第四章 金属自由电子理论

第四章 金属自由电子理论

1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？

解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。

2.金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？

解：金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面都是球形。费米能量与电子密度和温度有关。

3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？

解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。 4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？

解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。

5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？

解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。

6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。

解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：

dE

dk

dk dZ dE dZ E ⋅

==

)(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：

dk L

dk dZ π

=∆=k 2 …………………………

（2） 又由于 m

k E 22

2 =

所以 m

k

dk dE 2 = …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该

一维金属晶体中自由电子的状态密度为：

E

m

L E 22)( πρ=

…………………………（4） （2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：

1

1)(+=

-T

K E E B F e

E f (5)

于是，系统中的电子总数可表示为：

⎰∞

=

)()(dE E E f N ρ (6)

由于0=T K ，所以当0

F E E >，有0)(=E f ，而当0

F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：

⎰=

)(F

E dE E N ρ

＝⎰00

22F

E dE E m L π＝240

F

mE L π

由此可得： 2

2

2208mL N E F

π= (7)

（3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞

=

0)()(1

dE

E E Ef N E ρ＝dE E

m

L E N F

E 2210

⎰⋅

π

＝

2

3

0)(232F E m N L π＝02

2223124F E mL N = π 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为

)(2),(2

22y x y x k k m

k k E += 。

试求：

（1）能量E ～dE E +之间的状态数； （2）此二维系统在绝对零度的费米能量； （3）电子的平均能量。

解：（1）K 空间中，在半径为k 和k k d +的两圆面之间所含的状态数为

k k k k d L d L dZ πππ2242

2

2== (1)

这也就是能量在E ～dE E +之间的状态数，由电子的能量表达式可得 dE m

dE E m mE d 2

222122

=⋅=

k k ………………（2） 将（2）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，这样可得能量

在E ～dE E +之间的状态数为dE mL dE mL dZ 2

2

2222

ππ=⋅= （2）由（1）问可知，该系统的自由电子的状态密度为

22

)(

πρmL dE dZ E == 在绝对零度下，由下式

2

20

22000)(F E E E mL dE mL dE E N F

F

⋅===⎰⎰ ππρ 由此可得此二维系统在绝对零度的费米能量为

2

2

0mL

N E F

π= （3）电子的平均能量为

⎰⎰==

0022

01

)(1

F

F

E E EdE mL N dE E E N

E

πρ 0

2

222222212)(211F E mL

N mL N mL N === πππ 8.金属锂是体心立方晶格，晶格常数为m a 10

105.3-⨯=。试计算绝对零度时电子气的费米

能量0

F E （以eV 表示）

解：由题意可求得金属锂的电子浓度为 2831031066.4)

105.3(22⨯=⨯==

-a n /m 3 故绝对零度时金属锂的电子气的费米能量为

32

22

0)3(2πn m

E F

= 3

2

22831

234)14.31066.43(10

11.92)10055.1(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-- 19

10

57.7-⨯=J 72.4=eV

9.在低温下金属钾的摩尔比热容的实验结果可写成

)57.208.2(3T T c v += K)mJ/(mol ⋅

若1mol 的钾有23

106⨯=N 个电子，试求钾的费米温度F T 和德拜温度D Θ。