2019-2020学年重庆市北碚区西南大学附中八年级(上)开学数学试卷(含解析)

2019-2020学年重庆市北碚区西南大学附中八年级（上）开学数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．已知a为整数，且，则a等于（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．为了解某校七年级800名学生的睡眠时间，现从中抽取50名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是（）
A．50是样本容量
B．抽取的每一名学生是个体
C．50名学生是抽取的一个样本
D．800名学生是总体
3．已知三角形的三边长为3，8，x．若周长是奇数，则x的值有（）
A．6个B．5个C．4个D．3个
4．实数的平方根是（）
A．±3 B．±C．﹣3 D．3
5．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：7
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝9°，∠B＝81°
6．如图∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，则下列结论：①∠EAC＝∠FAB；②CM＝BN；③CD＝DN；④△ACN≌△ABM；其中正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝100°，则∠BOC等于（）
A．140°B．145°C．150°D．155°
8．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝（）
A．360°B．540°C．720°D．900°
9．下列判断正确的个数是（）①三角形的三条高都在三角形的内部，并且相交于一点；②两边及一角对应相等的两个三角形全等；③两角及一边对应相等的两个三角形全等；④到三角形的三边所在的直线距离相等的点有三个．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，G为AD中点，延长BG交AC于点E，且满足BE⊥AC，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断：①线段AG是△ABE的角平分线；②△ABG与△DBG的面积相等；③线段AE是△ABG的边BG上的高；④∠CAD+∠FBC+∠FCB＝90°；其中正确的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．如图，等边△ABC中，BD＝CE，AD与BE交于P，AQ⊥BE，垂足为Q，PD＝2，PQ＝6，则BE的长为（）
A．14 B．13 C．12 D．无法求出
12．如果关于x的方程a﹣3（x﹣1）＝7﹣x有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x＜﹣2，那么符合条件的所有整数a的积是（）
A．﹣3 B．0 C．3 D．9
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．64的相反数的立方根是．
14．三角形的三条边长分别是2，7，2x﹣3，则x的取值范围是．
15．若点P（x，4﹣y）与点B（1﹣y，2x）关于y轴对称，那么y的值为．
16．在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为．
17．过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线；则（m﹣p）n的值为．18．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为．
三、解答题（共78分）
19．（8分）计算题：
（1）（2）
20．（8分）解方程：
（1）＝﹣4 （2）12（2﹣x）2＝243
21．（10分）某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保护、交通监督三个志愿者队伍，每名学生最多选择一个队伍，为了了解学生的选择意向，随机抽取A，B，C，D四个班，共200名学生进行调查．将调查得到的数据进行整理，绘制成如下统计图（不完整）．
（1）求扇形统计图中交通监督所在扇形的圆心角度数；
（2）求D班选择环境保护的学生人数，并补全折线统计图；
（3）若该校共有学生2500人，试估计该校选择文明宣传的学生人数．
22．（10分）如图，在△ABD中，∠ABC＝45°，AC，BF为△ABD的两条高．
（1）求证：BE＝AD；
（2）若过点C作CM∥AB，交AD于点M，求证：BE＝AM+EM．
23．（10分）在下图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC的顶点A，C的坐标分别是（﹣4，5），（﹣1，3）．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，再将△A1B1C1平移，使得点A1与点B重合，点B1，C1的对应点分别是点E，F，请写出点E，F的坐标．
24．（10分）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）＝321，规定F（n）＝，如F（123）＝＝1．
（1）计算：F（159），F（246）；
（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F（s）+F（t）＝5，记k＝，求k的最大值．
25．（10分）如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，并且B，C，D三点共线．
（1）如图①，连接FC，求证：HC平分∠BHD；
（2）如图②，试探究HD，HE，HC之间的数量关系，并证明．
26．（12分）如图，△ABD为正三角形，AB绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜120°）得到线段AC，连接CD、BC．
（1）如图1所示，若α＝70°，则∠BCD度数为；
（2）如图2所示，若α为取值范围内的任意角，∠BCD的大小是否改变？若不变，求出∠BCD的度数，若改变，请说明理由；
（3）如图3所示，E为△ABD内一点，使得∠AED＝∠BEC＝90°，若∠ABC＝∠ADE，试求∠BCE的度数．
1．【解答】解：∵a为整数，且，
∴a＝2．
故选：B．
2．【解答】解：A、样本的容量是50，故此选项正确；
B、每名学生的睡眠时间是个体，故选项B错误；
C、样本是抽取的50名学生的睡眠时间，故选项C错误；
D、本题中总体是某校七年级800名学生的睡眠时间，故选项D错误．
故选：A．
3．【解答】解：根据三角形的三边关系可得：8﹣3＜x＜8+3，
即：5＜x＜11，
∴x＝6，8，10，共3个．
故选：D．
4．【解答】解：∵＝3，
∴3的平方根是±，
故选：B．
5．【解答】解：A．∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；B．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：7，∴∠C＝180°×＝90°，∴该三角形是直角三角形；D．∵∠A＝9°，∠B＝81°，∴∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；
故选：C．
6．【解答】解：如图，
∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，
∴∠FAC＝∠EAB，AC＝AB，
故①正确；
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴CM＝BN，
而∠MAN公共，∠B＝∠C，
故④正确；
而∠B＝∠C，∠CDM＝∠BDN，
∴DC＝DB，
故选：B．
7．【解答】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣100°＝80°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣40°＝140°．
故选：A．
8．【解答】解：连接DG，则∠1+∠2＝∠F+∠E，
＝∠A+∠B+∠C+∠1+∠2+∠CDE+∠AGF
＝540°．
故选：B．
9．【解答】解：①只有当三角形是锐角三角形时，三条高才在三角形的内部，此选项错误；
②有两边及一角对应相等的两个三角形全等，此选项错误；
③有两角和一边对应相等，满足AAS或ASA，此选项正确；
④在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；
则到三角形三边所在直线距离相等的点有4个．
故选：D．
10．【解答】解：①∵∠BAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC．
故①正确；
②∵G为AD中点，
∴AG＝DG，
∴△ABG与△DBG的面积相等，
③∵BE⊥AC，
∴线段AE是△ABG的边BG上的高．
④根据三角形外角的性质，∠BAD+∠AFH＝∠BAD+∠FBC+∠FCB＝90°，故④正确．
故选：A．
11．【解答】解：∵AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE，
在Rt△APQ中，PQ＝6，AP＝2PQ＝12，
故选：A．
12．【解答】解：，
由①得：x≤2a+4，
由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣3，即a≥﹣3，
把a＝﹣2代入方程得：﹣2﹣3（x﹣1）＝7﹣x，即x＝﹣7，不合题意；把a＝0代入方程得：﹣3（x﹣1）＝7﹣x，即x＝﹣7，不合题意；
把a＝2代入方程得：2﹣3（x﹣1）＝2﹣x，即x＝﹣1，不合题意；
∴符合条件的整数a取值为﹣3，﹣1，1，3，积为9．
故选：D．
13．【解答】解：64的相反数是﹣64，﹣64的立方根是﹣4．
故答案为：﹣4．
14．【解答】解：∵三角形的两边长分别为2和7，
∴第三边长2x﹣3的取值范围是：8﹣2＜2x﹣3＜7+2，
故答案为：4＜x＜3．
15．【解答】解：∵点P（x，4﹣y）与点B（1﹣y，2x）关于y轴对称，∴，
故y＝2．
故答案为：2．
16．【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∵BC＝10，DE＝4，
AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14，
故答案为：6或14．
17．【解答】解：∵过m边形的一个顶点有8条对角线，
∴m﹣3＝8，m＝11；
∵p边形有p条对角线，
所以（m﹣p）n＝（11﹣5）3＝216．
故答案为：216．
18．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，
∴MN＝ME，
∵三角形ABC的面积为10，AB＝4，
∴CE＝．
故答案为：5
三、计算题（共16分）
19．【解答】解：（1）原式＝×0.9+4×+×10
＝0.3﹣5+5
（2）原式＝0.6﹣2×﹣（3﹣）
＝﹣3.2+．
20．【解答】解：（1）（x﹣1）4＝﹣4，
（x﹣1）3＝﹣8，
x＝﹣1；
（3﹣x）2＝，
x＝或x＝﹣．
21．【解答】解：（1）选择交通监督的人数是：12+15+13+14＝54（人），
选择交通监督的百分比是：×100%＝27%，
（2）D班选择环境保护的学生人数是：200×30%﹣15﹣14﹣16＝15（人）．
（3）2500×（1﹣30%﹣27%﹣5%）＝950（人），
即估计该校选择文明宣传的学生人数是950人．
22．【解答】证明：（1）∵AC、BF是高，
∴∠BCE＝∠ACD＝∠AFE＝90°，
∴∠DAC＝∠EBC，
∴∠BAC＝45°＝∠ABC，
在△BCE和△ACD中
∴△BCE≌△ACD（ASA），
（2）∵CM∥AB，
∵∠ACD＝90°，
∵△BCE≌△ACD，
在△CEM和△CDM中
∴△CEM≌△CDM（SAS），
∴BE＝AD＝AM+DM＝AM+ME，
即BE＝AM+EM．
23．【解答】解：（1）三角形ABC的面积＝3×4﹣×2×2﹣×2×3﹣×2×4＝12﹣1﹣3﹣4＝4；（2）如图所示，△A1B1C7，△BEF即为所求，
由图可得，点E的坐标为（﹣4，﹣3），点F的坐标为（﹣5，﹣1）．
24．【解答】解：（1）∵D（159）＝159
∴E（159）＝951
∵D（246）＝246
∴F（246）＝
∵x、y为各个数位上的递增数值，递增后的数值不能使各数位上的数字超过9
∴D（s）＝100+10（1+x）+（1+2x）＝12x+111
∴E（s）＝100（1+2x）+10（1+x）+3＝210x+111
∴F（s）＝＝＝x
∵F（s）+F（t）＝5
∴y＝5﹣x
∴k＝
＝26x+19
∴当x＝4时，k最大值为123．
25．【解答】证明：（1）如图①，作CM⊥BE，垂足为点M，作CN⊥AD，垂足为点N，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
在△BCE和△ACD中，
∴△BCE≌△ACD （SAS）；
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴CM＝CN，
∴点C在∠BHD的平分线上，即CH平分∠BHD；
证明：如图，在HD上截取DQ＝EH，连接CQ，
∵△BCE≌△ACD，
又∵CD＝CE，
∴∠DCQ＝∠ECH，且CQ＝CH，
∴∠ECH+∠ECQ＝60°，即∠HCQ＝60°，
∴HQ＝HC，
∴HC+HE＝HD．
26．【解答】解：（1）如图1，∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，
∴∠DAC＝70°+60°＝130°，
∴∠ACD＝＝25°，
∴∠ACB＝＝55°，
故答案为：30°；
如图2，∵△ABD是等边三角形，
∵∠BAC＝α，
在△DAC中，∵AD＝AC，
在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠BCD＝90°﹣α﹣（60°﹣α）＝30°；
在△BAC中，AB＝AC，AF是底边中线，
在△AED和△AFB中，
∴△AED≌△AFB（AAS），
∴△AFE是等边三角形，
∴∠EFB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BCE＝＝15°．。