰ)当a=1时,若函数f(x)是奇函数,求f(x)的极值点;(Ⅱ)若a≠0,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅲ)当时,求函数g(x)在[0,a]上的最小值h(a),并探索:是否存在满足条件的实数a,使得对任意的x∈R,f(x)>h(a)恒成立.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲](共1小题,满分10分)22.如图,P为圆外一点,PD为圆的切线,切点为D,AB为圆的一条直径,过点P作AB的垂线交圆于C、E两点(C、D两点在AB的同侧),垂足为F,连接AD交PE于点G.(1)证明:PC=PD;(2)若AC=BD,求证:线段AB与DE互相平分.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合,x轴非负半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线C的参数方程为,(φ为参数).(1)在极坐标系下,若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A,B两点,求△AOB 的面积;(2)给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2,求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标.[选修4-5:不等式选讲]24.已知:函数f(x)=|1﹣3x|+3+ax.(1)若a=﹣1,解不等式f(x)≤5;(2)若函数f(x)有最小值,某某数a的取值X围.2016年某某省某某市扶沟县包屯高中高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=R,集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x2﹣2x≤0},则(∁U A)∩B=()A.[﹣1,0] B.[﹣1,2] C.(1,2] D.(﹣∞,1]∪[2,+∞)【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】化简集合B,求出A的补集,再计算(∁U A)∩B.【解答】解:全集U=R,集合A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2},∴∁U A={x|x<﹣1或x>1},∴(∁U A)∩B={x|1<x≤2}=(1,2].故选:C.2.设复数z=1+i(i是虚数单位),则|+z|=()A.2 B.C.3 D.2【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】先求出+z,再求出其模即可.【解答】解:∵z=1+i,∴+z=+1+i===1﹣i+1+i=2,故|+z|=2,故选:A.3.不等式|2x﹣1|>x+2的解集是()A.(﹣,3)B.(﹣∞,﹣)∪(3,+∞)C.(﹣∞,﹣3)∪(,+∞)D.(﹣3,+∞)【考点】绝对值三角不等式.【分析】选择题,对x+2进行分类讨论,可直接利用绝对值不等式公式解决:|x|>a等价于x>a或x<﹣a,最后求并集即可.【解答】解:当x+2>0时,不等式可化为2x﹣1>x+2或2x﹣1<﹣(x+2),∴x>3或2x﹣1<﹣x﹣2,∴x>3或﹣2<x<﹣,当x+2≤0时,即x≤﹣2,显然成立,故x的X围为x>3或x<﹣故选:B.4.若函数f(x)=2sin(ωx+θ)对任意x都有f(+x)=f(﹣x),则f()=()A.2或0 B.﹣2或2 C.0 D.﹣2或0【考点】正弦函数的图象.【分析】由f(+x)=f(﹣x),可得x=是函数f(x)的对称轴,利用三角函数的性质即可得到结论.【解答】解:∵函数f(x)=2sin(ωx+θ)对任意x都有f(+x)=f(﹣x),∴x=是函数f(x)的对称轴,即此时函数f(x)取得最值,即f()=±2,故选:B5.一算法的程序框图如图,若输出的y=,则输入的x的值可能为()A.﹣1 B.0 C.1 D.5【考点】程序框图.【分析】模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值,根据已知即可求解.【解答】解:模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值,∵y=,∴sin()=∴=2kπ+,k∈Z,即可解得x=12k+1,k∈Z.∴当k=0时,有x=1.故选:C.6.已知双曲线,它的一个顶点到较近焦点的距离为1,焦点到渐近线的距离是,则双曲线C的方程为()A.x2﹣=1 B.﹣y2=1 C.﹣y2=1 D.x2﹣=1【考点】双曲线的简单性质.【分析】由题意可得c﹣a=1,求出渐近线方程和焦点的坐标,运用点到直线的距离公式,可得b=,由a,b,c的关系,可得a,进而得到所求双曲线的方程.【解答】解:双曲线的一个顶点(a,0)到较近焦点(c,0)的距离为1,可得c﹣a=1,由双曲线的渐近线方程为y=x,则焦点(c,0)到渐近线的距离为d==b=,又c2﹣a2=b2=3,解得a=1,c=2,即有双曲线的方程为x2﹣=1.故选:A.7.用a,b,c表示空间中三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:①若a⊥b,b⊥c,则a∥c;②若a∥b,a∥c,则b∥c;③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;④若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b.其中真命题的序号是()A.①② B.②③ C.①④ D.②④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】与立体几何有关的命题真假判断,要多结合空间图形,充分利用相关的公里、定理解答.判断线与线、线与面、面与面之间的关系,可将线线、线面、面面平行(垂直)的性质互相转换,进行证明,也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析.【解答】解:因为空间中,用a,b,c表示三条不同的直线,①中正方体从同一点出发的三条线,满足已知但是a⊥c,所以①错误;②若a∥b,b∥c,则a∥c,满足平行线公理,所以②正确;③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,所以③错误;④垂直于同一平面的两直线平行,由线面垂直的性质定理判断④正确;故选:D.8.设点M(x,y)是不等式组所表示的平面区域Ω中任取的一点,O为坐标原点,则|OM|≤2的概率为()A. B.C. D.【考点】几何概型.【分析】若x,y∈R,则区域W的面积是2×2=4.满足|OM|≤2的点M构成的区域为{(x,y)|﹣1≤x≤1,0≤y≤2,x2+y2≤4},求出面积,即可求出概率.【解答】解:这是一个几何概率模型.若x,y∈R,则区域W的面积是2×2=4.满足|OM|≤2的点M构成的区域为{(x,y)|﹣1≤x≤1,0≤y≤2,x2+y2≤4},面积为2[﹣(﹣)]= +,故|OM|≤2的概率为.故选:D.9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S17=170,则a7+a9+a11的值为()A.10 B.20 C.25 D.30【考点】等差数列的前n项和.【分析】由等差数列的性质可得a7+a9+a11=3a9,而s17=17a9,故本题可解.【解答】解:∵a1+a17=2a9,∴s17==17a9=170,∴a9=10,∴a7+a9+a11=3a9=30;故选D.10.已知△ABC三边长构成公差为d(d≠0)的等差数列,则△ABC最大内角α的取值X围为()A.<α≤B.<α<πC.≤α<πD.<α≤【考点】余弦定理;正弦定理.【分析】由已知根据三角形内角和定理得3α>π,从而解得α>,妨设三角形三边为a﹣d,a,a+d,(a>0,d>0),利用余弦定理可得cosα=2﹣>﹣1,结合三角形内角的X围即可得解.【解答】解:∵α为△ABC最大内角,∴3α>π,即α>,由题意,不妨设三角形三边为a﹣d,a,a+d,(a>0,d>0),则由余弦定理可得,cosα===2﹣=2﹣,又∵三角形两边之和大于第三边,可得a﹣d+a>a+d,可得a>2d,即,∴cosα=2﹣>﹣1,又α为三角形内角,α∈(0,π),可得:α∈(,π).故选:B.11.已知f(x)=在x=0处取得最小值,则a的最大值是()A.4 B.1 C.3 D.2【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】根据分段函数,分别讨论x的X围,求出函数的最小值,根据题意得出不等式a2<a+2,求解即可.【解答】解:∵f(x)=,当x≤0时,f(x)的最小值为a2,当x>0时,f(x)的最小值为2+a,∵在x=0处取得最小值,∴a2<a+2,∴﹣1≤a≤2,故选D.12.若对∀x,y∈[0,+∞),不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立,则实数a的最大值是()A.B.1 C.2 D.【考点】函数恒成立问题.【分析】利用基本不等式和参数分离可得a≤在x>0时恒成立,构造函数g(x)=,通过求导判断单调性求得g(x)的最小值即可得到a的最大值.【解答】解:当x=0时,不等式即为0≤e y﹣2+e﹣y﹣2+2,显然成立;当x>0时,设f(x)=e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2,不等式4ax≤e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2恒成立,即为不等式4ax≤f(x)恒成立.即有f(x)=e x﹣2(e y+e﹣y)+2≥e x﹣2•2+2=2+2e x﹣2(当且仅当y=0时,取等号),由题意可得4ax≤2+2e x﹣2,即有a≤在x>0时恒成立,令g(x)=,g′(x)=,令g′(x)=0,即有(x﹣1)e x﹣2=1,令h(x)=(x﹣1)e x﹣2,h′(x)=xe x﹣2,当x>0时h(x)递增,由于h(2)=1,即有(x﹣1)e x﹣2=1的根为2,当x>2时,g(x)递增,0<x<2时,g(x)递减,即有x=2时,g(x)取得最小值,为,则有a≤.当x=2,y=0时,a取得最大值.故选:D二、填空题:本大题共4小题,每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上13.命题“对任意x≤0,都有x2<0”的否定为存在x0≤0,都有.【考点】命题的否定.【分析】利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可.【解答】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,命题“对任意x≤0,都有x2<0”的否定为:存在x0≤0,都有;故答案为:存在x0≤0,都有;14.若(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,则ab的值为 1 .【考点】二项式系数的性质.【分析】直接利用二项式定理的通项公式,求出x3项的系数为20,得到ab的值.【解答】解:(ax2+)6的展开式的通项公式为T r+1=•a6﹣r•b r•x12﹣3r,令12﹣3r=3,求得r=3,故(ax2+)6的展开式中x3项的系数为•a3•b3=20,∴ab=1.故答案为:1.15.设函数f(x)=lnx的定义域为(M,+∞),且M>0,对于任意a,b,c∈(M,+∞),若a,b,c是直角三角形的三条边长,且f(a),f(b),f(c)也能成为三角形的三条边长,那么M的最小值为.【考点】三角形的形状判断;函数的值.【分析】不妨设c为斜边,则M<a<c,M<b<c,则可得ab>M2,结合题意可得,结合a2+b2≥2ab可求c的X围,进而可求M的X围,即可求解【解答】解:不妨设c为斜边,则M<a<c,M<b<c∴ab>M2由题意可得,∴∵a2+b2≥2ab>2c∴c2>2c即c>2∴ab>2∴M2≥2∴故答案为:16.已知||=1,||=, =0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°,设=m+n (m、n∈R),则等于 3 .【考点】平面向量数量积的运算;线段的定比分点.【分析】先根据=0,可得⊥,又因为===|OC|×1×cos30°==1×,所以可得:在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为,又根据=m+n=n+m,可得答案.【解答】解:∵||=1,||=, =0,⊥===|OC|×1×cos30°==1×∴在x轴方向上的分量为在y轴方向上的分量为∵=m+n=n+m∴,两式相比可得: =3.故答案为:3三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.等差数列{a n}的公差为d(d<0),a i∈{1,﹣2,3,﹣4,5}(i=1,2,3),则数列{b n}中,b1=1,点B n(n,b n)在函数g(x)=a•2x(a是常数)的图象上.(Ⅰ)求数列{a n}、{b n}的通项公式;(Ⅱ)若=a n•b n,求数列{}的前n项和S n.【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.【分析】(I)等差数列{a n}的公差为d(d<0),a i∈{1,﹣2,3,﹣4,5}(i=1,2,3),可得a1=5,a2=3,a3=1.利用等差数列的通项公式即可得出.由点B n(n,b n)在函数g(x)=a•2x(a是常数)的图象上,可得b n=a•2n.利用b1=1,解得a,即可得出.(II)=a n•b n=(7﹣2n)•2n﹣1.利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.【解答】解:(I)等差数列{a n}的公差为d(d<0),a i∈{1,﹣2,3,﹣4,5}(i=1,2,3),∴a1=5,a2=3,a3=1.∴d=3﹣5=﹣2,∴a n=5﹣2(n﹣1)=7﹣2n.∵点B n(n,b n)在函数g(x)=a•2x(a是常数)的图象上,∴b n=a•2n.∵b1=1,∴1=a×21,解得a=.∴b n=2n﹣1.(II)=a n•b n=(7﹣2n)•2n﹣1.∴数列{}的前n项和S n=5×1+3×2+1×22+…+(7﹣2n)•2n﹣1.∴2S n=5×2+3×22+…+(9﹣2n)•2n﹣1+(7﹣2n)•2n,∴﹣S n=5﹣2(2+22+…+2n﹣1)﹣(7﹣2n)•2n=5﹣﹣(7﹣2n)•2n=9﹣(9﹣2n)•2n,∴S n=(9﹣2n)•2n﹣9.18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.(1)求平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值;(2)若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,且设=,求λ的值.【考点】二面角的平面角及求法;棱柱的结构特征.【分析】(1)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可.(2)利用四点共面, =x+y,建立方程关系进行求解即可.【解答】解:(1)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA1=6,点E、F分别在棱BB1、CC1上,且BE=BB1,C1F=CC1.∴建立以A为坐标原点,AB,AC,AA1分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:则A(0,0,0),A1(0,0,6),B(2,0,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,2,4),则=(2,0,2),=(0,2,4),设平面AEF的法向量为=(x,y,z)则令z=1.则x=﹣1,y=﹣2,即=(﹣1,﹣2,1),平面ABC的法向量为=(0,0,1),则cos<,>===即平面AEF与平面ABC所成角α的余弦值是;(2)若G为BC的中点,A1G与平面AEF交于H,则G(1,1,0),∵=,∴==λ(1,1,﹣6)=(λ,λ,﹣6λ),=+=(λ,λ,6﹣6λ)∵A,E,F,H四点共面,∴设=x+y,即(λ,λ,6﹣6λ)=x(2,0,2)+y(0,2,4),则,得λ=,x=y=,故λ的值为.19.甲、乙两同学参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,具体成绩如下茎叶图所示,已知两同学这8次成绩的平均分都是85分.(1)求x;并由图中数据直观判断,甲、乙两同学中哪一位的成绩比较稳定?(2)若将频率视为概率,对甲同学在今后3次数学竞赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望Eξ.甲乙9 8 7 58 x 2 1 8 0 0 3 55 3 9 0 2 5【考点】离散型随机变量的期望与方差;极差、方差与标准差;离散型随机变量及其分布列.【分析】(1)由题意利用平均数的定义仔细分析图表即可求得;(2)由题意记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于8”为事A,则,而随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3,由题意可以分析出该随机变量ξ~B(3,),再利用二项分布的期望与分布列的定义即可求得.【解答】解:(1)依题意,解x=4,由图中数据直观判断,甲同学的成绩比较稳定.(2)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事A,则,随机变ξ的可能取值为0、1、2、3,ξ~B(3,),,其k=0、1、2、3.所以变ξ的分布列为:ξ0 1 2 3P20.已知动点P到直线x=2的距离等于P到圆x2﹣7x+y2+4=0的切线长,设点P的轨迹为曲线E;(1)求曲线E的方程;(2)是否存在一点Q(m,n),过点Q任作一直线与轨迹E交于M、N两点,点(,)都在以原点为圆心,定值r为半径的圆上?若存在,求出m、n、r的值;若不存在,说明理由.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【分析】(1)设P(x,y),由题意可得,整理可得切线E 的方程(2)过点Q任作的直线方程可设为:为直线的倾斜角),代入曲线E的方程y2=3x,得(n+tsinα)2=3(m+tcosα),sin2αt2+(2nsinα﹣3cosα)t+n2﹣3m=0,由韦达定理得,,若使得点(,)在以原点为圆心,定值r为半径的圆上,则有=为定值【解答】解:(1)设P(x,y),圆方程x2﹣7x+y2+4=0化为标准式:则有∴(x﹣2)2=x2﹣7x+y2+4,整理可得y2=3x∴曲线E的方程为y2=3x.(2)过点Q任作的直线方程可设为:为直线的倾斜角)代入曲线E的方程y2=3x,得(n+tsinα)2=3(m+tc osα),sin2αt2+(2nsinα﹣3cosα)t+n2﹣3m=0由韦达定理得,,==═令﹣12n与2n2+6m﹣9同时为0得n=0,,此时为定值故存在.21.已知函数(其中常数a,b∈R),.(Ⅰ)当a=1时,若函数f(x)是奇函数,求f(x)的极值点;(Ⅱ)若a≠0,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅲ)当时,求函数g(x)在[0,a]上的最小值h(a),并探索:是否存在满足条件的实数a,使得对任意的x∈R,f(x)>h(a)恒成立.【考点】函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性.【分析】(I)根据所给的函数是一个奇函数,写出奇函数成立的等式,整理出b的值是0,得到函数的解析式,对函数求导,使得导函数等于0,求出极值点.(II)要求函数的单调增区间,首先对函数求导,使得导函数大于0,解不等式,问题转化为解一元二次不等式,注意对于a值进行讨论.(Ⅲ)求出函数g(x)在[0,a]上的极值、端点值,比较其中最小者即为h(a),再利用奇函数性质及基本不等式求出f(x)的最小值,对任意的x∈R,f(x)>h(a)恒成立,等价于f(x)min>h(a),在上只要找到一a值满足该不等式即可.【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,因为函数f(x)是奇函数,∴对x∈R,f(﹣x)=﹣f(x)成立,得,∴,∴,得,令f'(x)=0,得x2=1,∴x=±1,经检验x=±1是函数f(x)的极值点.(Ⅱ)因为,∴,令f'(x)>0⇒﹣ax2﹣2bx+a>0,得ax2+2bx﹣a<0,①当a>0时,方程ax2+2bx﹣a=0的判别式△=4b2+4a2>0,两根,单调递增区间为,②当a<0时,单调递增区间为和.(Ⅲ)因为,当x∈[0,a]时,令g'(x)=0,得,其中.当x变化时,g'(x)与g(x)的变化情况如下表:x (0,x0)x0(x0,a)g'(x)+ 0 ﹣g(x)↗↘∴函数g(x)在[0,a]上的最小值为g(0)与g(a)中的较小者.又g(0)=0,,∴h(a)=g(a),∴,b=0时,由函数是奇函数,且,∴x>0时,,当x=1时取得最大值;当x=0时,f(0)=0;当x<0时,,∴函数f(x)的最小值为,要使对任意x∈R,f(x)>h(a)恒成立,则f(x)最小>h(a),∴,即不等式在上有解,a=π符合上述不等式,∴存在满足条件的实数a=π,使对任意x∈R,f(x)>h(a)恒成立.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1:几何证明选讲](共1小题,满分10分)22.如图,P为圆外一点,PD为圆的切线,切点为D,AB为圆的一条直径,过点P作AB的垂线交圆于C、E两点(C、D两点在AB的同侧),垂足为F,连接AD交PE于点G.(1)证明:PC=PD;(2)若AC=BD,求证:线段AB与DE互相平分.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(1)利用PD为圆的切线,切点为D,AB为圆的一条直径,证明:∠DGP=∠PDG,即可证明PC=PD;(2)若AC=BD,证明DE为圆的一条直径,即可证明线段AB与DE互相平分.【解答】证明:(1)∵PD为圆的切线,切点为D,AB为圆的一条直径,∴∠PDA=∠DBA,∠BDA=90°,∴∠DBA+∠DAB=90°,∵PE⊥AB∴在Rt△AFG中,∠FGA+∠GAF=90°,∴∠FGA+∠DAB=90°,∴∠FGA=∠DBA.∵∠FGA=∠DGP,∴∠DGP=∠PDA,∴∠DGP=∠PDG,∴PG=PD;(2)连接AE,则∵CE⊥AB,AB为圆的一条直径,∴AE=AC=BD,∴∠EDA=∠DAB,∵∠DEA=∠DBA,∴△BDA≌△EAD,∴DE=AB,∴DE为圆的一条直径,∴线段AB与DE互相平分.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.已知直角坐标系xOy的原点和极坐标系Ox的极点重合,x轴非负半轴与极轴重合,单位长度相同,在直角坐标系下,曲线C的参数方程为,(φ为参数).(1)在极坐标系下,若曲线C与射线θ=和射线θ=﹣分别交于A,B两点,求△AOB 的面积;(2)给出直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=2,求曲线C与直线l在平面直角坐标系中的交点坐标.【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.【分析】(1)曲线C的参数方程为,(φ为参数),利用平方关系可得:曲线 C 在直角坐标系下的普通方程.将其化为极坐标方程为,分别代入和,可得|OA|,|OB|,,利用直角三角形面积计算公式可得△AOB的面积.(2)将l的极坐标方程化为直角坐标方程得x﹣y﹣2=0,与椭圆方程联立解出即可得出交点坐标.【解答】解:(1)曲线C的参数方程为,(φ为参数),利用平方关系可得:曲线 C在直角坐标系下的普通方程为,将其化为极坐标方程为,分别代入和,得,∵,故△AOB的面积.(2)将l的极坐标方程化为直角坐标方程,得x﹣y﹣2=0,联立方程,解得x=2,y=0,或,∴曲线C与直线l的交点坐标为(2,0)或.[选修4-5:不等式选讲]24.已知:函数f(x)=|1﹣3x|+3+ax.(1)若a=﹣1,解不等式f(x)≤5;(2)若函数f(x)有最小值,某某数a的取值X围.【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.【分析】(1)若a=﹣1,不等式f(x)≤5,即为|3x﹣1|≤x+2,去掉绝对值解不等式f(x)≤5;(2)分析知函数f(x)有最小值的充要条件为,即可某某数a的取值X围.【解答】解:(1)当a=﹣1时,f(x)=|3x﹣1|+3﹣x,所以不等式f(x)≤5,即为|3x﹣1|≤x+2,讨论:当时,3x﹣1﹣x+3≤5,解之得;当时,﹣3x+1﹣x+3≤5,解之得,综上,原不等式的解集为…(2),分析知函数f(x)有最小值的充要条件为,即﹣3≤a≤3…。
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)第三次高考模拟训练试题及答案解析一
最新高考数学三模试卷(文科)一、选择题1.设集合A={x|x (x ﹣3)<0},B={x|x ﹣2≤0},则A ∩B=( )A .(0,2]B .(0,2)C .(0,3)D .[2,3)2.设z 满足i (1+z )=2+i ,则|z|=( )A .B .C .2D .13.设命题p :∀x >0,xe x >0,则¬p 为( )A .∀x ≤0,xe x ≤0B .∃x 0≤0,x 0e x0≤0C .∀x >0,xe x ≤0D .∃x 0>0,x 0e x0≤04.从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛,则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是( )A .B .C .D .5.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》,称为“秦九韶算法”.执行该程序框图,若输入x=2,n=5,则输出的v=( )A .26B .48C .57D .646.一个圆柱挖去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则剩余部分的表面积等于( )A .39πB .48πC .57πD .63π7.已知x ,y 满足约束条件,则的最大值是( )A .﹣2B .﹣1C .D .28.已知函数f (x )=Asin (ωx+φ)(A >0,ω>0)的图象与直线y=b (0<b <A )相交,其中一个交点P 的横坐标为4,若与P 相邻的两个交点的横坐标为2,8,则函数f (x )( )A .在[0,3]上是减函数B .在[﹣3,0]上是减函数C .在[0,π]上是减函数D .在[﹣π,0]上是减函数9.设函数f (x )=e x +ax 在(0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为( )A .[﹣1,+∞)B .(﹣1,+∞)C .[0,+∞)D .(0,+∞)10.正三棱柱的底面边长为,侧棱长为2,且三棱柱的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A .4πB .8πC .12πD .16π11.已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数,且f (x )在(﹣∞,0)上是减函数,f (2)=0,g (x )=f (x+2),则不等式xg (x )≤0的解集是( )A .(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)B .[﹣4,﹣2]∪[0,+∞)C .(﹣∞,﹣4]∪[﹣2,+∞)D .(﹣∞,﹣4]∪[0,+∞)12.已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ,点A ,B 在C 上,且点F 是△AOB 的重心,则cos ∠AFB 为( )A .﹣B .﹣C .﹣D .﹣二、填空题13.若和是两个互相垂直的单位向量,则|+2|=_______.14.已知α为锐角,cos α=,则sin (﹣α)=_______.15.在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边长分别是x+1,x ,x ﹣1,且∠A=2∠C ,则△ABC 的周长为_______.16.已知圆C :(x ﹣a )2+y 2=1(a >0),过直线l :2x+2y+3=0上任意一点P 作圆C 的两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B ,若∠APB 为锐角,则a 的取值范围为_______.三、解答题17.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n =2a n ﹣1.(1)证明:数列{a n }是等比数列;(2)求数列{na n }的前n 项和T n .18.在四棱锥P ﹣ABCD 中,底面ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°,PC ⊥BD .(1)证明:PB=PD ;(2)若平面PBD ⊥平面ABCD ,且∠DPB=90°,求点B 到平面PDC 的距离.19.PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物,它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月,中国发布了《环境空气质量标准》,开始大力治理空气污染.用x=1,2,3,4,5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号,用y 表示每年3月份的PM2.5指数的平均值(单位:μg/m 3).已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图:(1)根据折线图中的数据,完成表格:年份2013 2014 2015 2016年份代号(x) 1 2 3 4PM2.5指数(y)(2)建立y关于x的线性回归方程;(3)在当前治理空气污染的力度下,预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值.附:回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式;=, =﹣.20.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点C的左焦点F的直线l交C于A,B两点,是否存在常数λ,使||=λ•恒成立,若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.21.已知函数f(x)=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0.(1)求a,b.(2)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,E为⊙O上一点,点A在直径BD的延长线上,过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C,CE=CB.(1)证明:AE2=AD•AB.(2)若AE=4,CB=6,求⊙O的半径.[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23.已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中,倾斜角为α的直线l过点P(2,0).(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)设点Q和点G的极坐标分别为(2,),(2,π),若直线l经过点Q,且与曲线C 相交于A,B两点,求△GAB的面积.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)的值域是[m,n],且a2+b2=m,c2+d2=n,求ac+bd的取值范围.参考答案与试题解析一、选择题1.设集合A={x|x (x ﹣3)<0},B={x|x ﹣2≤0},则A ∩B=( )A .(0,2]B .(0,2)C .(0,3)D .[2,3)【考点】交集及其运算.【分析】求出A 与B 中不等式的解集分别确定出A 与B ,找出两集合的交集即可.【解答】解:由A 中不等式解得:0<x <3,即A=(0,3),由B 中不等式解得:x ≤2,即B=(﹣∞,2],则A ∩B=(0,2],故选:A .2.设z 满足i (1+z )=2+i ,则|z|=( )A .B .C .2D .1【考点】复数求模.【分析】根据复数的四则运算求出z ,然后利用复数的模长公式进行求解即可.【解答】解:由i (1+z )=2+i ,得1+z==1﹣2i ,则z=﹣2i ,则|z|=2,故选:C3.设命题p :∀x >0,xe x >0,则¬p 为( )A .∀x ≤0,xe x ≤0B .∃x 0≤0,x 0e x0≤0C .∀x >0,xe x ≤0D .∃x 0>0,x 0e x0≤0【考点】命题的否定.【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断.【解答】解:命题是全称命题,则命题的否定是特称命题,则¬p :∃x 0>0,x 0e x0≤0,故选:D4.从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛,则推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是( )A .B .C .D .【考点】古典概型及其概率计算公式.【分析】本题是一个等可能事件的概率,试验发生所包含的事件数是C 52种结果,满足条件的事件是抽到的2名学生恰好是1男1女,有C 31C 21,进而得到概率.【解答】解:从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛,共有C 52=10种选法, 选出的2名选手恰好是1男1女有C 31C 21=6种,故推选出的2名选手恰好是1男1女的概率是=,故选:C .5.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数字著作《数书九章》,称为“秦九韶算法”.执行该程序框图,若输入x=2,n=5,则输出的v=( )A.26 B.48 C.57 D.64【考点】程序框图.【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值,模拟程序的运行过程,可得答案.【解答】解:模拟程序的运行,可得x=2,n=5,v=1,k=2执行循环体,v=4,k=3满足条件k<5,执行循环体,v=11,k=4满足条件k<5,执行循环体,v=26,k=5不满足条件k<5,退出循环,输出v的值为26.故选:A.6.一个圆柱挖去一部分后,剩余部分的三视图如图所示,则剩余部分的表面积等于()A.39π B.48π C.57π D.63π【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图可知该几何体是:一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥,由三视图求出几何元素的长度,由圆柱、圆锥的侧面积公式求出剩余部分的表面积.【解答】解:根据三视图可知该几何体是:一个圆柱在上底面挖去了一个同底等高的圆锥,且圆柱底面圆的半径为3,母线长是4,则圆锥的母线长是=5,∴剩余部分的表面积S=π×32+2π×3×4+π×3×5=48π,故选:B.7.已知x,y满足约束条件,则的最大值是()A.﹣2 B.﹣1 C.D.2【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用直线的斜率公式,结合数形结合进行求解即可.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图,则的几何意义是区域内的点到原点的斜率,由图象知OA的斜率最大,由得,即A(2,4),此时的最大值是,故选:D8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=b(0<b<A)相交,其中一个交点P的横坐标为4,若与P相邻的两个交点的横坐标为2,8,则函数f(x)()A.在[0,3]上是减函数B.在[﹣3,0]上是减函数C.在[0,π]上是减函数D.在[﹣π,0]上是减函数【考点】正弦函数的图象.【分析】先根据正弦函数的图象的对称性可得函数f(x)的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6,且函数f(x)在[3,6]上单调递减,故f(x)在[0,3]上是增函数,在[﹣3,0]上是减函数,从而得出结论.【解答】解:∵函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=b(0<b<A)相交,其中一个交点P的横坐标为4,若与P相邻的两个交点的横坐标为2,8,则函数f(x)的图象的相邻的两条对称轴分别为x=3和x=6,且函数f(x)在[3,6]上单调递减,故f(x)在[0,3]上是增函数,在[﹣3,0]上是减函数,故选:B.9.设函数f(x)=e x+ax在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为()A.[﹣1,+∞)B.(﹣1,+∞)C.[0,+∞)D.(0,+∞)【考点】利用导数研究函数的单调性.【分析】函数f(x)=e x+ax在区间(0,+∞)上单调递增⇔函数f′(x)=e x+a≥0在区间在区间(0,+∞)上成立.(0,+∞)上恒成立⇔a≥[﹣e x]min【解答】解:f′(x)=e x+a,∵函数f(x)=e x+ax在区间(0,+∞)上单调递增,∴函数f′(x)=e x+a≥0在区间(0,+∞)上恒成立,∴a≥[﹣e x]在区间(0,+∞)上成立,min∵在区间(0,+∞)上﹣e x<﹣1,∴a≥﹣1,故选:A.10.正三棱柱的底面边长为,侧棱长为2,且三棱柱的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.4πB.8πC.12π D.16π【考点】球的体积和表面积.【分析】根据正三棱柱的对称性,它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点.再由正三角形的性质和勾股定理,结合题中数据算出外接球半径,用球表面积公式即可算出该球的表面积.【解答】解:设三棱柱ABC﹣A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′,,根据图形的对称性,可得外接球的球心在线段OO′中点O1∵OA=AB=1,OO=AA′=11A=∴O1因此,正三棱柱的外接球半径R=,可得该球的表面积为S=4πR2=8π故选:B.11.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且f(x)在(﹣∞,0)上是减函数,f(2)=0,g(x)=f(x+2),则不等式xg(x)≤0的解集是()A.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)B.[﹣4,﹣2]∪[0,+∞)C.(﹣∞,﹣4]∪[﹣2,+∞)D.(﹣∞,﹣4]∪[0,+∞)【考点】奇偶性与单调性的综合.【分析】由题意可得g(x)关于点(﹣2,0)对称,g(0)=f(2)=0,g(﹣4)=f(﹣2)=0,画出g(x)的单调性示意图,数形结合求得不等式xg(x)≤0的解集.【解答】解:由题意可得g(x)的图象是把f(x)的图象向左平移2个单位得到的,故g(x)关于点(﹣2,0)对称,g(0)=f(2)=0,g(﹣4)=f(﹣2)=0,它的单调性示意图,如图所示:根据不等式xg(x)≤0可得,x的符号和g(x)的符号相反,∴xg(x)≤0的解集为(﹣∞,﹣4]∪[﹣2,+∞),故选:C.12.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B在C上,且点F是△AOB的重心,则cos∠AFB为()A.﹣ B.﹣ C.﹣D.﹣【考点】抛物线的简单性质.【分析】设A(m,)、B(m,﹣),则=,p=,可得A的坐标,求出AF,利用二倍角公式可求.【解答】解:由抛物线的对称性知,A、B关于x轴对称.设A(m,)、B(m,﹣),则=,∴p=.∴A(m, m),∴AF=m,∴cos∠AFB==,∴cos∠AFB=2cos2∠AFB﹣1=﹣.故选:D.二、填空题13.若和是两个互相垂直的单位向量,则|+2|= .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】计算()2,然后开方即可.【解答】解:∵和是两个互相垂直的单位向量,∴,.∴()2==5,∴||=.故答案为:.14.已知α为锐角,cosα=,则sin(﹣α)= .【考点】两角和与差的正弦函数.【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα,利用特殊角的三角函数值及两角差的正弦函数公式化简所求即可计算得解.【解答】解:∵α为锐角,cosα=,∴sin==,∴sin(﹣α)=sin cosα﹣cos sinα=﹣×=.故答案为:.15.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边长分别是x+1,x,x﹣1,且∠A=2∠C,则△ABC 的周长为15 .【考点】余弦定理.【分析】由已知及正弦定理,二倍角的正弦函数公式可得:cosC=,又由余弦定理可得:cosC=,从而可得=,解得x,即可得解三角形的周长.【解答】解:∵∠A,∠B,∠C所对的边长分别是x+1,x,x﹣1,且∠A=2∠C,∴由正弦定理可得:,∴,可得:cosC=,又∵由余弦定理可得:cosC=,∴=,整理即可解得x=5,∴△ABC的周长为:(x+1)+x+(x﹣1)=3x=15.故答案为:15.16.已知圆C:(x﹣a)2+y2=1(a>0),过直线l:2x+2y+3=0上任意一点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,若∠APB为锐角,则a的取值范围为(,+∞).【考点】圆的切线方程.【分析】作出直线l和圆C,PA,PB为圆的两条切线,连接AC,BC,PC,由∠APB为锐角,可得0<∠APC<,运用解直角三角形可得可得1<PA恒成立,由勾股定理可得PA2=PC2﹣1,求得PC的最小值,可得PA的最小值,解不等式即可得到所求a的范围.【解答】解:作出直线l和圆C,PA,PB为圆的两条切线,连接AC,BC,PC,由圆心C(a,0)到直线l的距离为d=>>1,可得直线和圆相离.由∠APB为锐角,可得0<∠APC<,即0<tan∠APC<1,在Rt△APC中,tan∠APC==,可得1<PA恒成立,由勾股定理可得PA2=PC2﹣1,当PC⊥l时,PC取得最小值,且为,即有1<,解得a>.故答案为:(,+∞).三、解答题17.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n =2a n ﹣1.(1)证明:数列{a n }是等比数列;(2)求数列{na n }的前n 项和T n .【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.【分析】(1)由S n =2a n ﹣1.可得当n=1时,a 1=2a 1﹣1,解得a 1.当n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1,化为:a n =2a n ﹣1.利用等比数列的通项公式即可得出.(2)由(1)可得:a n =2n ﹣1.na n =n •2n ﹣1.利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出.【解答】(1)证明:∵S n =2a n ﹣1.∴当n=1时,a 1=2a 1﹣1,解得a 1=1.当n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣1﹣(2a n ﹣1﹣1),化为:a n =2a n ﹣1.∴数列{a n }是等比数列,首项为1,公比为2.(2)解:由(1)可得:a n =2n ﹣1.na n =n •2n ﹣1.∴数列{na n }的前n 项和T n =1+2×2+3×22+…+n •2n ﹣1,2T n =2+2×22+…+(n ﹣1)•2n ﹣1+n •2n ,∴﹣T n =1+2+22+…+2n ﹣1﹣n •2n =﹣n •2n =(1﹣n )•2n ﹣1,∴T n =(n ﹣1)•2n +1.18.在四棱锥P ﹣ABCD 中,底面ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°,PC ⊥BD .(1)证明:PB=PD ;(2)若平面PBD ⊥平面ABCD ,且∠DPB=90°,求点B 到平面PDC 的距离.【考点】点、线、面间的距离计算.【分析】(1)如图所示,连接AC 交BD 于点O ,连接OP .利用菱形的性质可得AC ⊥BD ,利用线面垂直的判定与性质定理可证明BD ⊥PO .又O 是BD 的中点,可得PB=PD .(2)底面ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°,可得△PBD 与△BCD 都是等边三角形.由平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ∩平面ABCD=BD ,PO ⊥BD .可得PO ⊥平面ABCD ,因此PO ⊥AC ,又AC⊥BD,可建立如图所示的空间直角坐标系.设平面PCD的法向量=(x,y,z),则,利用点B到平面PDC的距离d=即可得出.【解答】(1)证明:如图所示,连接AC交BD于点O,连接OP.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,又PC⊥BD,且PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC.则BD⊥PO.又O是BD的中点,∴PB=PD.(2)解:底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°,∴△PBD与△BCD都是等边三角形.∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,PO⊥BD.∴PO⊥平面ABCD,∴PO⊥AC,又AC⊥BD,可建立如图所示的空间直角坐标系.∵∠DPB=90°,PB=PD,BD=2,∴PO=1,∴P(0,0,1),B(1,0,0),D(﹣1,0,0),C(0,,0),=(﹣1,0,﹣1),=(0,,﹣1),=(1,﹣,0),设平面PCD的法向量=(x,y,z),则,∴,取=,则点B到平面PDC的距离d===.19.PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物,它对人体健康和大气环境质量的影响很大.2012年2月,中国发布了《环境空气质量标准》,开始大力治理空气污染.用x=1,2,3,4,5依次表示2013年到2017年这五年的年份代号,用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值(单位:μg/m3).已知某市2013年到2016年每年3月份PM2.5指数的平均值的折线图如图:(1)根据折线图中的数据,完成表格:年份2013 2014 2015 2016年份代号(x) 1 2 3 4PM2.5指数(y)(2)建立y关于x的线性回归方程;(3)在当前治理空气污染的力度下,预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值.附:回归直线方程=x+中参数的最小二乘估计公式;=, =﹣.【考点】线性回归方程.【分析】(1)根据折线图中的数据,完成表格即可;(2)计算线性回归方程中的系数,可得线性回归方程;(3)x=5代入线性回归方程,可得结论.【解答】解:(1)年份2013 2014 2015 2016年份代号(x) 1 2 3 4PM2.5指数(y)90 88 70 64(2)=2.5, =78,(xi ﹣)(yi﹣)=﹣48,=5,==﹣9.6, =﹣=102,∴y关于x的线性回归方程是: =﹣9.6x+102;(3)2017年的年份代号是5,当x=5时, =﹣9.6×5+102=54,∴该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值的预测值是54μg/m3.20.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为6.(1)求椭圆C的方程;(2)设过点C的左焦点F的直线l交C于A,B两点,是否存在常数λ,使||=λ•恒成立,若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)由=,2a+2c=6,a2=b2+c2,联立解出即可得出椭圆C的方程.(2)F(﹣1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).当直线l的斜率不存在时,x1=﹣1,不妨取y1=,可得λ==﹣.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程整理为:(4k2+3)x2+8k2x+4k2﹣12=0,△>0,利用根与系数的关系可得=,•=(x1+1)(x2+1)+y1y2,计算即可得出.【解答】解:(1)∵=,2a+2c=6,a2=b2+c2,解得a=2,c=1,b2=3.∴椭圆C的方程为=1.(2)F(﹣1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).当直线l的斜率不存在时,x1=﹣1,不妨取y1=,||=3, =, =.•=,则λ===﹣.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),则,整理为:(4k2+3)x2+8k2x+4k2﹣12=0,△=64k4﹣4(4k2+3)(4k2﹣12)=122(1+k2)>0,x 1+x2=,x1x2=.==,=(x1+1,y1),=(x2+1,y2)..• =(x1+1)(x2+1)+y1y2=(k2+1)[x1x2+(x1+x2)+1]=,则==﹣.综上所述:可得存在常数λ=﹣,使||=λ•恒成立.21.已知函数f(x)=+b在x=1处的切线方程为x+y﹣3=0.(1)求a,b.(2)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】(1)求出函数的导数,根据f(1)=2,f′(1)=﹣1,求出a,b的值即可;(2)问题转化为(x﹣﹣2lnx)>0,令g(x)=x﹣﹣2lnx,(x>0),求出g(x)的单调区间,从而证出结论即可.【解答】解:(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f(x)=+b,切点是(1,2),∴f(1)=b=2,f′(x)=,∴f′(1)=a=﹣1,故a=﹣1,b=2;(2)证明:由(1)得:f(x)=+2,f(x)>,∴(x﹣﹣2lnx)>0,令g(x)=x﹣﹣2lnx,(x>0),则g′(x)=(x﹣1)2>0,∴g(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递增,∵g(1)=0,∴g(x)>0⇔x>1,g(x)<0⇔0<x<1,∴x>1时, g(x)>0,0<x<1时, g(x)>0,x>0且x≠1时,(x﹣﹣2lnx)>0,∴当x>0,且x≠1时,f(x)>.[选修4-1:几何证明选讲]22.如图,E为⊙O上一点,点A在直径BD的延长线上,过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C,CE=CB.(1)证明:AE2=AD•AB.(2)若AE=4,CB=6,求⊙O的半径.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(1)证明AC是⊙O的切线,根据切割线定理可得:AE2=AD•AB.(2)根据切割线定理求出AD,即可求⊙O的半径.【解答】(1)证明:∵过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点C,∴∠CBO=∠CBE+∠OBE=90°.∵CE=CB,OE=OB,∴∠CEB=∠CBE,∠OEB=∠OBE,∴∠CEO=∠CEB+∠OEB=∠CBE+∠OBE=90°,∴CE⊥OE,∵OE是⊙O的半径,∴AC是⊙O的切线,根据切割线定理可得AE2=AD•AB.(2)解:∵CE=CB=6,AE=4,∴AC=10,∴AB=8∵AE2=AD•AB,AE=4,∴42=AD•8,∴AD=2,∴BD=8﹣2=6,∴⊙O的半径为3.[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]23.已知曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣8cosθ=0,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.在直角坐标系中,倾斜角为α的直线l过点P(2,0).(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)设点Q和点G的极坐标分别为(2,),(2,π),若直线l经过点Q,且与曲线C相交于A,B两点,求△GAB的面积.【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.【分析】(1)ρsin2θ﹣8cosθ=0,化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0,令,即可得出直角坐标方程.直线l的参数方程为:(t为参数).(2)点Q和点G的极坐标分别为(2,),(2,π),分别化为:Q(0,﹣2),G(﹣2,0).kl=1,倾斜角为,可得直线l的参数方程:(t为参数).将参数方程代入曲线C的方程可得:t2﹣8t﹣32=0,设t1与t2为此方程的两个实数根,可得|AB|=|t1﹣t2|=.点G到直线l的距离d.即可得出S△GAB=|BA|•d.【解答】解:(1)ρsin2θ﹣8cosθ=0,化为ρ2sin2θ﹣8ρcosθ=0,∴直角坐标方程为:y2=8x.直线l的参数方程为:(t为参数).(2)点Q和点G的极坐标分别为(2,),(2,π),分别化为:Q(0,﹣2),G(﹣2,0),kl==1,倾斜角为,直角坐标方程为:y=x﹣2.可得直线l的参数方程:(t为参数).将参数方程代入曲线C的方程可得:t2﹣8t﹣32=0,△=128+4×32>0,设t1与t2为此方程的两个实数根,可得:t1+t2=,t1t2=﹣32.∴|AB|=|t1﹣t2|===16.点G到直线l的距离d==2.∴S △GAB=|BA|•d==16.[选修4-5:不等式选讲]24.已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)的值域是[m,n],且a2+b2=m,c2+d2=n,求ac+bd的取值范围.【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】(1)记g(x)=|x+3|﹣|x﹣1|+5,分类讨论求得g(x)=,从而求值域;(2)由柯西不等式知(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,从而求取值范围.【解答】解:(1)记g(x)=|x+3|﹣|x﹣1|+5,则g(x)=,故g(x)∈[1,9],故f(x)∈[1,3].(2)由(1)知,a2+b2=1,c2+d2=3,由柯西不等式知,(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,(当且仅当ad=bc时,取等号;)即(ac+bd)2≤3,故﹣≤ac+bd≤,故ac+bd的取值范围为[﹣,].2016年9月12日。
2023-2024学年辽宁省沈阳市东北高考数学质量检测模拟试题(二模)含答案
2023-2024学年辽宁省沈阳市东北高考数学模拟试题(二模)一、单选题1.若M ,N 是U 的非空子集,M N M ⋂=,则()A .M N ⊆B .N M ⊆C .U M N=ðD .U N M=ð【正确答案】A【分析】根据集合的交集结果可得集合的包含关系即可一一判断.【详解】因为M N M ⋂=,所以M N ⊆,A 正确,B 错误;因为M ,N 是U 的非空子集,所以U M N ≠ð,U N M ≠ð,C,D 错误,故选:A.2.已知12i z =-,且a za z+⋅为实数,则实数=a ()A .2-B .1-C .1D .2【正确答案】A【分析】先通过复数运算化简复数,然后根据复数为实数的条件建立a 的方程求解【详解】因为12i 32(2)i(12i)5a z a a a a z a a++---+==⋅+为实数,所以2a =-.故选:A3.石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具.如图,石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成,一个直径为60cm 的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100cm ,碾滚最外侧正上方为点A ,若人推动拉杆绕碾盘转动一周,则点A 距碾盘的垂直距离约为()A .15cmB .cmC .(30-cmD .45cm【正确答案】A【分析】根据题意求出人推动拉杆绕碾盘转动一周,点A 所转过的角度进而确定点A 所在位置,利用角度和半径即可求出点A 到碾盘的垂直距离.【详解】由题意碾滚最外侧滚过的距离为2100cm 200cm ππ⨯=,碾滚的周长为230cm 60cm ππ⨯=,所以碾滚滚过20010603ππ=圈,即滚过了1036033601203⨯︒=⨯︒+︒,所以点A 距碾盘的垂直距离为()3030cos 18012015cm -⨯︒-︒=.故选:A.4.在ABC 中,60B O ︒=,是ABC 的外心,若2OB =,则AO AC ∙=()A .32B .3C .6D .【正确答案】C【分析】取AC 中点H ,连接OH ,由已知及正弦定理可求OAH ∠,AC ,再根据平面向量的数量积运算求解即可.【详解】如图,取AC 中点H ,连接OH ,则OH AC ⊥,60AOH B ︒∠==,所以30OAH ︒∠=,在ABC 中,60B ︒=,2r OB ==,由正弦定理得2sin ACr B=,所以2sin 22AC r B ==⨯=所以cos 26AO AC AO AC OAH =∠=⨯= ,故选:C .5.已知正实数,x y 满足121x y+=,则22xy x y --的最小值为()A .2B .4C .8D .9【正确答案】C【分析】化简已知式可得222xy x y x y --=+,因为()()12212x y x y x y ⎛⎫+⋅=++ ⎪⎝⎭,由基本不等式求解即可.【详解】()()122221222xy x y xy x y xy x yx y ⎛⎫--=⋅-+=⋅+-+ ⎪⎝⎭=2422y x x y x y +-+=+,而()()1242124428x y x y x y x y y x ⎛⎫+⋅=++=++≥+ ⎪⎝⎭,当且仅当4121x yy x x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即2,4x y ==取等.故选:C.6.“m =0是“直线()12110mx m l y +-+=:与直线()22110l mx m y +--=:之间的距离为2”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据平行线间的距离公式可得0m =或45m =,进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.【详解】两条平行线间的距离2d ==,即2540m m -=,解得0m =或45m =,即“0m =”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.故选:A.7.已知点F 是抛物线2:2(0)M y px p =>的焦点,过点F 作两条互相垂直的直线分别与拋物线交于点,A B 和,C D ,且2AF BF AB =,则四边形ACBD 面积的最小值为()A .4B .8C .16D .32【正确答案】B【分析】首先根据焦半径公式表示条件,再利用直线与抛物线方程联立,利用韦达定理表示条件,可求得p ,再利用弦长公式表示四边形的面积,利用基本不等式求最值.【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y ,()44,D x y ,,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,12p AF x =+,22pBF x =+,12AB x x p =++,所以1212222p p x x x x p ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即()212121222p x x p x x x x p +++=++,①设直线AB :2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,联立抛物线方程22y px =,得()22222204k p k x pk p x -++=,得1222p x x p k +=+,2124p x x =,②,将②代入①得,1p =所以222222p AB p k k=+=+,因为直线AB 与CD 垂足,则222222CD p pk k =+=+,则四边形ACBD 面积()2211222222S AB CD k k ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭2211424228k k k k ⎛⎫=++≥+⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭,当1k =±时,等号成立,所以四边形ACBD 面积的最小值是8.故选:B 8.设a =,31sin 460b =,61ln 60c =,则a ,b ,c 的大小关系正确的是()A .c a b <<B .c b a <<C .b<c<aD .a b c<<【正确答案】C【分析】构造函数()ln(1)si 3n 4f x x x =+-,求导确定单调区间,得到c b >,再构造函数()ln(1)3g x x =-+,求导确定单调区间得到a c >,得到答案.【详解】设()ln(1)si 3n 4f x x x =+-,103x <<,则13()cos 14f x x x '=-+,103x <<,31141x <<+,33cos 44x <,故()0f x '>,()f x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故()(0)0f x f >=,当103x <<时,3ln(1)4x x +>恒成立,令110,603x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,则6131ln sin 60460>,即c b >;设()ln(1)g x x =-+,1040x <<,则1()1g x x '==+,又22113)8x -=-+=-,故1x -⎛ ⎝上单调递减,111040x -+>+>,故()0g x '>,则函数()g x 在10,40⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,即()(0)0g x g >=,故当1040x <<ln(1)x >+恒成立,令110,6040x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭61ln 60=,即a c >,综上所述.b<c<a 故选:C关键点睛:本题考查了利用导数比较函数值的大小问题,意在考查学生的计算能力,转化能力和综合应用能力,其中构造函数,求导,利用函数的单调性比较大小是解题的关键.二、多选题9.一批产品中有3个正品,2个次品.现从中任意取出2件产品,记事件A :“2个产品中至少有一个正品”,事件B :“2个产品中至少有一个次品”,事件C :“2个产品中有正品也有次品”,则下列结论正确的是()A .事件A 与事件B 为互斥事件B .事件B 与事件C 是相互独立事件C .()()P AB P C =D .()23P C A =【正确答案】CD【分析】根据事件的相关概念可判断ABC ,计算出()P C A 可判断D.【详解】因为事件A 与事件B 可以同时发生,故A 错误;事件B 包含事件C ,所以事件B 与事件C 不是相互独立事件,故B 错误;因为AB C =,所以()()P AB P C =,故C 正确;()()()()()11322511232325C C C 2C C C 3C P AC P C P C A P A P A ====+,故D 正确;故选:CD10.在△ABC 中,已知a =2b ,且111tan tan sin A B C+=,则()A .a ,c ,b 成等比数列B .sin :sin :sin 2A BC =C .若a =4,则ABC S =△D .A ,B ,C 成等差数列【正确答案】ABC【分析】首先根据三角恒等变换,将已知条件化简得2c ab =,再结合条件2a b =,再依次判断选项即可得到答案.【详解】因为111tan tan sin A B C+=,所以()sin cos cos sin cos cos sin sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B B A B A C A B A B A B A B C+++====,即2sin sin sin C A B =,即2c ab =.对选项A ,因为2c ab =,所以a 、c 、b 成等比数列,故A 正确;对选项B ,因为2a b =,222c ab b ==,即c =,所以::2a b c =即sin :sin :sin 2A B C =B 正确;对选项C ,若4a =,则2b =,c =则22242cos8B +-==,因为0πB <<,所以sin 8B =.故1428ABC S =⨯⨯=△,故C 正确.对选项D ,若A 、B 、C 成等差数列,则2B A C =+.又因为πA B C ++=,则π3B =.因为::2a b c =2a k =,b k =,c =,0k >,则()22221cos82k k B +-==≠,故D 错误.故选:ABC11.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠,且满足()1402n n n a S S n -+=≥,114a =,则下列说法正确的是()A .数列{}n a 的前n 项和为4n S n=B .数列{}n a 的通项公式为()141n a n n =+C .数列{}n a 不是递增数列D .数列1n S ⎧⎫⎨⎩⎭为递增数列【正确答案】CD【分析】确定()11402n n n n S S S S n ---+=≥得到1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4,公差为4的等差数列,得到14n S n =即n a 的通项公式,再依次判断每个选项得到答案.【详解】()1402n n n a S S n -+=≥,则()11402n n n n S S S S n ---+=≥,即()11142n n n S S --=≥,故1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4,公差为4的等差数列,故14n n S =,即14n S n =,()()111144244441n n n a S S n n n n n -=-=-⨯⨯=-≥--,114a =.对选项A :14n S n=,错误;对选项B :()()1,1 41241n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩,错误;对选项C :114a =,218a =-,故数列{}n a 不是递增数列,正确;对选项D :14nn S =,故数列1n S ⎧⎫⎨⎩⎭为递增数列,正确;故选:CD.12.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F ,G 分别为线段1CC ,CD ,CB 上的动点(E ,F ,G 均不与点C 重合),则下列说法正确的是()A .存在点E ,F ,G ,使得1A E ⊥平面EFGB .存在点E ,F ,G ,使得FEG EFC EGC π∠+∠+∠=C .当1A C ⊥平面EFG 时,三棱锥1A EFG -与C -EFG 体积之和的最大值为12D .记CE ,CF ,CG 与平面EFG 所成的角分别为α,β,γ,则222sin sin sin 1αβγ++=【正确答案】ACD【分析】以点D 为原点建立空间直角坐标系,设(](),,,,,0,1CF a CG b CE c a b c ===∈,对于A ,当BD FG 时,易证得1FG A E ⊥,则要使1A E ⊥平面EFG ,只需1A E EF ⊥即可,利用向量法即可得出结论;对于B ,要使FEG EFC EGC π∠+∠+∠=,只需要FEG FEC GEC ∠=∠+∠即可,判断FEG ∠和FEC GEC ∠+∠是否相等,即可;对于C ,根据1A C ⊥平面EFG ,可得,,a b c 的关系,由113A EFG C EF GG V V AC S --+=⋅,只要求出EFG S 的最大值即可;对于D ,利用等体积法求出C 到平面EFG 的距离d ,分别求出sin ,sin ,sin αβγ,即可判断.【详解】解:如图,以点D 为原点建立空间直角坐标系,设(](),,,,,0,1CF a CG b CE c a b c ===∈,对于A ,因为1AA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以1AA BD ⊥,又因1,AC BD AC AA A ⊥⋂=,所以BD ⊥平面11AAC C ,又1A E ⊂平面11AAC C ,所以1BD A E ⊥,当BD FG 时,1FG A E ⊥,此时CF CG =,要使1A E ⊥平面EFG ,只需1A E EF ⊥即可,()()()11,0,1,0,1,0,0,1,A F a E c -,则()()11,1,1,0,,A E c EF a c =--=--,则()110A E EF a c c ⋅=---= ,即2a c c =-,当14a =时,12c =,故存在点E ,F ,G ,使得1A E ⊥平面EFG ,故A 正确;对于B ,,22EFC FEC EGC GEC ππ∠=-∠∠=-∠,则FEG EFC EGC FEG FEC GEC π∠+∠+∠=+∠-∠-∠,要使FEG EFC EGC π∠+∠+∠=,只需要FEG FEC GEC ∠=∠+∠即可,EF EG ===2222222cos a c b c a b FEG +++-+∠,cos FEC GEC∠=∠=则sin FEC GEC ∠=∠,故()2cos FEC GEC ∠+∠=因为0ab >,所以()cos cos FEC GEC FEG ∠+∠≠∠,所以FEG FEC GEC ∠≠∠+∠,所以不存在点E ,F ,G ,使得FEG EFC EGC π∠+∠+∠=,故B 错误;对于C ,因为1A C ⊥平面EFG ,所以1133EFG EFG A EFG C EFG V V AC S S --+=⋅= ,()()()()()11,0,1,0,1,0,0,1,,,1,0,0,1,0A F a E c G b C -,则()()()1,,0,,0,,1,1,1FG b a EG b c A C ==-=--,则110A C FG b a A C EG b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ,所以a b c ==,要使EFG S 最大,则1a b c ===,此时EFG S = 所以体积之和的最大值为12,故C 正确;对于D ,由B ,sin FEG ∠=,则1sin 2EFG S EF EG FEG =⋅⋅⋅∠=因为16E FCG V abc -=,所以C 到平面EFG 的距离d 满足1136EFG d S abc ⋅= ,所以d =所以sin CE α==,sin d CF β=sin d CG γ==,所以222222222222222sin sin sin 1a b a c c b a b a c c b αβγ++++++==,故D 正确.故选:ACD.三、填空题13.已知一组样本数据12310,,x x x x ,且222212310185x x x x ++++=,平均数4x =,则该组数据的方差s 2=________;【正确答案】2.5【分析】利用平均数求得所有数据的和,代入方差公式中,结合已知可得方差.【详解】由题意知1231041040x x x x +++=⨯= ,又2s =222212310444410x x x x -+-+-++- ()()()()=222212310123108161010x x x x x x x x ++++-++++⨯ =185840161010-⨯+⨯=18.5-32+16=2.5.故答案为2.5.本题考查了平均数与方差的定义及利用公式求值,考查了运算能力,属于基础题.14.已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 且倾斜角为4π的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若2//BF OA ,则C 的离心率为______.【分析】首先根据题意,设出直线的方程,之后与双曲线的渐近线联立,分别求出A ,B 两点的坐标,之后根据题中条件2//BF OA ,得出A 是1F B 的中点,根据中点坐标公式,得出其坐标间的关系,借助双曲线中,,a b c 的关系,求得该双曲线的离心率.【详解】设直线l 的方程为y x c =+,两条渐近线的方程分别为by x a =-和b y x a=,分别联立方程组,求得(,),(,)ac bc ac bcA B a b a b b a b a-++--,由2//BF OA ,O 为12F F 的中点得A 是1F B 的中点,所以有2ac acc b a a b-+=--+,整理得3b a =,结合双曲线中,,a b c 的关系,可以的到c e a ==故答案为15.已知圆()()()222111:220C x y r r -+-=>,圆()()()222222:110,C x y r r +++=>圆1C 与圆2C 相切,并且两圆的一条外公切线的斜率为7,则12rr 为_________.【正确答案】7225【分析】根据题意作出如下图形:由圆方程求出圆心连线斜率为:1k =,计算出圆心距121232C C r r ==+,再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角,从而在直角三角形12EC C 中列方程求得124r r =,联立方程即可求出1325r =,2122r =【详解】根据题意作出如下图形:AB 为两圆的公切线,切点分别为A,B.当公切线AB 与直线12C C 平行时,公切线AB 斜率不为7,即12r r ≠不妨设12r r <过1C 作AB 的平行线交2AC 于点E ,则:221EC r r =-,1AB EC =且1//AB EC ()()221212212132C C r r =+++==+,直线12C C 的斜率为:21121k +==+,所以直线AB 与直线12C C 的夹角正切为.173tan 174α-==+在直角三角形12EC C 中,2134EC EC =,所以12143EC r r =-,又2221212EC EC C C +=,整理得:()()22221211243r r r r r r ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭,解得:124r r =,又12r r =+,解得:15r =,25r =,所以12rr=725525⨯=.本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式,还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想,属于中档题.16.已知函数()1ln f x x m x x=--有三个零点,则实数m 的取值范围是______.【正确答案】()2,+∞【分析】求导得到导函数,构造21y x mx =-+,确定0∆>,排除2m <-的情况,确定函数的单调性,确定()10f =,()10f x >,()20f x <,根据零点存在定理得到答案.【详解】()1ln f x x m x x=--,()0,x ∈+∞,()222111m x mx f x x x x -+'=+-=,设21y x mx =-+,24m ∆=-,当0∆≤时,210y x mx =-+≥恒成立,即()0f x '≥恒成立,()f x 单调递增,不满足;故0∆>,即m>2或2m <-,当2m <-时,()0f x '≥在()0,∞+上恒成立,()f x 单调递增,不满足,故m>2,现证明m>2时满足条件:设方程的两个解为1x ,2x ,不妨取12x x <,12121x x x x m =⎧⎨+=⎩,1201x x <<<,当()10,x x ∈和()2,x x ∈+∞时,()0f x ¢>,函数单调递增;当()12,x x x ∈时,()0f x '<,函数单调递减;()10f =,故()10f x >,()20f x <,当x 趋近0时,()f x 趋近-∞,当x 趋近+∞时,()f x 趋近+∞,故()f x 在()10,x 和()2,x +∞上分别有一个零点,满足条件.综上所述:实数m 的取值范围是()2,+∞.故答案为.()2,+∞关键点睛:本题考查了利用导数解决函数零点问题,意在考查学生的计算能力,转化能力和综合应用能力,其中,根据∆的大小分类讨论m 的取值范围是解题的关键,分类讨论是常用的数学方法,需要灵活掌握.四、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且114a =,116n n ta S +=+(*N ,n t ∈为常数).(1)若数列{}n a 为等比数列,求t 的值;(2)若4t >-,1lg n n b a +=,数列{}n b 前n 项和为n T ,当且仅当6n =时n T 取最小值,求实数t 的取值范围.【正确答案】(1)4t =(2)15742t <<-【分析】(1)先根据和项与通项关系求项之间递推关系,再根据等比数列定义确定212a a =,代入2a ,解得t 的值;(2)结合(1)中结论,根据等比数列定义求得()11*12422N 16n n n t a a n --++=⨯=∈,从而得到数列{}n b 是等差数列,根据等差数列前n 项和取最小值等价于项60b <且70b >,代入得不等式,由此解得实数t 的取值范围.【详解】(1)因为116n n ta S +=+,所以当2n ≥时,116n n t a S -=+,两式相减,得1n n n a a a +-=,则12n n a a +=,因为数列{}n a 为等比数列,则公比为2,又114a =,所以21122a a ==,又2141616t ta S +=+=,所以41162t +=,解得4t =,所以4t =.(2)由(1)得()122n n a a n +=≥,所以数列{}n a 是从第二项起,2416ta +=,公比为2的等比数列,所以()11*12422N 16n n n t a a n --++=⨯=⋅∈,所以()1144lg lg 2lg 1lg 21616n n n t t b a n -+=++⎛⎫=⋅=+-⎪⎝⎭,故数列{}n b 是等差数列,因为数列{}n b 前n 项和为n T ,当且仅当6n =时,n T 取最小值,所以60b <且70b >,即780,0lg lg a a <>,所以701a <<且81a >,所以5644021,211616t t ++<⋅<⋅>,即0821,1641t t <+<+>,所以15742t -<<-.18.已知平面向量()cos ,sin a x x =,()cos ,2sin b x x x =- ,记()f x a b =⋅ ,(1)对于π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,不等式()m f x n ≤≤(其中m ,R n ∈)恒成立,求m n -的最大值.(2)若ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且()1f B =,a ,b ,c 成等比数列,求11tan tan A C+的值.【正确答案】(1)32-(2)3【分析】(1)化简得到()π3sin 262f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,确定π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦得到12m ≤,2n ≥,得到最值.(2)计算得到π3B =,确定2b ac =,化简得到11sin tan tan sin sin B A C A C+=,根据正弦定理结合等比数列性质得到答案.【详解】(1)()()()22cos ,2sin 2c s cos sin co os ,s n si f x x x x x x x x x x ⋅=-=+1cos 2π31sin 2sin 22262x x x -⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭,π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,故π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,()1,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()m f x n ≤≤恒成立,故12m ≤,2n ≥,当2n =,12m =时,m n -有最大值为32-.(2)()1π3sin 262f B B ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭==,即π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,()0,πB ∈,ππ13π2,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,故π5π266B +=,π3B =,a ,b ,c 成等比数列,则2b ac =,()sin 11cos cos sin cos cos sin sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C C A C A BA C A C A C A C A C+++=+===2b ac ===19.如图,棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,P 为线段11B D 上动点.(1)证明:CP 平面1A BD ;(2)当直线BP 与平面11A BCD 所成的角正弦值为6时,求点D 到平面1A BP 的距离.【正确答案】(1)证明见解析【分析】(1)确定BD 平面11B CD ,1A B 平面11B CD 得到平面1A BD 平面11B CD ,得到证明.(2)建立空间直角坐标系,确定平面11A BCD 的一个法向量为()10,1,1n =,得到1a =,再确定法向量,再根据距离的向量公式计算得到答案.【详解】(1)11BD B D ∥,BD ⊄平面11B CD ,11B D ⊂平面11B CD ,故BD 平面11B CD ;同理可得:1A B 平面11B CD ;1A B BD B ⋂=,且1,A B BD ⊂平面1A BD ,故平面1A BD 平面11B CD ;CP ⊂11B CD ,故CP 平面1A BD ;(2)如图所示:以1,,DA DC DD 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系,则()12,0,2A ,()2,2,0B ,()0,2,0C ,设(),,2P a a ,[]0,2a ∈,()0,0,0D ,设平面11A BCD 的法向量为()1,,n m n p = ,则11120220n CB m n A B n p ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ,取1n =得到()10,1,1n =,()2,2,2BP a a =-- ,BP 与平面11A BCD 所成的角正弦值为:111cos ,n BP n BP n BP⋅==⋅1a =或3a =-(舍),设平面1A BP 的法向量为()2,,n x y z =u u r ,则21212200n A B y z n A P x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,取1y =得到()21,1,1=n ,则点D 到平面1A BP的距离223DB n d n ⋅==.20.甲、乙两名同学积极参与体育锻炼,对同一体育项目,在一段时间内甲进行了6次测试,乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分,达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表:次数同学第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593—乙76818085899694(1)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次,求该次测试成绩超过90分的概率;(2)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次,设X 表示这4次测试成绩达到优秀的次数,求X 的分布列及数学期望EX ;(3)从乙同学进行的7次测试中随机选取3次,设Y 表示这3次测试成绩达到优秀的次数,试判断数学期望EY 与(2)中EX 的大小.(结论不要求证明)【正确答案】(1)413(2)X 的分布列为X123P153515所以13110()12325555E X =⨯+⨯+⨯==.(3)()()E X E Y >【分析】(1)根据表格中的数据,代入古典概型的概率计算公式即可求解;(2)根据题意先求出所有X 的可能取值,然后分别求出每一个值对应的概率,列出分布列并计算出期望即可求解;(3)根据题意先求出所有Y 的可能取值,然后分别求出每一个值对应的概率,计算出期望与(2)中期望即可求解;【详解】(1)由题意可知:甲、乙两名同学共进行的13次测试中,测试成绩超过90分的共4次,由古典概型的概率计算公式可得413P =,所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次,求该次测试成绩超过90分的概率413P =.(2)由题意可知:从甲同学进行的6次测试中随机选取4次,这4次测试成绩达到优秀的次数X 的可能取值为1,2,3,则313346C C 131(1)C 155P X ⨯====;223346C C 333(2)C 155P X ⨯====;313346C C 131(3)C 155P X ⨯====,所以X 的分布列为X123P153515所以13110()12325555E X =⨯+⨯+⨯==.(3)由题意可知:从乙同学进行的7次测试中随机选取3次,这3次测试成绩达到优秀的次数Y 的可能取值为0,1,2,3,则303437C C 111(0)C 3535P Y ⨯====;213437C C 3412(1)C 3535P Y ⨯====;123437C C 3618(2)C 3535P Y ⨯====;033437C C 144(3)C 3535P Y ⨯====;所以Y 的分布列为Y123P13512351835435所以11218412()0123353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯,()()E X E Y >.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F -,其左顶点为A,上顶点为B ,且1F 到直线AB 的距离为||7OB (O 为坐标原点).(1)求C 的方程;(2)若椭圆2222:(01)x y E a bλλλ+=>≠且,则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆.已知椭圆E 是椭圆C 的3倍相似椭圆,直线:l y kx m =+与椭圆C ,E 交于四点(依次为M ,N ,P ,Q ,如图),且2PQ NQ MQ +=,证明:点(,)T k m 在定曲线上.【正确答案】(1)22143x y +=;(2)证明见解析.【分析】(1)由已知条件推导出2227(1)a b a +=-,221b a =-,由此能求出椭圆C 的方程.(2)分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元,可证明线段NP 、MQ 中点相同,然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =,由此可证明.【详解】(1)()(),0,0,A a B b - ,∴直线AB 的方程为1x ya b+=-,即0bx ay ab -+=,1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d =,2227(1)a b a ∴+=-,又221b a =-,解得2a =,b =∴椭圆C 的方程为:22143x y +=.(2)椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为221129x y +=,设N ,P ,M ,Q 各点坐标依次为1(x ,1)y ,2(x ,2)y ,3(x ,3)y ,4(x ,4)y ,将y kx m =+代入椭圆C 方程,得:222(34)84120k x kmx m +++-=,∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->,(*)122834km x x k +=-+,212241234m x x k -=+,12x x ∴-=将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=,342834km x x k ∴+=-+,234243634m x x k -=+,34x x -=1234x x x x ∴+=+,∴线段NP ,MQ 中点相同,MN PQ ∴=,由2PQ NQ MQ += 可得NM PN =,3P MQ N ∴=,所以3412||3||x x x x -=-,3=化简得221294k m +=,满足(*)式,∴2244193m k -=,即点(,)k m 在定曲线2244193y x -=上.22.已知函数()ln f x x =,2()(0)g x x ax a =->.(1)讨论函数()()()h x f x g x =+的极值点;(2)若()1212,x x x x <是方程3()1()0g x f x x x-+=的两个不同的正实根,证明.22124x x a +>【正确答案】(1)当a ∈,()h x 无极值点;当)a ∈+∞,()h x 的极大值点为4a ,(2)证明见解析.【分析】(1)令2()()()ln h x f x g x x x ax =+=+-,对()h x 求导后按判别式分类讨论求极值点;(2)通过层层分析和转化,将要证的不等式“22124x x a +>”最终转化为:“求证:当1x >时,12ln 0x x x-+<”.【详解】(1)2()()()ln h x f x g x x x ax =+=+-,函数()h x 的定义域为(0,)+∞,2121()2x ax h x x a x x-+'=+-=,28a ∆=-,①当a ∈,即0∆≤时,()0h x '≥恒成立,所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增,无极值点;②当)a ∈+∞,即0∆>时,方程2210x ax -+=有两个根3x ,4x ,解得34a x =,44a x +=且340x x <<,当0,4a x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时,()0h x '>,函数()h x 单调递增;当x ⎫⎪⎪⎝⎭∈时,()0h x '<,函数()h x 单调递减;当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时,()0h x '>,函数()h x 单调递增.所以,函数()h x(2)方程3()1()0g x f x x x-+=即方程2ln 0a x x +=,设2()ln a k x x x =+,(0,0)x a >>233122()a x a k x x x x-'=-=,(0)a >∴()k x在上递减,在)+∞上递增,依题意知()k x 有两个零点,∴0k <,即02a a <,解得102e a <<,且121222ln 0ln 0a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得212212ln ln a a x x x x -=-,设21(1)x t t x =>,∴22211ln a a t x t x =-,∴21211ln a x t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,要证明22124x x a +>,只需证()22114t x a +>,只需证()221114ln a t a t t ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭,只需证()22211112ln t tt ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭,只需证22212ln 0t t t -+<,记1()2ln (1)q x x x x x =-+>,22221(1)()10(1)x q x x x x x -'=--=-<>,∴()q x 在(1,)+∞上递减,∴()(1)0q x q <=∴12ln 0x x x -+<,故22212ln 0t t t-+<,即22124x x a +>.思路点睛:函数的单调性是函数的重要性质之一,它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关,但如果我们能挖掘其内在联系,抓住其本质,那么运用函数的单调性解题,能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识,并掌握好使用的技巧和方法,这是非常必要的.根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,是一种常用技巧.许多问题,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,有着非凡的功效.。
2020-2021学年辽宁省大连市金普新区九年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年辽宁省大连市金普新区九年级(上)期中数学试卷一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)1.(3分)下面给出了一些关于相似的命题,其中真命题是()A.任意两个平行四边形都相似B.任意两个菱形都相似C.任意两个矩形都相似D.任意两个正方形都相似2.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,各边都扩大2倍,则锐角A的正弦值()A.扩大2倍B.缩小C.不变D.无法确定3.(3分)已知2x=5y(y≠0),则下列比例式成立的是()A.B.C.D.4.(3分)已知抛物线的解析式为y=(x﹣2)2+1,则这条抛物线的顶点坐标是()A.(﹣2,1)B.(2,1)C.(2,﹣1)D.(1,2)5.(3分)如图,△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:2,若A (2,1),则点C的坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(2,4)D.(4,2)6.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则cos B的值等于()A.B.C.D.7.(3分)用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a(x﹣h)2+k的形式为()A.y=(x﹣4)2+7B.y=(x﹣4)2﹣25C.y=(x+4)2+7D.y=(x+4)2﹣258.(3分)若将抛物线y=2x2向上平移3个单位,所得抛物线的解析式为()A.y=2x2+3B.y=2x2﹣3C.y=2(x﹣3)2D.y=2(x+3)2 9.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC 于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为()A.B.﹣1C.2﹣D.10.(3分)函数y=ax2+ax+a(a≠0)的图象可能是下列图象中的()A.B.C.D.二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)11.(3分)在△ABC中,AB=13,AC=12,BC=5,则tan A的值是.12.(3分)抛物线y=2x2﹣5x+6与y轴的交点坐标是.13.(3分)若3a=2b,则的值为.14.(3分)比例尺为1:1000的图纸上某区域面积400cm2,则实际面积为m2.15.(3分)平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示,量得∠A为54°,∠B为36°,边AB的长为2.1m,BC边上露出部分BD的长为0.9m ,则铁板BC边被掩埋部分CD的长是m.(结果精确到0.1m.参考数据:sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,tan54°≈1.38).16.(3分)在广安市中考体考前,某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=﹣x2+x+,由此可知该生此次实心球训练的成绩为米.三、解答题(本题共4小题,其中17、18、20题各10分,19题9分,共39分)17.(10分)计算:|﹣2|×cos60°﹣sin45°.18.(10分)如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过A(﹣2,﹣1),B(1,3)两点,并且交x轴于点C,交y轴于点D,求tan∠OCD的值.19.(9分)如图,在△P AB中,点C、D在AB上,PC=PD=CD,∠APB=120°,△APC 与△BPD相似吗?为什么?20.(10分)已知二次函数y=ax2+bx+c中,其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示:x…01234…y…41014…(1)根据表格,画出此函数图象草图;(2)求出这个二次函数的解析式;(3)当y>3时,求x的取值范围.四、解答题(本题共3小题,其中21题9分,22、23题各10分,共29分)21.(9分)如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=α,且sinα=,AB=4,求AD的长.22.(10分)如图,已知二次函数y=x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D,与y轴交于点C,顶点为A,分别连接AB,BC,CD,DA.求:四边形ABCD的面积.23.(10分)如图,矩形ABCD且BC=2,∠ACB=30°,动点E在对角线AC上,连接ED,过点E作EF⊥DE,交BC于点F.(1)如图1,当AC平分角∠DEF时,求AE的长度;(2)若AE:CE=1:2,求BF:FC.五、解答题(本题共3小题,其中24、25小题各11分,26小题12分,共34分)24.(11分)如图,在锐角△ABC中,AB=AC=5,BD⊥AC于点D,BD=3,P在AB上,过点P作PE∥AC交边BC于点E,以PE为边作Rt△PEF,使∠EPF=90°,点F在点P的下方,且EF∥AB.设△PEF与△ABC重叠部分图形的面积为S,AP的长度为x .(1)填空:BP PE(填写>或=或<);(2)当F在边AC上时,求线段AP的长;(3)求S与x之间的函数关系式.25.(11分)Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是BC上一点,连接AD.(1)如图1,AB=CB,E是AB延长线上一点,CE与AD垂直.求证:BD=BE;(2)如图2,AB=CB,过点B作BF⊥AD,F为垂足,连接CF并延长交AB于点G.求证:=;(3)如图3,若AB=kBC且D是BC的中点,过点B作BF⊥AD,F为垂足,连接CF 并延长交AB于点G,直接写出tan∠BFG的值(用含k的式子表示).26.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2﹣2mx﹣3m.(1)抛物线的顶点坐标;(含m的式子表示)(2)当m=1时,①抛物线上一点P到x轴的距离为5,求点P的坐标;②当n≤x≤时,函数值y的取值范围是﹣≤y≤2﹣n,求n的值;(3)当2m﹣1≤x≤2m+1时,抛物线y=x2﹣2mx﹣3m上最低点的纵坐标为﹣5,求:m .2020-2021学年辽宁省大连市金普新区九年级(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个选项正确)1.(3分)下面给出了一些关于相似的命题,其中真命题是()A.任意两个平行四边形都相似B.任意两个菱形都相似C.任意两个矩形都相似D.任意两个正方形都相似【分析】利用相似多边形的定义分别判断后即可确定正确的选项.【解答】解:A、任意的平行四边形不一定相似,故错误,是假命题,不符合题意;B、任意两个菱形的对应边的比相等,但对应角不一定相等,故错误,是假命题,不符合题意;C、任意两个矩形的对应角相等,对应边的比不一定相等,故错误,是假命题,不符合题意;D、任意两个正方形都相似,正确,是真命题,符合题意,故选:D.【点评】考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解相似图形的定义,难度不大.2.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,各边都扩大2倍,则锐角A的正弦值()A.扩大2倍B.缩小C.不变D.无法确定【分析】根据锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦解答即可.【解答】解:设Rt△ABC的三边长为a,b,c,则sin A=,如果各边长都扩大5倍,∴sin A==,故∠A的正弦值大小不变.故选:C.【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A 的正弦是解题的关键.3.(3分)已知2x=5y(y≠0),则下列比例式成立的是()A.B.C.D.【分析】本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论.【解答】解:∵2x=5y,∴.故选:B.【点评】本题主要考查了比例的性质,在解题时要能根据比例的性质对式子进行变形是本题的关键.4.(3分)已知抛物线的解析式为y=(x﹣2)2+1,则这条抛物线的顶点坐标是()A.(﹣2,1)B.(2,1)C.(2,﹣1)D.(1,2)【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标.【解答】解:因为y=(x﹣2)2+1为抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(2,1).故选:B.【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标.5.(3分)如图,△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:2,若A (2,1),则点C的坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(2,4)D.(4,2)【分析】根据位似变换的性质计算,得到答案.【解答】解:∵△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为1:2,点A的坐标为(2,1),∴点C的坐标为(2×2,1×2),即(4,2),故选:D.【点评】本题考查的是位似变换的性质,在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k.6.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则cos B的值等于()A.B.C.D.【分析】在Rt△ABC中,∠C=90°,则∠A+∠B=90°,根据互余两角的三角函数的关系就可以求解.【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A+∠B=90°,则cos B=sin A=.故选:B.【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系.在直角三角形中,互为余角的两角的互余函数相等.7.(3分)用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a(x﹣h)2+k的形式为()A.y=(x﹣4)2+7B.y=(x﹣4)2﹣25C.y=(x+4)2+7D.y=(x+4)2﹣25【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案.【解答】解:y=x2﹣8x﹣9=x2﹣8x+16﹣25=(x﹣4)2﹣25.故选:B.【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式,正确配方是解题关键.8.(3分)若将抛物线y=2x2向上平移3个单位,所得抛物线的解析式为()A.y=2x2+3B.y=2x2﹣3C.y=2(x﹣3)2D.y=2(x+3)2【分析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可.【解答】解:由“上加下减”的原则可知,将二次函数y=2x2向上平移3个单位可得到函数y=2x2+3,故选:A.【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键.9.(3分)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,则tan∠DBC的值为()A.B.﹣1C.2﹣D.【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质推知BC=AC,DE=EC=DC,然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值.【解答】解:∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=45°,BC=AC.又∵点D为边AC的中点,∴AD=DC=AC.∵DE⊥BC于点E,∴∠CDE=∠C=45°,∴DE=EC=DC=AC.∴tan∠DBC===.故选:A.【点评】本题考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质.通过解直角三角形,可求出相关的边长或角的度数或三角函数值.10.(3分)函数y=ax2+ax+a(a≠0)的图象可能是下列图象中的()A.B.C.D.【分析】根据函数y=ax2+ax+a(a≠0),对a的正负进行分类讨论,排除有错误的选项,即可得出正确选项.【解答】解:在函数y=ax2+ax+a(a≠0)中,当a<0时,则该函数开口向下,顶点在y轴左侧,抛物线与y轴的负半轴相交,故选项D错误;当a>0时,则该函数开口向上,顶点在y轴左侧,抛物线与y轴的正半轴相交,故选项A、B错误;故选项C正确;故选:C.【点评】本题考查二次函数的图象,解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题.二、填空题(本题共6小题,每小题3分,共18分)11.(3分)在△ABC中,AB=13,AC=12,BC=5,则tan A的值是.【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形,再根据正切的定义即可求解.【解答】解:在△ABC中,AB=13,AC=12,BC=5,∵122+52=169,132=169,∴122+52=132,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∴tan A==.故答案为:.【点评】本题主要考查了解直角三角形,勾股定理的逆定理,两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.对于常见的勾股数如:3,4,5或5,12,13等要注意记忆.12.(3分)抛物线y=2x2﹣5x+6与y轴的交点坐标是(0,6).【分析】根据题意得出x=0,然后求出y的值,即可以得到与y轴的交点坐标.【解答】解:令x=0,得y=6,故与y轴的交点坐标是:(0,6).故答案为:(0,6).【点评】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识,正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键,此题难度不大.13.(3分)若3a=2b,则的值为﹣.【分析】直接利用已知得出a=b,进而代入原式求出答案.【解答】解:∵3a=2b,∴a=b,∴==﹣.故答案为:﹣.【点评】此题主要考查了比例的性质,正确代入化简是解题关键.14.(3分)比例尺为1:1000的图纸上某区域面积400cm2,则实际面积为4×104m2.【分析】根据面积比是比例尺的平方比,列比例式求得该区域的实际面积.【解答】解:设实际面积为xcm2,则400:x=(1:1000)2,解得x=4×108,4×108cm2=4×104m2.故实际面积为4×104m2.故答案为:4×104.【点评】本题考查了比例线段、比例尺的定义,掌握面积比是比例尺的平方比是解题的关键,注意单位间的换算.15.(3分)平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋,其示意图如图所示,量得∠A为54°,∠B为36°,边AB的长为2.1m,BC边上露出部分BD的长为0.9m ,则铁板BC边被掩埋部分CD的长是0.8m.(结果精确到0.1m.参考数据:sin54°≈0.81,cos54°≈0.59,tan54°≈1.38).【分析】首先根据三角函数求得BC的长,然后根据CD=BC﹣BD即可求解.【解答】解:在直角三角形中,sin A=,则BC=AB•sin A=2.1sin54°≈2.1×0.81=1.701,则CD=BC﹣BD=1.701﹣0.9,=0.801≈0.8(m),故答案为:0.8.【点评】本题主要考查了解直角三角形,正确利用三角函数解得BC的长是解题关键.16.(3分)在广安市中考体考前,某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析,发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=﹣x2+x+,由此可知该生此次实心球训练的成绩为10米.【分析】根据铅球落地时,高度y=0,把实际问题可理解为当y=0时,求x的值即可.【解答】解:当y=0时,y=﹣x2+x+=0,解得,x=﹣2(舍去),x=10.故答案为:10.【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义,需要结合题意,取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键.三、解答题(本题共4小题,其中17、18、20题各10分,19题9分,共39分)17.(10分)计算:|﹣2|×cos60°﹣sin45°.【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案.【解答】解:原式==1=.【点评】此题主要考查了实数运算,正确记忆相关数据是解题关键.18.(10分)如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过A(﹣2,﹣1),B(1,3)两点,并且交x轴于点C,交y轴于点D,求tan∠OCD的值.【分析】将A(﹣2,﹣1),B(1,3)代入一次函数y=kx+b,组成方程组,即可求出k、b的值,从而得到一次函数解析式,求出直线与x轴、y轴的交点坐标,即可求出tan ∠OCD的值.【解答】解:将A(﹣2,﹣1),B(1,3)分别代入y=kx+b得,,解得,∴y=x+,当x=0时,y=;当y=0时,x=﹣;∴C(﹣,0),D(0,),故OD=,OC=.在Rt△OCD中,∴tan∠OCD===.【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、锐角三角函数的定义,找到∠OCD 所在的三角形是解题的关键.19.(9分)如图,在△P AB中,点C、D在AB上,PC=PD=CD,∠APB=120°,△APC 与△BPD相似吗?为什么?【分析】由PC=PD=CD可判断△PCD为等边三角形,则∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,利用邻补角得到∠3=∠4=120°,又由于∠APB=120°,可计算出∠1+∠2=60°,加上∠A+∠2=60°,所以∠1=∠A,于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△P AC∽△BPD.【解答】解:△APC与△BPD相似.理由如下:如图,∵PC=PD=CD,∴△PCD为等边三角形,∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°,∴∠3=∠4=120°,∵∠APB=120°,∴∠1+∠2=120°﹣60°=60°,∵∠PCD=∠A+∠2=60°,∴∠1=∠A,∴△P AC∽△BPD.【点评】本题考查了相似三角形的判定:有两组角对应相等的两个三角形相似.也考查了等边三角形的判定与性质.20.(10分)已知二次函数y=ax2+bx+c中,其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示:x…01234…y…41014…(1)根据表格,画出此函数图象草图;(2)求出这个二次函数的解析式;(3)当y>3时,求x的取值范围.【分析】(1)描点、连线画出函数图象即可;(2)可将该二次函数解析式设为顶点式,任取一点坐标代入即可求得该二次函数的解析式;(3)把y=3代入y=(x﹣2)2得到关于x的方程,求得方程的解,然后根据图象即可求得结果.【解答】解:(1)描点、连线画出函数图象如图:(2)由图象知,二次函数顶点坐标为(2,0),设y=a(x﹣2)2,又二次函数过点(0,4),代入得,4=4a,解得a=1,∴二次函数的解析式为y=(x﹣2)2,即y=x2﹣4x+4;(3)把y=3代入y=(x﹣2)2得3=(x﹣2)2;解得x=2+或x=2﹣,∵图象开口向上,∴当y>3时,求x的取值范围是x<2﹣或x>2+.【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的图象和性质,二次函数图象上点的坐标特征,数形结合是解题的关键.四、解答题(本题共3小题,其中21题9分,22、23题各10分,共29分)21.(9分)如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,设∠ADE=α,且sinα=,AB=4,求AD的长.【分析】根据矩形的性质得AD=BC,∠BAD=90°,再利用等角的余角相等得∠BAC =∠ADE=α,然后在Rt△ABC中利用正弦的定义得到=,设BC=4x,则AC=5x ,AB=3x,则3x=4,解得x=,于是得到AD=BC=.【解答】解:∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,∠BAD=90°,∵DE⊥AC,∴∠ADE+∠DAE=90°,而∠BAC+∠DAE=90°,∴∠BAC=∠ADE=α,在Rt△ABC中,∵sin∠BAC=,∴=,设BC=4x,则AC=5x,∴AB=3x,∴3x=4,解得x=,∴BC=∴AD=.【点评】本题考查了解直角三角形:在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.也考查了矩形的性质.22.(10分)如图,已知二次函数y=x2﹣4x+3图象与x轴分别交于点B、D,与y轴交于点C,顶点为A,分别连接AB,BC,CD,DA.求:四边形ABCD的面积.【分析】四边形ABCD的面积=BD×(x C﹣x A)=2×(3+1)=4;【解答】解:由y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1得到顶点A(2,﹣1).由y=x2﹣4x+3=(x﹣3)(x﹣1)得到B(3,0),D(1,0).令x=0,则y=3,故C(0,3).综上所述,点B、D、C、A的坐标分别为:(3,0)、(1,0)、(0,3)、(2,﹣1);所以,四边形ABCD的面积=×BD×(x C﹣x A)=×2×(3+1)=4.【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点,主要考查函数图象上点的坐标特征,要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法,及这些点代表的意义及函数特征.23.(10分)如图,矩形ABCD且BC=2,∠ACB=30°,动点E在对角线AC上,连接ED,过点E作EF⊥DE,交BC于点F.(1)如图1,当AC平分角∠DEF时,求AE的长度;(2)若AE:CE=1:2,求BF:FC.【分析】(1)作DM⊥AC于M,利用矩形的性质结合解直角三角形可求解AB=2,AC =4,再由30°角的直角三角形的性质,角平分线的定义可求解CM,EM的长,进而可求解;(2)作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N.结合已知条件易求AE=,EC=,通过证明△END∽△EMF,列比例式可求解.【解答】解:(1)如图1中,作DM⊥AC于M,∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠BCD=∠ADC=90°,AB=CD,AD=BC=2,∵∠ACB=30°,∴AB=CD=BC•tan30°=2,AC=2AB=2CD=4,在Rt△CDM中,∵∠CMD=90°,∠DCM=60°,CD=2,∴∠CDM=30°,∴CM=CD=1,DM=CM=,∵∠DEF=90°,EM平分∠DEF,∴∠DEM=∠DEF=45°,∴EM=DM=,∴AE=AC﹣EM﹣CM=3﹣.(2)作EM⊥BC于M,EN⊥CD于N.∵AB=CD=2,AC=4,AE:EC=1:2,∴AE=,EC=,在Rt△CEN中,∵∠ECN=30°∴CN=EC=,EN=CN=,∴DN=2﹣=,在Rt△CEM中,∵∠ECM=30,∴EM=EC=,CM=EM=,∵DE⊥EF,∴∠DEF=∠NEM=90°,∴∠DEN=∠MEF,∵∠END=∠EMF=90°,∴△END∽△EMF,∴,可得MF=,∴CF=CM﹣MF=,BF=﹣CF=,∴BF:CF=4:5.【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定,直角三角形的性质,矩形的性质等知识的综合运用.五、解答题(本题共3小题,其中24、25小题各11分,26小题12分,共34分)24.(11分)如图,在锐角△ABC中,AB=AC=5,BD⊥AC于点D,BD=3,P在AB上,过点P作PE∥AC交边BC于点E,以PE为边作Rt△PEF,使∠EPF=90°,点F在点P的下方,且EF∥AB.设△PEF与△ABC重叠部分图形的面积为S,AP的长度为x .(1)填空:BP=PE(填写>或=或<);(2)当F在边AC上时,求线段AP的长;(3)求S与x之间的函数关系式.【分析】(1)由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠ACB=∠PEB=∠ABC,可得BP=PE;(2)由勾股定理可求AD=4,通过证明Rt△APF~Rt△ABD,,可得AF=AP =x,由平行四边形的性质可求解;(3)分两种情况讨论,由相似三角形的性质分别求出AM,PM,PF的长,即可求解.【解答】解:(1)∵AB=AC=5,∴∠ABC=∠ACB,∵PE∥AC,∴∠ACB=∠PEB=∠ABC,∴BP=PE,故答案为:=;(2)如图1,∵AB=AC=5,BD⊥AC,BD=3,∴AD===4,当F在边AC上时,∵PE∥AC,EF∥AB,∴四边形AFEP是平行四边形,∠AFP=∠EPF=90°=∠ADB,又∵∠A=∠A,∴Rt△APF~Rt△ABD,∴,∴AF=AP=x,∵四边形AFEP是平行四边形,∴AF=PE=PB,∴x=5﹣x,∴x=,∴AP的长度为;(3)如图2中,当0<x<时,重叠部分是四边形PMNE.∵∠AMP=∠ADB=90°,又∵∠A=∠A,∴Rt△APM~Rt△ABD,∴,∴AM=AP,PM=AP,∵P A=x,∴,,,∴S=×x(5﹣x+5﹣x)=﹣x2+3x;如图3中,当时,重叠部分是△PEF.∵EF∥AB,PE∥AC,∴∠A=∠BPE=∠PEF,又∵∠EPF=∠ADB=90°,∴△ABD∽△EFP,∴,∵PB=PE=5﹣x,∴PF=(5﹣x),∴S=PE•PF=(5﹣x)×(5﹣x)=x2﹣x+,综上所述:S=.【点评】本题是三角形综合题,考查了等腰三角形的性质,平行四边形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,利用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键.25.(11分)Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是BC上一点,连接AD.(1)如图1,AB=CB,E是AB延长线上一点,CE与AD垂直.求证:BD=BE;(2)如图2,AB=CB,过点B作BF⊥AD,F为垂足,连接CF并延长交AB于点G.求证:=;(3)如图3,若AB=kBC且D是BC的中点,过点B作BF⊥AD,F为垂足,连接CF 并延长交AB于点G,直接写出tan∠BFG的值(用含k的式子表示).【分析】(1)如图1中,延长AD交CE于点H.证明△ABD≌△CBE(ASA),可得结论.(2)如图2中,作CE∥BF交AB的延长线于E.利用平行线分线段成比例定理以及(1)中结论,即可解决问题.(3)作CH∥AB交BF的延长线于N,过点C作CN⊥BH于N.设BC=2m,则AB=2mk ,BD=CD=m,由tan∠BAD=tan∠CBH,推出=,推出=,推出CH=,由tan∠CBH==,推出==,再证明BF=FN,根据tan∠BFG=tan∠CFN=,可得结论.【解答】(1)证明:如图1中,延长AD交CE于点H.∵AH⊥CE,∴∠AHE=∠ABC=∠CBE=90°,∴∠BAD+∠E=90°,∠E+∠ECB=90°,∴∠BAD=∠BCE,∵BA=BC,∠ABD=∠CBE=90°,∴△ABD≌△CBE(ASA),∴BD=BE.(2)证明:如图2中,作CE∥BF交AB的延长线于E.∵CE∥BF,∴=,∵BF⊥AD,CE∥BF,∴AD⊥CE,∴BD=BE,∴=.(3)解:作CH∥AB交BF的延长线于N,过点C作CN⊥BH于N.设BC=2m,则AB =2mk,BD=CD=m,∵AB∥CH,∴∠ABC=∠BCH=90°,∵CN⊥BH,∵∠BAD=∠CBH,∴tan∠BAD=tan∠CBH,∴=,∴=,∴CH=,∵tan∠CBH==,∴==,∵AD⊥BH,CN⊥BH,∴DF∥CN,∵BD=DC,∴BF=FN,∴tan∠BFG=tan∠CFN=====.【点评】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.26.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2﹣2mx﹣3m.(1)抛物线的顶点坐标(m,﹣m2﹣3m);(含m的式子表示)(2)当m=1时,①抛物线上一点P到x轴的距离为5,求点P的坐标;②当n≤x≤时,函数值y的取值范围是﹣≤y≤2﹣n,求n的值;(3)当2m﹣1≤x≤2m+1时,抛物线y=x2﹣2mx﹣3m上最低点的纵坐标为﹣5,求:m .【分析】(1)化成顶点式即可求得;(2)①由点P到x轴的距离可得出点P的纵坐标,再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标;②利用二次函数的性质找出关于n的一元二次方程,解之取其负值即可得出结论;(3)分m<2m﹣1,2m﹣1≤m≤2m+1及m>2m+1三种情况考虑,利用二次函数的性质结合函数图象,即可得到关于m的方程,解方程即可.【解答】解:(1)∵y=x2﹣2mx﹣3m=(x﹣m)2﹣m2﹣3m,∴抛物线的顶点坐标为(m,﹣m2﹣3m),故答案为(m,﹣m2﹣3m);(2)当m=1时,抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.①当y=5时,x2﹣2x﹣3=5,解得:x1=﹣2,x2=4,当y=﹣5时,x2﹣2x﹣3=﹣5,无解,综上所述:点P的坐标为(﹣2,5),(4,5);②∵当时,y值随x值的增大而减小,且函数值y的取值范围是,∴n2﹣2n﹣3=2﹣n,解得:,(舍去),∴n的值为;(3)∵抛物线的开口向上,对称轴为直线,设抛物线y=x2﹣2mx﹣3m上最低点的纵坐标为y0,∴分三种情况考虑:①当m<2m﹣1,即m>1时,如图1,在2m﹣1≤x≤2m+1上,y值随x值的增大而增大,∴;②当2m﹣1≤m≤2m+1,即﹣1≤m≤1时,如图2,y0=m2﹣2m•m﹣3m=﹣m2﹣3m,即﹣m2﹣3m=﹣5,解得m=(不合题意,舍去);③当m>2m+1,即m<﹣1时,如图3,在2m﹣1≤x≤2m+1上,y值随x值的增大而减小,∴y0=(2m+1)2﹣2m(2m+1)﹣3m=﹣m+1,即﹣m+1=﹣5,解得m=6(舍去),综上所述:.【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解一元二次方程以及二次函数的最值,解题的关键是:(1)利用二次函数的性质,找出抛物线的对称轴;①利用二次函数图象上点的坐标特征,求出点P的坐标;②利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征,找出关于n的一元二次方程;(3)分m<2m﹣1,2m﹣1≤m≤2m+1及m>2m+1三种情况,找出y0与m之间的函数关系式.。
2020-2021学年高三数学(理科)第一次高考模拟考试试题及答案解析
2020-2021学年⾼三数学(理科)第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境!@绝密★启⽤前试卷类型:A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷(理科)本试卷分选择题和⾮选择题两部分,共4页,满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:1.答卷前,考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。
2.选择题每⼩题选出答案后,⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3.⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。
4.考⽣必须保持答题卷的整洁,考试结束后,将答题卷交回。
第Ⅰ卷(选择题,共60分)⼀.选择题:本⼤题共12⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-(i为虚数单位)的虚部是()A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是()A .()2x f x =B .()sin f x x x =C .1()f x x =D .()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12,πα-<<,则tan α=()A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6,则P点到(0,的距离是()@学⽆⽌境!@A .2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是()A. 命题p :“sin +cos =2x x x ?∈R ,”,则?p 是真命题 B .21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C .命题2,10x x x ?∈++的否定是:“210x x x ?∈++D .“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞,在,上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为() A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7.2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖,这6名学⽣要排成⼀排合影,则同校学⽣排在⼀起的概率是()A .130 B .115 C .110 D .158.执⾏如图8的程序框图,若输出S 的值是12,则a 的值可以为()A .2014B .2015C .2016D .20179.若某⼏何体的三视图(单位:cm )如图所⽰,则该⼏何体的体积()A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10.若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项,则n 可以为() A .8 9 C .10 D. 11 11.=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, ()A .?60B .C .?150D .?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字,故我们把其⽣动地称为“囧函数”.若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值,则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为().A .1B .2C .4D .6第Ⅱ卷(⾮选择题,共90分)⼆.填空题:本⼤题共4⼩题,每⼩题 5分,共20分.13.⼀个长⽅体⾼为5,底⾯长⽅形对⾓线长为12,则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境!@14.如图,探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分,光源在抛物线的焦点F 处,灯⼝直径AB 为60cm ,灯深(顶点O 到反射镜距离)40cm ,则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ,那么()221y x ++的取值范围为 16.CD CB AD AC AD AB ,AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在,则B cos =三.解答题:本⼤题共5⼩题,每题12分共60分.解答应写出⽂字说明,证明过程或演算步骤.17.(本⼩题满分12分)已知{}n b 为单调递增的等差数列,168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
2020-2021学年辽宁省大连市沙河口区五年级(上)期末数学试卷(含答案)
2020-2021 学年辽宁省大连市沙河口区五年级(上)期末数学试卷一、填空(本题共10 小题,共21 分)1.(3 分)比一比,在圆圈里填上“>”“<”或“=”。
4.2÷7〇4.2÷0.7 1.7×0.5〇1.7÷0.5 0.333……〇0.03÷0.1 2.(1 分)农民伯伯榨出28 升花生油,分别装入4.5 升的油桶中,需要准备个这样的油桶。
3.(5 分)圈一圈,填一填。
按照圈的过程写出乘法算式:。
4.(1 分)用“↓”在图中标出公交车和动车平均每小时行驶的大致距离。
5.(1 分)0.82 港元可以兑换1 元人民币,100 港元可以兑换元人民币。
6.(2 分)3.05 的1.2 倍是;的2.5 倍是6.25。
7.(2 分)的分数单位是,再加上个这样的分数单位就是最小的合数.8.(2 分)35 和42 的最大公因数是;最小公倍数是。
9.(3 分)在如图表示出、1、的大致位置。
10.(1 分)如图所示,把一个长方形分成:一个梯形和一个三角形。
已知梯形的面积比三角形的面积大18 平方厘米,那么梯形的上底长为厘米。
二、选择题(将正确的答案序号填在括号中,本题共5 小题,每题1 分,共5 分)11.(1 分)如图的竖式中,余下的4 添0 后,表示40 个()A.1 B.0.1 C.0.01 D.0.00112.(1 分)淘气想把平行四边形的面积转化成长方形面积,()种不能拼成长方形。
A.A B.B C.C D.D13.(1 分)观察分数墙,1 个与()个相等.A.2 B.3 C.4 D.614.(1 分)如图中的阴影部分是一片湿地,估一估,这片湿地的面积最接近()公顷.(每个小方格代表一公顷)A.25 B.65 C.120 D.15015.(1分)下面有4 个袋子,每个袋子中分别装有8 个小球(小球除颜色外完全一样).小聪选择其中一个袋子进行摸球试验,每次任意摸出一个球,记录结果后再放回袋子摇匀.他一共摸了40 次,摸出红球29 次,黄球11 次.小聪选择的袋子最有可能的是()A. B.C. D.三、计算下列各题(共36 分)16.(10 分)直接写得数。
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辽宁省大连市高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x﹣y∈A},则B的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个2.复数z=1+ai(a∈R)在复平面对应的点在第一象限,且||=,则z的虚部为()A.2 B.4 C.2i D.4i3.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β4.执行如图的程序框图,如果输入x=1,则输出t的值为()A.6 B.8 C.10 D.125.已知{a n}为等差数列,3a4+a8=36,则{a n}的前9项和S9=()A.9 B.17 C.36 D.816.已知函数f(x)=﹣x2﹣x+2,则函数y=f(﹣x)的图象为()A.B.C.D.7.已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.=0.4x+2.3 B.=2x﹣2.4 C.=﹣2x+9.5 D.=﹣0.3x+4.48.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实(虚)线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.64 B.C.16 D.9.D是△ABC所在平面内一点,=λ+μ(λ,μ∈R),则0<λ<1,0<μ<1是点D在△ABC内部(不含边界)的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件10.命题p:“∃x0∈[0,],sin2x0+cos2x0>a”是假命题,则实数a的取值范围是()A.a<1 B.a<C.a≥1 D.a≥11.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l交C于A,B两点,点M(﹣1,2),若•=0,则直线l的斜率k=()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.212.函数f(x)=e ax﹣lnx(a>0)存在零点,则实数a的取值范围是()A.0<a≤B.0<a≤C.a≥D.a≥二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
把答案填在答题卡上的相应位置上13.将3本不同的数学书和2本不同的语文书在书架上排成一行,若2本语文书相邻排放,则不同的排放方案共有______种(用数字作答)14.设F1、F2分别是双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左右焦点,点M(a,b).若∠MF1F2=30°,则双曲线的离心率为______.15.已知函数f(x)=,若曲线y=f(x)在点P i(x i,f(x i))(i=1,2,3,其中x1,x2,x3互不相等)处的切线互相平行,则a的取值范围是______.16.若数列{a n}满足:a1=0,a2=3且(n﹣1)a n+1=(n+1)a n﹣n十1(n∈N*,n≥2),数列{b n}满足b n=••()n﹣1,则数列{b n}的最大项为第______项.三、解答题:本大题共5小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12分)(2016•大连二模)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,b=acosC+ asinC.(I)求A;(Ⅱ)若a=2,b+c≥4,求△ABC的面积.18.(12分)(2016•大连二模)甲、乙两名乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛,根据以往比赛的胜负情况,每一局甲胜的概率为,乙胜的概率为,如果比赛采用“五局三胜制”(先胜三局者获胜,比赛结束).(1)求甲获得比赛胜利的概率;(2)设比赛结束时的局数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(12分)(2016•大连二模)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥BC,AA1=2,AC=2,M是CC1的中点,P是AM的中点,点Q在线段BC1上,且BQ=QC1.(1)证明:PQ∥平面ABC;(2)若直线BA1与平面ABM成角的正弦值为,求∠BAC的大小.20.(12分)(2016•大连二模)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,且椭圆上一点M与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为4+2.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,设点D为椭圆上任意一点,直线y=m和椭圆C交于A、B两点,且直线DA、DB与y 轴分别交于P、Q两点,试探究∠PF1F2和∠QF1F2之间的等量关系并加以证明.21.(12分)(2016•大连二模)已知函数f(x)=lnx+kx(k∈R).(1)当k=﹣1时,求函数f(x)的极值点;(2)当k=0时,若f(x)+﹣a≥0(a,b∈R)恒成立,试求e a﹣1﹣b+1的最大值;(3)在(2)的条件下,当e a﹣1﹣b+1取最大值时,设F(b)=﹣m(m∈R),并设函数F (x)有两个零点x1,x2,求证:x1•x2>e2.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题计分。
做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑题号[选修4-1:几何证明选讲]22.(10分)(2016•大连二模)已知点C在圆O直径BE的延长线上,CA切圆O于A点,CD 分别交AE、AB于点F、D,∠ADF=45°.(1)求证:CD为∠ACB的平分线;(2)若AB=AC,求的值.[选修4-4:坐标系与参数方程]23.(2016•大连二模)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.从极点作圆C的弦,记各条弦中点的轨迹为曲线C1.(1)求C1的极坐标方程;(2)已知曲线l的参数方程为,(0≤α<π,t为参数,且t≠0),l与C交于点A,l与C1交于点B,且||=,求α的值.[选修4-5:不等式证明选讲]24.(2016•大连二模)已知a,b,c均为正实数,且++=1.(1)证明:++≤;(2)求证:++≥1.参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x﹣y∈A},则B的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个【考点】子集与真子集.【分析】先确定集合B,再求出B的子集的个数.【解答】解:∵集合A={1,2},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x﹣y∈A},∴B={(2,1)},∴B的子集共有2个.故选:A.【点评】本题考查集合的关系,考查学生的计算能力,确定集合B是关键.2.复数z=1+ai(a∈R)在复平面对应的点在第一象限,且||=,则z的虚部为()A.2 B.4 C.2i D.4i【考点】复数的基本概念.【分析】复数z=1+ai(a∈R)在复平面对应的点在第一象限,可得a>0,=1﹣ai.由||=,可得=,解得a.【解答】解:复数z=1+ai(a∈R)在复平面对应的点在第一象限,∴a>0,=1﹣ai.∵||=,∴=,解得a=2.则z的虚部为2.故选:A.【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.3.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【分析】在A中,α与β相交或相行;在B中,α与β不一定垂直;在C中,由由面面垂直的判定定理得α⊥β;在D中,由面面平行的判定定理得α∥β.【解答】解:在A中,m⊥n,m∥α,n∥β,则α与β相交或相行,故A错误;在B中,m⊥n,α∩β=m,n⊂α,则α与β不一定垂直,故B错误;在C中,m∥n,n⊥β,m⊂α,由由面面垂直的判定定理得α⊥β,故C正确;在D中,m∥n,m⊥α,n⊥β,则由面面平行的判定定理得α∥β,故D错误.故选:C.【点评】本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.4.执行如图的程序框图,如果输入x=1,则输出t的值为()A.6 B.8 C.10 D.12【考点】程序框图.【分析】模拟程序的运行过程,依次写出每次循环得到的x,t的值,当x=121时满足条件x>120,退出循环,输出t的值为8.【解答】解:模拟程序的运行过程,可得x=1,t=0执行循环体,x=4,t=2不满足条件x>120,执行循环体,x=13,t=4不满足条件x>120,执行循环体,x=40,t=6不满足条件x>120,执行循环体,x=121,t=8满足条件x>120,退出循环,输出t的值为8.故选:B.【点评】本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力,属于基础题.5.已知{a n}为等差数列,3a4+a8=36,则{a n}的前9项和S9=()A.9 B.17 C.36 D.81【考点】等差数列的前n项和.【分析】由等差数列性质得到a1+4d=a5=9,由此能求出{a n}的前9项和.【解答】解:∵{a n}为等差数列,3a4+a8=36,∴3(a1+3d)+a1+7d=4a1+8d=36,解得a1+4d=a5=9,∴S9=×(a1+a9)=9a5=9×9=81.故选:D.【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.6.已知函数f(x)=﹣x2﹣x+2,则函数y=f(﹣x)的图象为()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】利用已知条件求出函数f(﹣x),然后利用二次函数的性质,判断函数的图象即可.【解答】解:函数f(x)=﹣x2﹣x+2,则函数y=f(﹣x)=﹣x2+x+2.函数的图象开口向下,经过(﹣1,0)与(2,0),函数的图象为:.故选:D.【点评】本题考查函数的图象,二次函数的性质的应用,考查计算能力.7.已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()A.=0.4x+2.3 B.=2x﹣2.4 C.=﹣2x+9.5 D.=﹣0.3x+4.4【考点】线性回归方程.【分析】变量x与y正相关,可以排除C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线方程.【解答】解:∵变量x与y正相关,∴可以排除C,D;样本平均数=3,=3.5,代入A符合,B不符合,故选:A.【点评】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实(虚)线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.64 B.C.16 D.【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据三视图知几何体是三棱锥、为棱长为4的正方体一部分,画出直观图,由正方体的性质判断出线面位置关系、求出底面的面积,由椎体的体积公式求出该多面体的体积.【解答】解:根据三视图知几何体是:三棱锥D﹣ABC、为棱长为4的正方体一部分,直观图如图所示:B是棱的中点,由正方体的性质得,CD⊥平面ABC,△ABC的面积S==4,所以该多面体的体积V==,故选:D.【点评】本题考查三视图求几何体的体积,结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.9.D是△ABC所在平面内一点,=λ+μ(λ,μ∈R),则0<λ<1,0<μ<1是点D在△ABC内部(不含边界)的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】若=λ+μ(λ,μ∈R),点D在△ABC内部,可得:0<λ<1,0<μ<1;反之不成立,例如时,点D为边BC的中点.即可判断出结论.【解答】解:若=λ+μ(λ,μ∈R),点D在△ABC内部,则0<λ<1,0<μ<1,反之不成立,例如时,点D为边BC的中点.∴0<λ<1,0<μ<1是点D在△ABC内部(不含边界)的必要不充分条件.故选:B.【点评】本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.命题p:“∃x0∈[0,],sin2x0+cos2x0>a”是假命题,则实数a的取值范围是()A.a<1 B.a<C.a≥1 D.a≥【考点】特称命题.【分析】特称命题转化为全称命题,求出sin(2x+)的最大值,从而求出a的范围即可.【解答】解:“∃x0∈[0,],sin2x0+cos2x0>a”是假命题,即∀x∈[0,],sin2x+cos2x≤a是真命题,由sin2x+cos2x=sin(2x+)≤a,得:sin(2x+)≤,由x∈[0,]得:2x+∈[,],故sin(2x+)的最大值是1,故只需≥1,解得:a≥,故选:D.【点评】本题考查了特称命题转化为全称命题,考查三角函数问题,是一道中档题.11.过抛物线C:y2=4x的焦点F的直线l交C于A,B两点,点M(﹣1,2),若•=0,则直线l的斜率k=()A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2【考点】抛物线的简单性质.【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标,进而设出过焦点弦的直线方程,与抛物线方程联立消去y,根据韦达定理表示出x1+x2=2+,x1x2=1,y1y2=﹣4,由•=0,求得k值.【解答】解:∵抛物线的方程为y2=4x,∴F(1,0),设焦点弦方程为y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得k2x2﹣(2k2+4)x+k2=0由韦达定理:x1+x2=2+,x1x2=1,y1y2=﹣4,y1+y2=∵M(﹣1,2),•=0,∴(x1+1,y1﹣2)•(x2+1,y2﹣2)=0,∴1﹣2k+k2=0,∴k=1.故选:C.【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于中档题.12.函数f(x)=e ax﹣lnx(a>0)存在零点,则实数a的取值范围是()A.0<a≤B.0<a≤C.a≥D.a≥【考点】函数零点的判定定理.【分析】先考虑函数f(x)=a x与g(x)=log a x(a>1)图象仅有一个交点,且在公共点处有公共的切线,a的值,再利用换元法,即可得出结论.【解答】解:先考虑函数f(x)=a x与g(x)=log a x(a>1)图象仅有一个交点,且在公共点处有公共的切线,a的值.两函数互为反函数,则该切线即为y=x,设切点A,可求出A(e,e),此时a=e.若a>e时,则f(x)=a x与g(x)=log a x(a>1)无公共点;若1<a<e时,则f(x)=a x与g(x)=log a x(a>1)有两个公共点.对f(x)=e ax﹣lnx(a>0),换元令t=e a,即得t x=log t x,由上知1<e a=t≤e,得0<a≤.故选:A.【点评】本题考查函数的零点,考查数形结合的数学思想,考查学生转化问题的能力,属于中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。