21.1.1 中职 21章排列与排列数公式
排列的定义及其计算公式
定义及公式
排列的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一
定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m)表示。
A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外规定0!=1组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号 C(n,m) 表示。
C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；
C(n,m)=C(n,n-m)。
其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数
=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是
n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!×n2!×...×nk!). k类元素，每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为C(m+k-1,m)。
符号
常见的一道题目
C-Combination 组合数
A-Arrangement（在旧教材为P-Permutation）
N-元素的总个数
M-参与选择的元素个数。
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(?ω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。
关于排列的公式
排列的公式是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数。
排列公式通常用符号P(n,m)表示，也可以用符号A(n,m)表示。
排列公式可以通过组合公式进行推导。
首先，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数为C(n,m)。
然后，每一个组合可以对应于一个排列，因此，从n个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数为C(n,m)乘以m的阶乘，即P(n,m)=m!C(n,m)。
另外，排列公式还可以通过加法原理和乘法原理进行推导。
假设有两个集合A和B，集合A中有n个元素，集合B中有m个元素。
如果我们要从集合A和B中取出所有可能的排列，那么我们可以通过以下步骤完成：
1. 从集合A中取出1个元素，然后从集合B中取出m-1个元素，这样的排列有n*(m-1)个。
2. 从集合A中取出2个元素，然后从集合B中取出m-2个元素，这样的排列有(n-1)*(m-2)个。
3. 以此类推，直到从集合A中取出m个元素，然后从集合B中取出0个元素，这样的排列有(n-m+1)*1个。
因此，从集合A和B中取出所有可能的排列的总数是上述所有排列的和，即P(n+m,m)=n*(m-1)+(n-1)*(m-2)+...+(n-m+1)*1。
需要注意的是，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关。
因此，排列和组合是不同的概念。
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目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章 直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章 立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章 概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征 11.5一元线性回归分析第十二章 三角计算及其应用 （第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(ϕω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。
排列组合公式总结大全(3篇)
第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。
它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。
以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。
一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。
四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。
2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。
3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。
排列与顺序有关公式
排列与顺序有关公式
排列是指由一组元素中取出一部分元素按照一定顺序排列的方式。
在理解排列的公式之前，需要先了解以下概念：
1. 阶乘：n的阶乘表示为n!，定义为n! = n * (n-1) * (n-2) * ... *
2 * 1。
例如，5的阶乘为5! = 5 * 4 *
3 * 2 * 1 = 120。
2. 排列数：从n个元素中选取r个元素按照一定顺序排列的方式数，表示为P(n, r)。
其中，n为总元素个数，r为选取的元
素个数。
排列数的计算公式为P(n, r) = n! / (n-r)!。
例如，从5个元素中选取3个元素排列的方式数为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1) = 60。
需要注意的是，排列数与组合数的计算公式不同，排列数考虑了元素的顺序，而组合数不考虑元素的顺序。
排列与排列数公式(1)
某航空公司在甲、乙、丙、丁四个城市中每两 个城市之间都开辟了直达航线，需要准备多少种不 同的单程飞机票?
具体情形列举如下：
乙
甲
甲
甲
甲
丙乙
丙
丙
乙丁
乙
丁
丁
丁
丙
数学抽象
甲，丁 乙，丙
第1位 第2位
实质：从四个不同元素中 取出2个元素，按照一定 的顺序排成一列
再看：从A.B.C.D四个字母中,每次取3个字母排
二.排列数定义：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排
列的数全,排表列示，方表法A示nm方法,A当nnm=读n作时“，n的叫阶做乘”n个记不作“同n元！”素。 ；
解决问题一
某航空公司在甲、乙、丙、丁四个城市中每两个城市之间 都开辟了直达航线，需要准备多少种不同的单程飞机票?
8!7! (3)
7 5!
(4)
m!(m Am2
m2
1)!，（m
2)
变式题：
1、如果Amn 1716 5 4
则n 17 , m 14
2、如果
A
2 n
90 , 则n
10
n(n-1)=90
3.由乘积式写出排列数的符号
A (m-2)(m-3)…….(m-k+3)
k 4
m2
例2.解方程:
(1)
A4 2 n 1
Am n (n 1) (n 2) (n m 1) n (m n, m, n N)
Anm
(n
n! m)!
(m n, m, n N)
常用于对含有字母的排列数的
式子进行变形和论证。
排列与排列数公式
即排列数公式还可写成： 说明：
n! A (n m)!
m n
1.排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证 明. 2.对于 m n 这个条件要留意，往往是解方程时的隐 含条件.
例2.某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参 加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次， 共进行多少场比赛？ 解： 14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场
那么，这个结果有没有一般性呢？即
n A n! m n A n = n-m = 是否成立？ A n-m n - m !
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
n (n 1) (n m 1) (n m) 2 1 (n m) 2 1 n! (n m)!
提示：A3 3 = 60 5 = 5×4×
3 2 5A + 4A 4．计算：（1） 5 4
2 3 4 （2）A1 + A + A + A 4 4 4 4
2 解： （1）5A3 + 4A 3 = 348 5 4 = 5×5×4×3 + 4×4×
（2）A + A + A + A = 4 + 4×3 + 4×3×2 +4×3×2×1 = 64
第2课时 排列与排列数公式
1.排列： 从n个不同元素中取出m( m 素的一个排列. 2.排列数： 从 n 个不同元素中取出 m( m 列数,记作 A n .
m
n )个元素，按照一
定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元
n )个元素的所有不
同排列的个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排
排列与排列数公式
1．2 排列与组合 1．2.1 排 列
第1课时 排列与排列数公式
第一章 计数原理
1.理解排列、排列数的定义，掌握排列数公式及推导方 法． 2.能用列举法、“树形图”表示出一个排列问题的所有 的排列． 3．能用排列数公式解决无限制条件的排列问题．
第一章 计数原理
1．排列 (1)一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照
解析：选 B.等式 Am12＝9×10×11×12 的右边是 4 个连续自然数 的乘积，且最大数为 12，故 m＝4.
栏目 导引
第一章 计数原理
2．下列各式中与排列数 Anm相等的是( )
n！ A.（m－n）！
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.n－mn ＋1Ann－1
D．A1n·Amn－－11
第一章 计数原理
由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3， a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1， a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共 14 种．
栏目 导引
第一章 计数原理
探究点 3 排列数的计算或证明 (1)计算2AA5888＋－7AA59 48；
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第一章 计数原理
2．判断下列问题是否是排列问题： (1)从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的 点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不 同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一 个门出来，不同的出入方式共有多少种？
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第一章 计数原理
(完整版)中职数学21.1排列组合与二项式
Ann n(n 1)(n 2) 3 21
n!(叫做n的阶乘)
排列数公式阶乘表示：
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
n(n 1)(n 2) (n m 1)(n m) 3 2 1 (n m)(n m 1) 3 2 1
名称 定义 符号 公式
关系 性质
排列
从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列
Anm
Anm n(n 1) (n m 1)
Anm
(n
n! m)!
组合
从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组
C
m n
C
m n
n(n 1) (n m!
m
1)
C
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
种填法 .
Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
说明：
（1）公式特征：第一个因数是n，后面每 一个因数比它前面一个少1，最后一个因数 是n-m+1，共有m个因数；
（2）全排列：当m=n时,即n个不同元素 全部取出的一个排列.
对称性
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解
九章算法》二项式系数表.在书中说明了表里“一” 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；指出这个 方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约 公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不 晚于11世纪；在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕 斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做 帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早 五百年左右.
中职教育数学《排列与排列数的计算》课件
复习两个基本原理
1 分类计数原理（加法原理） 如果完成一件事，有n类方式。第一类方 式有k1种方法，第二类方有k2种方 法，…，第n类方式有kn种方法，那么完 成这件事的方法共有
N=k1+k2+…+kn（种）
复习两个基本原理
2 分步计数原理（乘法原理） 如果完成一件事，需要分成n个步骤。完成 第一个步骤有k1种方法，完成第二个步骤 有k2种方法，…，完成第n个步骤有kn种 方法，并且只有这n个步骤都完成后，这 件事才能完成，那么完成这件事的方法共 有 N=k1•k2•…•kn(种）
， 一名担任班长，一名担任副班长，则共 有多少种不同的选法？并列出所有的选 法。
动脑思考
把问题1中被取的对象叫做元素，于是问 题1可叙述为： 从3个不同的元素中，任取2个，按照一定 的顺序排成一列，一共有多少种不同的排 列方法，并列出所有不同的排法。
小试牛刀
1.若Pnm= 20•19•18•17•…•6,则n= ,m . 2.P55= . 3.P83= . 4.解方程：3P83=2P9x-1.
例4 已知Pn2=30,求n.
巩固新知 典型例题
例1 有五本不同的书，借给三名同学，每人 一本，共有多少种不同的借法？ 分析：借书方法的种数，就是从五本书中任 取三本书的排列数，即 P53=5•4•3=60（种）
探究新知：
排列数公式： 特征：
1）公式右边第一个数是n; 2）以后每一个数都比前一个数小1； 3）总共有m个数相乘； 4）最后一个数是n-m+1.
排列数公式： Pnm =n(n-1)(n-2)…（n-m+1）
探究新知
全排列数：n个不同元素全部取出的一个排列，叫 做全排列。所有全排列的个数叫做全排列数。 记为 Pnn ，且 Pnn n(n 1)(n 2)(n 3)3 2 1
举例说明排列数公式
举例说明排列数公式
排列是数学中的一种基本概念，是指从一组元素中取出一部分元素
进行排列，且排列的顺序对最终结果产生影响。
排列数就是从n个元
素中取出m个元素进行排列的方案数，可以用排列数公式进行计算。
排列数公式为：
$$A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$$
其中，n和m均为正整数且n>=m。
n！表示n的阶乘，即n的各个正
整数的乘积，例如3！=3×2×1=6。
排列数的含义是从n个元素中取出m个元素，按照一定的顺序进行排列，共有多少种方案。
例如，从5个元素{A,B,C,D,E}中取出3个元素
进行排列的方案数为A5^3 = 5×4×3 = 60。
排列数公式的意义在于：将n个元素先进行全排列得到n!种不同的排
列方案，然后从这n!种方案中选择其中一段连续的m个进行取舍，剩
余的n-m个元素则不予考虑。
总体而言，排列是数学中的基本概念之一，它在组合数学、离散数学、图论等领域中得到了广泛的应用。
熟练掌握排列数公式，能够为我们
解决各种实际问题提供有力的数学工具。
排列及排列数的概念和公式
排列及排列数的概念和公式一、重点和难点：1、掌握排列的概念、排列数及排列数公式和排列的简单应用。
2、重点是排列的定义及排列数公式，难点是“顺序”的判断及公式的抽象性。
二、学法指导：排列：从n 个不同元素中，任取)(n m m ≤个不同元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
定义中规定给出的n 个元素各不同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况。
即如果某个元素已被取出，则这个元素就不能在取了，否则就变成了取出两个相同元素。
由于是从n 个不同元素中取出m 个不同元素，因此必有n m n m =≤当,时，即所有元素都取出的排列，叫做全排列。
定义中的“一定的顺序”是与位置有关的问题，如何判断是否有顺序，最常用的办法是变换元素的位置看结果，如果结果变了，就是有“顺序”；若结果不变，就是无“顺序”。
如：取出数字1，2，3考虑它们的和，则与位置无关。
要分清“排列”和“排列数”这两个不同概念。
一个排列是指从n 个不同元素中取出m 个元素，按照一定的顺序排成一排的一种具体的排法，它不是数，而排列数是指从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数，它是一个数。
在写具体的排列时要按照一定规律写，以免造成重复或遗漏。
排列数公式：)1()1(+--=m n n n P m n ，其特点是：从自然数n 开始，后一个因数比前一个因数少1，最后一个因数是,1+-m n 共m n -个因数相乘。
当n m =时，排列数公式为!n P n n =，其中123)2)(1(!⋅⋅--= n n n n 排列数的两个公式)!(!)1()1(m n n P m n n n P m n m n -=+--=和 ，前一个公式常用于计算具体的排列数的值，后一个公式常用于含字母的排列数的变形和证明有关等式。
三、例题选讲：例题1、计算（1）1201234545=⨯⨯⨯⨯=P（2）3360141516316=⨯⨯=P（3）72012345666=⨯⨯⨯⨯⨯=P（4）!4)!2()]!2()2[()!2(56)1)(2(2222+=--++=⋅++=-+-+n n n n P n n n P n n n n 或 （5）3645123454567255547=⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=-P P P（6）m m m m n m n m m m n m P m n m +=+=-⋅--+=-⋅+--211)1()!()!()!1()!1()!()!1( 例题2、求和：)!1(!43!32!21+++++n n 解：作和的数列的通项是：)!1(1!1)!1(1)1()!1(+-=+-+=+n n n n n n ， ∴ 原式=)!1(11)!1(1!1!41!31!31!21!211+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n 例题3、解方程：2213632x x x P P P +=+解：首先⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+≥∈2213x x x N x N x x ∈≥⇒,3 ∴ 原方程化为：)1(6)1(3)2)(1(2-++=--x x x x x x x∴∈≥N x x ,3 整理得：071522=+-x x ，解得：217==x x 或（舍）7=∴x 例题4、求证：m n m n m n P mP P 11+-=+证明：左式=m n P m n n m n n n m n m m n n m n n m m n p n 1)!1()!1()!1()1(!)!1(])1[(!)!1(!)!(!+=+-+=+-+=+-++-=+-⋅+- =右式《小结》：利用排列数公式计算是，一般多用连乘积公式，利用排列数公式证明时，一般多用阶乘商公式。
21.1.1 中职 21章排列与排列数公式
x 例：解方程： 8 4A 9 1 3A x
x N* 由题意得： x 8 x 8 x 1 9
8! 9! 1 12 且3 4 (8 x)! (10 x)! (8 x)! (10 x)! 1 12 (8 x)! (10 x)(9 x)(8 x)!
原式的个位数也是 4
例 2 用1, 2, , 9 中任意 3 个不同数字构成三位数，共有几个 不同三位数？
3 3 解：P9 9 8 7 504 9
A
例3 从 6 个同学中，选 3 人任组长、副组长和干事，共有几种？
解：A 6 5 4 120 P
3 3 6 6
例 4 安排 5 人分别当车工、钳工、刨工、铣工和油漆工， 已知甲不能当钳工、油漆工，问有几种方法？
第1位 第2位 第3位
第m位
··· ···
n n-1 n-2 n-m+1
m 三、排列数公式： Anm n(n 1) (n m 1) Pn
公式特点：
(1)第一个因数是 , 后面的每个因数都比前 n 面的因数小； 1 (2)共有m个因数相乘，最后一个 因数是n m 1
n Ann n(n 1)3 2 1， 特别地，当 m n 时，有公式 PnFra bibliotekx 6
例1 ：求0!1!2! 100!的个位数
0! 1,1! 1,2! 2,3! 6,4! 24,5! 120
当n 5时，n! [n(n 1)(n 2) 7 6] 5!,
此时个位数是 , 0
0!1!2!3!4!5!的个位数是 4
起点站终点站北京上海北京北京上海上海广州广州广州飞机票北京北京北京北京上海广州上海上海上海广州广州广州我们把上面问题中被取的对象叫做元素
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x 例：解方程： 8 4A 9 1 3A x
x N* 由题意得： x 8 x 8 x 1 9
8! 9! 1 12 且3 4 (8 x)! (10 x)! (8 x)! (10 x)! 1 12 (8 x)! (10 x)(9 x)(8 x)!
(n 1)! （2 ） 例：计算：（）A 1 (n 3)! (k 1)! (k 1)! （）原式 1 (k 1)k (k 1) 6 (k 1 k 4)! 5 (n 1)( n 2)( n 3)! （ ）原式 2 (n 1)( n 2) (n 3)! 例：用排列数表示下列 各式：
x 6
例1 ：求0!1!2! 100!的个位数
0! 1,1! 1,2! 2,3! 6,4! 24,5! 120
当n 5时，n! [n(n 1)(n 2) 7 6] 5!,
此时个位数是 , 0
0!1!2!3!4!5!的个位数是 4
问题2 由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 2 1 3 1 2 3 2 1 1 2 2 1 4 1 2 4 2 3 1 1 3 2 2 3 2 2 3 4 1 3 1 1 3 4 2 4 1 1 4 2 2 4 2 4 3 1 4 1 4 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 1 4 1 3 3 1 4 4 2 1 3 2 1 3 3 2 4 2 4 4 2 3 3 2 4 4 3 1 3 4 1 3 4 4 3 4 3 2 3 4 2
这是从 n 个不同元素中，取出全部元素参加排列的排列数，
n Ann n !。 叫做 n 个不同元素的全排列数，记作 P m 这样，Pnm n
A
n! 。注意，当 m n 时，分母就变成 0!， (n m)!
为使公式仍然成立，特别规定 0! 1。
特别的：当m<n时，这样的排列叫做选排列。
k -4 k 1
（）m 2)(m 3) (m n 2) 1(
（ ）m(m 2 1)(m 2 4)(m 2 9) 2
n （）原式 (m 2)(m 3)[m (n - 1) 1] Am1 1 2
（ ）原式 m(m 1)(m - 1)(m 2)(m 2)( m 3)(m 3) 2
二、排列数 定义 从 n 个不同元素中，任取 m (m n) 个元素的所有
不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 排列数。用符号 Anm 表示。 Pn
m
第1位
第2位
A
n n-1
2 n
n ( n 1)
A
m n
n (n 1) (n 2) (n m 1)
排列 与 排列数公式
问题1 北京、上海、广州三个民航站之间的直达 航线，需要准备多少种不同的单程飞机票？ 起点站 终点站 飞机票 上海 北京 上海 北京 北京 广州 广州 上海 北京 北京 上海 上海 广州 广州 广州 北京 北京 广州 上海 广州 上海 我们把上面问题中被取的对象叫做元素。 于是， 所提出的问题就是从3个不同的元素a、b、c中 任取2个，然后按一定的顺序排成一列，的个位数也是 4
例 2 用1, 2, , 9 中任意 3 个不同数字构成三位数，共有几个 不同三位数？
3 3 解：P9 9 8 7 504 9
A
例3 从 6 个同学中，选 3 人任组长、副组长和干事，共有几种？
解：A 6 5 4 120 P
3 3 6 6
例 4 安排 5 人分别当车工、钳工、刨工、铣工和油漆工， 已知甲不能当钳工、油漆工，问有几种方法？
解法一： 先考虑甲，P3 P444 3 4! 72 A1 A4 3 解法二： 32 33 先考虑谁当钳工、油漆工，P4 A33 4 3 3! 72 A4 P
排列与排列数
一、排列 定义
从 n 个不同的元素中取出 m (m n) 个元素，按照 一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个 元素的一个排列。
只有用相同的元素，又按相同的顺序组成的排列， 才叫做相同的排列。
例1 写出从 a , b , c , d 4 个元素中，任取 3 个元素的不同排列。 解：abc , abd , acb , acd , adb , adc bac , bad , bca , bcd , bda , bdc cab , cad , cba , cbd , cda , cdb 共 24 个 dab , dac , dba , dbc , dca , dcb
第1位 第2位 第3位
第m位
··· ···
n n-1 n-2 n-m+1
m 三、排列数公式： Anm n(n 1) (n m 1) Pn
公式特点：
(1)第一个因数是 , 后面的每个因数都比前 n 面的因数小； 1 (2)共有m个因数相乘，最后一个 因数是n m 1
n Ann n(n 1)3 2 1， 特别地，当 m n 时，有公式 Pn