数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分

一、第一型曲线积分的定义

引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量.

当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i n

i i P f ∆Ω∑=1)(.

当对Ω有分割越来越细密(即d=i n

i ∆Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是

该物体的质量.

定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i n

i s ∆≤≤1max ，在L i 上任取一点

(ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i n

i i i T s f ∆∑=→1

),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：⎰L ds y x f ),(.

注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类

似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分⎰L ds z y x f ),,(.

性质：1、若⎰L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则

⎰∑=L k

i i i

ds y x f c

1

),(=∑⎰=k

i L

i i ds y x f c 1

),(.

2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰i

L ds y x f ),((i=1,2,…,k)

都存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(=∑⎰=k

i L i i

ds y x f 1

),(.

3、若⎰L ds y x f ),(与⎰L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则

⎰

L

ds y x f ),(≤⎰L

ds y x g ),(.

4、若⎰L ds y x f ),(存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(≤⎰L ds y x f ),(.

5、若⎰L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得⎰L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L

≤c ≤),(sup y x f L

.

6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是

⎰

L

ds y x f ),(.

二、第一型曲线积分的计算 定理20.1：设有光滑曲线L:⎩⎨

⎧==)

()

(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L

上的连续函数，则⎰L ds y x f ),(=⎰'+'β

αψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =⎰='+'i

i t t dt t t 1

)()(22ψϕ.

由)()(22t t ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有

△s i =)()(22i i τψτϕ''+''△t i (t i-1

∴i n

i i i s f ∆∑=1),(ηξ=i i i n

i i i t f ∆''+''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ (t i-1

i i i i i n i i i t f ∆'''+'''-''+''''''∑=)()()()())(),((22221τψτϕτψτϕτψτϕ，则有

i

n i i

i

s f ∆∑=1

),(ηξ=i i i n

i i

i

t f ∆'''+'''''''∑=)()())

(),((221

τψτϕτψτϕ+σ.

令△t=max{△t 1,△t 2,…,△t n }，则当T →0时，必有△t →0. 又复合函数f(φ(t),ψ(t))关于t 连续，∴在[α,β]上有界，即 存在常数M ，使对一切t ∈[α,β]，都有|f(φ(t),ψ(t))|≤M. 再由)()(22t t ψϕ'+'在[α,β]上连续，从而在[α,β]上一致连续，即 ∀ε>0, ∃δ>0，使当△t<δ时有)()()()(2222i i i i τψτϕτψτϕ'''+'''-''+''<ε, 从而|σ|≤εM ∑=∆n

i i t 1=εM(β-α)， 即σlim 0

→∆t =0. 又由定积分的定义，得

i i i n

i i i t t f ∆'''+'''''''∑

=→∆)()())(),((lim

221

τψτϕτψτϕ=⎰'+'β

α

ψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 故

⎰

L

ds y x f ),(=i

n i i

i

t s f ∆∑=→∆1

),(lim

ηξ=i i i n

i i

i

t t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())

(),((lim 221

τψτϕτψτϕ+0

lim →∆t σ

=⎰'+'β

αψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22.

注：1、若曲线L 由方程y=ψ(x), x ∈[a,b]表示，且ψ(x)在[a,b]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+b

a dx x x x f )(1))(,(2ψψ.

2、当曲线L 由方程x=φ(y), y ∈[c,d]表示，且φ(y)在[c,d]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+d

c dy y y y f )(1)),((2ϕϕ. 3、对空间曲线积分⎰L ds z y x f ),,(，当曲线L 由参量方程