第88讲 含有条件概率的随机变量问题

第88讲 含有条件概率的随机变量问题

一、基础知识：

1、条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件概率，记为|B A

2、条件概率的计算方法：

（1）按照条件概率的计算公式：()()()

|P AB P B A P A =

（2）考虑事件A 发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B 在这种情况下的概率 例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率：

按照（1）的方法：设事件A 为“甲没中奖”，事件B 为“乙中奖”，则所求事件为|B A ，按照公式，分别计算()(),P AB P A ，利用古典概型可得：()2

541

5

P AB A =

=，()45P A =，所以()()

()1

|4

P AB P B A P A =

=

按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖。那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为

1

4

3、含条件概率的乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅ ，此时()|P B A 通常用方案（2）进行计算

4、处理此类问题要注意以下几点：

（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）

（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别

（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决。 二、典型例题：

例1：袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到的球

的编号为2，则把该球编号记下再把编号数改为1后放回袋中继续取球；若取到的球的编号为奇数，则取球停止，取球停止后用X 表示“所有被取球的编号之和” （1）求X 的分布列 （2）求X 的数学期望及方差

思路：（1）依题意可知如果取球取出的是1,3，则取球停止，此时X 的值为1或3；当取球取出的是2号球时，按照规则要改为1号球放进去重取，再取时只能取到1或3，所有编号之和X 的值为3,5，所以可知X 可取的值为1,3,5，当1X =时，意味着直接取到了1号球

（概率为

13）；当3X =时，分为两种情况，一种为直接取到3（概率为1

3），另一种为取到了2（概率为13），改完数字后再取到1（概率为2

3

）；当5X =时，为取到了2（概率为13），

改完数字后再取到3（概率为1

3

），从而可计算出概率。进而得到分布列与期望方差

解：（1）X 可取的值为1,3,5

()113P X ∴==

()1125

33339P X ==+⋅= ()111

5339

P X ==⋅=

X ∴的分布列为：

（2）1353999

EX =⨯

+⨯+⨯= 2

2

2

123523123176

135********

DX ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 例2：深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球)．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．

（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．

（1）思路：第一次训练时所取得球是从6个球（3新，3旧）中不放回取出2个球，所以可

判断出ξ服从超几何分布，即可利用其公式计算概率与分布列，并求得期望 解：ξ可取的值为0,1,2

()2326105C P C ξ=== ()11

332

63

15

C C P C ξ⋅=== ()23261

25

C P C ξ===

ξ∴的分布列为：

0121555

E ξ∴=⨯+⨯+⨯=

（2）思路：本题要注意一个常识，即新球训练过后就变成了旧球，所以要计算第二次恰好取到一个新球的概率，需要了解经过第一次训练后，所剩的球有几个新球，几个旧球。所以要对第一次取球的情况进行分类讨论：若第一次取2个新球，则第二次训练时有5旧1新；若第一次取到1个新球，则第二次训练时有4旧2新；若第一次取到2个旧球，则第二次训练依然为3旧3新，分别计算概率再相加即可

解：设事件i A 为“第一次训练取出了i 个新球”，则()233

2

6

i i i C C P A C -= 设事件B 为“从六个球取出两个球，其中恰好有一个新球” 事件C 为“第二次恰好取出一个新球”

()()()()012P C P A B P AB P A B ∴=++

()()()211

33300022

663

|25C C C P A B P A P B A C C ⋅=⋅=⋅= ()()()1111334211122

668

|25C C C C P A B P A P B A C C ⋅=⋅=⋅= ()()()213522222661

|15

C C P A B P A P B A C C =⋅=⋅=

()()()()0123875

P C P A B P A B P A B ∴=++=

例3：若盒中装有同一型号的灯泡共10个，其中有8个合格品，2个次品

（1）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率

（2）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数X 的分布列和数学期望

（1）思路：每次有放回的取灯泡，相当于做了3次独立重复试验，每次试验中取到合格品的概率为

4

5

，取到次品的概率为15，在3次试验中2次取到次品，1次取得合格品，所以考

虑利用公式求解取到次品的概率 解：设事件A 为“2次取到次品”

()2

23

1412

55125

P A C ⎛⎫

⎛⎫∴=⋅=

⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭ （2）思路：因为只有2个次品，所以最多用掉3个灯泡，X 可取的值为1,2,3，1X =时，

意味着取到的是合格品，概率为4

5

，2X =是取到一个次品（概率为15）之后在9个灯泡

中取到一个合格品（概率为89），3X =是连续取到2个次品（概率为11

59

⋅），之后一定拿

到合格品，分别计算概率即可 解：X 可取的值为1,2,3

()415P X ∴==

()18825945P X ==⋅= ()111

35945

P X ==⋅= X ∴的分布列为：

123545459

EX ∴=⨯

+⨯+⨯= 例4：一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．