判定平行四边形五种方法

判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢下面举例予以说明. 一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD 中,E 、F 在对角线AC 上,且AE =CF ,试说明四边形DEBF 是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD .解：连接BD 交AC 于点O .因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AO =CO ,BO =DO . 又AE =CF , 所以AO -AE =CO -CF ,即EO =FO . 所以四边形DEBF 是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF =BC =1,AB =FC =1, 所以四边形ABCF 是平行四边形.同样可知四边形FCDE 、四边形ACDF 都是平行四四边形. 因为AE =DB =2,AB =DE =1,所以四边形ABDE 也是平行四边形. 三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE =CF ,DF =BE ,DF ∥BE ，试说明四边形ABCD 是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD 是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF ≌△CBE ，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为DF ∥BE ，所以∠AFD =∠CEB .因为AE =CF ,所以AE +EF =CF +EF ，即AF =CE .又DF =BE , 所以△ADF ≌△CBE ，所以AD =BC ，∠DAF =∠BCE ， 所以AD ∥BC .所以四边形ABCD 是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判图1图2A BCDEF图3别例4 如图4，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，则四边形AECF 是平行四边形吗为什么分析：由平行四边形的性质易得AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF 是平行四边形.理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，所以AF ∥EC .又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE ∥CF . 所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。

下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。

一、 两组对边分别平行如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD =CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF =AE ，连结AF 、BE 和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明； (2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。

解：（1）选证△BDE ≌△FEC 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC =AC ，∠ACD =60°∵CD =CE ，∴BD =AE ，△EDC 是等边三角形 ∴DE =EC ，∠CDE =∠DEC =60° ∴∠BDE =∠FEC =120°又∵EF =AE ，∴BD =FE ，∴△BDE ≌△FEC （2）四边形ABDF 是平行四边形理由：由（1）知，△ABC 、△EDC 、△AEF 都是等边三角形∵∠CDE =∠ABC =∠EFA =60° ∴AB ∥DF ，BD ∥AFAFBDCE 图1AB CD EF图4132∵四边形ABDF是平行四边形。

点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。

二、一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连结BG并延长交DE于F(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形并说明理由。

分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD是平行四边形。

解：（1）∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE（2）∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，∵四边形ABCD是正方形∴BE′∥DG，AB=CD∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG∴四边形DE′BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3 如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。

求证：四边形DAEF是平行四边形；分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。

解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°∴∠DBF=∠ABC又∵BD=BA，BF=BC ∴△ABC≌△DBF∴AC=DF=AE 同理△ABC≌△EFC∴AB=EF=AD∴四边形ADFE是平行四边形点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。

四、对角线互相平分例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD 相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC 于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。

图4分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。

证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，∴∠AEO=∠CGO，∵∠AOE=∠COG，OA=OC∴△AOE≌△COG，∴OE=OG同理△BOF≌△DOH∴OF=OH∴四边形EFGH是平行四边形点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。

五、两组对角相等例5 将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起四边形ABCD是平行四边形吗理由。

(1)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B1C1D1的位置，四边形ABC1D1是平行四边形吗说出你的结论和理由： 。

分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。

解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，理由如下： ∠ABC =∠ABD +∠DBC =30°+90°=120°， ∠ADC =∠ADB +∠CDB =90°+30°=120° 又∠A =60°，∠C =60°， ∴∠ABC =∠ADC ，∠A =∠C（2）四边形ABC 1D 1是平行四边形，理由如下：将Rt △BCD 沿射线方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置时，有Rt △C 1BB 1≌Rt △ADD 1∴∠C 1BB 1=∠AD 1D ，∠BC 1B 1=∠DAD 1∴有∠C 1BA =∠ABD +∠C 1BB 1=∠C 1D 1B 1+∠AD 1B =∠AD 1C 1，∠BC 1D 1=∠BC 1B 1+∠B 1C 1D 1=∠D 1AD +∠DAB =∠D 1AB 所以四边形ABC 1D 1是平行四边形 点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置时，始终有AB ∥C 1D 1，故ABC 1D 1是平行四边形。

判断平行四边形的策略在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：一、考虑“对边”关系思路1：证明两组对边分别相等例1 如图1所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，并且AF ＝CE .求证：四边形ACEF 是平行四边形. 证明：∵DE 是BC 的垂直平分线， ∴DF ⊥BC ，DB = DC .∴∠FDB = ∠ACB = 90°.∴DF ∥AC .∴CE = AE =21AB . ∴∠1 = ∠2 .又∵EF ∥AC ，AF = CE = AE ， ∴∠2 =∠1 =∠3 =∠F . ∴△ACE ≌△EFA . ∴AC = EF .==∴四边形ACEF 是平行四边形. 思路2：证明两组对边分别平行例 2 已知：如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 是AB 的中点，D 在BC 上，延长ED 到F ，使ED = DF = EB . 连结FC .求证：四边形AEFC 是平行四边形.证明：∵AB ＝AC ，∴∠B =∠ACB . ∵ED = EB ，∴∠B =∠EDB . ∴∠ACB =∠EDB . ∴EF ∥AC .∵E 是AB 的中点，∴BD = CD .∵∠EDB =∠FDC ，ED = DF ，∴△EDB ≌△FDC . ∴∠DEB =∠F .∴AB ∥CF .∴四边形AEFC 是平行四边形. 思路3：证明一组对边平行且相等 例3 如图3，已知平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，AE = CF ，M 、N 分别是DE 、BF 的中点.求证：四边形ENFM 是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD = BC ，∠A =∠C .又∵AE = CF ，∴△ADE ≌△CBF .∴∠1 =∠2，DE = BF . ∵M 、N 分别是DE 、BF 的中点， ∴EM = FN .∵DC ∥AB ，∴∠3 =∠2. ∴∠1 =∠3. ∴EM ∥FN .∴四边形ENFM 是平行四边形.二、考虑“对角”关系思路：证明两组对角分别相等例4 如图4，在正方形ABCD 中，点E 、 F 分别是AD 、BC 的中点.求证：（1）△ABE ≌△CDF ；（2）四边形BFDE 是平行四边形. 证明：（1）在正方形ABCD 中，AB = CD ，AD = BC ，∠A =∠C =90°，∵AE =21AD ，CF =21BC ， ∴AE = CF . ∴△ABE ≌△CDF .（2）由（1）△ABE ≌△CDF 知，∠1 =∠2，∠3 =∠4.∴∠BED =∠DFB .∵在正方形ABCD 中，∠ABC =∠ADC ， ∴∠EBF =∠EDF .∴四边形BFDE 是平行四边形. 三、考虑“对角线”的关系 思路：证明两条对角线相互平分例5 如图5，在平行四边形ABCD 中， P 1、P 2是对角线BD 的三等分点.求证：四边形AP 1CP 2是平行四边形. 证明：连结AC 交BD 于O .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA = OC ，OB = OD . ∵BP 1 = DP 2 ，∴OP 1 = OP 2 . ∴四边形AP 1CP 2是平行四边形. 平行四边形的识别浅析平行四边形是初中数学中的基本图形，正确识别平行四边形，是进一步学习矩形、菱形和正方形的基础。