2020最新-《常微分方程》作业
常微分方程第一、二、三次作业参考答案
1、给定一阶微分方程2dyx dx=： （1） 求出它的通解；解：由原式变形得：2dy xdx =.两边同时积分得2y x C =+.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：1C =-即通过点（2,3）的特解为：21y x =-.（3） 求出与直线23y x =+相切的解；解：依题意联立方程组：223y x Cy x ⎧=+⎨=+⎩故有：2230x x C --+=。
由相切的条件可知：0∆=，即2(2)4(3)0C --⨯-+=解得4C =故24y x =+为所求。
（4） 求出满足条件33ydx =⎰的解。
解：将 2y x C =+代入330dy =⎰，可得2C =-故22y x =-为所求。
2、求下列方程的解。
１）3x y dydx-= 2）233331dy x y dx x y -+=--解：依题意联立方程组：23303310x y x y -+=⎧⎨-+=⎩ 解得：2x =，73y =。
则令2X x =-，73Y y =-。
故原式可变成：2333dY x ydX x y-=-. 令Yu X =，则dy Xdu udx =+，即有 233263u dxdu u u x-=-+.两边同时积分，可得122(263)||u u C X --+= .将732y u x -=-，2X x =-代入上式可得： 12227()614323|2|2(2)y y C x x x -⎛⎫- ⎪--+=- ⎪-- ⎪⎝⎭.即上式为所求。
3、求解下列方程:1)24dyxy x dx+=. 解：由原式变形得：22dyxdx y=-. 两边同时积分得：12ln |2|y x C --=+. 即上式为原方程的解。
2)()x dyx y e dx-=. 解：先求其对应的齐次方程的通解： ()0dyx y dx -=. 进一步变形得：1dy dx y=.两边同时积分得：x y ce =.利用常数变异法，令()x y c x e =是原方程的通解。
常微分方程第三版习题答案
常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
在学习常微分方程的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。
本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题一1.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
令$y = u(t)e^{2t}$，则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程，得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到：$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$，得到：$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分，得到：$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$，得到最终的解：$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程，我们可以通过分离变量来求解。
将方程变形，得到：$ydy = tdt$对上式两边同时积分，得到：$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得：$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$，将初始条件代入上式，得到：$1 = 0 + C$解得：$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$，得到最终的解：$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解：首先，我们根据题意列出方程：$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程，我们可以使用常数变易法来求解。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分方程
微分方程作业一、选择题1、下列方程中为线性微分方程的是（ ）（A ）2)(y '+x y x =' (B)x y y y =-'2 (C) x e y xy x y =+'-''222 (D)y xy y y cos 3=-'-'' 2、下列函数中哪组是线性无关的（ ）（A ）x ln ， 2ln x (B)1， x ln (C)x x 2ln , (D)ln x , 2ln x3、以x y cos 1=, x y sin 2= 为特解的方程是（A ）0=-''y y (B)0=+''y y (C)0='+''y y (D)0='-''y y4、微分方程02=-'+''y y y 的通解是（ ）（A ）x x ec e c y 221--= （B ）221x x e c e c y -=- （C ）221x x e c e c y --= （D ）x x e c e c y 221+=-5、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程，0)()(=⋅+'⋅+''y x q y x p y 两个特解，21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=（ ）（A ）一定是该方程的通解 （B ）是该方程的特解（C ）是该方程的解 （D ）不一定是方程的解6、下列函数满足方程0=+''y y 的是 。
（A ）1=y （B ）x y = （C ）x e y = （D ）x y sin =7. 下列方程中为线性微分方程的是（ ）（A ）2)(y '+x y x =' (B)x y y y =-'2 (C) x e y x y x y =+'-''222 (D)y xy y y cos 3=-'-'' 8. 以x y cos 1=, x y sin 2= 为特解的方程是（A ）0=-''y y (B)0=+''y y (C)0='+''y y (D)0='-''y y9．微分方程y y '=''的通解为（A ）x e c x c y 21+= （B ）x e c c y 21+=（C ）c x c y +=1 （D ）221x c x c y +=10.方程'3xy y +=的通解是（ ）Ａ 3c y x =+ Ｂ 3y c x =+ Ｃ3c y x =-- Ｄ 3c y x=- 11、下列函数中，（ ）是微分方程''7'120y y y -+=的解A 3y x =B 2y x =C 3x y e =D 2x y e =12.函数y=y(x)的图形上的点(0,-2)的切线为2x-3y=6,且该函数满足微分方程''6y x =,则此函数为( )A 32y x =-B 232y x =-C 33260y x x --+=D 323y x x =+13、微分方程y y '=''的通解为（A ）x e c x c y 21+= （B ）x e c c y 21+=（C ）c x c y +=1 （D ）221x c x c y +=二、填空题1．032=-'+''y y y 的通解2、x y =/的通解是3、04=+''y y 对应的特征方程是4、065=+'+''y y y 的通解为 。
(完整版)常微分方程试题库.(最新整理)
常微分方程一、填空题1．微分方程的阶数是____________0(22=+-+x y dxdy dx dy n 答：12．若和在矩形区域内是的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则),(y x M ),(y x N R ),(y x 方程有只与有关的积分因子的充要条件是 0),(),(=+dy y x N dx y x M y _________________________答：)()1(y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂3．_________________________________________ 称为齐次方程.答：形如的方程(xy g dx dy =4．如果 ___________________________________________ ,则存在),(y x f ),(y x f dx dy =唯一的解,定义于区间 上,连续且满足初始条件 ,其中)(x y ϕ=h x x ≤-0)(00x y ϕ=_______________________ .=h 答：在上连续且关于满足利普希兹条件 R y ),min(mb a h =5．对于任意的 , (为某一矩形区域),若存在常数使 ),(1y x ),(2y x R ∈R )0(>N N ______________________ ,则称在上关于满足利普希兹条件.),(y x f R y 答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-6．方程定义在矩形区域:上 ,则经过点 的解的22y x dxdy +=R 22,22≤≤-≤≤-y x )0,0(存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若是齐次线性方程的个解,为其伏朗斯基行列式,则满足),.....2,1)((n i t x i =n )(t w )(t w 一阶线性方程 ___________________________________答：0)(1'=+w t a w 8．若为齐次线性方程的一个基本解组，为非齐次线性方程的一个),.....2,1)((n i t x i =)(t x 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________答：xx c x ni i i +=∑=19．若为毕卡逼近序列的极限，则有 __________________)(x ϕ{})(x n ϕ≤-)()(x x n ϕϕ答：1)!1(++n n h n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解 ，则经过变换 )(x y ___________________ ，可化为伯努利方程．答：形如的方程 )()()(2x r y x q y x p dx dy ++=y z y +=11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．答：开12．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．1d d +=y x y 答：，（或不含x 轴的上半平面）}0),{(2>∈=y R y x D 13．方程的所有常数解是 ．y x x y sin d d 2=答：,2,1,0,±±==k k y π14．函数组在区间I 上线性无关的 条件是它们的)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件)(),(21x y x y 是． 答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）16．方程的基本解组是．02=+'-''y y y 答：xx x e ,e17．若在上连续，则方程的任一非零解 )(x y ϕ=),(∞+-∞y x xy )(d d ϕ=与轴相交．x 答：不能18．在方程中，如果，在上连续，那么它的0)()(=+'+''y x q y x p y )(x p )(x q ),(∞+-∞任一非零解在平面上 与轴相切．xoy x 答：不能19．若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 共)(),(21x y x y ϕϕ==同零点．答：没有20．方程的常数解是 ．21d d y x y -=答：1±=y 21．向量函数组在其定义区间上线性相关的 条件是)(,),(),(21x x x n Y Y Y I 它们的朗斯基行列式，．0)(=x W I x ∈答：必要22．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．22d d y x x y +=答： 平面xoy 23．方程所有常数解是 ．0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 答：1,1±=±=x y 24．方程的基本解组是．04=+''y y 答：xx 2cos ,2sin 25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．n（A ） （B ）-1 （C ）+1 （D ）+2n n n n 2．如果，都在平面上连续，那么方程的任一解的存在),(y x f y y x f ∂∂),(xoy ),(d d y x f x y =区间（ D ）．（A ）必为 （B ）必为),(∞+-∞),0(∞+ （C ）必为（D ）将因解而定)0,(-∞3．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．y x xy +=-31d d （A ）上半平面 （B ）xoy 平面（C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B ）是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解5. 方程过点共有（ B ）个解．21d d y x y -=)1,2(π （A ）一（B ）无数 （C ）两 （D ）三6. 方程（ B ）奇解．2d d +-=y x xy （A ）有三个 （B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个7．阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．n （A ）维 （B ）维 （C ）维 （D ）维n 1+n 1-n 2+n 8．方程过点（ A ）．323d d y x y = （A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C ）只有解 （D ）只有两个解0=y 9. 连续是保证对满足李普希兹条件的（ B ）条件．),(y x f y '),(y x f y （A ）充分 （B ）充分必要 （C ）必要 （D ）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间11．方程的奇解是（ D ）．y x y =d d （A ） （B ） （C ） （D ）x y =1=y 1-=y 0=y 12．若，是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的)(1x y ϕ=)(2x y ϕ=通解可用这两个解表示为（ C ）．（A ） （B ）)()(21x x ϕϕ-)()(21x x ϕϕ+（C ） （D ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+-)()(21x x C ϕϕ+13．连续是方程初值解唯一的（ D ）条件．),(y x f y '),(d d y x f xy =（A ）必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）充分14. 方程（ C ）奇解．1d d +=y x y （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个15．方程过点(0, 0)有（ A ）．323d d y x y = (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、求下列方程的通解或通积分1．3y x y dx dy +=解： ，则 所以 23y y x y y x dy dx +=+=)(121⎰+⎰⎰=-c dy e y e x dy y dy y cy y x +=23另外 也是方程的解 0=y 2．求方程经过的第三次近似解2y x dxdy +=)0,0(解：0)(0=x ϕ[]2020121)()(x dx x x x x =+=⎰ϕϕ[]52021220121)()(x x dx x x x x +=+=⎰ϕϕ[]81152022316014400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=⎰ϕϕ3．讨论方程 ，的解的存在区间 2y dx dy =1)1(=y 解：dx y dy =2两边积分 c x y+=-1所以 方程的通解为 cx y +-=1故 过的解为 1)1(=y 21--=x y 通过点 的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到 ２，)1,1(∞-所以解的存在区间为 )2,(-∞4． 求方程的奇解01(22=-+y dxdy 解: 利用判别曲线得p 消去得 即 ⎩⎨⎧==-+020122p y p p 12=y 1±=y 所以方程的通解为 , 所以 是方程的奇解)sin(c x y +=1±=y 5．0)1()1(cos 2=-++dy yx y dx y x 解: =, = , = , 所以方程是恰当方程.y M ∂∂2--y xN ∂∂2--y y M ∂∂x N ∂∂ 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+=∂∂211cos yx y y v y x x u )(sin y y x x u ϕ++= 所以)('2y xy yu ϕ+-=∂∂-y y ln )(=ϕ故原方程的解为 c y yx x =++ln sin6． xx x y y y 22'sin cos sin 2-=-+解: 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= ,令 , 则方程可化为, x y sin =x z y sin +=2z dx dz -=cx z +=1即 , 故 c x x y +=-1sin c x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy 解: 两边同除以得2y 037322=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--yd xy d dx 所以 , 另外 也是方程的解c y xy x =--7320=y 8．21d d x xy x y +=解 当时，分离变量得0≠y x x x y y d 1d 2+=等式两端积分得C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为 21x C y +=9. xy xy 2e 3d d =+ 解 齐次方程的通解为x C y 3e -= 令非齐次方程的特解为xx C y 3e )(-=代入原方程，确定出 C x C x +=5e 51)( 原方程的通解为+ x C y 3e -=x 2e 5110. 5d d xy y xy +=解 方程两端同乘以，得5-yx y x y y +=--45d d 令 ，则，代入上式，得z y =-4xz x y y d d d d 45=-- x z x z =--d d 41 通解为 41e 4+-=-x C z x 原方程通解为41e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy 解 因为，所以原方程是全微分方程． x N x y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y xC y y x xy y x =-⎰⎰020d d 2 即C y y x =-323112．y y x y ln d d =解：当，时，分离变量取不定积分，得0≠y 1≠y通积分为C x y y y +=⎰⎰d ln d x C y e ln =13．03)(22=+'+''x y y y解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-=14．xy x y x y +-=2)(1d d 解：令，则，代入原方程，得xu y =x u x u x y d d d d +=21d d u xu x -= 分离变量，取不定积分，得（） C x x u uln d 1d 2+=-⎰⎰0≠C 通积分为： Cx xy ln arcsin=15． xy x y x y tan d d +=解 令，则，代入原方程，得u x y =xu x u x y d d d d += ， u u x u x u tan d d +=+u x u x tan d d = 当时，分离变量，再积分，得0tan ≠u C x x u u ln d tan d +=⎰⎰ Cx u ln ln sin ln +=即通积分为：Cx x y =sin 16． 1d d +=xy x y 解：齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为+Cx y =x x ln 17. 0d d )e (2=+-y x x y x y 解 积分因子为21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d (e C y x x y y x x =+-⎰⎰ 即 1e ,e C C C xy x +==+18．0)(2='+''y y y 解：原方程为恰当导数方程，可改写为0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y +=19．1)ln (='-'y x y 解 令，则原方程的参数形式为p y ='⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1 由基本关系式 ，有y xy '=d dp p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='= p p )d 11(-=积分得 C p p y +-=ln 得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 120．022=+'+''x y y y 解 原方程可化为0)(2='+'x y y 于是 12d d C x xy y =+ 积分得通积分为 23123121C x x C y +-=21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于，所以原方程是全微分方程． x N xy y M ∂∂==∂∂2 取，原方程的通积分为)0,0(),(00=y x103023d d )(C y y x xy x y x =++⎰⎰即C y y x x =++42242四、计算题1．求方程的通解．x y y e 21=-''解 对应的齐次方程的特征方程为：12=-λ特征根为：1,121-==λλ故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21 因为是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为1=αx Ax x y e )(1=代入原方程，有 ， 可解出 ． x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=-+41=A 故原方程的通解为 x xx x C C y e 41e e 21++=-2．求下列方程组的通解． ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d 解 方程组的特征方程为04321=----=-λλλE A 即 0232=+-λλ特征根为 ，11=λ22=λ 对应的解为11=λt b a y x e 1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡其中是对应的特征向量的分量，满足11,b a 11=λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a 可解得．1,111-==b a 同样可算出对应的特征向量分量为 ．22=λ3,212-==b a 所以，原方程组的通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程的通解．x y y 5sin 5='-''解：方程的特征根为，01=λ52=λ齐次方程的通解为 x C C y 521e += 因为不是特征根。
《常微分方程》第五章练习题
x
y
C1
e3t 2e3t
C2
et 2et
3、满足初值条件的解为
~
(t )
et e t
4、方程组的通解为
x y
C1e2t
4 5
C2e7t
1 1
。
4
5、所求基解矩阵为 (2 e
3t
3)e
3t
e 3t (2 3)r
3t ．
6、 (t )
e3t [E
t(A
3E)]
A1 (t)
A2 (t)
，t
(a,b) .
部分参考答案 一、填空题
1、 (t) (t)C
2、(t) exp[(t t0 )A]
t t0
exp[(t s)A] f (s)ds
3、必要
t t0
1 (s) f
(s)ds
三、计算题
1、
A
4 3
3
4
2、原方程组的通解为
x ' Ax ce mt 有一解形如(t) pemt ，其中 c ， p 是常数向量．
3
4、证明：如果 φ(t) 是方程组 x Ax 满足初始条件 φ(t0 ) η 的解，那么
φ(t) [exp A(t t0 )]η 。
5、证明：如果 Φ(t),Ψ (t) 在区间 a t b 上是 n 阶线性方程组
1、向量
X1
(t)
2et 0
，
X
2
(t)
t 2et et
的伏朗斯基行列式
W (t) =（
）．
A 、0 ； B 、 tet ； C 、2 e t ； D 、2 e2t ．
2、有关矩阵指数 exp A 的性质，以下说法正确的是（ ）
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案
国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2020年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。
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课程总成绩=形成性考核×50%+终结性考试×50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．选择一项：A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项：A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项：A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．选择一项：A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项：A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．选择一项：A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。
奥鹏东师 《常微分方程》练习题答案.docx
《常微分方程》练习题一参考答案练习题第1套参考答案 一. 填空题1、全平面.2、1,1x y =-=-3、3y Cx C =+ 4、线性无关,(或朗斯基行列式不等于零) 5、开二. 单项选择题1.A,2.C,3.B,4.C,5.B三. 简答题1.0y >时对应通解是2(),.4x C y C x +=-≤<∞ 0y <时对应通解是2(),.4x C y x C +=--∞≤<- 2.是.四. 计算题 1、通积分为1x y Ce y -=. 2、通解为411().4y C x x =+ 3、通积分为21.x y C y += 4、通解为121cos sin cos .2x C t C t t t =+- 5、通解为27124151t t x C e C e y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦五. 应用题1. 设物体在t 时刻的下落速度为().v v t =在t 时刻物体所受的力,f mg kv =-k 为阻力系数,由牛顿第二运动定律,得方程dv m mg kv dt =- 即 ()dv k mg v dt m k=-- 解得 kt mmg v Ce k -=+ 代入初值条件(0)0v =, 得初值解 ()(1)kt m mg v t e k -=- 令t →+∞,得极限速度1.mg v k=2. 证明:因为0x 在取极值有1020()()0y x y x ''== 此时12(),()y x y x 的朗斯基行列式在0x 点的值为 1020102001020()()()()()0()()0y x y x y x y x W x y x y x ==='' 所以, 12(),()y x y x 不能为基本解组.练习题第2套参考答案 一、填空题1、(,)-∞+∞.2、0y >的右半平面3、,0,1,2,y k k π==±±L4、 22,xx exe -- 5、n二、单项选择题1.B,2.A,3.D,4.C,5.D三、简答题化成等价积分方程，用逐次逼近法求积分方程解。
2020最新-《常微分方程》作业参考答案
《常微分方程》作业参考答案一．求解下列方程 1．x c y cos =2．通解为：x x c y sin cos +=3．dx x x dy 122-= ⎰⎰--=122)1(x x d dy 2ln 1y x c =-+ 1)0(==c y 2ln |1|1y x ∴=-+4．'(1)ln(1)y y y y x x x -=++ 令xu y x y u =⇔=(1)ln(1)dy duu x u u u dx dx∴=+=+++故 (1)ln(1)du x u u dx=++ (1)ln(1)du dx u u x =++ ln(1)ln(1)d u dx u x +=+ ln ln(1)ln ln u x c ∴+=+ ln(1)u cx += cxe u =+1cxe xy =+∴1 )1(-=cxe x y5. 可分离变量方程，通解为)1)(1(222cx y x =++6．齐次方程，通解为 c x xyx y =++ln 422sin .7．全微分方程，通解为 .64224c y y x x =+- 8．.0222=++ydx dy x dx y d 9. 解为.)3(3x x y -= 10. 通解为 .2sin 222c y x y x =++ 1111．方程为．方程为 .011222=+-yx dx dy x dx y d 1212．通解为．通解为).tan(21c x c y +=13. 通解为xCe y =ln14. 通解为22x y Cy -= 15. 方程的通积分为C dy y xydx yx =-+⎰⎰)(2020,即Cy y x =-32316 . 通解为Ce e xy+=17 . 方程的通积分为C ydy dx e yxy=-⎰⎰-002,即C y xe y=--2.18 . 方程通解为x C x y cos sin += 二．1．通解为：cee xy+=2212. 通解为： t t e c c e c z y x 2321123101210⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 3.0)0(0==y y 2121x y =52220121x x y +=4. x uN y uM ∂∂=∂∂ x u N x N u y u M y M u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂令 u y x =+22 y u d ud y u 2⋅=∂∂∴ x u d u d x u 2⋅=∂∂u d u d x x N u u d ud yyMu 22+∂∂=+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-∴y M x N u u d u d x y )(2故满定充要条件的表达式为：)(22y x xy yMxN +=--∂∂∂∂∂ϕ5.)(2122y x v +=)(*dt dv )(22s x +-≤∠0 022≠+s x ∴（∴（0.00.00.0）渐近稳定）渐近稳定6.6.一次近似方程为：一次近似方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=--=y x dtdy yx dt dx32 特征方程为：012=++λλ 3-=∴∆＜0P ＝1＞0 ∴)Re(0)Re(21<<λλ, 则（则（0.00.00.0）局部渐过稳定）局部渐过稳定）局部渐过稳定. .7.01032=--λλ 5,221=-=λλx B x B x A x A y o 2sin )(2cos )(101*1+++=为x x y y y 2cos 10'3"=-- 之特解之特解,,±2λ不是特征根5=a 是特征方程的单根 x o e c x c x c x y 52122)(++=∴*故其通解为：2152211y y ec e c y xx +++=-8.特征根为：2.1.1321==-=λλλ11-=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=532α12=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111β13=λ所属的特征向量为：γ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101通解为：tt t e c e c e c z y x 2321101111531⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-9.0:)0(=oy y 2121x y = 52220121x x y -=10.10.特征方程为：特征方程为：01072=++λλ07>=p 010>=g 0>∆故 (0.0)(0.0)为稳定结点为稳定结点11.1.1.一次近似方程为：一次近似方程为：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=y x y x t d yd dt x d 0222=++∴λλ 0)Re(1<λ 0)Re(2<λ ∴（∴（0.00.00.0）为局部渐近稳定）为局部渐近稳定 2.)(2122y x v +=. )1)((2222)(-++=*y x y x l dt dv故122<+y x 0<∴dtdv故（故（0.00.00.0）局部渐近稳定）局部渐近稳定）局部渐近稳定. . 12.1.,00=y ,31),(3020001x dx x dx y x f y y xx==+=⎰⎰ .63131)91(),(730620102x x dx x x dx y x f y y xx+=+=+=⎰⎰2.,),(22y x y x f += ∴ ,5),(max ),(==∈y x f M D y x ,42max max ),(),(L y y f D y x D y x ===∂∂∈∈ .5252,1min ,min =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=m b a h 则 .7564)52(32145)()(322=⋅⋅⋅≤-x y x y13. 系数阵为 ,110111110⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡- 特征方程为.0)1()det(2=--=-λλλE A E A λ-的初等因子为 2)1(,-λλ，通解为 .101010101112321t t e t c e c c z y x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14.14.证：设证：设[).),0()(..,0+∞∈∀≤>∃x M x f t s M .则[)+∞∈∀,0x ，有 .)1()(0)(0000M y e M y ds e Me y x y x x xx s x +≤-+=+≤--⎰ []),,0()(0x C x y ∈ ∴ [].,0,)(..,00x x M x y t s M ∈≤>∃令 {},,max 0M y M K += ∴[).,0,)(+∞∈∀≤x K x y 15.15.通解为通解为 .)21(221x x e x x x c e c y -++=1616．．,2=α 特解为 ,1x y= 通解为).ln 21(221x x x c x c y +-+= 17. 解:先解齐次方程.2xy dx dy -=,通解为2x Cey -=.用常数变易法用常数变易法,,令非齐次方程通解为2)(x e x C y -=.代入原方程代入原方程,,化简后可得24)('x xe x C =,积分得到C e x C x+=22)(.代回后即得原方程通解为22x Ce y +=.注:在求解线性方程时在求解线性方程时,,即可以直接套用公式求解即可以直接套用公式求解,,也可以用常数变异法推出也可以用常数变异法推出,,但我们鼓励使用常数变异法鼓励使用常数变异法. .18..18..解解:由通解公式dx e y Cy y C y dx x p )(2111*1-⎰+=,此处1)(,1--==x xx p x y . 所以 x x xdx x x e C x C Ce x C xe C C x dx ey Cy y C y 21**12111*)(1-=-=-=+=--⎰19. 解 302022010311)1(1))((1)(,1)(x x d d x x xx⎰⎰-+=-+=-+==ξξξξξϕϕϕ,5分7542643020212631152611)91323221())((1)(x x x x x d d x xx +--++=+--+=-+=⎰⎰ξξξξξξξξϕϕ20.20.解解:显然0=y 是方程的解当0≠y 时,两端同除以5y ,得x y dx dy y +=4511令z y =41,代入有x z dxdz+=-4,它的解为x Ce x z 441-++-=.于是原方程的解为xCe x y 44411-++-=及0=y .21.21.解解:由通解公式dxe y Cy y C y dx x p ⎰+=-⎰)(2111*1,)ln 1(1)(,ln 1x x x p x y -==, x C x C x C C y dx x x C C y dx e x C C y dx e y Cy y C y dxx x dxx p 212112*1)ln 1(12*1)(2111*ln )ln 1()(ln 1ln )(ln 11+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰+=⎰+=⎰⎰⎰---22. 解:方程组的系数阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4312A .特征方程为 0)5)(1(4312)det(=--=--=-λλλλλE A ,特征根为5,121==λλ. 当11=λ 时,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a e y x t 11,其中b a ,满足03311)(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-b a b a E A λ,则有0=+b a ,取1,1-==b a ,则的一特解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111t e y x . 同理同理,,当52=λ时,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡31522t e y x ,所以方程组的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t t t e e C e e C t y t x 55213)()(。
常微分方程期末考试练习题及答案
一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。
一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0).1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。
如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。
2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。
3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。
如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。
4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。
5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。
（方程线性与否与自变量无关）。
如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。
注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。
余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。
另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。
b.教材28页第八题不妨做做。
二.可分离变量的方程A.变量分离方程1.定义：形如dxdy=f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。
这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。
2.解法：分离变量法⎰⎰+=c dx x f y dy)()(ϕ. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。
需视情况补上φ（y ）=0的特解。
（有时候特解也可以和通解统一于一式中）b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。
例1.0)4(2=-+dy x x ydx解：由题意分离变量得：042=+-ydy x dx即：0)141(41=+--ydydx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 41故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。
常微分方程-习题作业-第一章第二节作业及详细解答
1习题 1.22.放射性物质镭的裂变速度与存余量成正比k.设已知在某时刻t0容器中镭的质量是R0g.要求确定镭在任意时刻t的质量R(t).解:不难看出R(t)满足初值问题dRdt=−kR,R(t0)=R0.由此得dRR =−kdt,两边积分得通解R(t)=Ce−kt,其中C为任意常数.代入初值条件R(t0)=R0求出C=R0e kt0,因此R(t)=R0e−k(t−t0).4.把例1.3和例1.4的微分方程化成规范的一阶方程组形式.解:对例1.3的微分方程,令y=dxdt,则可将其化成规范的一阶方程组:dx dt =y,dydt=−kmx−µmy.对例1.4的微分方程,令x1=θ,x2=dθdt,则可将其化成规范的一阶方程组:dx1 dt =x2,dx2dt=−gsin x1.5.作出下列方程的方向场,并描出经过指定点的积分曲线:(1)dxdt=|x|,(0,0),(0,−1).(2)dxdt =t2+x2,(0,0),(0,−1/2),(√2,0).图0-1:第5(1)题图0-2:第5(2)题解:利用如下的Maple命令可作出相应方程的方向场和积分曲线,见图0-1,0-2: with(DEtools):phaseportrait(D(x)(t)=abs(x(t)),x(t),t=-3..3,[[x(0)=0],[x(0)=-1]],x=-3..3,color=black,linecolor=black);phaseportrait(D(x)(t)=t^2+x^2,x(t),t=-2..2,[[x(0)=0],[x(0)=-1/2],[x(sqrt(2))=0]],x=-2..2,color=black,linecolor=black);。
《常微分方程》练习题库参考答案
《常微分⽅程》练习题库参考答案江苏师范⼤学数学教育专业《常微分⽅程》练习测试题库参考答案⼀、判断说明题1、在线性齐次⽅程通解公式中C 是任意常数⽽在常数变易法中C （x ）是x 的可微函数。
将任意常数C 变成可微函数C （x ），期望它解决线性⾮齐次⽅程求解问题，这⼀⽅法成功了，称为常数变易法。
2、因p(x)连续，y(x)= y 0exp(-dx xx p(x))在p(x)连续的区间有意义，⽽exp(-dx xx p(x))＞0。
如果y 0＝0，推出y(x)=0,如果y(x)≠0,故零解y(x)=0唯⼀。
3、（1）它是常微分⽅程，因为含有未知函数的导数，f,g 为已知函数，y 为⼀元函数，所建⽴的等式是已知关系式。
（2）它是常微分⽅程，理由同上。
（3）它不是常微分⽅程，因y 是未知函数，y(y(y(x)))也是未知的，所建⽴的等式不是已知关系式。
4、微分⽅程求解时，都与⼀定的积分运算相联系。
因此，把求解⼀个微分⽅程的过程称为⼀个微分⽅程。
微分⽅程的解⼜称为（⼀个）积分。
5、把微分⽅程的通解⽤初等函数或通过它们的积分来表达的⽅法。
注意如果通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分如果不能⽤初等函数表⽰出来，我们也认为求解了这个微分⽅程，因为这个式⼦⾥没有未知函数的导数或微分。
6、 y `＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中⼀个因式仅含有x,另⼀因式仅含y ，⽽⽅程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分离变量⽅程的主要特征，就像f(x,y)⼀样，p,q 分别都能分解成两个因式和乘积。
7、⼆元函数f(x,y)满⾜f(rx,ry)=r mf(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m 次齐次函数。
m=0则称它为0次齐次函数。
8、如果f(x,y)是0次齐次函数，则y `＝f(x,y)称为齐次⽅程。
如果p(x,y)和q(x,y)同为m 次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次⽅程。
常微分方程作业
单选题第1题 (2) 分设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A、非线性方程有一个;B、非线性方程有两个;C、非线性方程有三个;D、非线性方程有四个.第2题 (2) 分是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A、.B、.C、.D、.第3题 (2) 分是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A、AB、BC、CD、D第4题 (2) 分设和是方程组的两个基解矩阵,则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.A、.B、.C、.D、.第5题 (2) 分设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A、线性方程有一个;B、线性方程有两个;C、线性方程有三个;D、线性方程有四个.第6题 (2) 分微分方程是( ).A、n阶变系数非齐次线性常微分方程;B、n阶变系数齐次线性常微分方程;C、n阶常系数非齐次线性常微分方程;D、n阶常系数齐次线性常微分方程.第7题 (2) 分微分方程的一个解是( ).A. ,B. ,C. ,D..A、.B、.C、.D、.第8题 (2) 分设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定是正的;B. 的朗斯基行列式一定是负的;C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式恒不为零.A、AB、BC、CD、D第9题 (2) 分满足初始条件和方程组的解为( ).A. ;B. ;C. ;D. .A、.B、.C、.D、.第10题 (2) 分已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B. ;C. ;D. .A、AB、BC、CD、D第11题 (2) 分初值问题, 的第二次近似解可以写为( ).＋A. 6;B. ;C. ;D. +.A、.B、.C、.D、.第12题 (2) 分下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.(i) , (ii) , (iii) , (iv).A、1B、2C、3D、4第13题 (2) 分可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ； B. ； C. ； D..A、.B、.C、.D、.第14题 (2) 分可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ).A.;B. ;C.;D..A、.B、.C、.D、.第15题 (2) 分设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A、.B、.C、.D、.多选题第16题 (5) 分以下利用参数法求解一阶隐方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是不能省略的:解答：引入参数(A)，则原方程可以写为, 将此方程两边对x求导(B), 可得:, 或(C).这是一个关于p和x的方程, 且是未知函数p的导数可以解出的一阶常微分方程, 进而还是变量分离型方程. 因此我们将这个方程分离变量:.(D)两边积分并求出积分可以得到（C是任意常数）:,因此, 将此式和参数的表达式联立, 即得原方程的参数形式解: (E).A、.B、.C、.D、.E、.第17题 (5) 分以下是一阶微分方程的求解过程, 请说明下划线所指出那些步骤中, 哪些是可以省略的:解答：记, 则(A),注意到(B)，因此方程不是恰当方程(C). 可以计算, 因而方程有只与x 有关的积分因子，并且该积分因子可以求出为：.将该积分因子乘在原方程的两端：(D), 分项组合为,或可整理为(E), 最后得到原方程的通解.A、AB、BC、CD、DE、E第18题 (5) 分如下求解三阶常系数线性方程的过程中, 下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误:解答：(i) 先求对应齐方程的通解：对应齐方程的特征方程及特征根分别为(A), , , .故对应齐方程的通解为(B).(ii) 因为有特征根非零(C), 故应设原方程的特解有形如, 这里a,b是待定常数.代入原方程可得.利用对应系数相等便得到代数方程组:.由此可解得(D), 故.(iii) 原方程的通解可以表示为(E).A、.B、.C、.D、.E、.第19题 (5) 分求解方程时, 以下的解题步骤中不能省略的有哪几步:A. 因为,B. 所以原方程是恰当方程;C. 将方程中的重新分项组合,D. 凑出全微分：,E. 得到通解：.A、AB、BC、CD、DE、E第20题 (5) 分利用降阶法求解二阶方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的:解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。
常微分方程作业
安顺市镇宁县六马中学教师：韦应俭第一部分一、常微分方程的概念含有自变量、函数及其导数的关系式. 二、一阶微分方程的初等解法 （1）变量分离方程 形如：)()(y x f dydxρ=的方程，称为变量分离方程，这里)(),(y x f ρ分别是y x ,的连续函数.（2）可化为分离变量方程的方程的三种形式 ①)(xy f dy dx yx =∙；②)(x y g dy dx =；③)(222111xc x b x a x c x b x a f dy dx++++= （3）贝努力方程n y x g y x dydx)()(+=ρ （4）一阶线性方程)()(x g y x dxdy+=ρ （5）Riccaiti 方程)()()(2x r y x g y x dxdy++=ρ （6）形如0),(),(=+dy y x N dx y x M 的方程 ①若0=∂∂-∂∂xNy M ，则方程式恰当的通解是0)(.0)1(12=-+==+-+dy x y ydx dc dy y yx dx y ②若Mx Ny M -∂∂-∂∂只含有y ，则原方程有积分因子.⎰=-∂∂-∂∂dx Mxn y m e y )(μ，即0),()(),()(=+dy y x N y dx y x M y μμ是恰当的③若NxN y M ∂∂-∂∂只含y ，则⎰=∂∂-∂∂dy n xny m e y )(μ，即0),()(),()(=+dy y x N x dx y x M x μμ是恰当的④若MN xN y M -∂∂-∂∂,只含)(y x +，则⎰=++-∂∂-∂∂)()(y x d M N xny m e y x μ⑤若xMyN x N y M -∂∂-∂∂，只含有)(xy ，则⎰==∂∂-∂∂)()(xy d xM yN x n y m e xy μ三、一阶微分方程的解的存在定理 （1）研究的目的（2）解存在但不唯一的例子10,100)(22<<⎩⎨⎧≤<≤≤=-=⇒-=⇒=c x c x c x y c x y y dx dy其中（3）解的存在性定理 一阶显示方程：),(y x f dxdy=……)1.3( 初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy ……)2.3(定理)1.1.3(存在唯一性定理如果)1.3(的),(y x f 在R ：b y y a x x ≤-≤-||,||00上满足：（1）在R 上连续（2）在R 上关于y 满足lipshit 条件，则初值问题)2.3(在区间h x x ≤-||0上上存在唯一解.其中),(y x f 对y 满足lipshit 条件是指，0>∃L 常数,对R 中∀两点),(),,.(1210y x y x 均有不等式成立：|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-.20k y x y x f M mba h ∈=),(|),(|max ),,min( 几何解释：线段场定义)1.3(中的),(y x f 在2R k ∈内有定义，对R 中∀点),(y x ，以),(y x 为中心，作一单位线段),(y x f k =，称为在点),(y x 的浅素。
常微分方程课后练习题含答案
常微分方程课后练习题含答案练习1：考虑动力学方程组：$$ \\begin{align} \\frac{dx}{dt}&=x(1-y)\\\\ \\frac{dy}{dt}&=y(1-x)\\end{align} $$a)画出相图b)确定方程组的固定点及其稳定性c)求出轨道在极限$\\lim\\limits_{t\\to\\infty}$时的行为答案1：a)相图如下所示：image-1b)如果(x,y)是方程组的一个固定点，则：$$ \\begin{aligned} \\frac{dx}{dt}&=0 \\\\ \\frac{dy}{dt}&=0\\end{aligned} $$由$\\frac{dx}{dt}=x(1-y)$得，固定点必须是x=0或y=1•当x=0时，$\\frac{dy}{dt}=y$，因此固定点为(0,0)，是不稳定的。
•当y=1时，$\\frac{dx}{dt}=0$，因此固定点为(1,1)，是稳定的。
综上，方程组的固定点为(0,0)和(1,1)，其中(1,1)是稳定的。
c)当$t\\to\\infty$时，我们需要检查轨道的极限行为。
假设(x(t),y(t))是由方程组确定的轨迹，x0=x(0)和y0=y(0)是轨迹的起点。
轨迹的限制曲线由y(1−x)=x(1−y)确定，展开可得y=x或xy=0.5。
将方程组改写为$$ \\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)} $$则在y=x处，$$ \\frac{dy}{dx}=1 $$这意味着沿着这个轨道移动的速度是恒定的，因此轨迹沿着一条直线移动。
由$\\frac{dy}{dx}=\\frac{y(1-x)}{x(1-y)}$可知，在非负轴上，当y>1−x时$\\frac{dy}{dx}>0$，当y<1−x时$\\frac{dy}{dx}<0$。
2020年智慧树知道网课《常微分方程》课后习题章节测试满分答案
第一章测试1【单选题】(2分)下列方程中的线性方程是（）A.B.C.D.2【多选题】(2分)下列微分方程中常微分方程的是()A.B.C.D.3【判断题】(2分)A.错B.对4【多选题】(2分)A.B.C.D.5【单选题】(2分)A.B.C.D.6【判断题】(2分)A.对B.错7【多选题】(2分)下列方程中（）是非齐次线性方程A.B.C.D.8【判断题】(2分)满足初值条件的解成为微分方程的特解。
A.对B.错9【单选题】(2分)A.B.C.D.10【单选题】(2分)A.B.C.D.第二章测试1【单选题】(2分)A.恰当B.变量分离C.伯努利D.黎卡提2【单选题】(2分)A.B.C.D.3【判断题】(2分)A.对B.错4【单选题】(2分)A.非恰当B.变量分离C.恰当D.隐式5【单选题】(2分)A.B.C.D.6【单选题】(2分)A.线性非齐次B.线性齐次C.线性非齐次或齐次D.任一7【判断题】(2分)A.错B.对8【单选题】(2分)A.B.C.D.9【多选题】(2分)经常遇到的一阶隐式常微分方程有A.B.C.D.10【单选题】(2分)A.其余选项均不可B.其余选项均可C.D.第三章测试1【单选题】(2分)A.必要非充分B.必要C.充分必要D.充分2【单选题】(2分)A.B.以上都不是C.D.3【单选题】(2分)A.B.C.D.4【单选题】(3分)A.B.C.D.5【单选题】(2分)A.B.C.D.6【单选题】(2分)A.B.C.D.7【单选题】(2分)A.B.C.D.8【单选题】(2分)A.B.C.D.9【单选题】(2分)A.B.C.D.10【单选题】(2分)A.B.C.D.第四章测试1【判断题】(2分)A.对B.错2【判断题】(2分)A.错B.对3【判断题】(2分)A.对B.错4【判断题】(2分)A.错B.对5【判断题】(2分)A.错B.对6【判断题】(2分)A.错B.对7【多选题】(2分)A.B.C.D.8【多选题】(2分)A.B.C.D.9【多选题】(2分)A.4B.-4C.1D.10【多选题】(2分)A.2B.1C.-2D.第五章测试1【判断题】(2分)A.错B.对2【判断题】(2分)A.对B.错3【判断题】(2分)A.错B.对4【判断题】(2分)A.错B.对5【判断题】(2分)A.错B.对6【单选题】(2分)A.B.C.D.7【单选题】(2分)A.B.C.D.8【单选题】(2分)A.B.C.该方程组的所有解构成的线性空间的维数是nD.9【多选题】(2分)A.B.C.D.10【多选题】(2分)A.B.C.D.第六章测试1【单选题】(2分)A.三角函数B.对数函数C.二次多项式D.指数函数2【单选题】(2分)被称为“鼻尖上的发现”的行星为A.天王星B.火星C.海王星D.木星3【单选题】(2分)“地心说”提出者是A.托勒密B.欧多克斯C.亚里士多德D.开普勒4【单选题】(2分)第二宇宙速度为A.B.C.D.5【多选题】(2分)A.椭圆B.双曲线C.圆D.抛物线6【判断题】(2分)牛顿二体运动方程含在哈密顿系统中。
20春【福建师范】《常微分方程》在线作业一(答案资料)
【奥鹏】-[福建师范大学]福师《常微分方程》在线作业一试卷总分:100 得分:100第1题,方程y''+4y=0的基本解组是cos2x,sin2x.A、错误B、正确正确答案:B第2题,A、错误B、正确正确答案:B第3题,若函数x1(t),x2(t),…,xn(t)在区间[a,b]上的朗斯基行列式恒为0，则它们线性相关A、错误B、正确正确答案:A第4题,A、错误B、正确正确答案:B第5题,A、错误B、正确正确答案:A第6题,A、错误B、正确正确答案:B第7题,线性方程dy/dx=p(x)y+Q(x)只有与y有关的积分因子。
A、错误B、正确正确答案:A第8题,A、错误B、正确正确答案:B第9题,A、错误B、正确正确答案:B第10题,伯努利微分方程可以转化为线性微分方程A、错误B、正确正确答案:B第11题,A、错误B、正确正确答案:A第12题,A、错误B、正确正确答案:A第13题,A、错误B、正确正确答案:B第14题,方程组dX/dt=A(t)X 的 n个线性无关解称之为dX/dt=A(t)X的一个基本解组.A、错误B、正确正确答案:B第15题,A、错误B、正确正确答案:B第16题,一阶微分方程的通解的包络如果存在的话一定是奇解A、错误B、正确正确答案:B第17题,A、错误B、正确正确答案:A第18题,A、错误B、正确正确答案:B第19题,题目如图A、错误B、正确正确答案:B第20题,A、错误B、正确正确答案:B第21题,A、错误B、正确正确答案:A第22题,A、错误B、正确正确答案:B第23题,A、错误B、正确正确答案:B第24题,A、错误B、正确正确答案:B第25题,A、错误B、正确正确答案:B第26题,伯努利方程的形式是一阶非线性微分方程A、错误B、正确正确答案:B第27题,1，cosx的平方,sinx的平方在任何区间上线性无关.A、错误B、正确正确答案:A第28题,题目如图A、错误B、正确正确答案:A第29题,A、错误B、正确正确答案:B第30题,A、错误B、正确正确答案:B第31题,齐次线性微分方程组 dY/dx=A(x)Y的线性无关解的个数不能多于n个.A、错误B、正确正确答案:B第32题,A、错误B、正确正确答案:B第33题,n阶齐次线性方程的基本解组是唯一的A、错误B、正确正确答案:A第34题,A、错误B、正确正确答案:B第35题,方程x''+x=tant是齐次线性方程A、错误B、正确正确答案:A第36题,题目如图A、错误B、正确正确答案:A第37题,A、错误B、正确正确答案:A第38题,A、错误B、正确正确答案:A第39题,A、错误B、正确正确答案:A第40题,A、错误B、正确正确答案:B第41题,(dy/dx)^2+y^2-1=0的奇解是y=±1A、错误B、正确正确答案:B第42题,所有的微分方程都存在通解A、错误B、正确正确答案:A第43题,齐次线性方程任意两个解的和与差仍是它的解A、错误B、正确正确答案:B第44题,x^2+y^2=1是方程dy/dx=-x/y的通解A、错误B、正确正确答案:A第45题,A、错误B、正确正确答案:B第46题,A、错误B、正确正确答案:B第47题,A、错误B、正确正确答案:B第48题,A、错误B、正确正确答案:B第49题,A、错误B、正确正确答案:B第50题,若函数f(x,y)在整个Oxy平面有定义，连续和有界，同时存在关于y的一阶连续偏导，则dy/dx=f(x,y)的任一解可以延拓到R上A、错误B、正确正确答案:B。
福建师范大学《常微分方程》在线作业二附参考答案
22.
答案:正确
23.
答案:正确
24.若A为n×n矩阵，则对任意常数c1,c2，有exp(c1 A+c2 A）=expc1 A·expc2 A
答案:正确
25.题目如图{图}
答案:错误
26.
答案:错误
27.
答案:正确
28.
答案:正确
29.
答案:正确
30.方程x''+x=tant是齐次线性方程
答案:错误
15.
答案:正确
16.
答案:错误
17.有些非齐次线性微分方程可以用比较系数法来解
答案:正确
18.线性方程dy/dx=p(x)y+Q(x)只有与y有关的积分因子。
答案:错误
19.函数sinx和cosx在任何区间上是线性无关的
答案:正确
20.
答案:正确
21.dy/dx=(x+y)/(x-y)是一阶齐次方程。
答案:正确
39.
答案:错误
40.
答案:正确
41.
答案:正确
42.
答案:正确
43.
答案:正确
44.n阶齐次线性微分方程的线性无关解的最大个数等于n
答案:正确
45.
答案:正确
46.{图}
答案:正确
47.n阶非齐次线性方程的任意两个解之差也是该方程的解
答案:错误
48.偏微分方程自变量个数不只一个
答案:正确
福建师范大学《常微分方程》在线断题 (共 50 道试题,共 100 分)
1.
答案:错误
2.
答案:正确
3.
答案:错误
4.
《常微分方程》作业参考答案
《常微分方程》作业参考答案一．求解下列方程1．x c y cos =2．通解为：x x c y sin cos +=3．dx x x dy 122-= ⎰⎰--=122)1(xx d dy 2ln 1y x c =-+ 1)0(==c y 2ln |1|1y x ∴=-+4．'(1)ln(1)y yyy x x x -=++ 令 xuy x yu =⇔= (1)ln(1)dyduu x u u u dx dx ∴=+=+++故 (1)ln(1)dux u u dx =++(1)ln(1)du dx u u x =++ ln(1)ln(1)d u dxu x +=+ln ln(1)ln ln u x c ∴+=+ ln(1)u cx +=cx e u =+1 cx e x y=+∴1 )1(-=cx e x y5. 可分离变量方程，通解为.)1)(1(222cx y x =++6．齐次方程，通解为 c x x yx y =++ln 422sin .7．全微分方程，通解为 .64224c y y x x =+-8．.0222=++y dx dyx dx y d9. 解为 .)3(3x x y -=10. 通解为 .2sin 222c y x y x =++11．方程为 .011222=+-y x dx dyx dx y d12．通解为 ).tan(21c x c y +=二．1．通解为：c e e x y +=2212. 通解为： t t e c c e c z y x 2321123101210⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3.0)0(0==y y 2121x y =52220121x x y += 4. x uN y uM ∂∂=∂∂ xu N x N u y u M y M u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ 令 u y x =+22 y u d u d y u 2⋅=∂∂∴ x ud u d x u 2⋅=∂∂ u d u d x x N u u d u d y y M u 22+∂∂=+∂∂ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-∴y M x N u u d u d x y )(2故满定充要条件的表达式为：)(22y x xy y M xN +=--∂∂∂∂ϕ 5.)(2122y x v +=)(*dtdv)(22s x +-≤∠0 022≠+s x ∴（0.0）渐近稳定 6.一次近似方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=--=y x dtdy y x dt dx 32 特征方程为：012=++λλ 3-=∴∆＜0 P ＝1＞0 ∴0)Re(0)Re(21<<λλ, 则（0.0）局部渐过稳定. 7.01032=--λλ 5,221=-=λλx B x B x A x A y o 2sin )(2cos )(101*1+++=为x x y y y 2cos 10'3"=-- 之特解,±2λ不是特征根5=a 是特征方程的单根 x o e c x c x c x y 52122)(++=∴*故其通解为： 215221y y e c ec y x x +++=-8.特征根为：2.1.1321==-=λλλ 11-=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=532α12=λ所属的特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111β13=λ所属的特征向量为：γ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101通解为：t t t e c e c e c z y x 2321101111531⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-9.0:)0(=o y y 2121x y =52220121x x y -= 10.特征方程为：01072=++λλ07>=p 010>=g 0>∆故 (0.0)为稳定结点11.1.一次近似方程为：⎪⎩⎪⎨⎧-=--=yx y x t d y d dt x d 0222=++∴λλ0)Re(1<λ 0)Re(2<λ ∴（0.0）为局部渐近稳定 2.)(2122y x v +=. )1)((2222)(-++=*y x y x l dt dv 故122<+y x 0<∴dtdv 故（0.0）局部渐近稳定. 12. 1.,00=y ,31),(3020001x dx x dx y x f y y x x==+=⎰⎰ .63131)91(),(730620102x x dx x x dx y x f y y x x+=+=+=⎰⎰ 2. ,),(22y x y x f += ∴ ,5),(max ),(==∈y x f M Dy x ,42max max ),(),(L y y f D y x D y x ===∂∂∈∈ .5252,1min ,min =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=m b a h则 .7564)52(32145)()(322=⋅⋅⋅≤-x y x y 13. 系数阵为 ,110111110⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡- 特征方程为 .0)1()det(2=--=-λλλE A E A λ-的初等因子为 2)1(,-λλ，通解为.101010101112321t t e t c e c c z y x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14.证：设 [).),0()(..,0+∞∈∀≤>∃x M x f t s M .则[)+∞∈∀,0x ，有 .)1()(0)(0000M y e M y ds e Me y x y x x xx s x+≤-+=+≤--⎰[]),,0()(0x C x y ∈ ∴ [].,0,)(..,00x x M x y t s M ∈≤>∃令 {},,max 0M y M K += ∴ [).,0,)(+∞∈∀≤x K x y15.通解为 .)21(221xx e x x x c e c y -++=16．,2=α 特解为 ,1x y = 通解为 ).ln 21(221x x x c x c y +-+=。
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《常微分方程》作业
一．求解下列方程
1．求方程
0sin cos =+x y dx dy x 之通解; 2
3456. 789111213.14.求方程xy dx dy y x 2)
(22=+之通解。
15.求方程0)(222=-+dy y x xydx 之通解。
16. 求方程y x e dx
dy -=之通解。
17. 求方程0)2(=+---dy xe y dx e y y 之通解。
18. 求方程x x y y sec tan '=+之通解。
二．
1
⎪⎩
---=y x y x dt dy 32. 6.用一次近似法讨论方程平衡点（0．0）的稳定性：⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-+=y x y x dt
dx
y x y y x dt
dy cos 32)(22. 7.求方程的通解：2252310cos 2x dy dy y x x x e dx dx
--=+（特解不必求出，仅给出特解形
式，要说明理由）。
8.求方程组之通解：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-+=+-=y x 2dt
dz z y x dt
dy z
y x dt dx .
: )上有界.
15.已知方程 0)1(22=+--y dx
dy x dx y d x 有特解x e y =. 求方程 x e x y dx
dy x dx y d x 222)1()1(-=+-- 之通解. 16．已知方程 02)1(22=+--y dx dy x dx y d x x α
有一线性函数的特解，试确定α的值，并求出通解.
17.求方程x xy dx
dy 42=+之通解。
18.求二阶微分方程的通解：已知方程0)1('''=+--y xy y x 的一个解x y =1,试求其通解.
)0(=y。