高考数学试卷(word版-图片答案)
2024年高考数学试卷(文)(全国甲卷)(含答案)
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绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 集合{}1,2,3,4,5,9A =,{}1B x x A =+Î,则A B =I ( )A. {}1,2,3,4B. {}1,2,3 C. {}3,4 D. {}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素,然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得,对于集合B 中的元素x ,满足11,2,3,4,5,9x +=,则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8,即{0,1,2,3,4,8}B =,于是{1,2,3,4}A B Ç=.故选:A2. 设z =,则z z ×=( )A. -iB. 1C. -1D. 2【答案】D 【解析】【分析】先根据共轭复数的定义写出z ,然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得,z =,故22i 2zz =-=.故选:D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î,则5z x y =-最小值为( )A. 5B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后,利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --³ìï--£íï+-£î,作出可行域如图:由5z x y =-可得1155y x z =-,即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-,则该直线截距取最大值时,z 有最小值,此时直线1155y x z =-过点A ,联立43302690x y x y --=ìí+-=î,解得321x y ì=ïíï=î,即3,12A æöç÷èø,则min 375122z =-´=-.故选:D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若91S =,37a a +=( )A. 2- B.73C. 1D.29【答案】D 【解析】的【分析】可以根据等差数列的基本量,即将题目条件全转化成1a 和d 来处理,亦可用等差数列的性质进行处理,或者特殊值法处理.【详解】方法一:利用等差数列的基本量由91S =,根据等差数列的求和公式,911989193612S a d a d ´=+=Û+=,又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选:D方法二:利用等差数列的性质根据等差数列的性质,1937a a a a +=+,由91S =,根据等差数列的求和公式,193799()9()122a a a a S ++===,故3729a a +=.故选:D方法三:特殊值法不妨取等差数列公差0d =,则9111199S a a ==Þ=,则371229a a a +==.故选:D5. 甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是( )A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置,得到符合条件的情况,然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】当甲排在排尾,乙排第一位,丙有2种排法,丁就1种,共2种;当甲排在排尾,乙排第二位或第三位,丙有1种排法,丁就1种,共2种;于是甲排在排尾共4种方法,同理乙排在排尾共4种方法,于是共8种排法符合题意;基本事件总数显然是44A 24=,根据古典概型的计算公式,丙不在排头,甲或乙在排尾的概率为81243=.故选:B6. 已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -,点()6,4P -在该双曲线上,则该双曲线的离心率为( )A. 4B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ,结合双曲线定义计算可得2a ,即可得离心率.【详解】由题意,()10,4F -、()20,4F 、()6,4P -,则1228F F c ==,110PF ==,26PF ==,则1221064a PF PF =-=-=,则28224c e a ===.故选:C.7. 曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为( )A.16B.C.12D. 【答案】A 【解析】【分析】先求出切线方程,再求出切线的截距,从而可求面积.【详解】()563f x x =¢+,所以()03f ¢=,故切线方程为3(0)131y x x =--=-,故切线的横截距为13,纵截距为1-,故切线与坐标轴围成的面积为1111236´´=故选:A.8. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为()A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ,代入1x =可得()10f >,可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=,又函数定义域为[]2.8,2.8-,故该函数为偶函数,可排除A 、C ,又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef æöæö=-+->-+-=-->->ç÷ç÷èøèø,故可排除D.故选:B.9. 已知cos cos sin a a a =-πtan 4a æö+=ç÷èø( )A. 1+B. 1- C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin aa -a弦化切求得tan a ,再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin aa a=-,所以11tan =-a ,tan 1Þa =,所以tan 1tan 11tan 4a +p æö==a +ç÷-aèø,故选:B .原10题略10. 设a b 、是两个平面,m n 、是两条直线,且m a b =I .下列四个命题:①若//m n ,则//n a 或//n b ②若m n ^,则,n n a b^^③若//n a ,且//n b ,则//m n ④若n 与a 和b 所成的角相等,则m n^其中所有真命题的编号是( )A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①;举反例即可判断②④;根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①,当n Ìa ,因为//m n ,m b Ì,则//n b ,当n b Ì,因为//m n ,m a Ì,则//n a ,当n 既不在a 也不在b 内,因为//m n ,,m m a b ÌÌ,则//n a 且//n b ,故①正确;对②,若m n ^,则n 与,a b 不一定垂直,故②错误;对③,过直线n 分别作两平面与,a b 分别相交于直线s 和直线t ,因为//n a ,过直线n 的平面与平面a 的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理知//n s ,同理可得//n t ,则//s t ,因为s Ë平面b ,t Ì平面b ,则//s 平面b ,因为s Ì平面a ,m a b =I ,则//s m ,又因为//n s ,则//m n ,故③正确;对④,若,m n a b Ç=与a 和b 所成的角相等,如果//,//a b n n ,则//m n ,故④错误;综上只有①③正确,故选:A.11. 在ABC V 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若π3B =,294b ac =,则sin sin A C +=( )A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =,再利用余弦定理有22134a c ac +=,再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值,最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac p==,则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=,即:22134a c ac +=,根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==,所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=,因为,A C 为三角形内角,则sin sin 0A C +>,则sin sin A C +=.故选:C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.原13题略12. 函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______.【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数,再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x æö==-ç÷èø,当[]0,πx Î时,ππ2π,333x éù-Î-êúëû,当ππ32x -=时,即5π6x =时,()max 2f x =.故答案为:213. 已知1a >,8115log log 42a a -=-,则=a ______.【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-,整理得()2225log 60log a a --=,2log 1a Þ=-或2log 6a =,又1a >,所以622log 6log 2a ==,故6264a ==故答案:64.为14. 曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,¥+上有两个不同的交点,则a 的取值范围为______.【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程,令()2331x x x a -=--+,分离参数a ,构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间,画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+,即3251a x x x =+-+,令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-¢,令()()00g x x ¢=>得1x =,当()0,1x Î时,()0g x ¢<,()g x 单调递减,当()1,x ¥Î+时,()0g x ¢>,()g x 单调递增,()()01,12g g ==-,因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,¥+上有两个不同的交点,所以等价于y a =与()g x 有两个交点,所以()2,1a Î-.故答案为:()2,1-三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.15. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求数列{}n S 通项公式.【答案】(1)153n n a -æö=ç÷èø的(2)353232næö-ç÷èø【解析】【分析】(1)利用退位法可求公比,再求出首项后可求通项;(2)利用等比数列的求和公式可求n S .【小问1详解】因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-,所以()12332n n n a a a n +=-³即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =,故1211523333533a a a a =-=´-=-,故11a =,故153n n a -æö=ç÷èø.【小问2详解】由等比数列求和公式得5113353523213n nn S éùæö´-êúç÷èøêúæöëû==-ç÷èø-.16. 如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//BC AD EF AD ,4,2AD AB BC EF ====,ED FB ==M 为AD 的中点.(1)证明://BM 平面CDE ;(2)求点M 到ABF 的距离.【答案】(1)证明见详解; (2【解析】【分析】(1)结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形,可证//BM CD,进而得证;(2)作FO AD ^,连接OB ,易证,,OB OD OF 三垂直,结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点,所以//,BC MD BC MD =,四边形BCDM 为平行四边形,所以//BM CD ,又因BM Ë平面CDE ,CD Ì平面CDE ,所以//BM 平面CDE ;【小问2详解】如图所示,作BO AD ^交AD 于O ,连接OF ,因为四边形ABCD 为等腰梯形,//,4,BC AD AD =2AB BC ==,所以2CD =,结合(1)BCDM 为平行四边形,可得2BM CD ==,又2AM =,所以ABM V 为等边三角形,O 为AM中点,所以OB =,又因为四边形ADEF 为等腰梯形,M 为AD 中点,所以,//EF MD EF MD =,四边形EFMD 为平行四边形,FM ED AF ==,所以AFM △为等腰三角形,ABM V 与AFM △底边上中点O 重合,OF AM ^,3OF ==,因为222OB OF BF +=,所以OB OF ^,所以,,OB OD OF 互相垂直,由等体积法可得M ABF F ABM V V --=,2112333F ABM ABM V S FO -=×=×=△,222cos 2FA AB FBFAB FAB FA AB+-Ð===Ð=×11sin 222FAB S FA AB FAB =××Ð==△,设点M 到FAB的距离为d ,则1133M FAB F ABM FAB V V S d d --==××==△解得d =M 到ABF .为17. 已知函数()()1ln 1f x a x x =--+.(1)求()f x 的单调区间;(2)若2a £时,证明:当1x >时,()1ex f x -<恒成立.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)求导,含参分类讨论得出导函数的符号,从而得出原函数的单调性;(2)先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时,1e 21ln 0x x x --++>即可.【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+¥,11()ax f x a x x¢-=-=当0a £时,1()0ax f x x -¢=<,故()f x 在(0,)+¥上单调递减;当0a >时,1,x a ¥æöÎ+ç÷èø时,()0f x ¢>,()f x 单调递增,当10,x a æöÎç÷èø时,()0f x ¢<,()f x 单调递减.综上所述,当0a £时,()f x 在(0,)+¥上单调递减;0a >时,()f x 在1,a ¥æö+ç÷èø上单调递增,在10,a æöç÷èø上单调递减.【小问2详解】2a £,且1x >时,111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-³-++,令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>,下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -¢=-+,再令()()h x g x ¢=,则121()e x h x x-¢=-,显然()h x ¢在(1,)+¥上递增,则0()(1)e 10h x h ¢¢>=-=,即()()g x h x =¢在(1,)+¥上递增,故0()(1)e 210g x g ¢¢>=-+=,即()g x 在(1,)+¥上单调递增,故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=,问题得证18. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点31,2M æöç÷èø在C 上,且MF x ^轴.(1)求C 的方程;(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点,N 为线段FP 的中点,直线NB 交直线MF 于点Q ,证明:AQ y ^轴.【答案】(1)22143x y += (2)证明见解析【解析】【分析】(1)设(),0F c ,根据M 的坐标及MF ^x 轴可求基本量,故可求椭圆方程.(2)设:(4)AB y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,联立直线方程和椭圆方程,用,A B 的坐标表示1Q y y -,结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=,故可证AQ y ^轴.【小问1详解】设(),0F c ,由题设有1c =且232b a =,故2132a a -=,故2a =,故b =,故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在,设:(4)AB y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,由223412(4)x y y k x ì+=í=-î可得()2222343264120k x k x k +-+-=,故()()422Δ102443464120k k k =-+->,故1122k -<<,又22121222326412,3434k k x x x x k k-+==++,而5,02N æöç÷èø,故直线225:522y BN y x x æö=-ç÷èø-,故22223325252Q y y y x x --==--,所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ´-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -´-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -´-´+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-,故1Q y y =,即AQ y ^轴.(1)设直线方程,设交点坐标为()()1122,,,x y x y ;(2)联立直线与圆锥曲线的方程,得到关于x (或y )的一元二次方程,注意D 的判断;(3)列出韦达定理;(4)将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x (或12y y +、12y y )的形式;(5)代入韦达定理求解.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分,如果多做,则按所做的第一题计分.19. 在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为cos 1r r q =+.(1)写出C 的直角坐标方程;(2)设直线l :x t y t a=ìí=+î(t 为参数),若C 与l 相交于A B 、两点,若2AB =,求a 的值.【答案】(1)221y x =+(2)34a =【解析】【分析】(1)根据cos xr r q ìï=í=ïî可得C 的直角方程.(2)将直线的新的参数方程代入C 的直角方程,法1:结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程,从而可求参数a 的值;法2:将直线的直角方程与曲线的直角方程联立,结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1r r q =+,将cos xr r q ìï=í=ïîcos 1r r q =+,1x =+,两边平方后可得曲线直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ,得直线的普通方程为y x a =+.法1:直线l 的斜率为1故直线的参数方程可设为x y ì=ïïíïïî,s ÎR .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s ,则)()212121,21s s a s s a +=--=-,且()()22Δ818116160a a a =---=->,故1a <,12AB s s\=-=2==,解得34a =.法2:联立221y x a y x =+ìí=+î,得22(22)10x a x a +-+-=,()22Δ(22)41880a a a =---=-+>,解得1a <,的设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a \+=-=-,则AB ==2=,解得34a =20. 实数,ab 满足3a b +³.(1)证明:2222a b a b +>+;(2)证明:22226a b b a -+-³.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)直接利用22222()a b a b +³+即可证明.(2)根据绝对值不等式并结合(1)中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=³,当a b =时等号成立,则22222()a b a b +³+,因为3a b +³,所以22222()a b a b a b +³+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-³-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+³+-+=++-³´=。
2023年新高考II卷数学高考真题(含参考答案)
![2023年新高考II卷数学高考真题(含参考答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/e024a55817fc700abb68a98271fe910ef12dae28.png)
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题一、单选题二、多选题四、解答题17.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c ,将该指标大于c 的人判定为阳性,小于或等于性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为()p c ;误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为()q c .假设数据在组内均匀分布,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率()0.5p c =%时,求临界值c 和误诊率()q c ;(2)设函数()()()f c p c q c =+,当[]95,105c ∈时,求()f c 的解析式,并求()f c 在区间[95,10520.如图,三棱锥A BCD -中,DA DB DC ==,BD CD ⊥,60ADB ADC ∠=∠= ,E 为BC (1)证明:BC DA ⊥;(2)点F 满足EF DA =,求二面角21.已知双曲线C 的中心为坐标原点,左焦点为(2)记C 的左、右顶点分别为1A ,2A ,过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ,N 两点,M 在第二象限,直线1MA 与2NA 交于点P .证明:点P 在定直线上.22.(1)证明:当01x <<时,sin x x x x 2-<<;(2)已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--,若0x =是()f x 的极大值点,求a 的取值范围.参考答案1.(2023·新高考Ⅱ卷·1·★)在复平面内,(13i)(3i)+-对应的点位于()(A )第一象限(B )第二象限(C )第三象限(D )第四象限答案:A解析:2(13i)(3i)3i 9i 3i 68i +-=-+-=+,所以该复数对应的点为(6,8),位于第一象限.2.(2023·新高考Ⅱ卷·2·★)设集合{0,}A a =-,{1,2,22}B a a =--,若A B ⊆,则a =()(A )2(B )1(C )23(D )1-答案:B解析:观察发现集合A 中有元素0,故只需考虑B 中的哪个元素是0,因为0A ∈,A B ⊆,所以0B ∈,故20a -=或220a -=,解得:2a =或1,注意0B ∈不能保证A B ⊆,故还需代回集合检验,若2a =,则{0,2}A =-,{1,0,2}B =,不满足A B ⊆,不合题意;若1a =,则{0,1}A =-,{1,1,0}B =-,满足A B ⊆.故选B.3.(2023·新高考Ⅱ卷·3·★)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有()(A )4515400200C C ⋅种(B )2040400200C C ⋅种(C )3030400200C C ⋅种(D )4020400200C C ⋅种答案:D解析:应先找到两层中各抽多少人,因为是比例分配的分层抽取,故各层的抽取率都等于总体的抽取率,设初中部抽取x 人,则60400400200x =+,解得:40x =,所以初中部抽40人,高中部抽20人,故不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种.4.(2023·新高考Ⅱ卷·4·★★)若21()()ln 21x f x x a x -=++为偶函数,则a =()(A )1-(B )0(C )12(D )1答案:B解法1:偶函数可抓住定义()()f x f x -=来建立方程求参,因为()f x 为偶函数,所以()()f x f x -=,即2121()ln ()ln 2121x x x a x a x x ----+=+-++①,而121212121ln ln ln()ln 21212121x x x x x x x x ---+--===--+-++,代入①得:2121()(ln ()ln 2121x x x a x a x x ---+-=+++,化简得:x a x a -=+,所以0a =.解法2:也可在定义域内取个特值快速求出答案,210(21)(21)021x x x x ->⇔+->+,所以12x <-或12x >,因为()f x 为偶函数,所以(1)(1)f f -=,故1(1)ln3(1)ln 3a a -+=+①,而11ln ln3ln33-==-,代入①得:(1)ln3(1)ln3a a -+=-+,解得:0a =.5.(2023·新高考Ⅱ卷·5·★★★)已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ,2F ,直线y x m =+与C 交于A ,B 两点,若1F AB ∆的面积是F AB ∆面积的2倍,则m =()(A )23(B )3(C )3-(D )23-答案:C解析:如图,观察发现两个三角形有公共的底边AB ,故只需分析高的关系,作1FG AB ⊥于点G ,2F I AB ⊥于点I ,设AB 与x 轴交于点K ,由题意,121212212F AB F ABAB F G S S AB F I ∆∆⋅==⋅,所以122F G F I=,由图可知12F KG F KI ∆∆∽,所以11222F K F G F KF I==,故122F K F K =,又椭圆的半焦距c =,所以122F F c ==,从而21212233F K F F ==,故1123OK OF F K =-=,所以2(3K ,代入y x m =+可得203m =+,解得:23m =.6.(2023·新高考Ⅱ卷·6·★★★)已知函数()e ln x f x a x =-在区间(1,2)单调递增,则a 的最小值为()(A )2e (B )e (C )1e -(D )2e -答案:C解析:()f x 的解析式较复杂,不易直接分析单调性,故求导,由题意,1()e x f x a x '=-,因为()f x 在(1,2)上,所以()0f x '≥在(1,2)上恒成立,即1e 0x a x-≥①,观察发现参数a 容易全分离,故将其分离出来再看,不等式①等价于1ex a x ≥,令()e (12)x g x x x =<<,则()(1)e 0x g x x '=+>,所以()g x 在(1,2)上,又(1)e g =,2(2)2e g =,所以2()(e,2e )g x ∈,故21111(,)()e 2e e x g x x =∈,因为1e x a x ≥在(1,2)上恒成立,所以11e e a -≥=,故a 的最小值为1e -.7.(2023·新高考Ⅱ卷·7·★★)已知α为锐角,cos α=sin 2α=()(A (B (C (D 答案:D解析:221535cos 12sin sin 2428ααα+-=-=⇒=,此式要开根号,不妨上下同乘以2,将分母化为2,所以222625(51)sin 2164α-==,故51sin 24α-=±,又α为锐角,所以(0,)24απ∈,故51sin 24α-=.8.(2023·新高考Ⅱ卷·8·★★★)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若45S =-,6221S S =,则8S =()(A )120(B )85(C )85-(D )120-答案:C解法1:观察发现2S ,4S ,6S ,8S 的下标都是2的整数倍,故可考虑片段和性质,先考虑q 是否为1-,若{}n a 的公比1q =-,则414[1(1)]01(1)a S --==--,与题意不符,所以1q ≠-,故2S ,42S S -,64S S -,86S S -成等比数列①,条件中有6221S S =,不妨由此设个未知数,设2S m =,则621S m =,所以425S S m -=--,64215S S m -=+,由①可得242262()()S S S S S -=-,所以2(5)(215)m m m --=+,解得:1m =-或54,若1m =-,则21S =-,424S S -=-,6416S S -=-,所以8664S S -=-,故8664216485S S m =-=-=-;到此结合选项已可确定选C ,另一种情况我也算一下,若54m =,则2504S =>,而2222412341212122()(1)(1)S a a a a a a a q a q a a q S q =+++=+++=++=+,所以4S 与2S 同号,故40S >,与题意不符;综上所述,m 只能取1-,此时885S =-.解法2:已知和要求的都只涉及前n 项和,故也可直接代公式翻译,先看公比是否为1,若{}n a 的公比1q =,则612162142S a S a =≠=,不合题意,所以1q ≠,故414(1)51a q S q -==--①,又6221S S =,所以6211(1)(1)2111a q a q q q--=⋅--,化简得:62121(1)q q -=-②,又62322411()(1)(1)q q q q q -=-=-++,代入②可得:2242(1)(1)21(1)q q q q -++=-③,两端有公因式可约,但需分析21q -是否可能为0,已经有1q ≠了,只需再看q 是否可能等于1-,若1q =-,则414[1(1)]01(1)a S --==--,与题意不符,所以1q ≠-,故式③可化为24121q q ++=,整理得:42200q q +-=,所以24q =或5-(舍去),故要求的8241118(1)[1()]255111a q a q aS q q q--===-⋅---④,只差11aq-了,该结构式①中也有,可由24q =整体计算它,将24q =代入①可得21(14)51a q-=--,所以1113a q =-,代入④得81255853S =-⨯=-.9.(2023·新高考Ⅱ卷·9·★★★)(多选)已知圆锥的顶点为P ,底面圆心为O ,AB 为底面直径,o 120APB ∠=,2PA =,点C 在底面圆周上,且二面角P AC O --为o 45,则()(A )该圆锥的体积为π(B )该圆锥的侧面积为(C )AC =(D )PAC ∆答案:AC解析:A 项,因为2PA =,o 120APB ∠=,所以o 60APO ∠=,cos 1OP AP APO =⋅∠=,sin OA AP APO =⋅∠=,从而圆锥的体积211133V Sh ππ==⨯⨯⨯=,故A 项正确;B 项,圆锥的侧面积2S rl ππ===,故B 项错误;C 项,要求AC P O --还没用,观察发现PAC ∆和OAC ∆都是等腰三角形,故取底边中点即可构造棱的垂线,作出二面角的平面角,取AC 中点Q ,连接PQ ,OQ ,因为OA OC =,PA PC =,所以AC OQ ⊥,AC PQ ⊥,故PQO ∠即为二面角P AC O --的平面角,由题意,o 45PQO ∠=,所以1OQ OP ==,故AQ ==,所以2AC AQ ==,故C 项正确;D 项,PQ ==,所以11222PAC S AC PQ ∆=⋅=⨯=,故D 项错误.10.(2023·新高考Ⅱ卷·10·★★★)(多选)设O 为坐标原点,直线1)y x =-过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,且与C 交于M ,N 两点,l 为C 的准线,则()(A )2p =(B )83MN =(C )以MN 为直径的圆与l 相切(D )OMN ∆为等腰三角形答案:AC解析:A 项,在1)y x =-中令0y =可得1x =,由题意,抛物线的焦点为(1,0)F ,所以12p=,从而2p =,故A 项正确;B 项,此处可以由直线MN 的斜率求得MFO ∠,再代角版焦点弦公式22sin pMN α=求MN ,但观察发现后续选项可能需要用M ,N 的坐标,所以直接联立直线与抛物线,用坐标版焦点弦公式来算,设11(,)M x y ,22(,)N x y,将1)y x =-代入24y x =消去y 整理得:231030x x -+=,解得:13x =或3,对应的y分别为3和-(3,M -,1(,33N ,从而121163233MN x x p =++=++=,故B 项错误;C 项,判断直线与圆的位置关系,只需将圆心到直线的距离d 和半径比较,12523x x MN +=⇒的中点Q 到准线:1l x =-的距离8132d MN ==,从而以MN 为直径的圆与准线l 相切,故C 项正确;D 项,M ,N 的坐标都有了,算出OM ,ON即可判断,OM =133ON ==,所以OM ,ON ,MN 均不相等,故D 项错误.11.(2023·新高考Ⅱ卷·11·★★★)(多选)若函数2()ln (0)b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值,则()(A )0bc >(B )0ab >(C )280b ac +>(D )0ac <答案:BCD解析:由题意,223322()(0)a b c ax bx cf x x x x x x --'=--=>,函数()f x 既有极大值,又有极小值,所以()f x '在(0,)+∞上有2个变号零点,故方程220ax bx c --=在(0,)+∞上有两个不相等实根,所以212120()(()4(2)020)()b a c c x x a b x x a ⎧⎪∆=--->⎪⎪=->⎨⎪⎪+=>⎪⎩保证有两根保证两根同号保证两根只能同③正①②,由①可得280b ac +>,故C 项正确;由②可得0ca<,所以a ,c 异号,从而0ac <,故D 项正确;由③可得a ,b 同号,所以0ab >,故B 项正确;因为a ,c 异号,a ,b 同号,所以b ,c 异号,从而0bc <,故A 项错误.12.(2023·新高考Ⅱ卷·12·★★★★)(多选)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为(01)αα<<,收到0的概率为1α-;发送1时,收到0的概率为(01)ββ<<,收到1的概率为1β-.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1).()(A )采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为2(1)(1)αβ--(B )采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为2(1)ββ-(C )采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-(D )当00.5α<<时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案:ABD解析:A 项,由题意,若采用单次传输方案,则发送1收到1的概率为1β-,发送0收到0的概率为1α-,所以依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为2(1)(1)(1)(1)(1)βαβαβ---=--,故A 项正确;B 项,采用三次传输方案,若发送1,则需独立重复发送3次1,依次收到1,0,1的概率为2(1)(1)(1)βββββ--=-,故B 项正确;C 项,采用三次传输方案,由B 项的分析过程可知若发送1,则收到1的个数~(3,1)X B β-,而译码为1需收2个1,或3个1,所以译码为1的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P X P X ββββββ=+==-+-=-+-,故C 项错误;D 项,若采用单次传输方案,则发送0译码为0的概率为1α-;若采用三次传输方案,则发送0等同于发3个0,收到0的个数~(3,1)Y B α-,且译码为0的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P Y P Y αααααα=+==-+-=-+-,要比较上述两个概率的大小,可作差来看,2323(1)(1)(1)(1)[3(1)(1)1](1)(12)ααααααααααα-+---=--+--=--,因为00.5α<<,所以233(1)(1)(1)(1)(12)0ααααααα-+---=-->,从而233(1)(1)1αααα-+->-,故D 项正确.13.(2023·新高考Ⅱ卷·13·★★)已知向量a ,b满足-=a b 2+=-a b a b ,则=b _____.解析:条件涉及两个模的等式,想到把它们平方来看,由题意,22223-=+-⋅=a b a b a b ①,又2+=-a b a b ,所以222+=-a b a b ,故2222244++⋅=+-⋅a b a b a b a b ,整理得:220-⋅=a a b ,代入①可得23=b ,即23=b,所以=b .14.(2023·新高考Ⅱ卷·14·★★)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为_____.答案:28解析:如图,四棱锥1111P A B C D -与P ABCD -相似,它们的体积之比等于边长之比的立方,故只需求四棱锥1111P A B C D -的体积,11113112111()4228P A B C D P ABCD V A B AB V --==⇒==,所以11118P ABCD P A B C D V V --=,故所求四棱台的体积11117P A B C D V V -=,由题意,1111212343P A B C D V -=⨯⨯=,所以7428V =⨯=.【反思】相似图形的面积之比等于边长之比的平方,体积之比等于边长之比的立方.15.(2023·新高考Ⅱ卷·15·★★★)已知直线10x my -+=与⊙22:(1)4C x y -+=交于A ,B 两点,写出满足“ABC∆的面积为85”的m 的一个值_____.答案:2(答案不唯一,也可填2-或12或12-)解析:如图,设圆心(1,0)C 到直线AB 的距离为(0)d d >,则12ABC S AB d ∆=⋅,注意到AB 也可用d 表示,故先由85ABC S ∆=求d ,再将d 用m 表示,建立关于m 的方程,又AB ==,所以12ABC S d ∆=⨯=,由题意,85ABC S ∆=85=,结合0d >解得:d =又d ==,所以==,解得:2m =±或12±.16.(2023·新高考Ⅱ卷·16·★★★★)已知函数()sin()f x x ωϕ=+,如图,A ,B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点,若6AB π=,则()f π=_____.答案:解法1:6AB π=这个条件怎么翻译?可用12y =求A ,B 横坐标的通解,得到AB ,从而建立方程求ω,不妨设0ω>,令1sin()2x ωϕ+=可得26x k πωϕπ+=+或526k ππ+,其中k ∈Z ,由图知26A x k πωϕπ+=+,526B x k πωϕπ+=+,两式作差得:2()3B A x x πω-=,故23B A x x πω-=,又6B A AB x x π=-=,所以336ππω=,解得:4ω=,则()sin(4)f x x ϕ=+,再求ϕ,由图知23π是零点,可代入解析式,注意,23π是增区间上的零点,且sin y x =的增区间上的零点是2n π,故应按它来求ϕ的通解,所以82()3n n πϕπ+=∈Z ,从而823n πϕπ=-,故82()sin(42sin(4)33f x x n x πππ=+-=-,所以2223()sin(4)sin()sin 3332f πππππ=-=-=-=-.解法2:若注意横向伸缩虽会改变图象在水平方向上的线段长度,但不改变长度比例,则可先分析sin y x =与12y =交点的情况,再按比例对应到本题的图中来,如图1,直线12y =与函数sin y x =在y 轴右侧的三个I ,J ,K 的横坐标分别为6π,56π,136π,所以52663IJ πππ=-=,1354663JK πππ=-=,:1:2IJ JK =,故在图2中:1:2AB BC =,因为6AB π=,所以3BC π=,故2AC AB BC π=+=,又由图2可知AC T =,所以2T π=,故24Tπω==,接下来同解法1.【反思】①对于函数sin()(0)y x ωϕω=+>,若只能用零点来求解析式,则需尽量确定零点是在增区间还是减区间.“上升零点”用2x n ωϕπ+=来求,“下降零点”用2x n ωϕππ+=+来求;②对图象进行横向伸缩时,水平方向的线段长度比例关系不变,当涉及水平线与图象交点的距离时,我们常抓住这一特征来求周期.17.(2023·新高考Ⅱ卷·17·★★★)记ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC ∆,D 为BC 的中点,且1AD =.(1)若3ADC π∠=,求tan B ;(2)若228b c +=,求b ,c .解:(1)如图,因为3ADC π∠=,所以23ADB π∠=,(要求tan B ,可到ABD ∆中来分析,所给面积怎么用?可以用它求出ABD S ∆,从而得到BD )因为D 是BC 中点,所以2ABC ABD S S ∆∆=,又ABC S ∆=ABD S ∆=,由图可知112sin 1sin 223ABD S AD BD ADB BD π∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯==2BD =,(此时ABD ∆已知两边及夹角,可先用余弦定理求第三边AB ,再用正弦定理求角B )在ABD ∆中,由余弦定理,2222212cos 12212()72AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=,所以AB =由正弦定理,sin sin AB AD ADB B =∠,所以1sin sin AD ADB B AB ⋅∠===,由23ADB π∠=可知B为锐角,从而cos B ==,故sin tan cos 5B B B ==.(2)(已有关于bc 的一个方程,若再建立一个方程,就能求b 和c ,故把面积和中线都用b ,c 表示)由题意,1sin 2ABC S bc A ∆==,所以sin bc A =①,(中线AD 怎样用b ,c 表示?可用向量处理)因为D 为BC 中点,所以1()2AD AB AC =+ ,从而2AD AB AC =+ ,故22242AD AB AC AB AC =++⋅ ,所以222cos 4c b cb A ++=,将228b c +=代入上式化简得cos 2bc A =-②,(我们希望找的是b ,c 的方程,故由①②消去A ,平方相加即可)由①②得222222sin cos 16b c A b c A +=,所以4bc =③,由228b c +=可得2()28b c bc +-=,所以4b c +==,结合式③可得2b c ==.18.(2023·新高考Ⅱ卷·18·★★★★)已知{}n a 为等差数列,6,2,n n na nb a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,记n S ,n T 分别为{}n a ,{}n b 的前n 项和,432S =,316T =.(1)求{}n a 的通项公式;(2)证明:当5n >时,n n T S >.解:(1)(给出了两个条件,把它们用1a 和d 翻译出来,即可建立方程组求解1a 和d )由题意,414632S a d =+=①,31231231111(6)2(6)62()26441216T b b b a a a a a d a d a d =++=-++-=-++++-=+-=②,由①②解得:15a =,2d =,所以1(1)23n a a n d n =+-=+.(2)由(1)可得21()(523)422n n n a a n n S n n +++===+,(要证结论,还需求n T ,由于n b 按奇偶分段,故求n T 也应分奇偶讨论,先考虑n 为偶数的情形)当(5)n n >为偶数时,12n nT b b b =++⋅⋅⋅+12341(6)2(6)2(6)2n n a a a a a a -=-++-++⋅⋅⋅+-+13124()62()2n n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅+-⨯+++⋅⋅⋅+③,因为131,,,n a a a -⋅⋅⋅和24,,,n a a a ⋅⋅⋅分别也构成等差数列,所以211131()(521)32242n n n a a n n n n a a a --++++++⋅⋅⋅+===,2224()(723)52242n n n a a n n n n a a a ++++++⋅⋅⋅+===,代入③化简得:222353732222n n n n n n n T n +++=-+⨯=,(要由此证n n T S >,可作差比较)所以2237(4)022n n n n n n T S n n 2+--=-+=>,故n n T S >;(对于n 为奇数的情形,可以重复上述计算过程,但更简单的做法是补1项凑成偶数项,再减掉补的那项)当(5)n n >为奇数时,2113(1)7(1)2n n n n n T T b +++++=-=-2213(1)7(1)351022(25)22n n n n n a n +++++-=-+=,所以223510(4)2n n n n T S n n +--=-+2310(2)(5)022n n n n --+-==>,故n n T S >;综上所述,当5n >时,总有n n T S >.19.(2023·新高考Ⅱ卷·19·★★★)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图:利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c ,将该指标大于c 的人判定为阳性,小于或等于c 的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为()p c ;误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为()q c .假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率()0.5%p c =时,求临界值c 和误诊率()q c ;(2)设函数()()()f c p c q c =+.当[95,105]c ∈时,求()f c 的解析式,并求()f c 在区间[95,105]的最小值.解:(1)(给的是漏诊率,故先看患病者的图,漏诊率为0.5%即小于或等于c 的频率为0.5%,可由此求c )由患病者的图可知,[95,100)这组的频率为50.0020.010.005⨯=>,所以c 在[95,100)内,且(95)0.0020.005c -⨯=,解得:97.5c =;(要求()q c ,再来看未患病者的图,()q c 是误诊率,也即未患病者判定为阳性(指标大于c )的概率)由未患病者的图可知指标大于97.5的概率为(10097.5)0.0150.0020.035-⨯+⨯=,所以() 3.5%q c =.(2)([95,105]包含两个分组,故应分类讨论)当95100c ≤<时,()(95)0.002p c c =-⨯,()(100)0.0150.002q c c =-⨯+⨯,所以()()()0.0080.82f c p c q c c =+=-+,故()0.0081000.820.02f c >-⨯+=①;当100105c ≤≤时,()50.002(100)0.012p c c =⨯+-⨯,()(105)0.002q c c =-⨯,所以()()()0.010.98f c p c q c c =+=-,故()(100)0.011000.980.02f c f ≥=⨯-=②;所以0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤<⎧=⎨-≤≤⎩,且由①②可得min ()0.02f c =.20.(2023·新高考Ⅱ卷·20·★★★)如图,三棱锥A BCD -中,DA DB DC ==,BD CD ⊥,o 60ADB ADC ∠=∠=,E 为BC 的中点.(1)证明:BC DA ⊥;(2)点F 满足EF DA = ,求二面角D AB F --的正弦值.解:(1)(BC 和DA 是异面直线,要证垂直,需找线面垂直,可用逆推法,假设BC DA ⊥,注意到条件中还有DB DC =,所以BC DE ⊥,二者结合可得到BC ⊥面ADE ,故可通过证此线面垂直来证BC DA ⊥)因为DA DB DC ==,o 60ADB ADC ∠=∠=,所以ADB ∆和ADC ∆是全等的正三角形,故AB AC =,又E 为BC 中点,所以BC AE ⊥,BC DE ⊥,因为AE ,DE ⊂平面ADE ,AE DE E = ,所以BC ⊥平面ADE ,又DA ⊂平面ADE ,所以BC DA ⊥.(2)(由图可猜想AE ⊥面BCD ,若能证出这一结果,就能建系处理,故先尝试证明)不妨设2DA DB DC ===,则2AB AC ==,因为BD CD ⊥,所以BC ==,故12DE CE BE BC ====AE ==所以2224AE DE AD +==,故AE DE ⊥,所以EA ,EB ,ED 两两垂直,以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A,D,B ,所以(DA =,AB = ,由EF DA = 可知四边形ADEF 是平行四边形,所以FA ED == ,设平面DAB 和平面ABF 的法向量分别为111(,,)x y z =m ,222(,,)x y z =n ,则111100DA AB ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ m m ,令11x =,则1111y z =⎧⎨=⎩,所以(1,1,1)=m 是平面DAB的一个法向量,22200AB FA ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ n n ,令21y =,则2201x z =⎧⎨=⎩,所以(0,1,1)=n 是平面ABF 的一个法向量,从而cos ,⋅<>===⋅m n m n m n D AB F --的正弦值为=21.(2023·新高考Ⅱ卷·21·★★★★)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-.(1)求C 的方程;(2)记C 的左、右顶点分别为1A ,2A ,过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M ,N 两点,M 在第二象限,直线1MA 与2NA 交于点P ,证明:点P 在定直线上.解:(1)设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>,由焦点坐标可知c =则由c e a==可得2a =,4b ==,双曲线方程为221416x y -=.(2)由(1)可得()()122,0,2,0A A -,设()()1122,,,M x y N x y ,显然直线的斜率不为0,所以设直线MN 的方程为4x my =-,且1122m -<<,与221416x y -=联立可得()224132480m y my --+=,且264(43)0m ∆=+>,则1212223248,4141m y y y y m m +==--,直线1MA 的方程为()1122y y x x =++,直线2NA 的方程为()2222y y x x =--,联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得:()()()()()2121121211212121222222266y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++==--=--112221122483216222141414148483664141m m m y y m m m m m y y m m -⋅-⋅++---===-⨯----,由2123x x +=--可得=1x -,即1P x =-,据此可得点P 在定直线=1x -上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题,意在考查学生的计算能力,转化能力和综合应用能力,其中根据设而不求的思想,利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算,是解题的关键.22.(2023·新高考Ⅱ卷·22·★★★★)(1)证明:当01x <<时,2sin x x x x -<<;(2)已知函数2()cos ln(1)f x ax x =--,若0x =是()f x 的极大值点,求a 的取值范围.解:(1)构建()()sin ,0,1F x x x x =-∈,则()1cos 0F x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立,则()F x 在()0,1上单调递增,可得()()00F x F >=,所以()sin ,0,1x x x >∈;构建()()()22sin sin ,0,1G x x x x x x x x =--=-+∈,则()()21cos ,0,1G x x x x '=-+∈,构建()()(),0,1g x G x x '=∈,则()2sin 0g x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立,则()g x 在()0,1上单调递增,可得()()00g x g >=,即()0G x '>对()0,1x ∀∈恒成立,则()G x 在()0,1上单调递增,可得()()00G x G >=,所以()2sin ,0,1x x x x >-∈;综上所述:sin x x x x 2-<<.(2)令210x ->,解得11x -<<,即函数()f x 的定义域为()1,1-,若0a =,则()()()2ln 1,1,1f x x x =--∈-,因为ln y u =-在定义域内单调递减,21y x =-在()1,0-上单调递增,在()0,1上单调递减,则()()2ln 1f x x =--在()1,0-上单调递减,在()0,1上单调递增,故0x =是()f x 的极小值点,不合题意,所以0a ≠.当0a ≠时,令0b a =>因为()()()()()222cos ln 1cos ln 1cos ln 1f x ax x a x x bx x =--=--=--,且()()()()()22cos ln 1cos ln 1f x bx x bx x f x ⎡⎤-=----=--=⎣⎦,所以函数()f x 在定义域内为偶函数,由题意可得:()()22sin ,1,11x f x b bx x x =--∈'--,(i )当202b <≤时,取1min ,1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,()0,x m ∈,则()0,1bx ∈,由(1)可得()()()2222222222sin 111x b x b x x f x b bx b x x x x+-'=-->--=---,且22220,20,10b x b x >-≥->,所以()()2222201x b x b f x x +-'>>-,即当()()0,0,1x m ∈⊆时,()0f x ¢>,则()f x 在()0,m 上单调递增,结合偶函数的对称性可知:()f x 在(),0m -上单调递减,所以0x =是()f x 的极小值点,不合题意;(ⅱ)当22b >时,取()10,0,1x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭,则()0,1bx ∈,由(1)可得()()()2233223222222sin 2111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++----,构建()33223212,0,h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭,则()3223132,0,h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭,且()33100,0h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭,则()0h x '>对10,x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立,可知()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,且()21020,20h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭,所以()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点10,n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,当()0,x n ∈时,则()0h x <,且20,10x x >->,则()()3322322201x f x b x b x b x b x'<-+++-<-,即当()()0,0,1x n ∈⊆时,()0f x '<,则()f x 在()0,n 上单调递减,结合偶函数的对称性可知:()f x 在(),0n -上单调递增,所以0x =是()f x 的极大值点,符合题意;综上所述:22b >,即22a >,解得aa <故a 的取值范围为(),-∞+∞ .。
2020年高考数学真题试题(浙江卷)(Word版+答案+解析)
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2020年高考数学真题试卷(浙江卷)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合P ={x|1<x <4},Q ={x|2<x <3},则P∩Q =( ) A. {x|1<x≤2} B. {x|2<x <3} C. {x|3≤x <4} D. {x|1<x <4}2.已知a ∈R ,若a ﹣1+(a ﹣2)i (i 为虚数单位)是实数,则a =( ) A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣23.若实数x ,y 满足约束条件 {x −3y +1≤0x +y −3≥0 ,则z =x+2y 的取值范围是( )A. (﹣∞,4]B. [4,+∞)C. [5,+∞)D. (﹣∞,+∞) 4.函数y =xcosx+sinx 在区间[﹣π,+π]的图象大致为( )A. B.C. D.5.某几何体的三视图(单位:cm )如图所示,则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A. 73B. 143 C. 3 D. 66.已知空间中不过同一点的三条直线m ,n ,l ,则“m ,n ,l 在同一平面”是“m ,n ,l 两两相交”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7.已知等差数列{a n }的前n 项和S n , 公差d≠0, a 1d≤1.记b 1=S 2 , b n+1=S n+2﹣S 2n , n ∈N*,下列等式不可能成立的是( )A. 2a 4=a 2+a 6B. 2b 4=b 2+b 6C. a 42=a 2a 8D. b 42=b 2b 88.已知点O (0,0),A (﹣2,0),B (2,0).设点P 满足|PA|﹣|PB|=2,且P 为函数y =3 √4−x 2 图象上的点,则|OP|=( )A. √222B. 4√105C. √7D. √109.已知a ,b ∈R 且ab≠0,若(x ﹣a )(x ﹣b )(x ﹣2a ﹣b )≥0在x≥0上恒成立,则( ) A. a <0 B. a >0 C. b <0 D. b >0 10.设集合S ,T ,S ⊆N*,T ⊆N*,S ,T 中至少有两个元素,且S ,T 满足:①对于任意x ,y ∈S ,若x≠y ,都有xy ∈T ;②对于任意x ,y ∈T ,若x <y ,则 yx ∈S ;下列命题正确的是( )A. 若S 有4个元素,则S ∪T 有7个元素B. 若S 有4个元素,则S ∪T 有6个元素C. 若S 有3个元素,则S ∪T 有4个元素D. 若S 有3个元素,则S ∪T 有5个元素二、填空题:本大题共7小题,共36分。
2024年新高考全国Ⅱ卷数学试卷试题真题答案详解(精校打印)
![2024年新高考全国Ⅱ卷数学试卷试题真题答案详解(精校打印)](https://img.taocdn.com/s3/m/c474197a58eef8c75fbfc77da26925c52cc5912c.png)
2024年普通高等学校招生全国统一考试(新课标II 卷)数学本试卷共10页,19小题,满分150分.注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知1i z =--,则z =()A .0B .1CD .22.已知命题p :x ∀∈R ,|1|1x +>;命题q :0x ∃>,3x x =,则()A .p 和q 都是真命题B .p ⌝和q 都是真命题C .p 和q ⌝都是真命题D .p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量,a b满足1,22a a b =+= ,且()2b a b -⊥ ,则b = ()A .12B.2CD .14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg )并整理如下表亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1050,1100)[1100,1150)[1150,1200)频数61218302410根据表中数据,下列结论中正确的是()A .100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB .100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C .100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D .100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间5.已知曲线C :2216x y +=(0y >),从C 上任意一点P 向x 轴作垂线段B ',P '为垂足,则线段B '的中点M 的轨迹方程为()A .221164x y +=(0y >)B .221168x y +=(0y >)C .221164y x +=(0y >)D .221168y x +=(0y >)6.设函数2()(1)1f x a x =+-,()cos 2g x x ax =+,当(1,1)x ∈-时,曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点,则a =()A .1-B .12C .1D .27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523,6AB =,112A B =,则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为()A .12B .1C .2D .38.设函数()()ln()f x x a x b =++,若()0f x ≥,则22a b +的最小值为()A .18B .14C .12D .1二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-,下列说法中正确的有()A .()f x 与()g x 有相同的零点B .()f x 与()g x 有相同的最大值C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴10.抛物线C :24y x =的准线为l ,P 为C 上的动点,过P 作22:(4)1A x y +-=⊙的一条切线,Q 为切点,过P 作l 的垂线,垂足为B ,则()A .l 与A 相切B .当P ,A ,B 三点共线时,||PQ =C .当||2PB =时,PA AB⊥D .满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个11.设函数32()231f x x ax =-+,则()A .当1a >时,()f x 有三个零点B .当a<0时,0x =是()f x 的极大值点C .存在a ,b ,使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D .存在a ,使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若347a a +=,2535a a +=,则10S =.13.已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan tan 4αβ+=,tan tan 1αβ=,则sin()αβ+=.14.在如图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC V 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 2A A +=.(1)求A .(2)若2a =sin sin 2C c B =,求ABC V 的周长.16.已知函数3()e x f x ax a =--.(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程;(2)若()f x 有极小值,且极小值小于0,求a 的取值范围.17.如图,平面四边形ABCD 中,8AB =,3CD =,AD =,90ADC︒∠=,30BAD ︒∠=,点E ,F 满足25AE AD = ,12AF AB =,将AEF △沿EF 翻折至PEF !,使得PC =.(1)证明:EF PD ⊥;(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值.18.某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p ,乙每次投中的概率为q ,各次投中与否相互独立.(1)若0.4p =,0.5q =,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.(2)假设0p q <<,(i )为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?(ii )为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?19.已知双曲线()22:0C x y m m -=>,点()15,4P 在C 上,k 为常数,01k <<.按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =:过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -,令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点,记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =,求22,x y ;(2)证明:数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列;(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积,证明:对任意正整数n ,1n n S S +=.1.C【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1i z =--,则z ==故选:C.2.B【分析】对于两个命题而言,可分别取1x =-、1x =,再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p 而言,取1x =-,则有101x +=<,故p 是假命题,p ⌝是真命题,对于q 而言,取1x =,则有3311x x ===,故q 是真命题,q ⌝是假命题,综上,p ⌝和q 都是真命题.故选:B.3.B【分析】由()2b a b -⊥ 得22b a b =⋅ ,结合1,22a a b =+= ,得22144164a b b b +⋅+=+=,由此即可得解.【详解】因为()2b a b -⊥ ,所以()20b a b -⋅= ,即22b a b =⋅,又因为1,22a a b =+=,所以22144164a b b b +⋅+=+= ,从而=b 故选:B.4.C【分析】计算出前三段频数即可判断A ;计算出低于1100kg 的频数,再计算比例即可判断B ;根据极差计算方法即可判断C ;根据平均值计算公式即可判断D.【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误;对于B ,亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+,所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=,故B 错误;对于C ,稻田亩产量的极差最大为1200900300-=,最小为1150950200-=,故C 正确;对于D ,由频数分布表可得,平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,故D 错误.故选;C.5.A【分析】设点(,)M x y ,由题意,根据中点的坐标表示可得(,2)P x y ,代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y ,则0(,),(,0)P x y P x ',因为M 为PP '的中点,所以02y y =,即(,2)P x y ,又P 在圆2216(0)x y y +=>上,所以22416(0)x y y +=>,即221(0)164x y y +=>,即点M 的轨迹方程为221(0)164x y y +=>.故选:A 6.D【分析】解法一:令()()21,cos F x ax a G x x =+-=,分析可知曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点,结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上,即可得2a =,并代入检验即可;解法二:令()()()(),1,1h x f x g x x =-∈-,可知ℎ为偶函数,根据偶函数的对称性可知ℎ的零点只能为0,即可得2a =,并代入检验即可.【详解】解法一:令()()f x g x =,即2(1)1cos 2a x x ax +-=+,可得21cos a x ax -=+,令()()21,cos F x ax a G x x =+-=,原题意等价于当(1,1)x ∈-时,曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点,注意到()(),F x G x 均为偶函数,可知该交点只能在y 轴上,可得()()00F G =,即11a -=,解得2a =,若2a =,令()()F x G x =,可得221cos 0x x +-=因为∈−1,1,则220,1cos 0x x ≥-≥,当且仅当0x =时,等号成立,可得221cos 0x x +-≥,当且仅当0x =时,等号成立,则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0,即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点,所以2a =符合题意;综上所述:2a =.解法二:令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-,原题意等价于ℎ有且仅有一个零点,因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=,则ℎ为偶函数,根据偶函数的对称性可知ℎ的零点只能为0,即()020h a =-=,解得2a =,若2a =,则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-,又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时,等号成立,可得()0h x ≥,当且仅当0x =时,等号成立,即ℎ有且仅有一个零点0,所以2a =符合题意;故选:D.7.B【分析】解法一:根据台体的体积公式可得三棱台的高h =的结构特征求得3AM =,进而根据线面夹角的定义分析求解;解法二:将正三棱台111ABC A B C -补成正三棱锥P ABC -,1A A 与平面ABC 所成角即为PA 与平面ABC 所成角,根据比例关系可得18P ABC V -=,进而可求正三棱锥P ABC -的高,即可得结果.【详解】解法一:分别取11,BC B C 的中点1,D D ,则11AD A D ==可知1111166222ABC A B C S S =⨯⨯⨯=⨯⨯ 设正三棱台111ABC A B C -的为h ,则(11115233ABC A B C V h -==,解得h =如图,分别过11,A D 作底面垂线,垂足为,M N ,设AM x =,则1AA=DN AD AM MN x=--=,可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=++,解得3x=,所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==;解法二:将正三棱台111ABC AB C-补成正三棱锥P ABC-,则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角,因为11113PA A BPA AB==,则111127P A B CP ABCVV--=,可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==,则18P ABCV-=,设正三棱锥P ABC-的高为d,则11661832P ABCV d-=⨯⨯⨯⨯,解得d=,取底面ABC的中心为O,则⊥PO底面ABC,且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选:B.8.C【分析】解法一:由题意可知:()f x 的定义域为(),b -+∞,分类讨论a -与,1b b --的大小关系,结合符号分析判断,即可得1b a =+,代入可得最值;解法二:根据对数函数的性质分析ln()x b +的符号,进而可得x a +的符号,即可得1b a =+,代入可得最值.【详解】解法一:由题意可知:()f x 的定义域为(),b -+∞,令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-;若-≤-a b ,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<,此时()0f x <,不合题意;若1b a b -<-<-,当(),1x a b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<,此时()0f x <,不合题意;若1a b -=-,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +<+<,此时()0f x >;当[)1,x b ∈-+∞时,可知()0,ln 0x a x b +≥+≥,此时()0f x ≥;可知若1a b -=-,符合题意;若1a b ->-,当()1,x b a ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +<+>,此时()0f x <,不合题意;综上所述:1a b -=-,即1b a =+,则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立,所以22a b +的最小值为12;解法二:由题意可知:()f x 的定义域为(),b -+∞,令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-;则当(),1x b b ∈--时,()ln 0x b +<,故0x a +≤,所以10b a -+≤;()1,x b ∈-+∞时,()ln 0x b +>,故0x a +≥,所以10b a -+≥;故10b a -+=,则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭+,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立,所以22a b +的最小值为12.故选:C.【点睛】关键点点睛:分别求0x a +=、ln()0x b +=的根,以根和函数定义域为临界,比较大小分类讨论,结合符号性分析判断.9.BC【分析】根据正弦函数的零点,最值,周期公式,对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项,令()sin 20f x x ==,解得π,2k x k =∈Z ,即为()f x 零点,令π()sin(2)04g x x =-=,解得ππ,28k x k =+∈Z ,即为()g x 零点,显然(),()f x g x 零点不同,A 选项错误;B 选项,显然max max ()()1f x g x ==,B 选项正确;C 选项,根据周期公式,(),()f x g x 的周期均为2ππ2=,C 选项正确;D 选项,根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ,()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ,显然(),()f x g x 图像的对称轴不同,D 选项错误.故选:BC 10.ABD【分析】A 选项,抛物线准线为1x =-,根据圆心到准线的距离来判断;B 选项,,,P A B 三点共线时,先求出P 的坐标,进而得出切线长;C 选项,根据2PB =先算出P 的坐标,然后验证1PA AB k k =-是否成立;D 选项,根据抛物线的定义,PB PF =,于是问题转化成PA PF =的P 点的存在性问题,此时考察AF 的中垂线和抛物线的交点个数即可,亦可直接设P 点坐标进行求解.【详解】A 选项,抛物线24y x =的准线为1x =-,A 的圆心(0,4)到直线1x =-的距离显然是1,等于圆的半径,故准线l 和A 相切,A 选项正确;B 选项,,,P A B 三点共线时,即PA l ⊥,则P 的纵坐标4P y =,由24P P y x =,得到4P x =,故(4,4)P ,此时切线长PQ ===,B 选项正确;C 选项,当2PB =时,1P x =,此时244P P y x ==,故(1,2)P 或(1,2)P -,当(1,2)P 时,(0,4),(1,2)A B -,42201PA k -==--,4220(1)AB k -==--,不满足1PA AB k k =-;当(1,2)P -时,(0,4),(1,2)A B -,4(2)601PA k --==--,4(2)60(1)AB k --==--,不满足1PA AB k k =-;于是PA AB ⊥不成立,C 选项错误;D 选项,方法一:利用抛物线定义转化根据抛物线的定义,PB PF =,这里(1,0)F ,于是PA PB =时P 点的存在性问题转化成PA PF =时P 点的存在性问题,(0,4),(1,0)A F ,AF 中点1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,AF 中垂线的斜率为114AF k -=,于是AF 的中垂线方程为:2158x y +=,与抛物线24y x =联立可得216300y y -+=,2164301360∆=-⨯=>,即AF 的中垂线和抛物线有两个交点,即存在两个P 点,使得PA PF =,D 选项正确.方法二:(设点直接求解)设2,4t P t ⎛⎫⎪⎝⎭,由PB l ⊥可得()1,B t -,又(0,4)A ,又PA PB =,214t =+,整理得216300t t -+=,2164301360∆=-⨯=>,则关于t 的方程有两个解,即存在两个这样的P 点,D 选项正确.故选:ABD11.AD【分析】A 选项,先分析出函数的极值点为0,x x a ==,根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点;B 选项,根据极值和导函数符号的关系进行分析;C 选项,假设存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,则()(2)f x f b x =-为恒等式,据此计算判断;D 选项,若存在这样的a ,使得(1,33)a -为()f x 的对称中心,则()(2)66f x f x a +-=-,据此进行计算判断,亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项,2()666()f x x ax x x a '=-=-,由于1a >,故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>,故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增,(0,)x a ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,则()f x 在0x =处取到极大值,在x a =处取到极小值,由(0)10=>f ,3()10f a a =-<,则(0)()0f f a <,根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点,又(1)130f a -=--<,3(2)410f a a =+>,则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<,则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点,于是1a >时,()f x 有三个零点,A 选项正确;B 选项,()6()f x x x a '=-,0a <时,(,0),()0x a f x '∈<,()f x 单调递减,(0,)x ∈+∞时()0f x '>,()f x 单调递增,此时()f x 在0x =处取到极小值,B 选项错误;C 选项,假设存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-,即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+,根据二项式定理,等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-,于是等式左右两边3x 的系数都不相等,原等式不可能恒成立,于是不存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,C 选项错误;D 选项,方法一:利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-,若存在这样的a ,使得(1,33)a -为()f x 的对称中心,则()(2)66f x f x a +-=-,事实上,32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-,于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩,解得2a =,即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确.方法二:直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点,32()231f x x ax =-+,2()66f x x ax '=-,()126f x x a ''=-,由()02af x x ''=⇔=,于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由题意(1,(1))f 也是对称中心,故122aa =⇔=,即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确.故选:AD【点睛】结论点睛:(1)()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-;(2)()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=;(3)任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心,对称中心是三次函数的拐点,对称中心的横坐标是()0f x ''=的解,即,33b b f aa ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心12.95【分析】利用等差数列通项公式得到方程组,解出1,a d ,再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.【详解】因为数列n a 为等差数列,则由题意得()1111237345a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩,解得143a d =-⎧⎨=⎩,则()10110910104453952S a d ⨯=+=⨯-+⨯=.故答案为:95.13.3-【分析】法一:根据两角和与差的正切公式得()tan αβ+=-αβ+的范围,最后结合同角的平方和关系即可得到答案;法二:利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一:由题意得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===--,因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪⎝⎭⎝⎭,,Z k m ∈,则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++,,Z k m ∈,又因为()tan 0αβ+=-,则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭,,Z k m ∈,则()sin 0αβ+<,则()()sin cos αβαβ+=-+()()22sin cos 1αβαβ+++=,解得()sin αβ+=法二:因为α为第一象限角,β为第三象限角,则cos 0,cos 0αβ><,cos α==cos β==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos 3αβ=====-故答案为:3-.14.24112【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选;利用列举法写出所有的可能结果,即可求解.【详解】由题意知,选4个方格,每行和每列均恰有一个方格被选中,则第一列有4个方格可选,第二列有3个方格可选,第三列有2个方格可选,第四列有1个方格可选,所以共有432124⨯⨯⨯=种选法;每种选法可标记为(,,,)a b c d ,a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字,则所有的可能结果为:(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),所以选中的方格中,(15,21,33,43)的4个数之和最大,为152********+++=.故答案为:24;112【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选,利用列举法写出所有的可能结果.15.(1)π6A =(2)2+【分析】(1)根据辅助角公式对条件sin 2A A +=进行化简处理即可求解,常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组,亦可利用导数,向量数量积公式,万能公式解决;(2)先根据正弦定理边角互化算出B ,然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】(1)方法一:常规方法(辅助角公式)由sin 2A A =可得1sin 122A A +=,即sin()1π3A +=,由于ππ4π(0,π)(,333A A ∈⇒+∈,故ππ32A +=,解得π6A =方法二:常规方法(同角三角函数的基本关系)由sin 2A A =,又22sin cos 1A A +=,消去sin A 得到:24cos 30(2cos 0A A A -+=⇔-=,解得cos A =又(0,π)A ∈,故π6A =方法三:利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<,则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,显然π6x =时,max ()2f x =,注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+,max ()()f x f A =,在开区间(0,π)上取到最大值,于是x A =必定是极值点,即()0cos sin f A A A '==,即tan 3A =,又(0,π)A ∈,故π6A =方法四:利用向量数量积公式(柯西不等式)设(sin ,cos )a b A A ==,由题意,sin 2a b A A ⋅=+=,根据向量的数量积公式,||||cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅== ,则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ,此时,0a b =,即,a b 同向共线,根据向量共线条件,1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=,又(0,π)A ∈,故π6A =方法五:利用万能公式求解设tan 2A t =,根据万能公式,2222)sin 211tt A A t t-==++,整理可得,222(2(20((2t t t --+-==--,解得tan22A t ==22tan 1t A t ==-又(0,π)A ∈,故π6A =(2)由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=,又,(0,π)B C ∈,则sin sin 0B C ≠,进而cos 2B =,得到π4B =,于是7ππ12C A B =--=,sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=,由正弦定理可得,sin sin sin a b cA B C ==,即2ππ7πsin sin sin6412bc==,解得b c ==故ABC V 的周长为2+16.(1)()e 110x y ---=(2)()1,+∞【分析】(1)求导,结合导数的几何意义求切线方程;(2)解法一:求导,分析0a ≤和0a >两种情况,利用导数判断单调性和极值,分析可得2ln 10a a +->,构建函数解不等式即可;解法二:求导,可知()e '=-x f x a 有零点,可得0a >,进而利用导数求()f x 的单调性和极值,分析可得2ln 10a a +->,构建函数解不等式即可.【详解】(1)当1a =时,则()e 1x f x x =--,()e 1x f x '=-,可得(1)e 2f =-,(1)e 1f '=-,即切点坐标为()1,e 2-,切线斜率e 1k =-,所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--,即()e 110x y ---=.(2)解法一:因为()f x 的定义域为,且()e '=-x f x a ,若0a ≤,则()0f x '≥对任意∈恒成立,可知()f x 在上单调递增,无极值,不合题意;若0a >,令()0f x '>,解得ln x a >;令()0f x '<,解得ln x a <;可知()f x 在(),ln a ∞-内单调递减,在()ln ,a ∞+内单调递增,则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--,无极大值,由题意可得:()3ln ln 0f a a a a a =--<,即2ln 10a a +->,构建()2ln 1,0g a a a a =+->,则()120g a a a+'=>,可知()g a 在0,+∞内单调递增,且()10g =,不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >,解得1a >,所以a 的取值范围为1,+∞;解法二:因为()f x 的定义域为,且()e '=-x f x a ,若()f x 有极小值,则()e '=-x f x a 有零点,令()e 0x f x a '=-=,可得e x a =,可知e x y =与y a =有交点,则0a >,若0a >,令()0f x '>,解得ln x a >;令()0f x '<,解得ln x a <;可知()f x 在(),ln a ∞-内单调递减,在()ln ,a ∞+内单调递增,则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--,无极大值,符合题意,由题意可得:()3ln ln 0f a a a a a =--<,即2ln 10a a +->,构建()2ln 1,0g a a a a =+->,因为则2,ln 1y a y a ==-在0,+∞内单调递增,可知()g a 在0,+∞内单调递增,且()10g =,不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >,解得1a >,所以a 的取值范围为1,+∞.17.(1)证明见解析【分析】(1)由题意,根据余弦定理求得2EF =,利用勾股定理的逆定理可证得EF AD ⊥,则,EF PE EF DE ⊥⊥,结合线面垂直的判定定理与性质即可证明;(2)由(1),根据线面垂直的判定定理与性质可证明PE ED ⊥,建立如图空间直角坐标系E xyz -,利用空间向量法求解面面角即可.【详解】(1)由218,,52AB AD AE AD AF AB ====,得4AE AF ==,又30BAD ︒∠=,在AEF △中,由余弦定理得2EF ,所以222AE EF AF +=,则AE EF ⊥,即EF AD ⊥,所以,EF PE EF DE ⊥⊥,又,PE DE E PE DE =⊂ 、平面PDE ,所以⊥EF 平面PDE ,又PD ⊂平面PDE ,故⊥EF PD ;(2)连接CE,由90,3ADC ED CD ︒∠===,则22236CE ED CD =+=,在PEC中,6PC PE EC ===,得222EC PE PC +=,所以PE EC ⊥,由(1)知PE EF ⊥,又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ,所以PE ⊥平面ABCD ,又ED ⊂平面ABCD ,所以PE ED ⊥,则,,PE EF ED 两两垂直,建立如图空间直角坐标系E xyz -,则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -,由F 是AB的中点,得(4,B ,所以(4,22(2,0,2PC PD PB PF =-===-,设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z ==,则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令122,y x =11220,3,1,1x z y z ===-=,所以(0,2,3),1,1)n m ==- ,所以cos ,65m n m n m n⋅==,设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ,则sin 65θ==,即平面PCD 和平面PBF所成角的正弦值为65.【点睛】18.(1)0.686(2)(i )由甲参加第一阶段比赛;(i )由甲参加第一阶段比赛;【分析】(1)根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案;(2)(i )首先各自计算出331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲,331(1)Pq p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙,再作差因式分解即可判断;(ii)首先得到X 和Y 的所有可能取值,再按步骤列出分布列,计算出各自期望,再次作差比较大小即可.【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次,∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.(2)(i )若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲,若乙先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙,0p q << ,3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->,P P ∴>甲乙,应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛,比赛成绩X 的所有可能取值为0,5,10,15,333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦,()()()3213511C 1P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦,3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦,33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦,()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛,比赛成绩Y 的所有可能取值为0,5,10,15,同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-,因为0p q <<,则0p q -<,31130p q +-<+-<,则()(3)0p q pq p q -+->,∴应该由甲参加第一阶段比赛.【点睛】关键点点睛:本题第二问的关键是计算出相关概率和期望,采用作差法并因式分解从而比较出大小关系,最后得到结论.19.(1)23x =,20y =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)直接根据题目中的构造方式计算出2P 的坐标即可;(2)思路一:根据等比数列的定义即可验证结论;思路二:利用点差法和合比性质即可证明;(3)思路一:使用平面向量数量积和等比数列工具,证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路二:使用等差数列工具,证明n S 的取值为与n 无关的定值即可.思路三:利用点差法得到()11111n n n n n n P P n n n n x y x y k x y x y +++++++-=+--,()1222112211n n n n n n P P n n n n x y x y k x y x y -+++--++--++-=+--,再结合(2)中的结论得()1122n n n n x y q x y +++++=+,最后证明出112n n n n P P P P k k +-+=即可.【详解】(1)由已知有22549m =-=,故C 的方程为229x y -=.当12k =时,过()15,4P 且斜率为12的直线为32x y +=,与229x y -=联立得到22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =,所以该直线与C 的不同于1P 的交点为()13,0Q -,该点显然在C 的左支上.故()23,0P ,从而23x =,20y =.(2)方法一:由于过(),n n n P x y 且斜率为k 的直线为()n n y k x x y =-+,与229x y -=联立,得到方程()()229n n x k x x y --+=.展开即得()()()2221290n n n n k x k y kx x y kx ------=,由于(),n n n P x y 已经是直线()n n y k x x y =-+和229x y -=的公共点,故方程必有一根n x x =.从而根据韦达定理,另一根()2222211n n n n nn k y kx ky x k x x x k k ---=-=--,相应的()2221n n nn n y k y kx y k x x y k +-=-+=-.所以该直线与C 的不同于n P 的交点为222222,11n n n n n n n ky x k x y k y kx Q k k ⎛⎫--+- ⎪--⎝⎭,而注意到n Q 的横坐标亦可通过韦达定理表示为()()2291n n ny kx k x ----,故n Q 一定在C 的左支上.所以2212222,11n n n n n n n x k x ky y k y kx P k k +⎛⎫+-+- ⎪--⎝⎭.这就得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-,21221n n nn y k y kx y k ++-=-.所以2211222211n n n n n nn n x k x ky y k y kx x y k k +++-+--=---()()222222221211111n n n n n n n n n n x k x kx y k y ky k k kx y x y k k k k+++++++=-=-=-----.再由22119x y -=,就知道110x y -≠,所以数列{}n n x y -是公比为11k k+-的等比数列.方法二:因为(),n n n P x y ,()11,n n n Q x y ++-,11n n n n y y k x x ++-=-+,则111111n n n nn n n nx x y y k k x x y y +++++-++=-++-,由于22112299n n nn x y x y ++⎧-=⎨-=⎩,作差得()()()()1111n n n n n n n n x y x y x y x y ++++-+=-+,1111n n n n n n n n x y x y x y x y ++++-+=-+,利用合比性质知1111111111n n n n n n n n n n n n n n n n x y x y x y x y kx y x y x y x y k ++++++++-+-+++===-+-++-,因此{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列.(3)方法一:先证明一个结论:对平面上三个点,,U V W ,若(),UV a b = ,(),UW c d =,则12UVW S ad bc =- .(若,,U V W 在同一条直线上,约定0UVW S = )证明:11sin ,22UVW S UV UW UV UW UV UW =⋅=⋅12UV UW =⋅==12ad bc ===-.证毕,回到原题.由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-,21221n n nn y k y kx y k ++-=-,故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=,就知道110x y +≠,所以数列{}n n x y +是公比为11k k-+的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有n n m n n mx y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而又有()()()111,n n n n n n P P x x y y +++=---- ,()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=-- ,故利用前面已经证明的结论即得()()()()1212112112n n n n P P P n n n n n n n n S S x x y y y y x x ++++++++==---+-- ()()()()12112112n n n n n n n n x x y y y y x x ++++++=-----()()()1212112212n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x ++++++++=-+---2219119119112211211211k k k k k k k k k k k k ⎛⎫-+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就表明n S 的取值是与n 无关的定值,所以1n n S S +=.方法二:由于上一小问已经得到21221n n n n x k x ky x k ++-=-,21221n n n n y k y kx y k ++-=-,故()()22211222221211111n n n n n n n n n nn n x k x ky y k y kx k k kx y x y x y k k k k+++-+-+--+=+=+=+---+.再由22119x y -=,就知道110x y +≠,所以数列{}n n x y +是公比为11k k-+的等比数列.所以对任意的正整数m ,都有n n m n n mx y y x ++-()()()()()()1122n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m n n m x x y y x y y x x x y y x y y x ++++++++=-+-----()()()()1122n n n m n m n n n m n m x y x y x y x y ++++=-+-+-()()()()11112121mmn n n n n n n n k k x y x y x y x y k k -+⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭()22111211mmn n k k x y k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭911211mmk k k k ⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.这就得到232311911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++-+⎛⎫-=-=- ⎪+-⎝⎭,以及22131322911211n n n n n n n n k k x y y x x y y x k k ++++++⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相减,即得()()()()232313131122n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x x y y x x y y x ++++++++++++---=---.移项得到232131232131n n n n n n n n n n n n n n n n x y y x x y y x y x x y y x x y ++++++++++++--+=--+.故()()()()321213n n n n n n n n y y x x y y x x ++++++--=--.而()333,n n n n n n P P x x y y +++=--,()122121,n n n n n n P P x x y y ++++++=-- .所以3n n P P + 和12n n P P ++平行,这就得到12123n n n n n n P P P P P P S S +++++= ,即1n n S S +=.方法三:由于22112299n n n n x y x y ++⎧-=⎨-=⎩,作差得222211n n n n x x y y ++-=-,变形得()111111111n n n n n n n n n nP P n n n n n n n n y y x x x y x y k x x y y x y x y +++++++++-+++-===-++--①,同理可得()122121221121212211n n n n n n n n n n P P n n n n n n n n y y x x x y x y k x x y y x y x y -++-+-++--+-+-++---+++-===-++--,由(2)知{}n n x y -是公比为11kk +-的等比数列,令11k q k+=-则()11n n n n x y q x y ---=-②,同时{}n n x y +是公比为1q的等比数列,则()1122n n n n x y q x y +++++=+③,将②③代入①,()()()()()()2211111221111122112211n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n q x y q x y y y x y x y x y x y x x x y x y q x y q x y x y x y ++--+++++--+++++--++--++--++-++-===-+--+--+--即112n n n n P P P P k k +-+=,从而1n n S S -=,即1n n S S +=.【点睛】关键点点睛:本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合,需要综合运用多方面知识方可得解.。
2023年全国统一高考数学试卷(上海卷)(含答案与解析)
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2023年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷考生注意:1.本试卷共5页,21道试题,满分150分,考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分,3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题(本大题共有12题,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分,满分54分)1.不等式21x 的解集为.2.若 2,3a r , 1,2b r ,则a br r .3.已知n S 为等比数列 n a 的前n 项和,且13a ,2q ,则6S .4.已知tan 3 ,则tan 2.5.若函数 2,01,0x x f x x ,则 f x 的值域为.6.已知复数1z i (其中i 为虚数单位),则1iz .7.已知圆2240x y y m 的面积为 ,则m.8.在ABC △中,角A 、B 、C 所对的三边长分别为a 、b 、c ,若4a ,5b ,6c ,则sin A.9.国内生产总值(GDP )是衡量地区经济状况的最佳指标,根据统计数据显示,某市在2020年间经济高质量增长,GDP 稳步增长,第一季度和第四季度的GDP 分别为231亿元和242亿元,且四个季度GDP 的中位数与平均数相等,则该市2020年GDP 总额为亿元.10.已知1001002100012100120232023x x a a x a x a x ,其中012100,,,,a a a a R L ,若0,100k 且k N ,则当0k a 时,k 的最大值为.11.某公园欲修建一段斜坡,假设斜坡底端在水平地面上且坡面笔直,斜坡顶端距水平地面的高度为4米,斜坡与水平地面的夹角为 .已知游客从坡底沿着斜坡每向上走1米,消耗的体力为1.025cos (),若要使游客从斜坡底端走到斜坡顶端所消耗的体力最少,则.12.已知空间中存在三点A 、B 、C ,且1AB AC BC .若从空间中再任取不同的两点(不计顺序),使得这两点与A 、B 、C 三点恰好能构成一个正四棱锥,则不同的取法共有种.二、选择题(本大题共有4题,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分,满分18分)13.已知集合 1,2P , 2,3Q ,若M x x P x Q 且,则M ()A. 1;B. 2;C. 1,2;D. 1,2,3.14.如图,是某校随机抽取50名学生的身高与体重的散点图,则下列说法正确的是()A.身高越高,体重越重;B.身高越高,体重越轻;C.身高与体重成正相关;D.身高与体重成负相关.15.设0a ,函数sin y x 在 ,2a a 上的最小值a S ,在 2,3a a 上的最小值为a t ,当a 变化时,则下列选项不可能的是()A.0,0a a S t B.0,0a a S t C.0,0a a S t D.0,0a a S t 16.在平面上,若曲线 具有如下性质:存在点M ,使得对于任意点P ,都有Q 使得1PM QM ,则称这条曲线为“自相关曲线”,关于以下两个结论,正确的判断是()①所有椭圆都为“自相关曲线”;②存在双曲线是“自相关曲线”A.①成立,②成立; B.①成立,②不成立;C.①不成立,②成立;D.①不成立,②不成立.三、解答题(本大题共有5题,满分78分)【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)如图,在直四棱柱1111ABCD A B C D 中,AB CD ∥,AB AD ,2AB ,3AD ,4DC .(1)求证:111A B DCC D 直线∥;(2)若直四棱柱1111ABCD A B C D 的体积为36,求二面角1A BD A 的大小.18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)已知函数 231x a x cf x x a,其中,a c R .(1)当0a 时,求 f x 的定义域,并判断是否存在实数c ,使得f x ()是奇函数;(2)若函数 f x 的图象过点 1,3,且与x 轴的负半轴有两个焦点,求实数c 的值和实数a 的取值范围.19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)第二十届上海国际汽车工业展览会于2023年4月18日在上海国家会展中心举行.某汽车企业准备了25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表所示:(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件A 为小明取到的模型为红色外观,事件B 为小明取到的模型有米色内饰.求P B ()与P B A (),并据此判断事件A 和事件B 是否独立;(2)为了回馈客户,该汽车企业举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性抽取两个汽车模型.根据活动规则,现作出如下假设:该公司举行了一个抽奖活动,并规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这25个汽车模型中抽取两个,现有如下假设:假设1:抽取所得的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观和内饰均为异色、只有外观或只有内饰同色;假设2:根据三种结果的可能性大小,概率越小的结果可获得的奖项越高;假设3:奖金额为一等奖600元,二等奖300元,三等奖150元.请你帮该汽车企业分析假设1中的三种结果分别对应什么奖项.设奖金额为X 元,写出X 的分布列,并求出X 的数学期望.20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)已知抛物线24y x :,A 为第一象限内曲线 上的点,设A 的纵坐标是a .(1)若点A 到抛物线 的准线距离为3,求a 的值;(2)若4a ,点B 在x 轴上,且AB 的中点在抛物线 上,求点B 的坐标和坐标原点O 到直线AB 的距离;(3)已知直线:3l x ,P 是第一象限内曲线 上异于点A 的点,直线PA 交l 于点Q ,且P 在直线上的投影为点 H .若对于任意点P ,4HQ 恒成立,求a 的取值范围.21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)已知函数 ln f x x ,过点11,a f a 作曲线 y f x 的切线交y 轴于点 20,a ,再过点22,a f a 作曲线 y f x 的切线交y 轴于 30,a ,若30a则停止.以此类推,得到数列 n a .(1)若正整数2m ,证明:1ln 1m m a a ;(2)若正整数2m ,试比较m a 与12m a 大小;(3)若正整数3k ,是否存在k 使得12,,,k a a a L 依次成等差数列?若存在,求出k 的所有取值;若不存在,请说明理由.【参考答案】1.【答案】|13x x 【解析】绝对值不等式的解法由21x 得121x ,即13x ,故不等式21x 的解集是13xx .2.【答案】4【解析】平面向量数量积的坐标运算21324a b .3.【答案】189【解析】等比数列的前n 项和66631232118912S.4.【答案】34【解析】22tan 3tan21tan 4.5.【答案】1, 【解析】当0x 时, 2xf x 单调递增, 1f x ;当0x 时, 1f x .故 f x 的值域为 1, .6.【解析】∵1z i ,∴ 111112i z i i i i ,∴12i z i 7.【答案】-3【解析】由2240x y y m 得22(2)4x y m ,故半径r ∴ 4m ,解得3m .8.【答案】74【解析】由余弦定理得222222564453cos 22562564b c a A bc ,∴sin 4A.9.【答案】946【解析】依题意,将2020年四个季度的GDP 数据分别记为1234,,,a a a a ,则1232a ,4241a ,四个季度GDP 数据的中位数为 2312a a ,平均数为 123414a a a a ,则2312341124a a a a a a ,∴2314473a a a a ,故该市2020年的GDP 总额为 1234142946a a a a a a (亿元).10.【答案】49【解析】k x 的系数为1001002100100100C 2023C 2023(1)C 202312023(1),0,1,2,,100k k k k k k k k kk a k ,要使0k a ,则k 必为奇数,且100220231k ,∴10020k 即50k ,∴k 的最大值为49.11.【答案】9arctan40(或40arccos 41或9arcsin 41)【解析】解法一:易求斜坡的长度为40sin 2,则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能41.025cos sin T,即sin 4cos 4.1T4.1 ,其中锐角 满足4tan T,(提示:辅助角公式)4.1,得0.9T ,当且仅当2时取等号,此时,40tan 9,9tan 40 ,9arctan 40 .解法二:仿上得 4.14cos sin T,设tan 2t ,则2sin2sin 1cos 22sin cos 2sin cos 222,结合22sin cos 1 ,可得22sin 1t t ,221cos 1i t,则222411414.14cos 0.18.10.18.10.9sin 2222t t t t T t t t,当且仅当20.18.1t ,即19t时取等号,此时229tan 140t t ,9arctan 40.解法三:仿上得 4.14cos sin T ,则 2224sin 4.14cos cos 441cos sin sin T,令0T ,得40cos 41 ,40arccos 41,当40cos 41 ,即400,arccos 41时,'0T ,当40cos 41,即40arccos ,412时,0T ,故当T 最小时,40arccos41.12.【答案】9【解析】由题意得ABC 为正三角形,根据正四棱雉的定义知,正四棱锥的底面是正方形,顶点在底面的射影是正方形的中心,故所给正ABC 的任意一条边可以为底面正方形的一条边或对角线,将ABC 的一条边作为底面正方形的一条边,若将BC 作为底面正方形的一条边,可在ABC 的左侧取不同的两点,E F ,使得这两点与,,A B C 构成正四棱雉A BCEF ,在ABC 的右侧取不同的两点,E F ,使得这两点与,,A B C 构成正四棱雉A BCE F ,如图1,同样,,AB AC 也可作为底面正方形的一条边,所以方案数为326 ;将ABC 的一条边作为底面正方形的对角线时,若将BC 作为底而正方形的对角线,可构造一个正四棱锥,如图2,同样,AB AC 也可作为底面正方形的对角线,所以方案数为3.故不同的取法有639 (种).13.【答案】A【解析】由{}M xx P x Q ∣且知, 1M .故选A .14.【答案】C【解析】由题图可知,各数据分布呈线性,且从左向右看,呈现上升趋势,故身高与体重成正相关.故选C.15.【答案】D【解析】取8a ,则sin y x 在区间,84 上的最小值sin 08s ,在区间3,48上的最小值sin04t,选项A 可能成立;取38a ,则sin y x 在区间3384,上的最小值3sin04s ,在区间39,48上的最小值9sinsin 088t,选项C 可能成立;取98a,则sin y x 在区间9984,上的最小值10s ,在区间927,48上的最小值273sinsin 088,选项B 可能成立.故选D.16.【答案】B【解析】对于命题①,设椭圆2222:1(0)x y C a b a b的长轴为AB ,在AB 的延长线上能找到一点M ,使1MA MB .(注:设MB t ,则2MA t a , 21t t a ,2210t at (*),2Δ440a 恒成立,且易知方程(*)的两根异号,t 一定存在,即M 存在)不妨设 00,0M x x a ,则0maxPMa x ,0minPMx a即 00,PM x a x a ,易知QM 也在此范围内,不妨让PM 取最大值,QM 取最小值,假设1PM QM 成立,则 001x a x a ,得0x故存在M使假设成立,当0x PM 由0x a 逐渐减小为0x a ,则一定有 00,QM x a x a ,使得1PM QM ,故存在点M ,使得对于任意的点P C ,都有Q C 使得1PM QM ,∴椭圆C 是“自相关曲线”.由椭圆的性质知所有椭圆都是“自相关曲线”,故①为真命题.对于命题②,由题意,点P 的位置不固定且双曲线不封闭,PM 可取无穷大.如果M 在双曲线上,则会存在P 和M 重合的情况,不符合题意,故M 不在双曲线上.假设存在点M ,使得对于任意的ΓP ,都有ΓQ 使得1PM QM ,若PM 取无穷大,则0QM ,∵ΓQ ,ΓM ,∴QM 不会趋近于0,故假设不成立,不存在是“自相关曲线”的双曲线,故②为假命题.故选B.17.【答案】解:(1)解法一∵//AB DC ,11AB DCC D 平面平面,11CD DCC D 平面,∴11//AB DCC D 平面.∵11//AA DD ,111AA DCC D 平面,111DD DCC D 平面,∴111//AA DCC D 平面.又1AB AA A ,∴1111//ABB A DCC D 平面平面.又111A B ABB A 平面,∴111//A B DCC D 平面.解法二:如图a ,取CD 的中点E ,连接BE ,1D E ,则2DE ,∵//AB DC ,2AB ,AB DE P ,四边形ABED 为平行四边形,∴BE AD P.又11AD A D P,∴11BE A D P, 四边形11A D EB 为平行四边形,∴11//A B D E ,又111D E DCC D 平面,111A B DCC D 平面,∴111//A B DCC D 平面.(2)由题, 124392ABCD S梯形,又直四棱柱1111ABCD A B C D 的体积为36,∴1936AA ,∴14AA .(8分)解法一:如图b,过A 作AH BD 于H ,连接1A H .∵1AA ABCD 平面,BD ABCD 平面,∴1AA BD .AH BD ,1AA AH A ,1BD AA H 平面,∴1A H BD .1A HA 为二面角1A BD A 的平面角.在Rt ABD V 中,AB AD 2AB ,3AD ,可得613AH ,在1Rt A AH V 中,114213tan 6313AA A IIA AH ,∴1213arctan 3A HA ,即二面角1A BD A 的大小为213arctan3.(14分)解法二:由题,以D 为坐标原点,分别以1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r 的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图c 所示的空间直角坐标系,则 0,0,0D , 3,2,0B ,13,0,4A ∴ 3,2,0DB u u u r , 13,0,4DA u u u r .(9分)显然平面ABD 的一个法向量为 0,0,1n .(10分)设平面1A BD 的法向量为 ,,m x y z ,则320340x y x z ,不妨取 4,6,3 m .设 为n与m的夹角, 为二面角1A BD A的平面角,由题意知 为锐角,则cos cos61,因此arccos61,二面角1A BD A的大小为arccos61.18.解:(1)当0a 时,2x x cf xx,(2分)∴ 12f c, 1f c显然11f f,(4分)当0a 时,f x不可能为奇函数,当0a 时,不存在c,使得f x为奇函数.(6分)(2)由题意得131131a cfa,∴3233a c a,1c,(8分)∴2311x a xf xx a.f xQ的图象与x䌷负半轴有两个不同交点,关于x的方程23110x a x有两个不同负实数根12,x x,且1x a,2x a,(10分)∴122122310311010Δ(31)40x x aa a ax xa,(易错警示:转化时应特别注意前后条件的等价性)(12分)得13a 且12a ,实数a的取值范围为111,,322.(14分)19.解:(1)由题意得,231255P B,(2分)822255P A , 225P AB ,则 2125255P AB P B A P A ∣.∵ P AB P A P B ,∴事件A 和事件B 独立.(2)记外观与内饰均同色为事件1A ,外观与内饰都异色为事件2A ,仅外观或仅内饰同色为事件3A ,则 22228122312259849300150C C C C P A C , 1111832122225C C C C 484C 30025P A ,(8分) 1111111182123812233225C C C C C C C C 15477C 300150P A ,(9分)∵ 213P A P A P A ,一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色,二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色,三等奖为两个汽车模型仅外观或内饰同色.(10分)X的分布列如表:7749415030060027115015025E X (14分)20.解:(1)由题意,Γ的准线方程为1x ,2,4a A a,则2134a ,得28a .(3分)又0a,∴a (2)由题意知, 4,4A ,设 ,0B b ,则AB 中点的坐标为4,22b,代入24y x ,得 424b ∴2b ,点B 的坐标为 2,0 .(6分)则直线AB 的斜率为 402423, 直线AB 的方程为 223y x ,即2340x y . 坐标原点O 到直线AB13 .(10分)(3)由题意知,2,4a A a,设 2000,04y P y y ,则 03,H y ,直线AP 的斜率02200444AP a y k y a a y 直线AP 的方程为2044a y x a a y,∴204343,a Q a a y(12分)∴222000000001212124a a ay ay y HQ y y a y a y a y 恒成立, 22200000121322444y y a y y y 即 200120,,4a y y a a 恒成立.当2a 吋,由0y a 得02y ,则 201224a y恒成立;当20a ,即2a 时, 201224a y 恒成立.综上,a 的取值范围是 ,2 .(16分)21.解:(1)由题得, 1f x x,当正整数2m 时,曲线 y f x 在点 11,m m a f a 处的切线方程为1111m m m yf a x a a ,即 1111ln m m m y a x a a .又此切线交y 轴于点 0,m a ,∴1ln 1,m m a a ∴1ln 1m m a a .(2)当正整数2m 时, 111112ln 12ln 1m m m m m m a a a a a a .ln 1,g x x x 令则 111xg x x x ,当01x 时, 0g x , g x 单调递增,当1x 时, 0g x , g x 单调递减,∴ 10g x g ,则11ln 10m n a a ,即 120m m a a ,∴12m m a a .(3)假设存在正整数3k ,使得12,,,k a a a 依次成等差数列,设其公差为d ,则111ln 12t s t t d a a a a t k 令 ln 1h x x x ,则 11h x x ,当01x 时, 0h x , h x 单调递增,当1x 吋, 0,h x h x 单调递减,∴ max ()12h x h ,即 2h x ,此时2d ,当0x 时, h x ,当x 时, h x ,因此直线y d 与 h x 的图象最多有两个交点,即最多三项成等差数列,(15分)故存在3k ,使得123,,a a a 成等差数列.下面证明3k 时,123,,a a a 成等在数列,即1322a a a .由(1)知,21ln 1a a ,32ln 1a a ,则211e a a ,∴3122e ln 12a a a (16分)记函数 1e ln 12x H x x x ,则 11e 2x H x x,易知 0H x 在 0, 恒成立,∴ H x 在 0, 单调递增.易得 0.10H , 10H , H x 在 0.1,1上有唯一零点2a .故假设成立,存在3k ,使得123,,a a a 成等差数列.。
2021年高考数学真题试题(新高考Ⅱ卷)(Word版+答案+解析)
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2021年高考数学真题试题(新高考Ⅱ卷)(Word版+答案+解析)2021年高考数学真题试卷(新高考Ⅱ卷)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(共8题;共40分)1.复数frac{2- i}{1-3i}$$在复平面内对应的点所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$,$A=\{1,3,6\}$,$B=\{2,3,4\}$,则$A∩(\complement_U B)=()$A。
$\{3\}$ B。
$\{1,6\}$ C。
$\{5,6\}$ D。
$\{1,3\}$3.抛物线 $y^2=2px(p>0)$ 的焦点到直线 $y=x+1$ 的距离为 $\sqrt{2}$,则 $p=$()A。
1 B。
2 C。
$2\sqrt{2}$ D。
44.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。
在卫星导航系统中,地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离)。
将地球看作是一个球心为O,半径$r$ 为6400km的球,其上点A的纬度是指$\angle OAB$ 与赤道平面所成角的度数。
地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 $\alpha$,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为$S=2\pi r^2(1-\cos\alpha)$(单位:$km^2$),则 $S$ 占地球表面积的百分比约为()A。
26% B。
34% C。
42% D。
50%5.正四棱台的上底面和下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为()A。
$20+12\sqrt{3}$ B。
$28\sqrt{2}$ C。
$\frac{28\sqrt{2}}{3}$ D。
$56$6.某物理量的测量结果服从正态分布 $N(10,\sigma^2)$,下列结论中不正确的是()A。
2023年全国新课标I卷高考数学真题及答案(Word版)
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2023年全国新课标I卷高考数学真题及答案本试卷共 4 页,22 小题,满分150 分。
考试用时120 分钟注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答卡上用2 笔试(A)在答卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
作答选择题时,选出每小题等案后,用2B 笔把答卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,符案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准便用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题爷的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题: 本大题共8 小题, 每小题 5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的1. 已知集合, 则A.B.C.D.2. 已知, 则A.B.C. 0D. 13. 已知向量. 若, 则A.B.C.D.4. 设函数在区间单调递减, 则的取值范围是A.B.C.D.5. 设椭圆的离心率分别为. 若,则A.B.C.D.6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为, 则A. 1B.C.D.7. 记为数列的前项和, 设甲: 为等差数列; 乙: 为等差数列, 则A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8. 已知, 则A.B.C.D.二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得0 分9. 有一组样本数据, 其中是最小值, 是最大值, 则A. 的平均数等于的平均数B. 的中位数等于的中位数C. 的标准差不小于的标准差D. 的极差不大于的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视, 用声压级来度量声音的强弱, 定义声压级, 其中常数是听觉下限阑值, 是实际声压. 下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为, 则A.B.C.D.11. 已知函数的定义域为, 则A.B.C. 是偶函数D. 为的极小值点12. 下列物体中, 能够被整体放入核长为1 (単位: ) 的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有A. 直径为的球体B. 所有棱长均为的四面体C. 底面直径为, 高为的圆柱体D. 底面直径为, 高为的圆柱体三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共20 分.13. 某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课, 学生需从这8 门课中选修2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门, 则不同的选课方案共有种(用数字作答).14. 在正四棱台中, , 则该棱台的体积为15. 已知函数在区间有且仅有3 个零点, 则的取值范围是16. 已知双曲线的左、右焦点分别为. 点在上. 点在轴上, , 则的离心率为四、解答题: 本大题共 6 小题, 共70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知在中, .(1) 求;(2)设, 求边上的高.18. 如图, 在正四棱杜中, . 点分别在棱上, , .(1) 证明: ;(2)点在棱上, 当二面角为时, 求.19. 已知函数.(1) 讨论的単调性;(2)证明: 当时, .20. 设等差数列的公差为, 且, 令, 记分别为数列, 的前项和.(1) 若, 求的通项公式;( 2 ) 若为等差数列, 且, 求.21. 甲乙两人投篮, 每次由其中一人投篮, 规则如下: 若命中则此人继续投篮, 若末命中则换为对方投篮. 无论之前投篮情况如何, 甲每次投篮的命中率均为0.6 , 乙每次投篮的命中率均为0.8 , 由抽签决定第一次投篮的人选, 第一次投篮的人是甲, 乙的概率各为0.5 .( 1 ) 求第2 次投篮的人是乙的概率;( 2 ) 求第次投篮的人是甲的概率;( 3 ) 已知: 若随机变量服从两点分布, 且, 则, 记前次(即从第1 次到第次投篮) 中甲投篮的次数为, 求.22. 在直角坐标系中, 点到轴的距离等于点到点的距离, 记动点的轨迹为.(1) 求的方程;( 2 ) 已知矩形有三个顶点在上, 证明: 矩形的周长大于.参考答案(非官方答案仅供参考)1、C2、A3、D4、D5、A6、B7、C8、B9、BD10、ACD11、ABC12、ABD13、6414、15、[2,3)16、。
2024年高考数学真题(新高考Ⅰ卷)含参考答案
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2024年普通高等学校招生全国统一考试(新课标I 卷)数学(包含参考答案)(适用地区:山东、湖北、江苏、浙江、河北、河南、湖南、广东、福建、安徽、江西)本试卷共10页,19小题,满分150分。
注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =-<<=--∣,则A B = ()A.{1,0}-B.{2,3}C.{3,1,0}-- D.{1,0,2}-2.若1i 1zz =+-,则z =()A.1i --B.1i -+C.1i -D.1i+3.已知向量(0,1),(2,)a b x ==,若(4)b b a ⊥-,则x =()A.2- B.1- C.1D.24.已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==,则cos()αβ-=()A.3m- B.3m -C.3m D.3m5.,则圆锥的体积为()A. B. C. D.6.已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩,在R 上单调递增,则a 取值的范围是()A.(,0]-∞ B.[1,0]- C.[1,1]- D.[0,)+∞7.当[0,2]x πÎ时,曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为()A.3B.4C.6D.88.已知函数为()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是()A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f < D.(20)10000f <二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差2s =X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2N x s,则()(若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Z u σ<+≈)A .(2)0.2P X >> B.(2)0.5P X ><C.(2)0.5P Y >> D.(2)0.8P Y ><10.设函数2()(1)(4)f x x x =--,则()A.3x =是()f x 的极小值点B.当01x <<时,()2()f x f x<C.当12x <<时,4(21)0f x -<-< D.当10x -<<时,(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则()A.2a =- B.点在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12F F 、,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ,B两点,若1||13,||10F A AB ==,则C 的离心率为___________.13.若曲线e xy x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a __________.14.甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为_________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c,已知sin C B =,222a b c +-=(1)求B ;(2)若ABC 的面积为3c .16.已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且ABP 的面积为9,求l 的方程.17.如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,2PA AC ==,1,BC AB ==.(1)若AD PB ⊥,证明://AD 平面PBC ;(2)若AD DC ⊥,且二面角A CP D --的正弦值为427,求AD .18.已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =,且()0f x '≥,求a 的最小值;(2)证明:曲线()y f x =是中心对称图形;(3)若()2f x >-当且仅当12x <<,求b 的取值范围.19.设m 为正整数,数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列,若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列.(1)写出所有的(),i j ,16i j ≤<≤,使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列;(2)当3m ≥时,证明:数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列;(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <,记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ,证明:18m P >.参考答案一、选择题(单选):本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的。
2023年高考数学(四川卷)(文科)(word版+答案)全解析
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2023年普通高等学校招生全国统一考试(四川)数 学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到8页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己地姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号。
不能答在试卷卷上。
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24RS π=如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球地半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球地体积公式如果事件A 在一次试验中发生地概率是P,那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次地概率 其中R 表示球地半径kn k kn n P P C k P --=)1()(一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
1、设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4} ,则C U (A ∩B )=(A ){2,3} (B ) {1,4,5} (C ){4,5} (D ){1,5}2、函数1ln(21),()2y x x =+>-地反函数是(A )11()2x y e x R =- ∈ (B )21()x y e x R =- ∈ (C ) 1(1()2xy e x R =- ) ∈ (D )21()xy e x R =- ∈3、 设平面向量(3,5(2,1)a b = ) ,=- ,则2a b -=(A )(7,3) (B )(7,7) (C )(1,7) (D )(1,3)4、(tanx+cotx)cos 2x=(A )tanx (B )sinx (C )cosx (D )cotx 5、不等式2||2x x -<地解集为(A )(-1,2) (B )(-1,1) (C )(-2,1) (D )(-2,2)6、将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到地直线为(A )1133y x =-+ (B )113y x =-+ (C )33y x =- (D )31y x =+7、△ABC 地三个内角A 、B 、C 地对边边长分别是a b c 、、 ,若a =,A=2B,则cosB=(A ) (B (C (D学校 班级 姓名 考号/密///////////封/////////////线/////////////内/////////////不/////////////要/////////////答/////////////题///////8、设M 是球O 地半径OP 地中点,分别过M 、O 作垂直于OP 地平面,截球面得到两个圆,则这两个圆地面积比值为(A )14(B )12(C )23(D )349、定义在R 上地函数()f x 满足:()(2)13,(1)2,f x f x f ∙+==则(99)f =(A )13 (B ) 2 (C )132(D )21310、设直线l α⊂平面,过平面α外一点A 且与l 、α都成30°角地直线有且只有(A )1条 (B )2条 (C )3条 (D )4条11、已知双曲线22:1916x y C -=地左右焦点分别为F 1、F 2 ,P 为C 地右支上一点,且||||212PF F F =,则△PF 1F 2 地面积等于(A )24 (B )36 (C )48 (D )9612、若三棱柱地一个侧面是边长为2地正方形,另外两个侧面都是有一个内角为60°地菱形,则该棱柱地体积为(A(B) (C)(D)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。
高考数学试题及答案(含理科附加题)WORD版
![高考数学试题及答案(含理科附加题)WORD版](https://img.taocdn.com/s3/m/05cfb064ba0d4a7302763ab1.png)
普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学Ⅰ注意事项:考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页, 均为非选择题(第1题-第20题, 共20题)。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题, 必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答, 在其他位置作答一律无效。
5.如需作图, 须用2B 铅笔绘, 写清楚, 线条, 符号等须加黑加粗。
参考公式:样本数据12,,,n x x x L 的方差2211()n i i s x x n ==-∑, 其中11n i i x x n ==∑。
棱锥的体积公式:13V Sh =, 其中S 是锥体的底面积, h 为高。
棱柱的体积公式:V Sh =, 其中S 是柱体的底面积, h 为高。
一、填空题:本大题共14小题, 每小题5分, 共计70分, 请把答案填写在答题卡的相应位置上.........。
1、函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ▲ 。
答案:π2、设2(2)z i =- (i 为虚数单位), 则复数z 的模为 ▲ 。
答案:53、双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ 。
答案:34y x =±4、集合{-1, 0, 1}共有 ▲ 个子集。
答案:85、右图是一个算法的流程图, 则输出的n 的值是 ▲ 。
答案:36、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环), 结果如下:则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。
答案:27、现有某类病毒记作为m n X Y , 其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取, 则,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。
2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析
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2021年高考真题——数学(新高考全国Ⅰ卷)+Word版含解析2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷,共22小题,满分150分,考试用时120分钟。
请考生注意以下事项:1.在答题卡上填写姓名、考生号、考场号和座位号,并用2B铅笔填涂试卷类型(A)。
2.选择题答案用2B铅笔在答题卡上涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后再涂其他答案。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,写在答题卡各题目指定区域内相应位置上,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案,不准使用铅笔和涂改液。
3.考试结束后,请将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合$A=x-2<x<4$,$B=\{2,3,4,5\}$,则$A$为()A。
$\{2\}$。
B。
$\{2,3\}$。
C。
$\varnothing$。
D。
$\{3,4\}$2.已知$z=2-i$,则$z(z+i)$为()A。
$6-2i$。
B。
$4-2i$。
C。
$6+2i$。
D。
$4+2i$3.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为()A。
2.B。
2$\sqrt{2}$。
C。
4.D。
4$\sqrt{2}$4.下列区间中,函数$f(x)=7\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$单调递增的区间是()A。
$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$。
B。
$\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)$。
C。
$\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)$。
D。
$\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)$5.已知$F_1,F_2$是椭圆$C:x^2+y^2=1$的两个焦点,点$M$在$C$上,则$MF_1\cdot MF_2$的最大值为()A。
高考理科数学试题及答案(纯word版)
![高考理科数学试题及答案(纯word版)](https://img.taocdn.com/s3/m/aae34b9d76eeaeaad1f33069.png)
试卷类型:A普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试题共4页, 21小题, 满分150分, 考试用时120分钟。
注意事项:1、答卷前, 考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号, 填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2、选择题每小题选出答案后, 用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。
如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求做大的答案无效。
4、作答选做题时, 请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点, 再做答。
漏涂、错涂、多涂的, 答案无效。
5、考生必须保持答题卡得整洁。
考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:柱体的体积公式 V=Sh 其中S 为柱体的底面积, h 为柱体的高线性回归方程$$y bx a =+$中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。
N 是正整数, 则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+)一、选择题:本大题共8小题, 每小题5分, 满分40分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数z 满足()12i z +=, 其中i 为虚数单位, 则z = A .1i + B. 1i - C. 22i + D.22i -2.已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数, 且}221x y +=, (){,B x y =,x y 为实数, 且}y x =, 则A B ⋂的元素个数为A.0 B.1 C.2 D.3 3. 若向量a, b, c满足a∥b且a⊥b, 则(2)c a b •+=A.4 B.3 C.2 D.04. 设函数()f x 和()g x 分别是R上的偶函数和奇函数, 则下列结论恒成立的是A.()()f x g x +是偶函数B.()()f x g x -是奇函数 C.()()f x g x +是偶函数 D.()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。
2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题(解析版)
![2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题(解析版)](https://img.taocdn.com/s3/m/6921a73803020740be1e650e52ea551810a6c96c.png)
试卷类型:A2023年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷数学本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=()A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1,2 C.{}2- D.2【答案】C 【解析】【分析】方法一:由一元二次不等式的解法求出集合N ,即可根据交集的运算解出.方法二:将集合M 中的元素逐个代入不等式验证,即可解出.【详解】方法一:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--,所以M N ⋂={}2-.故选:C .方法二:因为{}2,1,0,1,2M =--,将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥,只有2-使不等式成立,所以M N ⋂={}2-.2.已知1i22iz -=+,则z z -=()A.i -B.iC.0D.1【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出z ,再由共轭复数的概念得到z ,从而解出.【详解】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-,所以1i 2z =,即i z z -=-.故选:A .3.已知向量()()1,1,1,1a b ==-,若()()a b a b λμ+⊥+ ,则()A.1λμ+=B.1λμ+=-C.1λμ=D.1λμ=-【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算求出a b λ+ ,a b μ+,再根据向量垂直的坐标表示即可求出.【详解】因为()()1,1,1,1a b ==- ,所以()1,1a b λλλ+=+- ,()1,1a b μμμ+=+-,由()()a b a b λμ+⊥+ 可得,()()0a b a b λμ+⋅+=,即()()()()11110λμλμ+++--=,整理得:1λμ=-.故选:D .4.设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是()A.(],2-∞-B.[)2,0-C.(]0,2 D.[)2,+∞【答案】D 【解析】【分析】利用指数型复合函数单调性,判断列式计算作答.【详解】函数2x y =在R 上单调递增,而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减,因此12a ≥,解得2a ≥,所以a 的取值范围是[)2,+∞.5.设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e .若21e =,则=a ()A.3B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据给定的椭圆方程,结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由21e =,得22213e e =,因此2241134a a --=⨯,而1a >,所以3a =.故选:A6.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α,则sin α=()A.1B.154C.104D.64【答案】B 【解析】【分析】方法一:根据切线的性质求切线长,结合倍角公式运算求解;方法二:根据切线的性质求切线长,结合余弦定理运算求解;方法三:根据切线结合点到直线的距离公式可得2810k k ++=,利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一:因为22410x y x +--=,即()2225x y -+=,可得圆心()2,0C ,半径r =,过点()0,2P -作圆C 的切线,切点为,A B ,因为PC ==,则PA ==可得106sin44APC APC ∠==∠=,则10615sin sin 22sin cos 2444APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯⨯=,22226101cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎛∠=∠=∠-∠=-=-< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭,即APB ∠为钝角,所以()15sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α;法二:圆22410x y x +--=的圆心()2,0C,半径r =,过点()0,2P -作圆C 的切线,切点为,A B ,连接AB ,可得PC ==,则PA PB ===,因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠,则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠,即3cos 55cos APB APB -∠=+∠,解得1cos 04APB ∠=-<,即APB ∠为钝角,则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α,且α为锐角,所以sin 4α==;方法三:圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ,半径r =,若切线斜率不存在,则切线方程为0y =,则圆心到切点的距离2d r =>,不合题意;若切线斜率存在,设切线方程为2y kx =-,即20kx y --=,=2810k k ++=,且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ,则12128,1k k k =-=,可得12k k -==所以1212tan 1k k k k -==+α,即sin cos αα=,可得cos =α,则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα,且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin 0α>,解得15sin 4α=.故选:B.7.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列;乙:{}nS n为等差数列,则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义,再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.,【详解】方法1,甲:{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d ,则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+,因此{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件;反之,乙:{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t ,即1(1)n nna S t n n +-=+,则1(1)n n S na t n n +=-⋅+,有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥,两式相减得:1(1)2n n n a na n a tn +=---,即12n n a a t +-=,对1n =也成立,因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件,C 正确.方法2,甲:{}n a 为等差数列,设数列{}n a 的首项1a ,公差为d ,即1(1)2n n n S na d -=+,则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-,因此{}n S n 为等差数列,即甲是乙的充分条件;反之,乙:{}n S n 为等差数列,即11,(1)1n n n S S SD S n D n n n+-==+-+,即1(1)n S nS n n D =+-,11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--,当2n ≥时,上两式相减得:112(1)n n S S S n D --=+-,当1n =时,上式成立,于是12(1)n a a n D =+-,又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数,因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件,所以甲是乙的充要条件.故选:C8.已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==,则()cos 22αβ+=().A.79 B.19C.19-D.79-【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件,利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+,再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=,而1cos sin 6αβ=,因此1sin cos 2αβ=,则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=,所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选:B【点睛】方法点睛:三角函数求值的类型及方法(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时,要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅,其中1x 是最小值,6x 是最大值,则()A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD 【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.【详解】对于选项A :设2345,,,x x x x 的平均数为m ,126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ,则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=,因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系,所以无法判断,m n 的大小,例如:1,2,3,4,5,6,可得 3.5m n ==;例如1,1,1,1,1,7,可得1,2m n ==;例如1,2,2,2,2,2,可得112,6m n ==;故A 错误;对于选项B :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤,可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +,故B 正确;对于选项C :因为1x 是最小值,6x 是最大值,则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性,即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差,例如:2,4,6,8,10,12,则平均数()12468101276n =+++++=,标准差11053s =,4,6,8,10,则平均数()14681074m =+++=,标准差2s =,显然53>,即12s s >;故C 错误;对于选项D :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤,则6152x x x x -≥-,当且仅当1256,x x x x ==时,等号成立,故D 正确;故选:BD.10.噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级20lgp pL p =⨯,其中常数()000p p >是听觉下限阈值,p 是实际声压.下表为不同声源的声压级:声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ,则().A.12p p ≥B.2310p p >C.30100p p =D.12100p p ≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意可知[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=,结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知:[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=,对于选项A :可得1212100220lg 20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯,因为12p p L L ≥,则121220lg0p p p L L p =-⨯≥,即12lg 0pp ≥,所以121p p ≥且12,0p p >,可得12p p ≥,故A 正确;对于选项B :可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯,因为2324010p p p L L L -=-≥,则2320lg10p p ⨯≥,即231lg 2p p ≥,所以23p p ≥且23,0p p >,可得23p ≥,当且仅当250p L =时,等号成立,故B 错误;对于选项C :因为33020lg40p p L p =⨯=,即30lg 2pp =,可得3100p p =,即30100p p =,故C 正确;对于选项D :由选项A 可知:121220lg p p p L L p =-⨯,且12905040p p L L ≤-=-,则1220lg 40p p ⨯≤,即12lg2p p ≤,可得12100pp ≤,且12,0p p >,所以12100p p ≤,故D 正确;故选:ACD.11.已知函数()f x 的定义域为R ,()()()22f xy y f x x fy =+,则().A.()00f =B.()10f =C.()f x 是偶函数 D.0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】【分析】方法一:利用赋值法,结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC ,举反例()0f x =即可排除选项D.方法二:选项ABC 的判断与方法一同,对于D ,可构造特殊函数2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩进行判断即可.【详解】方法一:因为22()()()f xy y f x x f y =+,对于A ,令0x y ==,(0)0(0)0(0)0f f f =+=,故A 正确.对于B ,令1x y ==,(1)1(1)1(1)f f f =+,则(1)0f =,故B 正确.对于C ,令1x y ==-,(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-,则(1)0f -=,令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=,又函数()f x 的定义域为R ,所以()f x 为偶函数,故C 正确,对于D ,不妨令()0f x =,显然符合题设条件,此时()f x 无极值,故D 错误.方法二:因为22()()()f xy y f x x f y =+,对于A ,令0x y ==,(0)0(0)0(0)0f f f =+=,故A 正确.对于B ,令1x y ==,(1)1(1)1(1)f f f =+,则(1)0f =,故B 正确.对于C ,令1x y ==-,(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-,则(1)0f -=,令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=,又函数()f x 的定义域为R ,所以()f x 为偶函数,故C 正确,对于D ,当220x y ≠时,对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22x y ,得到2222()()()f xy f x f y x y x y=+,故可以设2()ln (0)f x x x x =≠,则2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩,当0x >肘,2()ln f x x x =,则()212ln (2ln 1)x x x x xf x x =+⋅=+',令()0f x '<,得120ex -<<;令()0f x ¢>,得12e x ->;故()f x 在120,e -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,因为()f x 为偶函数,所以()f x 在12,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,在12,e -⎛⎫ ⎪⎝∞⎭-上单调递减,显然,此时0x =是()f x 的极大值,故D 错误.故选:ABC .12.下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m )的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A.直径为0.99m 的球体B.所有棱长均为1.4m 的四面体C.底面直径为0.01m ,高为1.8m 的圆柱体D.底面直径为1.2m ,高为0.01m 的圆柱体【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.【详解】对于选项A :因为0.99m 1m <,即球体的直径小于正方体的棱长,所以能够被整体放入正方体内,故A 正确;对于选项B1.4>,所以能够被整体放入正方体内,故B 正确;对于选项C1.8<,所以不能够被整体放入正方体内,故C 正确;对于选项D:因为正方体的体对角线长为,且 1.2>,设正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ,以1AC 为轴对称放置圆柱,设圆柱的底面圆心1O 到正方体的表面的最近的距离为m h ,如图,结合对称性可知:1111111,0.6222OC C A C O OC OO ===-=-,则1111C O h AA C A =,即30.621h -=10.340.012h =->>,所以能够被整体放入正方体内,故D 正确;故选:ABD.【点睛】关键点睛:对于C 、D :以正方体的体对角线为圆柱的轴,结合正方体以及圆柱的性质分析判断.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种(用数字作答).【答案】64【解析】【分析】分类讨论选修2门或3门课,对选修3门,再讨论具体选修课的分配,结合组合数运算求解.【详解】(1)当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有144116C C =种;(2)当从8门课中选修3门,①若体育类选修课1门,则不同的选课方案共有1244C C 24=种;②若体育类选修课2门,则不同的选课方案共有2144C C 24=种;综上所述:不同的选课方案共有16242464++=种.故答案为:64.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中,1112,1,AB A B AA ===,则该棱台的体积为________.【答案】766【解析】【分析】结合图像,依次求得111,,AO AO A M ,从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图,过1A 作1A M AC ⊥,垂足为M ,易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高,因为1112,1,AB A B AA ===则111111111122222A O A C B AO AC ==⨯⨯====故()111222AM AC A C =-=,则162A M ===,所以所求体积为1676(41326V =⨯++⨯=.故答案为:766.15.已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点,则ω的取值范围是________.【答案】[2,3)【解析】【分析】令()0f x =,得cos 1x ω=有3个根,从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为02x π≤≤,所以02x πωω≤≤,令()cos 10f x x ω=-=,则cos 1x ω=有3个根,令t x ω=,则cos 1t =有3个根,其中[0,2π]t ω∈,结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<,故23ω≤<,故答案为:[2,3).16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F .点A 在C 上,点B 在y 轴上,11222,3F A F B F A F B ⊥=- ,则C 的离心率为________.【答案】【解析】【分析】方法一:利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到2211,,,AF BF BF AF 关于,a m 的表达式,从而利用勾股定理求得a m =,进而利用余弦定理得到,a c 的齐次方程,从而得解.方法二:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得00235,3x c y t ==-,224t c =,将点A 代入双曲线C 得到关于,,a b c 的齐次方程,从而得解;【详解】方法一:依题意,设22AF m =,则2113,22BF m BF AF a m ===+,在1Rt ABF 中,2229(22)25m a m m ++=,则(3)()0a m a m +-=,故a m =或3a m=-所以124,2AF a AF a ==,213BF BF a ==,则5AB a =,故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===,所以在12AF F △中,2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯,整理得2259c a =,故355c e a ==.方法二:依题意,得12(,0),(,0)F c F c -,令()00),,(0,A x y B t ,因为2223F A F B =- ,所以()()002,,3x c y c t -=--,则00235,3x c y t ==-,又11F A F B ⊥ ,所以()1182,,33F A F B t c t ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭ 2282033c t =-=,则224t c =,又点A 在C 上,则2222254991c t a b -=,整理得2222254199c t a b -=,则22222516199c c a b-=,所以22222225169c b c a a b -=,即()()2222222225169cca a c a c a --=-,整理得424255090c c a -+=,则()()22225950c a ca --=,解得2259c a =或225c a =,又1e >,所以5e =或55e =(舍去),故5e =.故答案为:5.【点睛】关键点睛:双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于,,a b c 的齐次方程,从而得解.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算17.已知在ABC 中,()3,2sin sin A B C A C B +=-=.(1)求sin A ;(2)设5AB =,求AB 边上的高.【答案】(1)31010(2)6【解析】【分析】(1)根据角的关系及两角和差正弦公式,化简即可得解;(2)利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sin B ,再由正弦定理求出b ,根据等面积法求解即可.【小问1详解】3A B C += ,π3C C ∴-=,即π4C =,又2sin()sin sin()A C B A C -==+,2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+,sin cos 3cos sin A C A C ∴=,sin 3cos A A ∴=,即tan 3A =,所以π02A <<,310sin 10A ∴==.【小问2详解】由(1)知,10cos 10A ==,由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin )210105A C A C =+==,由正弦定理,sin sin c bC B=,可得5522b ⨯==,11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅,310sin 610h b A ∴=⋅==.18.如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,4AB AA ==.点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上,22221,2,3AA BB DD CC ====.(1)证明:2222B C A D ∥;(2)点P 在棱1BB 上,当二面角222P A C D --为150︒时,求2B P .【答案】(1)证明见解析;(2)1【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系,利用向量坐标相等证明;(2)设(0,2,)(04)P λλ≤≤,利用向量法求二面角,建立方程求出λ即可得解.【小问1详解】以C 为坐标原点,1,,CD CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图,则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A ,2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=-,2222B C A D ∴ ∥,又2222B C A D ,不在同一条直线上,2222B C A D ∴∥.【小问2详解】设(0,2,)(04)P λλ≤≤,则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---,设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =,则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ,令2z =,得3,1y x λλ=-=-,(1,3,2)n λλ∴=--,设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =,则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,令1a =,得1,2==b c ,(1,1,2)m ∴=,3cos ,cos1502n m n m n m⋅∴==︒=,化简可得,2430λλ-+=,解得1λ=或3λ=,(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P ,21B P ∴=.19.已知函数()()e xf x a a x =+-.(1)讨论()f x 的单调性;(2)证明:当0a >时,()32ln 2f x a >+.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)先求导,再分类讨论0a ≤与0a >两种情况,结合导数与函数单调性的关系即可得解;(2)方法一:结合(1)中结论,将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题,构造函数()()21ln 02g a a a a =-->,利用导数证得()0g a >即可.方法二:构造函数()e 1xh x x =--,证得e 1x x ≥+,从而得到2()ln 1f x x a a x ≥+++-,进而将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题,由此得证.【小问1详解】因为()()e xf x a a x =+-,定义域为R ,所以()e 1xf x a '=-,当0a ≤时,由于e 0x >,则e 0x a ≤,故()0e 1xf x a -'=<恒成立,所以()f x 在R 上单调递减;当0a >时,令()e 10xf x a '=-=,解得ln x a =-,当ln x a <-时,()0f x '<,则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减;当ln x a >-时,()0f x ¢>,则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增;综上:当0a ≤时,()f x 在R 上单调递减;当0a >时,()f x 在(),ln a -∞-()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.【小问2详解】方法一:由(1)得,()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=,要证3()2ln 2f x a >+,即证2312ln 2ln a a a ++>+,即证21ln 02a a -->恒成立,令()()21ln 02g a a a a =-->,则()21212a g a a a a-'=-=,令()0g a '<,则202a <<;令()0g a '>,则22a >;所以()g a 在20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()2min1ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()0g a >恒成立,所以当0a >时,3()2ln 2f x a >+恒成立,证毕.方法二:令()e 1xh x x =--,则()e 1xh x '=-,由于e x y =在R 上单调递增,所以()e 1xh x '=-在R 上单调递增,又()00e 10h '=-=,所以当0x <时,()0h x '<;当0x >时,()0h x '>;所以()h x 在(),0∞-上单调递减,在()0,∞+上单调递增,故()()00h x h ≥=,则e 1x x ≥+,当且仅当0x =时,等号成立,因为()2ln 22()e e eln 1xx x af x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-,当且仅当ln 0x a +=,即ln x a =-时,等号成立,所以要证3()2ln 2f x a >+,即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+,即证21ln 02a a -->,令()()21ln 02g a a a a =-->,则()21212a g a a a a-'=-=,令()0g a '<,则202a <<;令()0g a '>,则22a >;所以()g a 在20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增,所以()2min2212ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭,则()0g a >恒成立,所以当0a >时,3()2ln 2f x a >+恒成立,证毕.20.设等差数列{}n a 的公差为d ,且1d >.令2n nn nb a +=,记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和.(1)若2133333,21a a a S T =++=,求{}n a 的通项公式;(2)若{}n b 为等差数列,且999999S T -=,求d .【答案】(1)3n a n =(2)5150d =【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可;(2)由{}n b 为等差数列得出1a d =或12a d =,再由等差数列的性质可得50501a b -=,分类讨论即可得解.【小问1详解】21333a a a =+ ,132d a d ∴=+,解得1a d =,32133()6d d S a a =+==∴,又31232612923T b b b d d d d=++=++=,339621S T d d∴+=+=,即22730d d -+=,解得3d =或12d =(舍去),1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.【小问2详解】{}n b 为等差数列,2132b b b ∴=+,即21312212a a a =+,2323111616()d a a a a a ∴-==,即2211320a a d d -+=,解得1a d =或12a d =,1d > ,0n a ∴>,又999999S T -=,由等差数列性质知,5050999999a b -=,即50501a b -=,505025501a a ∴-=,即2505025500a a --=,解得5051a =或5050a =-(舍去)当12a d =时,501495151a a d d =+==,解得1d =,与1d >矛盾,无解;当1a d =时,501495051a a d d =+==,解得5150d =.综上,5150d =.21.甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投籃,若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第i 次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量i X 服从两点分布,且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅,则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑.记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ,求()E Y .【答案】(1)0.6(2)1121653i -⎛⎫⨯+⎪⎝⎭(3)52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】(1)根据全概率公式即可求出;(2)设()i i P A p =,由题意可得10.40.2i i p p +=+,根据数列知识,构造等比数列即可解出;(3)先求出两点分布的期望,再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出.【小问1详解】记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ,“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ,所以,()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.【小问2详解】设()i i P A p =,依题可知,()1i i P B p =-,则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+,即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+,构造等比数列{}i p λ+,设()125i i p p λλ++=+,解得13λ=-,则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,又11111,236p p =-=,所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16,公比为25的等比数列,即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =⋅⋅⋅,所以当*N n ∈时,()122115251263185315nn nn n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ,故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用,后两问的解题关键是根据题意找到递推式,然后根据数列的基本知识求解.22.在直角坐标系xOy 中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离,记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程;(2)已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上,证明:矩形ABCD的周长大于【答案】(1)214y x =+(2)见解析【解析】【分析】(1)设(,)P x y ,根据题意列出方程22212x y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,化简即可;(2)法一:设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且a b c <<,分别令0AB k a b m =+=<,0BC k b c n =+=>,且1mn =-,利用放缩法得112C n n ⎛≥+ ⎝,设函数()221()1f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,利用导数求出其最小值,则得C 的最小值,再排除边界值即可.法二:设直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++,将其与抛物线方程联立,再利用弦长公式和放缩法得AB AD +≥,利用换元法和求导即可求出周长最值,再排除边界值即可.法三:利用平移坐标系法,再设点,利用三角换元再对角度分类讨论,结合基本不等式即可证明.【小问1详解】设(,)P x y ,则y =,两边同平方化简得214y x =+,故21:4W y x =+.【小问2详解】法一:设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<,易知矩形四条边所在直线的斜率均存在,且不为0,则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<-同理令0BC k b c n =+=>,且1mn =-,则1m n=-,设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥,1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+,则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=-+-≥-=+ ⎝.0n >,易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令()0f x '=,解得22x =,当20,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,此时()f x 单调递减,当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎪⎝⎭,()0f x '>,此时()f x 单调递增,则min227()24f x f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭,故13322C ≥=,即C ≥.当C =时,2,2n m ==,且((b a b a -=-,即m n =时等号成立,矛盾,故C >,得证.法二:不妨设,,A B D 在W 上,且BA DA ⊥,依题意可设21,4A a a ⎛⎫+⎪⎝⎭,易知直线BA ,DA 的斜率均存在且不为0,则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-,由对称性,不妨设1k ≤,直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++,则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=,()()222420k ka a k a ∆=--=->,则2k a≠则||2|AB k a =-,同理||2AD a =,||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a ak k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =,则(]0,1m ∈,设32(1)1()33m f m m m m m +==+++,则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=,令()0'=f m ,解得12m =,当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f m '<,此时()f m 单调递减,当1,2m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,()0f m '>,此时()f m 单调递增,则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭,33||||2AB AD ∴+≥,但1|2|2|2|2k a a k a a k ⎫-≥-++⎪⎭,此处取等条件为1k =,与最终取等时22k =不一致,故332AB AD +>.法三:为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''',根据对称性不妨设00t ≥.则1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+,由于A B B C ''''⊥,则()()10201t t t t ++=-.由于1020,A B t B C t ''''=-=-,且0t 介于12,t t 之间,则1020A B B C t t ''''+=-+-.令20tan t t θ+=,10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥②当ππ,42θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<-,从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥,故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==332≥,当且仅当cos 3θ=时等号成立,故332A B B C ''''+>,故矩形周长大于.【点睛】关键点睛:本题的第二个的关键是通过放缩得11||||2C AB BC n n ⎛=+≥+ ⎝,同时为了简便运算,对右边的式子平方后再设新函数求导,最后再排除边。
2023年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅱ)含答案解析
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绝密★启用前2023年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅱ)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。
3.考试结束后,本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷(选择题)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内,(1+3i)(3−i)对应的点位于( ) A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A ={0,−a},B ={1,a −2,2a −2},若A ⊆B ,则a =( ) A. 2B. 1C. 23D. −13.某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有( )A. C 40045⋅C 20015种 B. C 40020⋅C 20040种C. C 40030⋅C 20030种D. C 40040⋅C 20020种4.若f(x)=(x +a)ln 2x−12x+1为偶函数,则a =( )A. −1B. 0C. 12D. 15.已知椭圆C :x23+y 2=1的左焦点和右焦点分别为F 1和F 2,直线y =x +m 与C 交于点A ,B 两点,若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的两倍,则m =( ) A. 23B. √ 23C. −√ 23D. −236.已知函数f(x)=ae x −lnx 在区间(1,2)上单调递增,则a 的最小值为( ) A. e 2B. eC. e −1D. e −27.已知α为锐角,cosα=1+√ 54,则sin α2=( ) A. 3−√ 58B. −1+√ 58C. 3−√ 54D. −1+√ 548.记S n为等比数列{a n}的前n项和,若S4=−5,S6=21S2,则S8=( )A. 120B. 85C. −85D. −120二、多选题:本题共4小题,共20分。
2021年高考试题真题——数学(新高考全国Ⅰ卷) Word版含解析
![2021年高考试题真题——数学(新高考全国Ⅰ卷) Word版含解析](https://img.taocdn.com/s3/m/d298d5521a37f111f0855be5.png)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型(A )填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑:如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}24A x x =-<<,{}2,3,4,5B =,则A B =( )A. {}2B. {}2,3C. {}3,4D.{}2,3,42. 已知2i z =-,则()i z z +=( ) A. 62i -B. 42i -C. 62i +D. 42i +3. ,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )A. 2B. C. 4D. 4. 下列区间中,函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是( ) A. 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭5. 已知1F ,2F 是椭圆C :22194x y +=的两个焦点,点M 在C 上,则12MF MF ⋅的最大值为( ) A. 13B. 12C. 9D. 66. 若tan 2θ=-,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+( )A. 65-B. 25-C.25D.657. 若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线,则( ) A. e b a < B. e a b < C. 0e b a <<D. 0e a b <<8. 有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( ) A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 有一组样本数据1x ,2x ,…,n x ,由这组数据得到新样本数据1y ,2y ,…,n y ,其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数,则( )A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样数据的样本极差相同10. 已知O 为坐标原点,点()1cos ,sin P αα,()2cos ,sin P ββ-,()()()3cos ,sin P αβαβ++,1,0A ,则( )A. 12OP OP =B. 12AP AP =C. 312OA OP OP OP ⋅=⋅ D. 123OA OP OP OP ⋅=⋅ 11. 已知点P 在圆()()225516x y -+-=上,点()4,0A 、()0,2B ,则( ) A. 点P 到直线AB 的距离小于10 B. 点P 到直线AB 的距离大于2 C. 当PBA ∠最小时,PB =D. 当PBA ∠最大时,PB =12.正三棱柱111ABC A B C -中,11AB AA ==,点P 满足1BP BC BB λμ=+,其中[]0,1λ∈,[]0,1μ∈,则( )A. 当1λ=时,1AB P △的周长为定值B. 当1μ=时,三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当12λ=时,有且仅有一个点P ,使得1A P BP ⊥ D. 当12μ=时,有且仅有一个点P ,使得1A B ⊥平面1AB P 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知函数()()322xx xa f x -=⋅-是偶函数,则a =______.14. 已知O 为坐标原点,抛物线C :22y px =(0p >)的焦点为F ,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ OP ⊥,若6FQ =,则C 的准线方程为______.15. 函数()212ln f x x x =--的最小值为______.16. 某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸,对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯,20dm 6dm ⨯两种规格的图形,它们的面积之和21240dm S =,对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯,10dm 6dm ⨯,20dm 3dm ⨯三种规格的图形,它们的面积之和22180dm S =,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______;如果对折n 次,那么1nkk S==∑______2dm .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a 满足11a =,11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =,写出1b ,2b ,并求数列{}n b 的通项公式; (2)求{}n a 的前20项和.18. 某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A ,B 两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B 类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分,己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8,能正确回答B 类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A 类问题,记X 为小明的累计得分,求X 的分布列; (2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.19. 记ABC 是内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2b ac =,点D 在边AC 上,sin sin BD ABC a C ∠=.(1)证明:BD b =;(2)若2AD DC =,求cos ABC ∠.20. 如图,在三棱锥A BCD -中,平面ABD ⊥平面BCD ,AB AD =,O 为BD 的中点.(1)证明:OA CD ⊥;(2)若OCD 是边长为1的等边三角形,点E 在棱AD 上,2DE EA =,且二面角E BC D --的大小为45︒,求三棱锥A BCD -的体积.21. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点()1F 、)2122F MF MF -=,点M的轨迹为C . (1)求C 的方程; (2)设点T 在直线12x =上,过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ,Q 两点,且TA TB TP TQ ⋅=⋅,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.22. 已知函数()()1ln f x x x =-. (1)讨论()f x 的单调性;(2)设a ,b 为两个不相等的正数,且ln ln b a a b a b -=-,证明:112e a b<+<.2021年普通高等学校招生全国统一考试数学 答案解析一、选择题:1. B 解析:由题设有{}2,3A B ⋂=, 故选B . 2. C 解析:因为2z i =-,故2z i =+,故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i +=-+--=+故选C. 3. B 解析:设圆锥的母线长为l ,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长,则2l ππ=,解得l =故选B.4. A 解析:因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭, 对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭,由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈,解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈, 取0k =,可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭, 则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,A 选项满足条件,B 不满足条件; 取1k =,可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭, 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,CD 选项均不满足条件 故选A. 5. C 解析:由题,229,4a b ==,则1226MF MF a +==,所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭(当且仅当123MF MF ==时,等号成立). 故选C . 6. C 解析:将式子进行齐次化处理得:()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++. 故选:C . 7. D 解析:在曲线xy e =上任取一点(),tP t e,对函数xy e=求导得e x y '=,所以,曲线xy e =在点P 处的切线方程为()tty e e x t -=-,即()1tty e x t e =+-,由题意可知,点(),a b 在直线()1tty e x t e =+-上,可得()()11tttb ae t e a t e =+-=+-,令()()1t f t a t e =+-,则()()t f t a t e '=-.当t a <时,()0f t '>,此时函数()f t 单调递增, 当t a >时,()0f t '<,此时函数()f t 单调递减, 所以,()()max af t f a e ==,由题意可知,直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点,则()max ab f t e <=,当1t a <+时,()0f t >,当1t a >+时,()0f t <,作出函数()f t 的图象如下图所示:由图可知,当0a b e <<时,直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点. 故选D.解法二:画出函数曲线xy e =的图象如图所示,根据直观即可判定点(),a b 在曲线下方和x轴上方时才可以作出两条切线.由此可知0a b e <<.故选D. 8. B 解析:11561()()()()6636366P P P P =====甲,乙,丙,丁, ,1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙,甲丁甲丁,1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙,丙丁丁丙,故选B二、选择题:9. CD 解析:()()()()D y D x D c D x =+=,故方差相同,C 正确;由极差的定义知:若第一组的极差为max min x x -,则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-,故极差相同,D 正确;故选CD 10. AC 解析:A 项,1(cos ,sin )OP αα=,2(cos ,sin )OP ββ=-,所以1||cos 1OP ==,2||(cos 1OP ==,故12||||OP OP =,正确;C 项,由题意得:31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+,12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+,正确;故选AC 11. ACD 解析:圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ,半径为4,直线AB 的方程为142x y+=,即240x y +-=,圆心M 到直线AB45==>,所以,点P 到直线AB 的距离的最小值为425-<410<,A 选项正确; 如下图所示:当PBA ∠最大或最小时,PB 与圆M 相切,连接MP 、BM ,可知PM PB ⊥,()()22052534BM =-+-=,4MP =,由勾股定理可得2232BP BM MP =-=,CD 选项正确.故选ACD. 12. BD 解析:易知,点P 在矩形11BCC B 内部(含边界).对于B ,当1μ=时,1111=BP BC BB BB BC λλ=++,故此时P 点轨迹为线段11B C ,而11//B C BC ,11//B C 平面1A BC ,则有P 到平面1A BC 的距离为定值,所以其体积为定值,故B 正确.对于D ,当12μ=时,112BP BC BB λ=+,取1BB ,1CC 中点为,M N .BP BM MN λ=+,所以P 点轨迹为线段MN .设010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为0,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,所以01,22AP y ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,11,122A B ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,所以00311104222y y +-=⇒=-,此时P 与N 重合,故D 正确. 故选BD .三、填空题:13. 答案:1 解析: 因为()()322xx xa f x -=⋅-,故()()322x x f x x a --=-⋅-,因为()f x 为偶函数,故()()f x f x -=, 时()()332222xx x x xa x a --⋅-=-⋅-,整理得到()()12+2=0x x a --,故1a =, 故答案为1 14. 答案:32x =- 解析:抛物线C :22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭, ∵P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直, 所以P 的横坐标为2p,代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p , 因为Q 为x 轴上一点,且PQ OP ⊥,所以Q 在F 的右侧, 又||6FQ =,(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥,所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=,所以C 的准线方程为32x =- 故答案为32x =-. 15. 答案:1 解析:由题设知:()|21|2ln f x x x =--定义域为(0,)+∞, ∴当102x <≤时,()122ln f x x x =--,此时()f x 单调递减; 当112x <≤时,()212ln f x x x =--,有2()20f x x'=-≤,此时()f x 单调递减; 当1x >时,()212ln f x x x =--,有2()20f x x'=->,此时()f x 单调递增; 又()f x 在各分段的界点处连续,∴综上有:01x <≤时,()f x 单调递减,1x >时,()f x 单调递增; ∴()(1)1f x f ≥= 故答案为1. 16.答案: (1). 5 (2). ()41537202n n -+-解析:(1)由对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯,10dm 6dm ⨯,20dm 3dm ⨯三种规格的图形,所以对着三次的结果有:5312561032022⨯⨯⨯⨯,,;,共4种不同规格(单位2dm ); 故对折4次可得到如下规格:5124⨯,562⨯,53⨯,3102⨯,3204⨯,共5种不同规格;(2)由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对着后的图形,不论规格如何,其面积成公比为12的等比数列,首项为120()2dm ,第n 次对折后的图形面积为111202n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭,对于第n 此对折后的图形的规格形状种数,根据(1)的过程和结论,猜想为1n +种(证明从略),故得猜想1120(1)2n n n S -+=,设()0121112011202120312042222nk n k n S S -=+⨯⨯⨯==++++∑,则121112021203120120(1)22222n nn n S -⨯⨯+=++++, 两式作差得:()211201111124012022222n nn S -+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ ()11601120122401212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+-- ()()112011203120360360222n n nn n -++=--=-, 因此,()()4240315372072022n n n n S -++=-=-. 故答案为5;()41537202n n -+-. 四、解答题:17.答案:(1)122,5b b ==;(2)300. 解析:(1)由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+,2122k k a a +=+,*()k N ∈故2223k k a a +=+,即13n n b b +=+,即13n n b b +-= 所以{}n b 为等差数列,故()21331n b n n =+-⨯=-.(2)设{}n a 的前20项和为20S ,则2012320S a a a a =++++,因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-,所以()20241820210S a a a a =++++-()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.18.答案:(1)见解析;(2)B 类. 解析:(1)由题可知,X 的所有可能取值为0,20,100.()010.80.2P X ==-=; ()()200.810.60.32P X ==-=; ()1000.80.60.48P X ==⨯=.所以X 的分布列为(2)由(1)知,()00.2200.321000.4854.4E X =⨯+⨯+⨯=.若小明先回答B 问题,记Y 为小明的累计得分,则Y 的所有可能取值为0,80,100.()010.60.4P Y ==-=; ()()800.610.80.12P Y ==-=; ()1000.80.60.48P X ==⨯=.所以()00.4800.121000.4857.6E Y =⨯+⨯+⨯=. 因为54.457.6<,所以小明应选择先回答B 类问题. 19.答案:(1)证明见解析;(2)7cos 12ABC ∠=.(1)由题设,sin sin a C BD ABC =∠,由正弦定理知:sin sin c b C ABC =∠,即sin sin C cABC b=∠,∴acBD b=,又2b ac =, ∴BD b =,得证.(2)由题意知:2,,33b b BD b AD DC ===, ∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅,同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅, ∵ADB CDB π∠=-∠,∴2222221310994233b bc a b b --=,整理得2221123b a c +=,又2b ac =, ∴42221123b b a a +=,整理得422461130a a b b -+=,解得2213a b =或2232a b =,由余弦定理知:222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==-,当2213a b =时,7cos 16ABC ∠=>不合题意;当2232a b =时,7cos 12ABC ∠=; 综上,7cos 12ABC ∠=.答案:(1)详见解析(2) 36解析:(1)因为AB=AD,O 为BD 中点,所以AO ⊥BD因为平面ABD 平面BCD =BD ,平面ABD ⊥平面BCD ,AO ⊂平面ABD , 因此AO ⊥平面BCD ,因为CD ⊂平面BCD ,所以AO ⊥CD (2)作EF ⊥BD 于F, 作FM ⊥BC 于M,连FM 因为AO ⊥平面BCD ,所以AO ⊥BD, AO ⊥CD所以EF ⊥BD, EF ⊥CD, BD CD D ⋂=,因此EF ⊥平面BCD ,即EF ⊥BC 因为FM ⊥BC ,FMEF F =,所以BC ⊥平面EFM ,即BC ⊥MF则EMF ∠为二面角E-BC-D 的平面角, 4EMF π∠=因为BO OD =,OCD 为正三角形,所以OCD 为直角三角形 因为2BE ED =,1112(1)2233FM BF ∴==+= 从而EF=FM=213AO ∴=AO ⊥平面BCD,所以11131133326BCD V AO S ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=21.答案:(1)()221116y x x -=≥;(2)0. 解析:因为12122MF MF F F -=<=所以,轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支,设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>,则22a =,可得1a =,4b ==,所以,轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥;(2)设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,若过点T 的直线的斜率不存在,此时该直线与曲线C 无公共点,不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭,即1112y k x t k =+-, 联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩,消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t k ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭,设点()11,A x y 、()22,B x y ,则112x >且212x >. 由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-,211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-,所以,()()()()22122121121122112111*********t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭, 设直线PQ 的斜率为2k ,同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-,因为TA TB TP TQ ⋅=⋅,即()()()()22221222121211211616tk t k k k ++++=--,整理可得2212k k =,即()()12120k k k k -+=,显然120k k -≠,故120k k +=. 因此,直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.22.答案:(1)()f x 的递增区间为()0,1,递减区间为()1,+∞;(2)证明见解析. 解析:(1)函数的定义域为()0,∞+, 又()1ln 1ln f x x x '=--=-,当()0,1x ∈时,()0f x '>,当()1,+x ∈∞时,()0f x '<, 故()f x 的递增区间为()0,1,递减区间为()1,+∞.(2)因为ln ln b a a b a b -=-,故()()ln 1ln +1b a a b +=,即ln 1ln +1a b a b+=, 故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 设1211,x x a b==,由(1)可知不妨设1201,1x x <<>. 因为()0,1x ∈时,()()1ln 0f x x x =->,(),x e ∈+∞时,()()1ln 0f x x x =-<, 故21x e <<. 先证:122x x +>,若22x ≥,122x x +>必成立.若22x <, 要证:122x x +>,即证122x x >-,而2021x <-<, 故即证()()122f x f x >-,即证:()()222f x f x >-,其中212x <<. 设()()()2,12g x f x f x x =--<<,则()()()()2ln ln 2g x f x f x x x '''=+-=---()ln 2x x =--⎡⎤⎣⎦, 因为12x <<,故()021x x <-<,故()ln 20x x -->,所以()0g x '>,故()g x 在()1,2为增函数,所以()()10g x g >=, 故()()2f x f x >-,即()()222f x f x >-成立,所以122x x +>成立, 综上,122x x +>成立.设21x tx =,则1t >, 结合ln 1ln +1a b a b+=,1211,x x a b ==可得:()()11221ln 1ln x x x x -=-,即:()111ln 1ln ln x t t x -=--,故11ln ln 1t t tx t --=-,要证:12x x e +<,即证()11t x e +<,即证()1ln 1ln 1t x ++<, 即证:()1ln ln 111t t tt t --++<-,即证:()()1ln 1ln 0t t t t -+-<,令()()()1ln 1ln ,1S t t t t t t =-+->, 则()()112ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+- ⎪++⎝⎭, 先证明一个不等式:()ln 1x x ≤+. 设()()ln 1u x x x =+-,则()1111xu x x x -'=-=++, 当10x -<<时,()0u x '>;当0x >时,()0u x '<,故()u x 在()1,0-上为增函数,在()0,+∞上为减函数,故()()max 00u x u ==, 故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时,112ln 11t t t ⎛⎫+≤< ⎪+⎝⎭,故()0S t '<恒成立, 故()S t 在()1,+∞上为减函数,故()()10S t S <=, 故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立,即12x x e +<成立. 综上所述,112e a b<+<.。
2024年新高考1卷数学真题试卷附详解
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2024年新高考1卷数学真题试卷使用省份:山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江一、选择题:本共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}355A x x =-<<,{}3,1,0,2,3B -=-,则A B =( )A.{}1,0-B.{}2,3C.{}3,1,0--D.{}1,0,2-2.若11zi z =+-,则z =( ) A.1i -- B.1i -+ C.1i - D.1i +3.已知向量()()0,1,2,a b x ==,若()4b b a ⊥-,则x =( ) A.2-B.1-C.1D.24.已知cos()m αβ+=,tan tan 2αβ=,则cos()αβ-=( ) A.3m -B.3m -C.3m D.3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,则圆锥的体积为( )A.B.C.D.6.已知函数22,0,()ln(1),0x x ax a x f x e x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A.(],0-∞B.[]1,0-C.[]1,1-D.[)0,+∞7.当[]0,2x π∈时,曲线sin y x =与2sin(3)6y x π=-的交点个数为( )A.3B.4C.6D.88.已知函数()f x 的定义域为R,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时,()f x x =,则下列结论中一定正确的是( ) A.(10)100f >B.(20)1000f >C.(10)1000f <D.(20)1000f <二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值元 2.1x =,样本方差:20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布2(1.8,0.1)N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布2(,)N X s ,则( )(若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ,则(Z )0.8413P μσ<+≈) A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.810.设函数2()(1)(4)f x x x =--,则( ) A.3x =是()f x 的极小值点 B.当01x <<时,2()()f x f x <C.当12x <<时,4(21)0f x -<-<D.10x -<<时,(2)()f x f x ->11.造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中的曲线C 的一部分,已知C 过坐标原点O ,且C上的点满足横坐标大于2-,到点F(2,0)的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4.则( ) B.点A.2a =-(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点00(,)x y 在C 上时,0042y x ≤+ 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,过2F 作平行于y 轴的直线交C 于,A B 两点,若113,10F A AB ==,则C 的离心率为_________.13.若曲线x y e x =+在点(0,1)处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则a =_________. 14.甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用),则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为__________.四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15.(13分)记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin C B =,222a b c +-=. (1)求B ;(2)若ABC ∆的面积为3,求c .16.(15分)已知(0,3)A 和3(3,)2P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ,且ABP ∆的面积为9,求l 的方程如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,2PA AC ==,1BC =,3AB =. (1)若AD PB ⊥,证明://AD 平面PBC ;(2)若AD DC ⊥,且二面角A CP D --的正弦值为427,求AD .18.(17分) 已知函数3()ln(1)2xf x ax b x x=++--. (1)若0b =,且'()0f x ≥,求a 的最小值; (2)证明:曲线()y f x =是中心对称图形:(3)若()2f x >-当且仅当12x <<,求b 的取值范围.设m 为正整数,数列1242,,,m a a a +是公差不为0的等差数列,若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列1242,,,m a a a +是(,)i j -可分数列(1)写出所有的(,)i j ,16i j ≤<≤,使数列126,,,a a a 是(,)i j -可分数列;(2)当3m ≥时,证明:1242,,,m a a a +是(2,13)-可分数列;(3)从1,2,,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <,记数列1242,,,m a a a +是(,)i j -可分数列的概率为m P ,证明:18m P >.2024年新高考1卷数学真题试卷详细解析使用省份:山东、广东、湖南、湖北、河北、江苏、福建、浙江一、选择题.1.【答案】A2.【答案】C【解析】:(1)(1)(1)(1)z i z i z i =+-=+-+ 所以1iz i =+ 所以11iz i i+==- 故选C. 3.【答案】D【解析】:()24(2,)(2,4)4(4)(2)0b b a x x x x x ⋅-=⋅-=+-=-=所以2x =. 故选D. 4.【答案】A【解析】:由cos()m αβ+=得:cos cos sin sin m αβαβ-= 由tan tan 2αβ=得:sin sin 2cos cos αβαβ= 所以cos cos ,sin sin 2m m αβαβ=-=-所以cos()cos cos sin sin 23m m m αβαβαβ-=+=--=-. 故选A. 5.【答案】B【解析】:设底面半径为r ,圆锥母线长为l .所以1222r r l ππ=⨯⨯,得:l =.所以3r ==.所以213V r h π==. 故选B. 6.【答案】B【解析】:()f x 在R 上单调递增,所以有202(1)(0)(0)a f f --⎧-≥⎪⨯-⎨⎪≤⎩,即202(1)1a a -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤⎩,解得:10a -≤≤. 故选B. 7.【答案】C【解析】:由图像知:共6个交点.故选C. 8.【答案】B【解析】:因为当3x <时,()f x x =,(1)1f ∴=,(2)2f =.考虑斐波那契数列,其前20项分别为:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946. 则(20)1000f >. 故选B. 二、选择题.【答案】BC 【解析】:由题意:2(1.8,0.1)XN ,2(2.1,0.1)YN2=1.8+20.1=+2μσ⨯(>2)=(>+2)<(>+)=10.84130.1587P X P X P X μσμσ∴-=.故A 错误. (>2)<(>1.8)=0.5P X P X ∴.故B 正确. 2=2.10.1=μσ--(>2)>(>2.1)0.5P Y P Y ∴=.故C 正确.(>2)=(>)()0.84130.8P Y P Y P Y μσμσ∴-=<+=>.故D 错误.综上:选BC. 10.【答案】ACD【解析】:'()3(1)(3)f x x x =--.()f x ∴在(),1-∞上,在()1,3上,在()3,+∞上.故A 正确.当01x <<时,201x x <<<,故B 错误.当12x <<时,1213x <-<,所以(3)(21)(1)f f x f <-<,即4(21)0f x -<-<,故C 正确.当10x -<<时,3(2)()2(1)0f x f x x --=-->,故D 正确.综上:选ACD. 11.【答案】ABD【解析】:因为C 过坐标原点O ,所以24a -⨯=,得:2a =-.故A 正确.设曲线上一点任意一点(,)P x y ,则曲线C 的方程为:22(2)(2)4(2)x x y x +-+=>-,得:2224()(2)2y x x =--+.点(22,0)满足方程,故B 正确.取132x =,则216412071494196y =-=>,所以11y >,故C 错误. 222200044()(2)()22y x x x =--≤++,所以0004422y x x ≤=++,故D 正确. 综上:选ABD. 三、填空题. 12.【答案】32【解析】:1213,10,5F A AB AF ==∴=.1212212,21358c F F a AF AF ∴====-=-=36,4,2c c a e a ∴====. 13.【答案】ln 2.【解析】:''(),()1,(0)2,x x f x e x f x e f =+=+∴=∴切线l 的方程为21y x =+.'1()ln(1),()1g x x a g x x =++=+,当12x =-时,'1()22g -=,'11()ln +ln 222g a a -==- 所以切线方程为:1(ln 2)2()2y a x --=+,故ln 20a -=,即:ln 2a =.14.【答案】12【解析】不妨设甲的顺序是1,3,5,7,考虑甲得分为0,1的情况(1)甲得0分情况:只有1种,1,3,5,72,4,6,8⎛⎫⎪⎝⎭(2)甲得1分情况①甲出3的时候得分,此时只有1种1,3,5,74,2,6,8⎛⎫⎪⎝⎭②甲出5的时候得分,此时乙对应有两种情况乙出4的时候有1种情况,乙出2的时候有2种情况,所以共有3种. ③甲出7的时候得分,此时乙对应有3种情况乙出6的时候有1种情况,乙出4的时候有2种情况,乙出2的时候有4种情况,从而共7种情况.所以甲的总得分小于2的概率为11122-=.所以甲的总得分不小于2的概率为44113712A +++=. 四、解答题. 15.【答案】(1)3π(2) 【解析】:(1)2222cos cos 24a b c ab C C C π+-==⇒=⇒=由sin C B =得:1cos 23B B π==⇒= (2)由(1)得:512A B C ππ=--=,==,a b ∴==11sin 322S ab C ∴===+c ∴=16.【答案】(1)12e =(2)1:2l y x =或332y x =- 【解析】:(1)(0,3)A 和3(3,)2P 代入椭圆方程得22220919941a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得:22129a b ⎧=⎨=⎩.12c e a ∴===.(2)如图,设点(0,3)A 到l 的距离为d①当l 斜率不存在时,:3l x = 3(3,),3,32B PB d ∴-== 1933922ABP S ∆=⨯⨯=≠,不满足条件. ②当l 斜率存在时,设3:(3)2l y k x -=- 记11(,)P x y ,22(,)B x y联立223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得:2222(43)(2412)3636270k x k k x k k +--+--= 由韦达定理可得:2122212223124336362743k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩2222743139443k k k PB k ⋅+⋅++∴=+23321k d k +=+ 22223273431391124922431ABP k k k k S PB d k k ∆++++∴=⋅=⋅=++解得:12k =或32k = 1:2l y x ∴=或332y x =- 17.【答案】(1)见解析 (2)3AD =【解析】:(1)证明:PA ⊥底面ABCD ,AD ⊂平面ABCDPA AD ∴⊥,,,AD PB PA PB P PA PB ⊥⋂=⊂平面PABAD ∴⊥平面PABAB ⊂平面PAB ,AD AB ∴⊥在ABC ∆中,222,AB BC AC AB BC +=∴⊥,,,A B C D 四点共面,//AD BC ∴BC ⊂平面PBC ,AD ⊄平面PBC//AD ∴平面PBC(2)如图,延长CB 至点E ,使得EA AC ⊥.以AE 为x 轴,AC 为y 轴,AP 为z 轴建立坐标系.设ACD θ∠=,则22cos (2cos sin ,2cos ,0)AD D θθθθ=⇒-(0,2,0)C ,(0,0,2)P ,则平面ACP 的法向量是1(1,0,0)n =2(0,2,2),(2cos sin ,2cos ,2)PC PD θθθ=-=--则平面PCD 的法向量是2(tan ,1,1)n θ=-则12cos ,n n <>==解得:tan θ=所以cos 2θ=故AD =18.【答案】(1)2- (2)见解析(3)2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】:(1)由题意:()f x 的定义域为(0,2).0b =时,()ln 2xf x axx =+-,'2111122()0()22(2)(1)1f x a a x x x x x x x =++≥⇒≥-+=-=------+要使22(1)1a x ≥---+恒成立,必须max 22()2(1)1a x ≥-=---+所以a 的最小值是2-.(2)()f x 的定义域为(0,2).332()(2)ln ln (2)(1)(1)22x xf x f x ax a x b x b x a x x -+-=+++-+-+-=-.故曲线()f x 关于点(1,)a 对称.(3)由(2)知()f x 关于点(1,)a 对称..()2f x >-当且仅当12x <<.()2f x ∴≤-当且仅当01x <≤.由于()f x 的连续性,(1)2f a ∴==-.3()ln (1)22xf x ax b x x ∴=++->--对(1,2)x ∀∈恒成立.(1)2,f =-又2'222112(1)2()23(1)3(1)(1)32(2)(2)x f x b x b x x b x x x x x x ⎡⎤-=+-+-=+-=-+⎢⎥---⎣⎦'(1)0,f =又''2211()6(1)(2)f x b x x x =-++-- ''(1)0,f =又'''3322()6(2)f x b x x =++- '''(1)46f b =+令'''(1)460f b =+≥,得:23b ≥- 此时4'22222(1)()(1)3(1)20(2)(2)(2)x f x x b x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-+≥--=≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 故()f x 在(1,2)上单调递增所以对(1,2)x ∀∈,()2f x >-恒成立.综上:b 的取值范围是2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 19.【答案】(1)(1,2),(1,6),(5,6) (2)见解析(3)见解析.【解析】:(1)(1,2),(1,6),(5,6)(2)证明:当3m =时,注意到{}{}{}1471036912581114,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a 三组的4个数都能构成等差数列,故3m =时,1242,,,m a a a +是(2,13)-可分数列.当3m >时,前面的3组按照3m =时的分法,即{}{}{}1471036912581114,,,,,,,,,,,a a a a a a a a a a a a ,剩余的部分每4个相邻项分一组,即{}43444546,,,,3,4,,1r r r r a a a a r m ++++=-.综上所述:3m ≥时,1242,,,m a a a +是(2,13)-可分数列. (3),,,p q r s a a a a 成等差,,,p q r s ⇔成等差.故1242,,,m a a a +是(,)i j -可分数列1,2,,42m ⇔+是(,)i j -可分数列.①情形一:1,2,,42m +是(41,42),0k r k r m ++≤≤≤可分数列. 具体构造:前1,2,,4k 项每4个相邻项分一组(0k =时不存在该组),中间42,,41k r ++每4个相邻项分一组(k r =时不存在该组),后面43,,42r m ++每4个相邻项分一组(r m =时不存在该组).此种分组显然满足题意.此时共211(1)(1)(2)2m C m m m +++=++种. ②情形二:1,2,,42m +是(42,41),0k r k r m ++≤<≤,且2r k -≥是可分数列. 记2q r k =-≥具体构造:前1,2,,4k 项每4个相邻项分一组(0k =时不存在该组),后面4 3.44,,42r r m +++每4个相邻项分一组(r m =时不存在该组).中间41,43,44,,41,4,42k k k r r r +++-+共4()4r k q -=项.要说明41,43,44,,41,4,42k k k r r r +++-+可分为q 组,只需考虑1,3,4,,41,4,42q q q -+是可分的.将1,3,4,,41,4,42q q q -+ 分为{}1,1,21,13q q q +++,{}3,3,23,33q q q +++{}4,4,24,34q q q +++ {}5,5,25,35q q q +++,{},,2,3,4q q q q {},2,22,32,42q q q q ++++共q 组,且满足条件. 此时的(42,41)k r ++的数目等于 (,)(,),2k r k k p p =+≥的数目. 此时共211(1)2m C m m m +-=-种. 故22224211(1)(2)(1)11122(21)(41)8618m m m m m m m m m m P C m m m m ++++-++++≥==>++++.。
2020年山东高考数学试卷(word版+详细解析版)
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2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考全国一卷(山东卷)数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{|13}A x x =≤≤,{|24}B x x =<<,则A B =A .{|23}x x <≤B .{|23}x x ≤≤C .{|14}x x ≤<D .{|14}x x <<答案:C解析:利用并集的定义可得{|14}AB x x =≤<,故选C.2.2i 12i -=+ A .1 B .−1C .iD .−i答案:D 解析:222i (2i)(12i)(22)(41)i i 12i 125----+--===-++,故选D3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有A .120种B .90种C .60种D .30种答案:C解析:不同的安排方法有123653C C C 60⋅⋅=4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O ),地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角,点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A 处的纬度为北纬40°,则晷针与点A 处的水平面所成角为A .20°B .40°C .50°D .90°答案:B解析:因为晷面与赤道所在平面平行,晷针垂直晷面,所以晷针垂直赤道所在平面,如图所示,设AB 表示晷针所在直线,且AB OB ⊥,AC 为AB 在点A 处的水平面上的射影,则晷针与点A 处的水平面所成角为BAC ∠,因为OA AC ⊥,AB OB ⊥,所以BAC AOB ∠=∠,由已知40AOB ∠=︒,所以40BAC ∠=︒,故选BCBO赤道A5.某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A .62%B .56%C .46%D .42%答案:C解析:既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例=60%+82%-96%=46%,故选C6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A .1.2天B .1.8天C .2.5天D .3.5天答案:B 解析:设从1t 到2t 累计感染数增加1倍,即21()2()I t I t =,因为(e )rt I t =,所以21e 2ert rt =,所以21()e 2r t t -=,所以21()ln 2r t t -=.因为R 0 =1+rT ,所以01R r T-=,所以210ln 2ln 260.69 1.81 2.28T t t r R ⨯-==≈≈- 7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP AB ⋅的取值范围是A .()2,6-B .()6,2-C .()2,4-D .()4,6-答案:A解析:如图,过P 作PG AB ⊥,G 为垂足,则()||||cos ,AP AB AG GP AB AG AB AG AB AG AB ⋅=+⋅=⋅=⋅〈〉,当G 点落在AB 的反向延长线上时,cos ,1AG AB 〈〉=-,这时0||||cos 60AG AF <<︒,即0||1AG <<,所以这时20AP AB -<⋅<;当G 点落在AB 上或AB 的延长线上时,cos ,1AG AB 〈〉=,这时0||||cos 60AG AB BC ≤<+︒,即0||3AG ≤<,所以06AP AB ≤⋅<.综上所述,AP AB ⋅的取值范围是()2,6-,故选A。
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普通高校单招文化统考
数 学 试卷
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1. 本试卷共4页, 包含选择题(第1题~第10题, 共10题)、非选择题(第11题~第23题, 共13题)。
本卷满分为150分, 考试时间为120分钟。
考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回。
2. 答题前, 请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与您本人是否相符。
4. 作答选择题(第1题~第10题), 必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动, 请用橡皮擦干净后, 再选择其它答案。
作答非选择题, 必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答, 在其他位置作答一律无效。
5. 如需作图, 须用2B 铅笔绘、写清楚。
一、单项选择题(本大题共10小题, 每小题4分, 共40分.在下列每小题中,
选出一个正确答案, 将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑) 1. 已知集合M ={1,3,5}, N ={2,3,4,5},则M ∩ N 等于 A.{3} B.{5} C.{3,5} D.{1,2,3,4,5} 2. 若复数z 满足z ·i =1+2i , 则z 的虚部为 A.2 B.1 C.-2 D.-1 3. 已知数组a =(2, -1, 0), b =(1, -1, 6), 则a ·b 等于 A.-2 B.1 C.3 D.6 4. 二进制数(10010011)2换算成十进制数的结果是 A.(138)10 B.(147)10 C.(150)10 D.(162)10 5. 已知圆锥的底面直径与高都是2, 则该圆锥的侧面积为 A.π4
B.π22
C.π5
D.π3
6. 6
212⎪
⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中的常数项等于
A.83
B.1615
C.25
D.3215
7. 若532
πsin =
⎪⎭⎫ ⎝⎛+α, 则α2 cos 等于 A.257
-
B.257
C.2518
D.2518-
8. 已知双曲线的焦点在y 轴上, 且两条渐近线方程为
x
y 23±
=, 则该双曲线的离心率为
A.313
B.213
C.25
D.35
9. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数, 对于任意x ∈R , 都有f (x +3)=f (x ), 当0<x ≤23
时, f (x )=
x , 则f (-7)等于
A.-1
B.2-
C.2
D.1
10. 已知
(m,n )是直线x +2y -4=0上的动点, 则3m +9n 的最小值是 A.9 B.18 C.36 D.81 二、填空题(本大题共5小题, 每小题4分, 共20分)
11. 题11图是一个程序框图, 若输入m 的值是21, 则输出的m 值是 .
题11图
12.题12图是某项工程的网络图(单位:天), 则完成该工程的最短总工期天数是 .
题12图
13.已知9a =3, 则
αx
y cos =的周期是 .
14.已知点M 是抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点, F 为C 的焦点, 线段MF 的中点坐标是(2, 2),
则p = .
15.已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨
⎧,2,log 2x x
, 令g (x )=f (x )+x +a .若关于x 的方程g (x )=2有两个实根,
则实数a 的取指范围是 . 三、解答题(本大题共8小题, 共90分)
16.(8分)若关于x 的不等式x 2-4ax +4a >0在R 上恒成立. (1)求实数a 的取值范围; (2)解关于x 的不等式
16
log 2log 23a x a <-.
17.(10分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时, f (x )=log 2(x +2)+(a -1)x +b , 且
f (2)=-1.令a n =f (n -3)(n ∈N *). (1)求a , b 的值; (2)求a 1+a 5+a 9的值.
18.(12分)已知曲线C :x 2+y 2+mx +ny +1=0, 其中m 是从集合M ={-2, 0}中任取的一个数,
n 是从集合N ={-1, 1, 4}中任取的一个数. (1)求“曲线C 表示圆”的概率;
(2)若m =-2, n =4, 在此曲线C 上随机取一点Q (x , y ), 求“点Q 位于第三象限”的概率.
x ≤0 x >0
19.(12分)设△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c , 已知2sin B cos C -sin C =2sin A .
(1)求角B 的大小; (2)若b =23, a +c =4, 求△ABC 的面积.
20.(10分)通过市场调查知,
某商品在过去的90天内的销售量和价格均为时间t (单位:天,
t ∈N *)的函数,
其中日销售量近似地满足
q (t )=36-41
t (1≤t ≤90), 价格满足 P (t )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-,t ,t 2841
5221
, 求该商品的日销售额f (x )的最大值与最小值.
21.(14分)已知数列{a n }的前n 项和n n S n 21232-=
数列{b n }是各项均为正数的等比数列,
且a 1=b 1, a 6=b 5.
(1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{
2
n b }的前n 项和T n ;
(3)求34
334332211
11·1a a a a a a a a ⋅++⋅+⋅+ 的值.
1≤t ≤40 41≤t ≤90
22.(10分)某房产开发商年初计划开展住宅和商铺出租业务.每套住宅的平均面积为80平方米,
每套商铺的平均面积为60平方米,出租住宅每平方米的年利润是30元,出租商铺每平方米的年利润是50元,
政策规定:出租商铺的面积不能超过出租住宅的面积,
且出租的总面积不能超过48000平方米.若当年住宅和商铺的最大需求量分别为450套和6 00套,且开发的住宅和商铺全部租空,问房产开发商出租住宅和商铺各多少套,可使年利润最大?并求最大年利润.
23.(14分)已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与椭圆C:
()0
1
2
2
2
2
>
>
=
+b
a
b
y
a
x
相交于点M(0,
1),N(0, -1),且椭圆的一条准线方程为x=-2.
(1)求r的值和椭圆C的方程;
(2)过点M的直线l另交圆O和椭圆C分别于A,B两点.
①若10
7=,求直线l的方程;
②设直线NA的斜率为k1,直线NB的斜率为k2,求证:k1=2k2 .
题23图
2019年江苏省普通高校对口单独招生数学参考答案。