数理逻辑的中国声音

数理逻辑的中国声音

2016年6月，《证明方法与理论》的作者张寅生研究员回答了受众关注的关于该专著的一些问题如下。

问：《证明方法与理论》是哪一学科的著作？

答：属于数理逻辑。

问：数理逻辑是属于什么学科？

答：属于数学，是数学的分支。

问：数理逻辑和逻辑是什么关系？

数学与逻辑的交叉产生了数理逻辑。

问：中国的数理逻辑有多久的历史？

答：中国的数理逻辑应以金岳霖引进罗素的《数学原理》为开始，时间大约在20世纪二十年代至三十年代，金岳霖在清华的大学哲学系介绍了数理逻辑，并于1936年出版其著作了《逻辑》，其中介绍了罗素

的《数学原理》。

问：数理逻辑对于人工智能有什么意义？

答：非常重要！人工智能理论诞生于数理逻辑。这一点可能并不完全为人所知或接受。

问：为什么说人工智能理论诞生于数理逻辑领域？

答：人工智能理论的核心是图灵机设计思想，也就是计算机的理论模型。计算机首先是一个为解答特定数学问题而设计的装置，这个数学问题就是丢翻图方程整数解求解算法是否存在，即所说的“希尔伯特第十问题”的判定问题。这一问题构成了数理逻辑中的证明论。解决的基本方法是用递归函数的求解，这些方法构成了数理逻辑中的递归论。证明论、递归论、模型论和集合论，这是构成数理逻辑的主要分支。因

此，实际上对递归论和证明论直接解决了图灵可计算性的问题。

问：但是计算机系的教育似乎并没有讲解这些数理逻辑与计算机的渊源。

答：这正是计算机教育的一个失误或不当。

问：为什么？

答：如果不知道计算机的理论渊源，就远离了计算机的原理和原创思想。

问：那又怎样？

答：那你就可能只在计算机科学技术的下游活动；很多计算机原创可能与你无缘。

问：举例？

答：比如一个程序员会应用计算机编程语言，但是如果对语言的逻辑问题不清晰，或者对开发语言的上

一级语言也就是被开发语言的逻辑工具不熟悉，就不能开发一种计算机语言……

问：开发一种语言和应用一种语言，有什么本质区别吗？

答：有的，形象的说是建筑设计师与建筑工人的区别。对于国家而言，计算机科学技术的发展战略包括基础理论的创新，其中首当其冲包括数理逻辑的创新；对于企业、个人的创新行为而言，数理逻辑的理论

和方法是IT战略层面或IT工作指导层面的利器。

问：这么说还是太抽象。比如一个软件企业，技术研发和管理人员的数理逻辑的能力与他们创新活动的能力有什么直接关系吗？难道他们不去看市场调研报告，不去看新型的技术原理和方法，去看数理逻辑教科书吗？

答：三者都要看，“三位一体”（原理、应用、商业模式“三位一体”）才是企业好的知识结构。新兴

技术是层出不穷的，发现哪些技术、自己研究开发哪些更有有价值的技术不是随便就可以做到的。数理逻辑是你的显微镜、望远镜，是你的定位坐标，帮助你发现新兴技术的价值。换言之，企业的技术CEO，特

别是首席科学家应该把数理逻辑作为自己的基本功和参谋助手。

问：对于一个机器人企业，他们更关注控制技术、传感器件、数值计算，数理逻辑似乎对他们很陌生。答：如果你不梦想更高的智能，比如机器意识，比如电路级的逻辑创新，那也许你离得开它。

问：请介绍一下《证明方法与理论》。

答：好的。《证明方法与理论》是数学/数理逻辑/证明论学科及其分支的著作，它阐述数学证明的基本原理，主要包括证明方法和证明理论，探讨证明方法和证明理论内在联系和本质特征。在“证明方法”部分，集成了常见或具有重要影响并具有逻辑独立性和形式化特征的数学证明方法。这些证明方法多数人在中学已经多少接触过，比如归纳法，反证法，等等。但是如果问数学证明方法一共有多少种呢？这个问题就很难回答了。

问：难在哪里？

答：首先，需要有一个“数学证明方法”的定义，然后才能以这个定义所确定的标准，搜集、分类、命

名数学证明方法。

问：难道以前的数学都没有对数学证明下定义，进行分类、归纳吗？

答：有的，哥德尔和希尔伯特都给数学证明做了定义，他们为数学证明下的定义是，数学证明是命题的

逻辑推导序列，最后指向证明结论。

问：《证明方法与理论》之前的学术界对数学证明方法的归纳整理情况怎样？

答：实际上对于数学证明方法的分类和归纳进展的很慢，工作不多。

问：为什么会是这样？

答：根据哥德尔和希尔伯特的定义，数学证明方法应该是独特的证明序列的抽象，也就是数学证明的逻辑形式化，但是这个形式化的工作几乎没有做。也许这与数学证明方法的学科分类有关，证明论研究证明的理论，即证明的内容本身，而证明的形式化是方法表示------理论与方法并不是一回事。质言之，证明方

法被放置于“数学基础”分支。

问：好奇怪，为什么证明的内容属于证明论，而证明的形式就在另外一个学科分支？

答：是的，一般把证明方法列为数学的“数学基础”分支。这样有不合理之处，即理论与方法实际上是一体的，却列为不同领域研究，容易割裂其内在联系。实际上，证明论的创立者希尔伯特曾希望将证明方法列为证明论研究范畴。大家熟知希尔伯特在1900年的世界数学家大会上提出了著名的23个数学问题，实际上还有第24个数学问题，即证明论中的数学证明方法的研究。最近发现了他的手稿，不过实际上他不

知什么原因在讲演时删除了这个问题。

问：《证明方法与理论》对于数学证明方法做了哪些工作？

答：根据希尔伯特和哥德尔对数学证明的定义，《证明方法与理论》集成了具有重要影响的数学证明方

法。然后，把这些方法都进行了形式化，也就是把这些方法都写成了数学公式。

问：根据你的这些工作，数学证明方法被归纳成多少种？

答：11种（类）：①关系运算证明方法；②三段论证明方法；③数学归纳法；④反证法；⑤构造性证明方法；⑥同态证明方法；⑦解释性证明方法；⑧系统化证明方法；⑨截消证明方法；⑩归结证明方法；⑪

自动化证明方法。

问：这些方法与以往的数学证明方法的分类有什么不同？

答：这个分类与集成在某种意义上是对数学证明方法最多的一次集成。虽然也有少量的著作所列的数学证明方法数量超过《证明方法与理论》，但是就我个人看来，《证明方法与理论》之前的著述所提及的很多证明方法是可以合并的，同时以往著述的很多证明方法不能形式化，因而不在一个分类层面。这样《证明方法与理论》在当前应该是在具有逻辑独立性和形式化特征意义上集成了最多的数学证明方法，它基本上包括了普遍接受的数学证明方法，如归纳法，也有近年出现不久的数学证明方法，如解释性证明方法，