初三数学总复习指导--第八讲 二次函数

第八讲 二次函数

一、课标下复习指南

1．二次函数

如果y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．

几种特殊的二次函数：y ＝ax 2(a ≠0)；y ＝ax 2＋c (ac ≠0)；y ＝ax 2＋bx (ab ≠0)；y ＝a (x －h )2(a ≠0)． 2．二次函数的图象

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是对称轴平行于y 轴的一条抛物线．

由y ＝ax 2

(a ≠0)的图象，通过平移可得到y ＝a (x －h )2

＋k (a ≠0)的图象． 3．二次函数的性质

二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的性质对应在它的图象上，有如下性质：

(1)抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c

的顶点是)44,2(2

a b ac a b

--，对称轴是直线a

b

x 2-

=，顶点必在对称轴上；

(2)若a ＞0，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜a

b 2-

时，y 随x 的

增大而减小；当x ＞a b

2-时，y 随x 的增大而增大；当x ＝a

b

2-，y 有最小值

a b

ac 442

-；

若a ＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x ，y )，当x ＜a

b 2-

，y 随x 的增大

而增大；当a b

x 2->时，y 随x 的增大而减小；当x ＝a

b

2-时，y 有最大值

a b

ac 442

-；

(3)抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与y 轴的交点为(0，c )；

(4)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，令y ＝0可得到抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴交点的情况： 当∆＝b 2

－4ac ＞0，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是)0,24(

2

a

ac

b

b ---和

)0,24(

2

a

ac

b

b -+-，这两点的距离为|

|42

a ac b

-；当∆＝0时，抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 与x 轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点)

0,2(a

b -

；当∆＜0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴没有公共点．

4．抛物线的平移

抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线y ＝ax 2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a (x －h )2＋k ．平移的方向、距离要根据h 、k 的值来决定． 二、例题分析

例1 用一根6米长的铁丝弯成一个矩形，设矩形一边长为x (米)，矩形面积为y (米2)，写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围，并画出函数图象．

注意 列表时，应在自变量取值范围内取点，并且尽量取关键点，如图象的端点、与坐标轴的交点、顶点等，以使图象尽量准确．

例2 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 符合下列条件，求它的解析式： (1)图象经过三点(1，4)，(－1，－1)，(2，－1)； (2)顶点是(2，1)，并且经过点(3，

2

3)；

(3)顶点在y 轴上，最大值是4，并且经过点(1，3)； (4)顶点在x 轴上，对称轴x ＝1，并且经过点(2，2)； (5)对称轴是x ＝2，并且经过点(0，－3)，(3，0)；

(6)与x 轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)；

(7)图象经过点(－1，8)，对称轴是直线x ＋2＝0，并且在x 轴截得的线段长为6．

说明 根据条件灵活选择抛物线的三种表达形式：一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，顶点式y ＝a (x ＋m )2＋n (a ≠0)，或

双根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)有助于简化计算过程．

例3 (1)已知函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象如图8－2所示，且P ＝|a －b ＋c |＋|2a ＋b |，Q ＝|a ＋b ＋c |＋|2a －b |，则P ，Q 的大小关系为______；

(2)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图8－3所示，有下列5个结论：

①abc ＞0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0； ④2c ＜3b ；⑤a ＋b ＞m (am ＋b )(m ≠1)， 其中正确的结论有( )． A ．2个 B ．3个

C ．4个

D ．5个

说明 注意观察二次函数的图象可以得到隐含信息，如开口方向、对称轴顶点、与坐标轴的公共点以及所给出的特殊点与图象的关系等．

例4 若二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是( )

A ．4

7-

>k B ．4

7-

>k 且k ≠0 C ．4

7-

≥k D ．4

7-

≥k 且k ≠0

说明 抛物线与坐标轴的交点问题要注意： ①方程类型．

②一元二次方程两根相等⇔抛物线与x 轴有一个公共点； 一元二次方程两根不等⇔抛物线与x 轴有两个公共点； 一元二次方程无实根⇔抛物线与x 轴无公共点．

例6 两个不同的二次函数y ＝x 2

＋kx ＋1与y ＝x 2

－x －k 的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 的值为( )． A ．0

B ．－1

C ．2

D ．

⋅

41

例7 (1)已知抛物线y ＝－2x 2

＋8x －8，其顶点坐标为______，以其顶点为中心，旋转180°所得抛物线的解析式是______，若继续上下平移，使它与直线y ＝2x －4相交于(0，a )，则a ＝______，平移后，所得抛物线的解析式是______；

(2)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 如图8－5所示．

①它关于y 轴对称的抛物线的解析式为____________； ②它关于x 轴对称的抛物线的解析式为____________； ③它关于直线x ＝4对称的抛物线的解析式为____________； ④它关于直线y ＝－2对称的抛物线的解析式为____________． 例7(1)(2，0)， y ＝2x 2－8x ＋8，a ＝－4，y ＝2x 2－8x －4；

(2)可先求出图8－5中抛物线为y ＝x 2

－4x ＋3．

①y ＝x 2＋4x ＋3；②y ＝－x 2＋4x －3；③y ＝x 2－12x ＋35；④y ＝－x 2＋4x －7．

说明 方法一：对于抛物线的图形变换基本方法是转化为关键点的变换，尤其是顶点、与坐标轴的交点；另外也可利用图形变换前后图形全等，因而|a |是不变的，来寻求解决方法．

方法二：若设所求抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则它关于y 轴的对称点为P 1(－x ，y )，关于x 轴的对称点为P 2(x ，－y )，关于直线x ＝4的对称点为P 3(8－x ，y )，关于直线y ＝2的对称点为P 4(x ，－4－y )，P 1，P 2，P 3，P 4分别在原抛物线上，将它们的坐标分别代入原抛物线的解析式，整理后得到所求抛物线的解析式．

例8 如图8－6，二次函数y ＝x

m x )14(

41

2++＋m (m ＜4)的图象与x 轴相交于点A ，B 两点．

(1)求A ，B 两点的坐标(可用含字母m 的代数式表示)； (2)如果这个二次函数的图象与反比例函数y x

9=的图象相交于点C ，且∠BAC 的

正弦值为

5

3，求这个二次函数的解析式．

例9 已知二次函数y ＝－x 2＋(2m ＋2)x －(m 2＋4m －3)，m 为不小于0的整数，它的图象与x 轴交于A 点和B 点，点A 在原点的左边，点B 在原点的右边．

(1)求二次函数的解析式；

(2)若一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，并与这个二次函数的图象交于点C ，S △ABC ＝10，求一次函数的解析式．