初三数学总复习指导--第八讲 二次函数

第八讲 二次函数
一、课标下复习指南
1．二次函数
如果y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．
几种特殊的二次函数：y ＝ax 2(a ≠0)；y ＝ax 2＋c (ac ≠0)；y ＝ax 2＋bx (ab ≠0)；y ＝a (x －h )2(a ≠0)． 2．二次函数的图象
二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线．
由y ＝ax 2
(a ≠0)的图象，通过平移可得到y ＝a (x －h )2
＋k (a ≠0)的图象． 3．二次函数的性质
二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的性质对应在它的图象上，有如下性质：
(1)抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c
的顶点是)44,2(2
a b ac a b
--，对称轴是直线a
b
x 2-
=，顶点必在对称轴上；
(2)若a ＞0，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜a
b 2-
时，y 随x 的
增大而减小；当x ＞a b
2-时，y 随x 的增大而增大；当x ＝a
b
2-，y 有最小值
a b
ac 442
-；
若a ＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜a
b 2-
，y 随x 的增大
而增大；当a b
x 2->时，y 随x 的增大而减小；当x ＝a
b
2-时，y 有最大值
a b
ac 442
-；
(3)抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与y 轴的交点为(0，c )；
(4)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，令y ＝0可得到抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴交点的情况： 当∆＝b 2
－4ac ＞0，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是)0,24(
2
a
ac
b
b ---和
)0,24(
2
a
ac
b
b -+-，这两点的距离为|
|42
a ac b
-；当∆＝0时，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点)
0,2(a
b -
；当∆＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴没有公共点．
4．抛物线的平移
抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h 、k 的值来决定． 二、例题分析
例1 用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x (米)，矩形面积为y (米2)，写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围，并画出函数图象．
注意 列表时，应在自变量取值范围内取点，并且尽量取关键点，如图象的端点、与坐标轴的交点、顶点等，以使图象尽量准确．
例2 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 符合下列条件，求它的解析式： (1)图象经过三点(1，4)，(－1，－1)，(2，－1)； (2)顶点是(2，1)，并且经过点(3，
2
3)；
(3)顶点在y 轴上，最大值是4，并且经过点(1，3)； (4)顶点在x 轴上，对称轴x ＝1，并且经过点(2，2)； (5)对称轴是x ＝2，并且经过点(0，－3)，(3，0)；
(6)与x 轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)；
(7)图象经过点(－1，8)，对称轴是直线x ＋2＝0，并且在x 轴截得的线段长为6．
说明 根据条件灵活选择抛物线的三种表达形式：一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，顶点式y ＝a (x ＋m )2＋n (a ≠0)，或
双根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)有助于简化计算过程．
例3 (1)已知函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图8－2所示，且P ＝|a －b ＋c |＋|2a ＋b |，Q ＝|a ＋b ＋c |＋|2a －b |，则P ，Q 的大小关系为______；
(2)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图8－3所示，有下列5个结论：
①abc ＞0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0； ④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞m (am ＋b )(m ≠1)， 其中正确的结论有( )． A ．2个 B ．3个
C ．4个
D ．5个
说明 注意观察二次函数的图象可以得到隐含信息，如开口方向、对称轴顶点、与坐标轴的公共点以及所给出的特殊点与图象的关系等．
例4 若二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是( )
A ．4
7-
>k B ．4
7-
>k 且k ≠0 C ．4
7-
≥k D ．4
7-
≥k 且k ≠0
说明 抛物线与坐标轴的交点问题要注意： ①方程类型．
②一元二次方程两根相等⇔抛物线与x 轴有一个公共点； 一元二次方程两根不等⇔抛物线与x 轴有两个公共点； 一元二次方程无实根⇔抛物线与x 轴无公共点．
例6 两个不同的二次函数y ＝x 2
＋kx ＋1与y ＝x 2
－x －k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 的值为( )． A ．0
B ．－1
C ．2
D ．
⋅
41
例7 (1)已知抛物线y ＝－2x 2
＋8x －8，其顶点坐标为______，以其顶点为中心，旋转180°所得抛物线的解析式是______，若继续上下平移，使它与直线y ＝2x －4相交于(0，a )，则a ＝______，平移后，所得抛物线的解析式是______；
(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 如图8－5所示．
①它关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________； ②它关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________； ③它关于直线x ＝4对称的抛物线的解析式为____________； ④它关于直线y ＝－2对称的抛物线的解析式为____________． 例7(1)(2，0)， y ＝2x 2－8x ＋8，a ＝－4，y ＝2x 2－8x －4；
(2)可先求出图8－5中抛物线为y ＝x 2
－4x ＋3．
①y ＝x 2＋4x ＋3；②y ＝－x 2＋4x －3；③y ＝x 2－12x ＋35；④y ＝－x 2＋4x －7．
说明 方法一：对于抛物线的图形变换基本方法是转化为关键点的变换，尤其是顶点、与坐标轴的交点；另外也可利用图形变换前后图形全等，因而|a |是不变的，来寻求解决方法．
方法二：若设所求抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则它关于y 轴的对称点为P 1(－x ，y )，关于x 轴的对称点为P 2(x ，－y )，关于直线x ＝4的对称点为P 3(8－x ，y )，关于直线y ＝2的对称点为P 4(x ，－4－y )，P 1，P 2，P 3，P 4分别在原抛物线上，将它们的坐标分别代入原抛物线的解析式，整理后得到所求抛物线的解析式．
例8 如图8－6，二次函数y ＝x
m x )14(
41
2++＋m (m ＜4)的图象与x 轴相交于点A ，B 两点．
(1)求A ，B 两点的坐标(可用含字母m 的代数式表示)； (2)如果这个二次函数的图象与反比例函数y x
9=的图象相交于点C ，且∠BAC 的
正弦值为
5
3，求这个二次函数的解析式．
例9 已知二次函数y ＝－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于A 点和B 点，点A 在原点的左边，点B 在原点的右边．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，并与这个二次函数的图象交于点C ，S △ABC ＝10，求一次函数的解析式．
思考若过点A的直线与抛物线有且只有一个公共点，如何求直线解析式?
例10已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)，C(5，0)两点．
(1)求此抛物线的解析式；(2)若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
(3)若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上的某点(设点为
F)，最后沿直线运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
四、课标考试达标题
(一)选择题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的值如果总是负数，那么a，b，c满足( )．
A．a＞0，b2－4ac＜0 B．a＞0，b2－4ac＞0 C．a＜0，b2－4ac＞0 D．a＜0，b2－4ac＜0
2．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图8－14所示，则y＝ax－b的图象一定经过( )．
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
3．抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如图8－15所示，则当y＞0时，x的取值范围是( )．A．－4＜x＜1 B．－3＜x＜1
C．x＜－4或x＞1 D．x＜－3或x＞1
4．如图8－16是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象经过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．
给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b＝0；③a－b＋c＝0；④5a＜b．其中正确结论是( )．
A．②④B．①④
C．②③D．①③
5．如果函数y＝ax＋b(ab≠0)的图象不经过第一象限，则抛物线y＝ax2＋bx的顶点一定在( )．A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
6．在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋x－2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )．
A．y＝－x2－x＋2 B．y＝－x2＋x－2 C．y＝－x2＋x＋2 D．y＝x2＋x＋2
7．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，床位可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则会少租出10张床位；
若每床每晚收费再提高2元，则会再少租出10张床位．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )．
A．4元或6元B．4元C．6元D．8元
(二)填空题
8．抛物线y＝x2－2x－8的对称轴方程为______，顶点为______，与x轴的交点为______，与y轴的交点为______．9.已知抛物线y＝x2＋p x＋q与x轴的交点为(3，0)和(－5，0)，则该抛物线的对称轴是_．10．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点为(1，2)，与y轴的交点为(0，3)，则a＋b＋c＝______．
11．将抛物线y＝2x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到图象的解析式为______．
12．若抛物线y＝x2＋px＋q与x轴的交点为(p，0)，(q，0)，则该抛物线的解析式为______．
13．若抛物线y＝x2＋bx＋5的顶点在x轴上，则b的值为______．
(三)解答题
14．如图8－20，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－5)和(－2，4)．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)设此抛物线与直线y＝x相交于点A，B(点B在点A的右侧)，平行于y轴的
直线x＝)1
<m
m与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，与x轴交于点P，
0(+
5
<
求线段MN的长(用含m的代数式表示)；
(3)在条件(2)的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使△BOM的面积S最大?
若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．。