高一数学必修一苏教版
苏教版高中数学必修一教案
苏教版高中数学必修一教案通过函数单调性的证明,提高同学在代数方面的推理论证力量;通过函数奇偶性概念的形成过程,培育同学的观看,归纳,抽象的力量,一起看看苏教版高中数学必修一教案!欢迎查阅!苏教版高中数学必修一教案1教学目标1.了解函数的单调性和奇偶性的概念,把握有关证明和推断的基本方法.(1)了解并区分增函数,减函数,单调性,单调区间,奇函数,偶函数等概念.(2)能从数和形两个角度熟悉单调性和奇偶性.(3)能借助图象推断一些函数的单调性,能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义推断某些函数的奇偶性,并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.2.通过函数单调性的证明,提高同学在代数方面的推理论证力量;通过函数奇偶性概念的形成过程,培育同学的观看,归纳,抽象的力量,同时渗透数形结合,从特别到一般的数学思想.3.通过对函数单调性和奇偶性的理论讨论,增同学对数学美的体验,培育乐于求索的精神,形成科学,严谨的讨论态度.教学建议一、学问结构(1)函数单调性的概念。
包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.(2)函数奇偶性的概念。
包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.二、重点难点分析(1)本节教学的重点是函数的单调性,奇偶性概念的形成与熟悉.教学的难点是领悟函数单调性, 奇偶性的本质,把握单调性的证明.(2)函数的单调性这一性质同学在学校所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观看图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用精确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的同学来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是同学在函数内容中首次接触到的代数论证内容,同学在代数论证推理方面的力量是比较弱的,很多同学甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.三、教法建议(1)函数单调性概念引入时,可以先从同学熟识的一次函数,,二次函数.反比例函数图象动身,回忆图象的增减性,从这点感性熟悉动身,通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度,也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释,引导同学发觉自变量与函数值的的变化规律,再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间,任意,都有)的理解与必要性的熟悉就可以融入其中,将概念的形成与熟悉结合起来.(2)函数单调性证明的步骤是严格规定的,要让同学根据步骤去做,就必需让他们明确每一步的必要性,每一步的目的,特殊是在第三步变形时,让同学明确变换的目标,到什么程度就可以断号,在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准,以便关心同学总结规律.函数的奇偶性概念引入时,可设计一个课件,以的图象为例,让自变量互为相反数,观看对应的函数值的变化规律,先从详细数值开头,渐渐让在数轴上动起来,观看任意性,再让同学把看到的用数学表达式写出来.经受了这样的过程,再得到等式时,就比较简单体会它代表的是很多多个等式,是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题,也可借助课件将函数图象进行多次改动,关心同学发觉定义域的对称性,同时还可以借助图象(如)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.苏教版高中数学必修一教案2教学目标：把握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简洁的求值、化简、恒等证明;引导同学发觉数学规律，让同学体会化归这一基本数学思想在发觉中所起的作用，培育同学的创新意识.教学重点：二倍角公式的推导及简洁应用.教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.教学过程：Ⅰ.课题导入前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今日，我们连续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以相互化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ当α=β时，sin(α+β)=sin2α=2sinαcosα即：sin2α=2sinαcosα(S2α)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ当α=β时cos(α+β)=cos2α=cos2α-sin2α即：cos2α=cos2α-sin2α(C2α)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ当α=β时，tan2α=2tanα1-tan2αⅠ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α+cos2α=1，公式C2α还可以变形为：cos2α=2cos2α-1或：cos2α=1-2sin2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要留意如下几点：(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角;但公式T2α只有当α≠π2 +kπ及α≠π4 +kπ2 (kⅠZ)时才成立，否则不成立(由于当α=π2 +kπ，kⅠZ 时，tanα的值不存在;当α=π4 +kπ2 ，kⅠZ时tan2α的值不存在).当α=π2 +kπ(kⅠZ)时,虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α=tan2(π2 +kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0(2)在一般状况下，sin2α≠2sinα例如：sinπ3 =32≠2sinπ6 =1;只有在一些特别的状况下，才有可能成立[当且仅当α=kπ(kⅠZ)时，sin2α=2sinα=0成立].同样在一般状况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的状况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为α2 的2倍，将α2 作为α4 的2倍，将3α作为3α2 的2倍等等.苏教版高中数学必修一教案3一、教材的地位和作用本节课是“空间几何体的三视图和直观图”的第一课时，主要内容是投影和三视图，这部分学问是立体几何的基础之一，一方面它是对上一节空间几何体结构特征的再一次强化，画出空间几何体的三视图并能将三视图还原为直观图,是建立空间概念的基础和训练同学几何直观力量的有效手段。
苏教版数学高一苏教版必修1教案1.1集合的含义与表示
模块纵览课程目标通过集合的教学，使学生学会使用基本的集合语言描述有关的数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力；使学生初步感受到运用集合语言描述数学对象时的简洁性和准确性通过函数概念与基本初等函数Ⅰ的教学，使学生理解函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型；使学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步学会运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题；培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流的能力.学习要求本模块是高中数学的起点.本模块的内容包括：集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数及幂函数).主要要求如下:1.了解集合的含义，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.理解两个集合的并集与交集的含义；会求两个简单集合的并集与交集.会用Venn 图表示集合的关系及运算.2.理解函数与映射的概念；会求一些简单函数的定义域和值域；理解函数的三种表示方法(图象法、列表法、解析法)，会选择恰当的方法表示简单情境中的函数；理解函数的单调性、奇偶性，会判断一些简单函数的单调性、奇偶性；理解函数最大(小)值的概念及其几何意义；会画函数的图象，并运用函数图象理解和研究函数的性质.3.理解有理数指数幂的含义；理解对数的概念及其运算性质；理解指数函数、对数函数的概念、意义和性质，会画指数函数、对数函数的图象.了解指数函数、对数函数模型的实际案例，会用指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题.了解幂函数的概念；结合函数y＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y=x1,y=x 21的图象，了解幂函数的图象变化情况. 4.了解二次函数的零点与相应的一元二次方程的根的联系.了解用二分法求方程近似解的过程，能借助计算器求形如x 3+ax+b=0,a x +bx+c=0,lgx+bx+c=0的方程的近似解.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义，并能进行简单的应用.教学建议1.关于集合的教学，应注意以下问题：集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有的数学知识，通过列举丰富的实例，使学生理解集合的含义.学习集合语言最好的方法是使用.在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，使学生在实际运用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点，能进行三种语言之间的相互转换，并掌握集合语言.对集合的相等关系、包含关系不要求证明，只要求能判断两个简单集合的相等关系、包含关系.2.关于函数与基本的初等函数(Ⅰ)的教学，应注意以下问题：要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质.函数概念的引入应通过具体实例，让学生体会非空数集之间的一种特殊的对应关系(即函数)，函数概念需要多次接触，反复体会，螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用.在教学中，应强调对函数概念本质的理解，要结合y=x 2,y=x 3,y=|x|,y=x1等函数，了解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能判断一些简单函数的奇偶性(对一般函数的奇偶性，不要作深入讨论).在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，引入有理数指数幂及其运算性质，以及实数指数幂的意义及其运算性质，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，可以让学生利用计算器(机)进行实际操作，感受“逼近”的过程.反函数的教学中，只要求通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数y ＝a x 和对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a≠1).不要求讨论一般形式的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数.方程实根分布问题，仅限于掌握：①利用一元二次方程根的判别式判别根的个数；②借助图象了解：若f(x)＝ax 2+bx+c ，且f(p)f(q)＜0(p ＜q)，则方程f(x)＝0必有一根x 0∈(p ，q).用二分法求方程的近似解，关键是结合具体例子感受过程与方法.本方法限于用计算器求三类方程：x 3+ax+b=0,a x +bx+c=0,lgx+bx+c=0的近似解.应注意鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题.例如，利用计算器(机)画出指数函数、对数函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等. 在本章教学中，应引导学生阅读有关资料，了解对数的发现历史，了解函数概念的形成、发展及应用.第1章 集合本章概述一、课标要求本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.4.能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集，培养学生从具体到抽象的思维能力.6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.二、本章编写意图与教学建议1.教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而发展其运用数学语言进行交流的能力.教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.培养学生的抽象概括能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2.教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn 图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念.教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用.3.教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，这一观点，一直贯穿到以后的数学学习中.4.在例题和习题的编排中，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广泛运用，这是学生在初中阶段所缺少的.在教学中，一定要循序渐进，从繁到难，逐步渗透这方面的训练.三、教学内容及课时安排建议1.1集合的含义及其表示整体设计教材分析本节课是学生进入高中的第一节课，教材试图通过清新的风格、流畅的语言，讲述一个乏味的枯燥的理论—集合理论,从而树立学生学习数学的信心，所以在讲授这节课的时候，多通过一些实际的例子，让学生感受集合这一原始的概念，从集合的确定性、互异性、无序性去识别哪些可以组成集合,慢慢地带领学生进入数学语言的王国.通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演.讲授时，可通过数学史，让我们的学生更深入地去了解数学和为数学而献身的数学家，体现数学的人文教育的功能.在教学中不要过分强调细枝末节的讲解和训练，避免人为地编制一些繁难的偏题.三维目标1.通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.2.知道常用数集及其专用记号.3.了解集合中元素的确定性、互异性、无序性.4.会用集合语言表示有关数学对象.5.让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.重点难点教学重点：集合的含义与表示方法.教学难点：集合表示法的恰当选择.课时安排1课时教学过程导入新课设计思路一(情境导入)情境1.在充满诱惑的非洲大草原上一群大象正缓步走来;蓝蓝的天空中有一群鸟在欢快地飞翔;清清的湖水里，一群鱼儿在自由而欢快地畅游.以上描述中的“一群象”“一群鸟”“一群鱼”等概念有什么共同特征？答：它们都是可以识别的、确定的一个群体.情境2.军训刚结束不久，大家还记忆犹新，在军训前大家接到一个通知，大致内容是：8月20日8点，高一年级在体育馆集合，进行军训动员.试问在这个通知里的对象是高一学生还是个别的学生？答：是高一的学生.设计思路二(问题导入)问题：就有关A、B两事，向50位同学调查赞成与否，赞成A的人数是全体的五分之三，其余不赞成；赞成B的人数比赞成A的人数多3人，其余不赞成，另外对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多一人.试问在对A、B两事上，就上面的论述知道有几个群体？你能算出问题中的每个群体的人数吗？答：问题中分为：赞成A，赞成B，A、B都赞成，A、B都不赞成四个群体.赞成A有30人，赞成B有33人，A、B都赞成有21人，A、B都不赞成有8人.推进新课新知探究1.集合论的创始者康托尔曾说过：“集合是我们直觉或思维的并且是确定的彼此可以识别的对象的一个群体.”显然这仅是给出一个描述性的说明.集合的概念是数学中不定义的原始的概念.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合的元素一般具有下列特点和性质：确定性：对于一个已知的集合，它的元素是确定的.所谓的确定性就是：任何一个事物a 或者是A的元素.或者不是A的元素，二者必具其一，即a∈A与a A有且只有一个成立.这是证明集合之间关系特别是相等关系时，经常使用的重要依据.确定性是集合概念的根本特征,其实质是明确可以区分的，不容许有含糊不清、模棱两可的情形，例如，较小的数就不能构成一个集合，因为“较小的数”含义模糊.但确定性并不要求有a∈A的具体判定方法，例如，A={超越数}，A作为全体超越数的集合是明确的，但直到现在人们还无法判定π+e是否属于A，尽管如此π+e属于A与不属于A二者必具其一，没有第三种可能，这是确定无疑的，此即集合确定性含义.互异性：一个集合中的所含元素不允许重复，确切地说，集合中的相同元素不能算作不同元素，而必须作为同一个元素看待，由此可知，在没有定义“元素相同”之前，元素互异句缺少逻辑基础，并且定义元素的相同又是确定性的必要补充.无序性：集合中的元素可以任意变动次序.此外，集合中元素的个数也没有限制，既可以是有限多个，又可以是无限多个，个数是有限多个是既可以知其确切数，又可以暂不知其确切数，如集合D={不超过10100的素数}.2.非负整数集内排除0的集，表示成N*或N+.3.集合的常用表示方法：列举法：将集合中的元素一一列举出来，并用大括号括起来.比如用列举法表示“中国古代的四大发明”构成的集合.可表示为{指南针，黑火药，印刷术，造纸术}描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内的方法，它的一般形式是{x|p(x)}.图示法(韦恩图法):画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合.记忆技巧:对数集的符号记忆可以联系其英文单词记忆.应用示例思路1例1 一条直线可看作由___________组成的集合；一个平面可看作由___________组成的集合；一个圆可看作由___________组成的集合.分析：本题考查的是集合与元素的概念，以及集合与元素的关系.解：无数个点；无数条直线；无数个点.例2 考察下列每组对象是否能构成一个集合.(1)所有的好人；(2)不超过20的非负数；(3)我们班16周岁以下的学生；(4)高个子的人；(5)充分接近2的实数.解：(2)、(3)能构成集合；(1)、(4)、(5)不能构成集合.点评：数学的解题不是孤立的，它要求我们前后的知识要能联系在一起，抓住集合概念的基本特征，这类问题就很容易了.例3 满足0≤x≤1的实数能否构成一个集合，为什么？分析：依靠集合的特征说话，我们会发现任意一个实数，它要么满足不等式，要么不满足不等式.解：能构成集合，因为它满足集合的三个性质.点评：本题考查了对无限集合的判定，加强对集合的概念的理解.例4 已知集合M={a ，b ，c}中的三个元素可构成某一三角形的三边长，那么此三角形一定不是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 分析：本题主要考查了集合的互异性.答案：D点评：本题从三角形的角度将集合的互异性隐藏在题中，增加了解题难度.例5 (1)用自然语言描述集合{1，3，5，7，9}；(2)用列举法表示集合A={x ∈N |1≤x ＜8}；(3)试选择适当的方法表示集合：不等式x 2+2＜0的解集.分析：这是一组对集合语言的运用，形成互相的翻译，这也是我们今后学习的方向，用数学的语言来诠释世界.解：(1){大于0而小于10的奇数}；(2){1，2，3，4，5，6，7}；(3)∅.点评：在选择适当的方法表示集合时，要注意其可行性和表示问题的简洁性.思路2例1 求不等式2x-3＞5的解集.分析：这是一个无限集，所以选用描述法表示.解：由2x-3＞5得x ＞4，所以2x-3＞5的解集为{x|x ＞4}.例2 如何表示方程组⎩⎨⎧=-=+0,1y x y x 的解集呢？ 分析：这个问题是一个熟悉的问题，但在集合的观点下，如何正确表示是一个关键.解：{(x,y)}|⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===⎩⎨⎧=-=+)21,21(2121|),(01y x y x y x y x . 点评：在讲解这个例题时要注意抓住集合的元素个数只有一个，避免产生错误的答案. 例3 求方程x 2+x+1=0所有实数解的集合.分析：运用一元二次方程的知识可以知道，其解集是空集.解：{x|x 2+x+1=0,x ∈R }=∅.点评：对于特殊问题，解题是一定化到最简形式.例4 写出x 2-1=0的解集.分析：有两个元素，所以写解集时要与例2区别开来.解：{x|x 2-1=0}={-1,1}.点评：不要写成{(-1,1)}，这样就错了.知能训练一、课本第7页练习.解答：1.(1){x|x+1}={-1};(2){1,3,5,15};(3){2,4,6,8,10}.2.(1){x|x=2n+1,n ∈N }或{x|x 是奇数};(2){x|x=2n,n ∈N *}或{x|x 是偶数};(3){x|x 2+1≤0,x ∈R }.3.(1)∈,∉,∈,∉,∈,∈,∈,∈;(2)∈,∉;(3)∈,∉;(4)∉,∈.4.(1){0,1,2,3,4};(2){(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)};(3){a,c,e,h,i,m,s,t}.二、补充练习1.下列表达是否正确？说明理由.(1)Z ={全体整数};(2)R ={实数集};(3){(1,2)}={1,2};(4){1,2}={2,1}.2.已知M={2,a,b},N={2a,2,b 2}，且M=N ，求a,b 的值.3.已知集合A={x|mx 2-2x+3=0,m ∈R }，若A 中元素至多只有一个，求m 的取值范围.4.A={x│x ∈N ，x-68∈N }，试用列举法表示A. 解答：1.(1)错,应为{整数}；(2)错,应为{实数}；(3)错,(1，2)表示一个元素；(4)正确,集合元素具有无序性.2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==2.1,411,0b a b a 或 3.m=0或m≥31. 4.A={2,4,5}.课堂小结一、在师生互动中，让学生了解或体会下列问题：1.本节课我们学习过哪些知识内容？2.你认为学习集合有什么意义？3.选择集合的表示法时应注意些什么？二、列举法的特点是：直观、明白，但有其局限性，如“小于1的一切正数”构成的集合就不能把它的元素一一列举出来或列举出有足够代表性且反映出规律的元素,故无限集一般不用列举法.描述法具有抽象概括、普遍性的特点.使用描述法时，应注意：写清楚集合中元素的代号；说明该集合中元素的性质；不能出现未被说明的字母；多层描述时，应准确使用“且”“或”；所有描述的内容都要写在大括号内；用于描述的语句力求简明、准确.集合的分类：按元素个数可分为：有限集、无限集、空集.作业1.课本第17页复习题1、2.2.举出你身边的关于集合的事例.不少于6个，要有创新.3.元素与集合的关系有多少种？如何表示？类似的集合与集合间的关系又有多少种呢？如何表示?请同学们通过预习课本回答.设计感想1.利用丰富的背景事例创设问题情境，帮助学生理解抽象的数学概念集合语言是现代数学的基本语言，在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语言的基础，但这对于刚步入高中学习的高一新生来说却是抽象、枯燥的一个数学概念，因此，从学生们身边熟悉的例子引入，拉近与学生的距离，引导学生透过一系列从具体到抽象、从特殊到一般的事例了解集合的概念.2.提供积极思考、自主探索的空间，使学生成为学习的主体丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式，因此，在本节课的小结中设计了一些问题，让学生独立思考、合作交流,同时通过解决一系列具体问题，使学生自己体会到集合各种表示法的优缺点,针对不同问题，能选用合适的集合表示法.在练习过程中要熟练掌握集合语言与自然语言的转换.教师在教学过程中时时监控，对学生不可能解决的问题，如集合常见表示法的写法、常见数集及其记法应直接给出，以避免出现不必要的混乱,对学生解题过程中遇到的困难给予适当引导、点拨.。
新教材苏教版高中数学必修第一册全册书各章节知识点考点重点难点归纳总结
苏教版必修第一册重点归纳第一章集合 (2)1.1 集合的概念与表示 (2)1.2 子集、全集、补集 (10)1.3 交集、并集 (17)第二章 常用逻辑用语 (22)2.1 命题、定理、定义 (22)2.2 充分条件、必要条件、充要条件 (26)2.3 全称量词命题与存在量词命题 (30)第三章 不等式 (33)3.1 不等式的基本性质 (33)3.2 ≤a ＋b 2(a ，b ≥0) (40)3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 (50)第四章 指数与对数 (66)4.1 指数 (66)4.2 对数 (70)第五章函数概念与性质 (77)5.1 函数的概念和图象 (77)5.2 函数的表示方法 (86)5.3 函数的单调性 (92)5.4 函数的奇偶性 (99)第六章 幂函数、指数函数和对数函数 (105)6.1 幂函数 (105)6.2 指数函数 (110)6.3 对数函数 (120)第七章 三角函数 (128)7.1 角与弧度 (128)7.2 三角函数概念 (139)7.3 三角函数的图象和性质 (158)7.4 三角函数应用 (182)第八章 函数应用 (187)8.1 二分法与求方程近似解 (187)8.2 函数与数学模型 (195)第一章集合1.1集合的概念与表示第1课时集合的概念知识点1元素与集合的概念(1)一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合．集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．(2)集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．假如在军训时教官喊“全体高个子同学集合”，你会去集合吗？[提示]不去，不清楚自己是不是高个子．集合中的元素必须同时具备确定性、互异性、无序性．反过来一组对象若不具备这三个特性中任何一个，则这组对象不能构成集合．集合中元素的三个特性是判断一组对象能否构成集合的重要依据．知识点2元素与集合1．元素与集合的表示(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合．2．元素与集合的关系(1)属于(符号：∈)，a是集合A中的元素，记作a∈A，读作“a属于A”．(2)不属于(符号：∉或∈)，a不是集合A中的元素，记作a∉A或a∈A，读作“a不属于A”．知识点3常用数集及表示符号名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R 考点类型1集合的概念【例1】(1)考察下列每组对象，能构成集合的是()①中国各地的美丽乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④截止到2021年10月1日，参加一带一路的国家．A．③④B．②③④C．②③D．②④(2)下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．(1)B(2)②[(1)①中“美丽”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.(2)①不正确．book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确．集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．]一组对象能组成集合的标准是什么？[提示]判断一组对象是否为集合的三依据：(1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合．(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．类型2元素与集合的关系【例2】(1)下列所给关系正确的个数是()①π∈R②3∈R③6∉Q④0∈N*⑤|－2|∈ZA．2 B．3C．4 D．5(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，当a∈A，有6－a∈A.则a的值为________．(1)C(2)2或4[(1)①π是无理数∴π∈R故①正确，3是无理数∴3∈R，②正确.6是无理数∴6∉Q，④0是自然数是非负整数，0∈N，故④错误．|－2|＝2∈Z正确．(2)集合A含有三个元素2,4,6且当a∈A，有6－a∈A.a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4.综上所述，a＝2或4.]判断元素与集合关系的2种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．类型3集合中元素的特性及应用【例3】已知集合A中含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．若集合A中含有两个元素a，b，则a，b满足什么关系？若1∈A，则元素1与集合A中元素a，b存在怎样的关系？[提示]a≠b，a＝1或b＝1.[解]由题意可知，a＝1或a2＝a.(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2≠1相矛盾，故a≠1.(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)．又当a＝0时，A中含有元素1和0满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a的值为0.1．(变条件)本例若去掉条件“a∈A”，其他条件不变，求实数a的取值范围．[解]由集合中元素的互异性可知a2≠1，即a≠±1.2．(变条件)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求a的值．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，所以a≠1.当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合集合中元素的互异性．所以a＝－1.由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤第2课时集合的表示知识点1集合的表示方法表示方法定义一般形式列举法将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内{a1，a2，…，a n，…}描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来{x|p(x)}Venn 图法用一个封闭曲线围成的平面区域的内部表示一个集合(1)中国的五岳组成的集合中的元素是什么？怎样列举出来？(2)不等式x－2<1的解集中的元素有什么共同特征？[提示](1)中的元素为泰山、华山、衡山、恒山、嵩山．(2)元素的共同特征为x∈R，且x<3.列举法通常适用于元素个数有限的集合．若集合中的元素有无限个，但有一定的规律性也可用列举法．描述法通常适用于元素个数较多而元素的排列又不呈现明显规律的集合或者根本就不能一一列举的集合．知识点2集合的分类(1)集合的分类有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合，记作∅(2)集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．考点类型1用列举法表示集合【例1】用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A.(2)小于8的质数组成的集合B.(3)方程x2－x－2＝0的实根组成的集合C.[解](1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10.所以A＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B＝{2,3,5,7}．(3)方程x2－x－2＝0的实根为2，－1，所以C＝{2，－1}．用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；(3)用花括号括起来．提醒：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，－1)}．类型2用描述法表示集合【例2】用描述法表示下列集合：(1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．[解](1)偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．(2)设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故n∈N，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．(3)坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．利用描述法表示集合应关注4点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．类型3集合表示法的综合应用【例3】集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．[解](1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．1．本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，其他条件不变，求实数k的值组成的集合．[解]由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0有两个不等实根，故k≠0，且Δ＝64－64k>0，即k<1，且k≠0.所以实数k组成的集合为{k|k<1，且k≠0}．2．本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”，其他条件不变，求实数k的取值范围．[解]由题意可知，方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根．①当k＝0时，由－8x＋16＝0得x＝2，符合题意；②当k≠0时，要使方程kx2－8x＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1，且k≠0.综合①②可知，实数k的取值范围为{k|k≤1}．(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如例3集合A 中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．(2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想．类型4 集合相等【例4】 (1)集合A ＝{x |x 3－x ＝0，x ∈N }与B ＝{0,1}________相等集合．(填“是”或“不是”)(2)若集合A ＝{1，a ＋b ，a }，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b 且A ＝B ，则a ＝________，b ＝________.[思路点拨] (1)解出集合A ，并判断与B 是否相等；(2)找到相等的对应情况，解方程组即可．(1)是 (2)－1 1 [(1)x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，∴x ＝±1或x ＝0.又x ∈N ，∴A ＝{0,1}＝B .(2)由题意知，a ≠0，故a ＋b ＝0，∴b ＝－a .∴b a ＝－1，∴a ＝－1，b ＝1.]已知集合相等求参数，关键是根据集合相等的定义，建立关于参数的方程(组)，求解时还要注意集合中元素的互异性．1.2子集、全集、补集第1课时子集、真子集知识点1子集的概念及其性质(1)子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集符号表示A⊆B(或B⊇A)读法集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)图示(2)子集的性质①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性．(3)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B.1.(1)任何两个集合之间是否一定有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？[提示](1)不一定，如集合A＝{1,2}与B＝{3,4}这两个集合之间没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”因为集合A 可能是空集，也可能是集合B.知识点2真子集的概念与性质(1)真子集的概念如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为A B或B A，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．(2)性质①∅是任一非空集合的真子集．②若A B，B C，则A C.2.{0}与∅相等吗？[提示]不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.考点类型1确定集合的子集、真子集【例1】设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集与真子集．[解]由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4，或x＝－1或x＝4，故集合A＝{－4，－1,4}．由0个元素构成的子集为：∅；由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}；由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}；由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}；故集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}共8个子集．真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}共7个．确定子集、真子集的关键点是什么？有什么规律？[提示] 1.有限集的子集的确定问题，求解关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．与子集、真子集个数有关的三个结论假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数为2n个；(2)A的真子集的个数为2n－1个；(3)A的非空真子集的个数为2n－2个．类型2集合关系的判断【例2】指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(3)P＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}；(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；(5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．[解](1)用列举法表示集合B＝{1}，故B A.(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．(3)∵P表示3的整数倍少1的数构成的数集，Q表示3的整数倍多2的数构成的数集，∴P＝Q.(4)等边三角形是三边相等的三角形，故A B.(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现A B.判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或Venn图．提醒：若A⊆B和A B同时成立，则A B更能准确表达集合A，B之间的关系．类型3集合之间的包含关系【例3】 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． 若B A ，求实数m 的取值范围？集合B 中的元素有何特点？可能为空集吗？m 满足什么条件时B ＝∅. [提示] 集合B 中的元素不确定，随m 的变化而变化．B 可能为空集． 当m ＋1>2m －1时B ＝∅.[解] (1)当B ＝∅时， 由m ＋1>2m －1，得m <2. (2)当B ≠∅时，如图所示．∴⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1<5，2m －1≥m ＋1或⎩⎨⎧m ＋1>－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1，解这两个不等式组，得2≤m ≤3. 综上可得，m 的取值范围是{m |m ≤3}．1．若本例条件“A ＝{x |－2≤x ≤5}”改为“A ＝{x |－2<x <5}”，其他条件不变，求m 的取值范围．[解] (1)当B ＝∅时，由m ＋1>2m －1，得m <2. (2)当B ≠∅时，如图所示，∴⎩⎨⎧m ＋1>－2，2m －1<5，m ＋1≤2m －1，解得⎩⎨⎧m >－3，m <3，m ≥2，即2≤m <3，综上可得，m 的取值范围是{m |m <3}．2．若本例条件“B A ”改为“A ⊆B ”，其他条件不变，求m 的取值范围． [解] 当A ⊆B 时，如图所示，此时B ≠∅.∴⎩⎨⎧2m －1>m ＋1，m ＋1≤－2，2m －1≥5，即⎩⎨⎧m >2，m ≤－3，m ≥3，∴m 不存在．即不存在实数m 使A ⊆B .1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．2．两个易错点(1)当B ⊆A 时，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论； (2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．第2课时 全集、补集知识点1 补集(1)定义：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为∁S A (读作“A 在S 中的补集”)．(2)符号表示∁S A ＝{x |x ∈S ，且x ∉A }．(3)图形表示：(4)补集的性质①∁S ∅＝S ，②∁S S ＝∅，③∁S (∁S A )＝A . 知识点2 全集如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U.两个不同的集合A、B在同一个全集U中的补集可能相等吗？[提示]不可能相等．因为集合A、B是两个不同的集合．所以必定存在元素在集合A的补集中，但不在集合B的补集中．补集符号∁S A有三层含义：(1)A是S的一个子集，即A⊆S；(2)∁S A表示一个集合，且∁S A⊆S；(3)∁S A是S中所有不属于A的元素构成的集合．考点类型1全集与补集【例1】(1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________.(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝________.(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}[(1)A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁U A＝{x|x<－3或x＝5}．]常见补集的求解方法是什么？[提示]常见补集的求解方法有：(1)列举求解．适用于全集U和集合A可以列举的简单集合．(2)画数轴求解．适用于全集U和集合A是不等式的解集．(3)利用Venn图求解．类型2补集与子集的综合应用【例2】已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁U B，求实数a的取值范围．[思路点拨]首先应对B是否为空集进行讨论，得出∁U B，然后再利用A⊆∁B得关于a的不等式求解即可．U[解]若B＝∅，则a＋1>2a－1，所以a<2.此时∁U B＝R，所以A⊆∁U B；若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，此时∁U B＝{x|x<a＋1，或x>2a－1}，由于A⊆∁U B，如图，则a＋1>5，所以a>4，所以实数a的取值范围为a<2或a>4.(变条件)若将本例中的“A⊆∁U B”改为“B⊆∁U A”，求实数a的取值范围．[解]∁U A＝{x|x<－2或x>5}．因为B⊆∁U A，当a＋1>2a－1，即a<2时，B＝∅，B⊆∁U A.当a＋1≤2a－1，即a≥2时，B≠∅.所以2a－1<－2或a＋1>5，即a>4，综上，a的取值范围为a<2或a>4.1．解决此类问题应注意以下几点(1)空集作为特殊情况，不能忽略；(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；(3)端点值能否取到，应注意分析．2．U是由集合A与∁U A的全体元素所构成，对于某一个元素a，a∈A与a ∈∁U A中恰好只有一个成立，即集合中的元素具有确定性．1.3交集、并集知识点1交集1．交集的概念(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(3)Venn图①②③2．交集的性质(1)A∩B＝B∩A；(2)A∩B⊆A；(3)A∩B⊆B；(4)A∩A＝A；(5)A∩∅＝∅；(6)A∩(∁A)＝∅；(7)A∩U＝A(其中U为全集)．U1.A∩B是把A与B的部分元素组合在一起吗？[提示]是把公共元素组合在一起，而不是部分．2.集合M＝{直线}与集合N＝{圆}有没有交集？[提示]有．根据交集的概念可知M∩N＝∅.3.若A∩B＝C∩B，则必有A＝C吗？[提示]若A∩B＝C∩B，则可能有A＝C，也可能不相等．(1)A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．(2)两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有交集，而是A∩B ＝∅.知识点2并集(1)文字语言：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)Venn图①②③(3)并集的性质①A∪B＝B∪A；②A⊆A∪B；③B⊆A∪B；④A∪A＝A；⑤A∪∅＝A；⑥A∪(∁U A)＝U；⑦A∪U＝U(其中U为全集)．4.A∪B是把A和B的所有元素组合在一起吗？[提示]不是，因为A和B可能有公共元素，每个公共元素只能算一个元素．5.两个集合并集中的元素个数一定比两个集合元素个数之和大吗？[提示]当两个集合有公共元素时，在并集中只能算作一个．故这种说法不正确．知识点3区间的概念(1)设a，b∈R，且a<b，规定：[a，b]＝{x|a≤x≤b}，(a，b)＝{x|a<x<b}，[a，b)＝{x|a≤x<b}，(a，b]＝{x|a<x≤b}，(a，＋∞)＝{x|x>a}，(－∞，b)＝{x|x<b}，(－∞，＋∞)＝R.[a，b]，(a，b)分别叫作闭区间、开区间；[a，b)，(a，b]叫作半开半闭区间；a，b叫作相应区间的端点．(2)区间的数轴表示区间表示数轴表示[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)考点类型1交集概念及其应用【例1】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于() A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}(2)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2(1)A(2)D[(1)∵A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，如图，故A∩B＝{x|0≤x≤2}．(2)∵8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，∴8∈A,14∈A，∴A∩B＝{8,14}，故选D.]1．求以列举法给出的两集合的交集时，可直接寻找其公共元素，但需注意不可遗漏．2．求以描述法给出的两集合的交集时，可先化简集合，再确定两集合的公共元素(区间)，有必要时可借助于数轴或Venn图解决．3．已知集合的交集求参数问题要利用交集中元素的特殊性(公有性)列方程或不等式(组)来解决，而且，有些题目还应注意验证得出的结论是否符合集合元素的互异性和是否符合题意．类型2并集的概念及其应用【例2】(1)若A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,6,7,8}，则A∪B＝________.(2)若A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|1<x<4}，则A∪B＝________.[思路点拨](1)将A，B中的元素合并，注意互异性即可．(2)借助数轴表示A，B，再求A∪B.(1){3,4,5,6,7,8}(2){x|－1≤x<4}[(1)A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．(2)用数轴表示出A，B，如图．所以A∪B＝{x|－1≤x<4}．]求集合并集的2种基本方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解．类型3交、并、补集的综合应用【例3】已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6}，试写出∁U A，∁U B，A∩B，A∪B，∁U(A∩B)，∁U(A∪B)，(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁B)．U[思路点拨]采用列举法逐一将上述各集合写出．[解]∁U A＝{5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}，A∩B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4,5,6}．∁U(A∩B)＝{1,2,5,6,7,8}，∁U(A∪B)＝{7,8}．(∁U A)∩(∁U B)＝{7,8}，(∁U A)∪(∁U B)＝{1,2,5,6,7,8}．从本题解答中可以得出两个结论：∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．类型4并集、交集性质的应用【例4】已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A ∪B＝A，试求k的取值范围．[解](1)当B＝∅，即k＋1>2k－1时，k<2，满足A∪B＝A.(2)当B≠∅时，要使A∪B＝A，只需⎩⎨⎧－3<k ＋1，4≥2k －1，k ＋1≤2k －1，解得2≤k ≤52. 综合(1)(2)可知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪ k ≤52.1．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∩B ＝A ”，试求k 的取值范围．[解] 由A ∩B ＝A 可知A ⊆B .所以⎩⎨⎧ －3≥k ＋1，2k －1≥4，即⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤－4，k ≥52，所以k ∈∅.所以k 的取值范围为∅.2．把本例条件“A ∪B ＝A ”改为“A ∪B ＝{x |－3<x ≤5}”，求k 的值．[解] 由题意可知⎩⎨⎧－3<k ＋1≤4，2k －1＝5，解得k ＝3. 所以k 的值为3.1．在进行集合运算时，若条件中出现A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，应转化为A ⊆B ，然后用集合间的关系解决问题，并注意A ＝∅的情况．2．集合运算常用的性质①A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；②A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；③A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B .第二章 常用逻辑用语2.1 命题、定理、定义知识点1 命题的定义与分类(1)命题的定义：在数学中，可以判断真假的陈述句叫作命题． (2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．(3)分类：命题⎩⎨⎧真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句 1.(1)“x －1＝0”是命题吗？ (2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．一般地，疑问句、祈使句、感叹句、开语句都不是命题．如x >15等．知识点2 命题的结构及定理、定义1．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫作命题的条件，q 叫作命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式．2.命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？[提示] 条件是：“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．2．定理与定义在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理．在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．(1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题．(2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质．考点类型1命题的判断【例1】(1)下列语句为命题的是()A．x2－1＝0B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 020是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.(1)B(2)①④[(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]判断一个语句是否是命题的关键点是什么？[提示](1)该语句必须是陈述句；(2)该语句可以判断真假．提醒：对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围看能否判断其真假，若能，就是命题，若不能，就不是命题．类型2命题的构成【例2】(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________．(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式．①函数y＝2x＋1是一次函数；②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.(1)一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧[命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．](2)[解]①若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数．②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0.1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．类型3命题真假的判断【例3】判断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋1<0；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)一个奇数是两个整数的平方差．[解](1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.(4)是真命题，因为当n∈Z时，任意奇数2n－1＝n2－(n－1)2，所以一个奇数是两个整数的平方差．命题真假的判定方法(1)真命题的判断方法要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．(2)假命题的判断方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．类型4 数学中的新定义【例4】 对于a ，b ∈N *，规定a *b ＝⎩⎨⎧a ＋b ，a 与b 的奇偶性相同，a ×b ，a 与b 的奇偶性不同，集合M ＝{(a ，b )}|a *b ＝12，a ，b ∈N *}，则M 中元素的个数为( )A ．6B ．8C ．15D ．16 [思路点拨] 本题新定义两个正整数的新运算，利用新定义解方程a *b ＝12，a ，b ∈N *，分a ，b 奇偶性相同和a ，b 奇偶性不同进行分类讨论即可．C [分a ，b 奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论．如果a ，b 奇偶性相同，满足条件的有1＋11＝2＋10＝3＋9＝…＝6＋6＝…＝9＋3＝10＋2＝11＋1，共11种情况，即有11组(a ，b )符合M 中元素的要求；如果a ，b 奇偶性不同，则满足条件的有1×12＝3×4＝4×3＝12×1，共4种情况，即有4组(a ，b )符合M 中元素的要求．综上，M 中元素的个数为11＋4＝15.故选C .]数学中的定义在解题中得应用还很多，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据．在解题中充分利用定义，有时会收到事半功倍的效果．数学定义的应用蕴涵着极其丰富的内涵，深刻理解定义，可抓住问题的实质，从而找到解决问题的有效途径．本题中新定义的运算，是以正整数的奇偶作为分类的基准，就是本题解相关方程的依据．2.2充分条件、必要条件、充要条件知识点1充分条件与必要条件命题真假“若p，则q ”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒q p q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件“p⇒q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立．即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q对p的成立是必要的．1.(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？[提示](1)相同，都是p⇒q.(2)等价．知识点2充要条件(1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件．为了方便起见，p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”或“p 等价于q”．“⇒”和“⇔”都具有传递性，即①如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s；②如果p⇔q, q⇔s，则p⇔s；(2)若p⇒q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．2.(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？[提示](1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．。
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2.1 函数的概念和图像
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2.2 指数函数
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2.3 对数函数
苏教版高一数学必修1全套精美 课件目录
0002页 0054页 0114页 0183页 0211页 0240页
第一章 集合 1.2 子集 全集 补集 第二章 函数概念与基本初等函数 2.2 指数函数 2.4 幂函数 2.6 函数模型及其应用
第一章 集合
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1.1 集合的含义与表示
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1.2 子集 全集 补集
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1.3 交集 并集
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第二章 函数概念与基本初等函 数
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2.4 幂函数
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2.5 函数与方程
苏教版高一
苏教版高一数学必修一知识点归纳总结
苏教版高一数学必修一知识点归纳总结一】一、集合及其表示1、集合的含义：在数学中，“集合”指的是由一些特定的对象组成的整体，其中每个对象被称为元素。
例如，高一二班的所有同学构成了一个集合，每个同学都是这个集合的元素。
2、集合的表示通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，例如集合A={a，b，c}，其中a、b、c是集合A中的元素，记作a∈A，反之，d不属于集合A，记作d∉A。
有一些特殊的集合需要记忆：自然数集N，正整数集N*或N+，整数集Z，有理数集Q，实数集R。
集合的表示方法：列举法与描述法。
①列举法：{a,b,c……}②描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来。
例如{x∈R|x-3>2}，{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}③语言描述法：例如{不是直角三角形的三角形}例如，不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素。
A={(x,y)|y=x2+3x+2}与B={y|y=x2+3x+2}不同。
集合A中是元素(x，y)，集合B中只有元素y。
3、集合的三个特性1)无序性指集合中的元素排列没有顺序，例如集合A={1,2}，集合B={2,1}，则集合A=B。
例题：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。
解：A=B，所以a=1，b=2.注意：该题有两组解。
2)互异性指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示为{2}。
3)确定性集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确，不允许有模棱两可、含混不清的情况。
二、集合间的基本关系1.子集，A包含于B，记为A⊆B，有两种可能1)A是B的一部分。
2)A与B是同一集合，A=B，A、B两集合中元素都相同。
反之:集合A不包含于集合B,记作A⊈B。
例如，集合A={1,2,3}，B={1,2,3,4}，C={1,2,3,4}，三个集合的关系可以表示为A⊆C，B=C。
苏教版高中数学必修第一册第1章1.2第1课时子集、真子集【授课课件】
第1课时 子集、真子集
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
由 1 个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}； 由 2 个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}； 由 3 个元素构成的子集为：{－4，－1,4}； 故集合 A 的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－ 4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}共 8 个子集． 真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－ 1,4}共 7 个．
∴P＝Q．
第1课时 子集、真子集
1
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4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
(4)A＝{x|x 是等边三角形}，B＝{x|x 是三角形}； [解] 等边三角形是三边相等的三角形，故 A B．
第1课时 子集、真子集
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
3 [集合 A＝{0,1}，其真子集分别为∅，{0}，{1}，共 3 个．]
第1课时 子集、真子集
1
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3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3
第1课时 子集、真子集
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3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
苏教版高一数学必修1全册课件【完整版】
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第一章 集合 1.2 子集 全集 补集 2.1 函数的概念和图像 2.3 对数函数 2.5 函数与方程 探究案例 钢琴与指数曲线
第一章 集合
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1.1 集合的含义与表示
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2.1 函数的概念和图像
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2.2 指数函数
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2.3 对数函数
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1.2 子集 全
1.3 交集 并集
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苏教版高中数学必修1知识点总结及题型
如果您想要完整电子版，关注后私信发送数字333即可！高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念1．集合：一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．2．元素：构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为.知识点二集合与元素的关系1．属于：如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.知识点三集合的特性及分类1．集合元素的特性_______、________、________.2．集合的分类：(1)有限集：含有_______元素的集合；(2)无限集：含有_______元素的集合．3．常用数集及符号表示名称非负整数集(自然数集) 整数集实数集符号N N*或N＋Z Q R知识点四集合的表示方法1．列举法：把集合的元素______________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法2．描述法：用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系1．子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图)子集如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集________(或________)真子集如果集合A⊆B，但存在元素________，且________，我们称集合A是集合B的真子集________(或________)2.子集的性质(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________．(3)如果A⊆B，B⊆C，则________．(4)如果A⊆B，B⊆C，则________．3．集合相等知识点六 集合的运算 1．交集 2．并集自然语言符号语言图形语言由_________________ _________________组成的集合，称为A 与B 的并集A ∪B ＝_______________3.交集与并集的性质交集的运算性质并集的运算性质 A ∩B ＝________ A ∪B ＝________ A ∩A ＝________ A ∪A ＝________ A ∩∅＝________ A ∪∅＝________ A ⊆B ⇔A ∩B ＝________A ⊆B ⇔A ∪B ＝________4.全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________． 5．补集文字语言 对于一个集合A ，由全集U 中__________的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作________符号语言 ∁U A ＝________________图形语言典例精讲题型一 * 判断能否构成集合1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是 。
7.3.2三角函数的正切函数的性质与图象(课件)高一数学(苏教版必修第一册)
的定义域为
x
x
k
2
6
,k
Z
.故选:D．
讲授新课
知识点二 正切函数的值域问题
【例
2】函数
y
2
tan
2
x
3
tan
x
1
，
x
π 4
,
π 4
的值域为______．
【答案】
6,
1 8
【解析】因为
x
4
,
4
，所以
tan
x 1,1
，
y
2
tan
2
x
3
tan
x
1
2
tan
x
3 4
2
1 8
，
则当
tan
的定义域为
x
|
x
k
2
,k
Z
.故选：A.
讲授新课
【变式
1-2】函数
f
x
2 tan
2
x
6
的定义域是（
）
A． x
x
6
B．
x
x
12
C． x
x
6
,k
Z
D．
x
x
k
2
6
,k
Z
【答案】D
【解析】由正切函数的定义域，令
2x
6
k
2
，k Z
，即 x
k
2
6
k
Z ，
所以函数
f
x
2 tan
2
x
6
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
苏教版高中数学必修1教案5篇
苏教版高中数学必修1教案5篇苏教版高中数学必修1教案5篇教案是以系统方法为指导。
教案把教学各要素看成一个系统，分析教学问题和需求，确立解决的程序纲要，使教学效果最优化。
下面小编给大家带来关于苏教版高中数学必修1教案，方便大家学习苏教版高中数学必修1教案1教学目标：(1) 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征;(2) 理解元素与集合的属于和不属于关系;(3) 掌握常用数集及其记法;教学重点：掌握集合的基本概念;教学难点：元素与集合的关系;教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员;试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念--集合(宣布课题)，即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学(一)集合的有关概念1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2. 一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。
3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1) 大于3小于11的偶数;(2) 我国的小河流;(3) 非负奇数;(4) 方程的解;(5) 某校2023级新生;(6) 血压很高的人;(7) 著名的数学家;(8) 平面直角坐标系内所有第三象限的点(9) 全班成绩好的学生。
对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4. 关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
苏教版高一数学知识点总结
苏教版高一数学知识点总结高一上册数学必修一知识点梳理空间几何体表面积体积公式：1、圆柱体:表面积:2πRr+2πRh体积:πR2h(R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)2、圆锥体:表面积:πR2+πR[(h2+R2)的]体积:πR2h/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,3、a-边长,S=6a2,V=a34、长方体a-长,b-宽,c-高S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱S-h-高V=Sh6、棱锥S-h-高V=Sh/37、S1和S2-上、下h-高V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、S1-上底面积,S2-下底面积,S0-中h-高,V=h(S1+S2+4S0)/69、圆柱r-底半径,h-高,C—底面周长S底—底面积,S侧—,S 表—表面积C=2πrS底=πr2,S侧=Ch,S表=Ch+2S底,V=S底h=πr2h10、空心圆柱R-外圆半径,r-内圆半径h-高V=πh(R^2-r^2)11、r-底半径h-高V=πr^2h/312、r-上底半径,R-下底半径,h-高V=πh(R2+Rr+r2)/313、球r-半径d-直径V=4/3πr^3=πd^3/614、球缺h-球缺高,r-球半径,a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/315、球台r1和r2-球台上、下底半径h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/616、圆环体R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2=π2Dd2/417、桶状体D-桶腹直径d-桶底直径h-桶高V=πh(2D2+d2)/12,(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)高一数学必修五知识点总结空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
新教材苏教版高中数学必修第一册1.2子集、全集、补集 精品教学课件
【解析】1.因为集合A={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1}, 所以集合A={x|-1<x<2,x∈Z}的真子集为⌀,{0},{1},共3个. 答案:3 2.因为解方程x2+x=0,得x=-1或x=0, 所以集合A={x|x2+x=0,x∈R}={-1,0}, 因为集合B满足{0} B⊆A,所以集合B={-1,0}. 答案:{-1,0} {-1,0}
2
【解题策略】 1.集合间基本关系判定的两种方法和一个关键
2.证明集合相等的两种方法 (1)用两个集合相等的定义,证明两个集合 A,B中的元素全部相同,即可证明A=B. (2)证明A⊆B,同时B⊆A ,推出A=B.
【补偿训练】
判断下列各组中集合之间的关系:
(1)A={x|x是12的约数},B={x|x是36的约数}.
2.设A,B是集合I={1,2,3,4}的子集,A={1,2},则满足A⊆B的B的个数是 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】选B.满足条件的集合B可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},所 以满足A⊆B的B的个数是4.
3.若集合M={x|x≤6},a=2 2 ,则下面结论中正确的是 ( )
A.{a} M
B.a M C.{a}∈M D.a∉M
【解析】选A.由集合M={x|x≤6},a=2 2 , 知:在A中,{a} M,故A正确;
在B中,a∈M,故B错误;
在C中,{a} M,故C错误;
在D中,a∈M,故D错误.
4.设集合A={x|x2+x-1=0},B={x|x2-x+1=0},则集合A,B之间的关系是________.
【解析】由已知A=
1
苏教版高中数学必修第一册第1章1.2第2课时全集、补集【授课课件】
则 a 的值是( )
A．4
B．8
C．－4 或 8
D．4 或 8
D A＝∁U(∁UA)＝{1,2,9}＝{1，|a－6|,9}， ∴|a－6|＝2，解得 a＝4 或 8，故选 D．
第2课时 全集、补集
1
2
3
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
类型 2 补集与子集的综合应用 【例 2】 已知全集 U＝R，集合 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋ 1≤x≤2a－1}且 A⊆∁UB，求实数 a 的取值范围．
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全集一定含有任何元素．
()
(2)集合∁RA＝∁QA．
()
(3)一个集合的补集一定含有元素．
()
(4)研究 A 在 S 中的补集时，A 可以不是 S 的子集． ( )
{x|x<－3 或 x＝5} 将集合 U 和集合 A 分别表示在数轴上，如图 所示．
由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3 或 x＝5}．
第2课时 全集、补集
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
常见补集的求解方法 1列举求解.适用于全集 U 和集合 A 可以列举的简单集合. 2画数轴求解.适用于全集 U 和集合 A 是不等式的解集. 3利用 Venn 图求解.
第2课时 全集、补集
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fxx22.
8.函数f(x)的图象是一条线段,其端点坐标为(-2,4)与(4,-5), 则此函数的解析式为_y____32_x___1 ,定义域为__[-_2_,4_]____.
解析:设所求线段解析式为yaxb,代入端点坐标,得 4a2abb45,.解得ab132. ,所求解析式为y32x1,
又f
f
x
4x
1,
a
2x
ab
b
4x
1.即
a2 4, ab b 1,
a 2,
b
1 3
,
或
a 2,
b
1.
f
x
2x
1 3
或
f
x
2x
1.
2 f x 是二次函数,设f x ax2 bx c a 0.
由f 0 1, 得c 1.由f x 1 f x 2x,
得a x 12 b x 1 1 ax 2 bx 1 2x.
左端展开整理,得2ax a b 2x.
由恒等式原理知
2a a
2, b0
a 1, b 1.
f x x2 x 1.
11.用长为L的铁丝弯成下部 为矩形,上部为半圆形的框架 (如图所示),若矩形底边长为 2x,求框架围成的面积y与x 的函数关系式,并写出其定 义域.
解析 : 如图所示,连接CD.
A.1
B.3
C.15
D.20
解 析 : 方法 一 : 令1 2x t,则x 1 t t 1,
2
f (t)
(t
4 1) 2
1, f ( 1 ) 2
16
1 15.
方法二 : 令1 2x 1 ,得x 1 ,
2
4
f
1 2
16
1
1
5
.
3.下列图形是函数y=-|x|(x∈[-2,2])的图象的是( )
高一数学必修一苏教版
45分钟课时作业
一､选择题 1.函数y=f(x),x∈[a,b]的图象与x=1的交点个数是( C ) A.1 B.2 C.0或1 D.1或2
解析:根据函数定义,若x=1∈[a,b],则两个函数图象只有一 个交点;若x=1∉[a,b],则两个函数图象没有交点.
2.若f12x1x2x2 (x0),则f12（C ）解 析 : 12fxf
1 x
3
x
,
①
在原式中以
1 x
代
替
x
,得
2f
1 x
f (x)
3. x
②
联
立
①
､②
消
去
f
1 x
,
得
f
(x)
2
x
1 x
.
2 af 4x 3 bf 3 4x 4x,令 t 4x 3,
a f t b f t t 3.① 在 ① 式 中 用 t代 替 t,
解析:yx x,x(,(20≤ ≤xx≤ 20)),,其中yx0≤x≤2
是直线yx上满足0≤x≤2的一条线段(包括端点),
yx2≤x0是直线yx上满足2≤x0的一条
线段(包括左端点),其图象过原点且在x轴下方.
答案:B
4.已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=(B ) A.3x+2 B.3x-2 C.2x+3 D.2x-3
答案:B
6.一旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,发 现每间客房每天的定价与住房率有如下关系:
每间房定 价
住房率
100元 65%
90元 75%
80元 85%
60元 95%
A.100元 B.90元 C.80元 D.60元 答案：C
解析:住房率是每天房价的函数关系,这种关系在题中是用 表格的形式表示出来的,而每天的收入是y=房价×住房率 ×间数(100),可以列出相应的表格:
解析:设进水量为y1,出水量为y2,时间为t,由图象y1=t,y2=2t. 由图丙知,从0~3时蓄水量由0变为6,说明0~3时两个进水口 均打开进水但不出水,故①正确;3~4时蓄水量随时间增加而 减少且每小时减少一个单位,若3~4点不进水只出水,应每小 时减少两个单位,故②不正确;4~6时为水平线说明水量不发 生变化,应该是所有水口都打开,进行均衡,故③亦不正确.所 以正确序号只有①.
定义域为2,4.
9.一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲､乙所 示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开 一个水口)
给出以下三个论断: ①0点到3点只进水不出水; ②3点到4点不进水只出水; ③4点到6点不进水不出水. 则一定能确定正确的论断序号是______①___.
得 a f t b f t 3 t.② 联 立 ① ､② 消 去 f t ,
CD AB 2x， CD x. AD l 2 x CD t 2x x .
2
2
y
2x
l
2x
2
x
2
x2
2
2
x
2
lx.
由
l
2x 0,
2x x
2
得0 0,
x
l
2
,
函数的定义域为
0,
l
2
.
12.求 下 列 函 数 的 解 析 式:
1若 fx满 足 2fxf1x3x,求 fx; 2已 知 af4x3bf34x4x,a2b2,求 fx的 解 析 式 .
每间房 定价
住房率
100元 90元 80元 60元 65% 75% 85% 95%
收入
6 500 6 750 6 800 5 700
从表格很清楚地看到,每天的房价定在80元时,每 天的收入最高.
二 ､ 填 空 题
7 .已 知 函 数 f x 1 x x2x 1 2,则 函 数 fx 的 解 析 式 为 _ _ _ x_ 2_ +_ 2_ _ _ .
解析:设fxkxbk0, 2f23f15, 2f0f11,kkbb15,.bk32,. fx3x2.
5.(2009·大连一练)设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2}.给出下列 四个图形,其中能表示以集合M为定义域,N为值域的函数 关系的是( )
解析:A:定义域不合要求,C:对一个x有两个y与之对应,不是 函数图象;D:值域不合题意.
三､解答题 10.求下列函数解析式: (1)已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x-1,求f(x); (2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).
解析 : 1 f x 是一次函数,设f x ax b a 0 ,
则f f x f ax b a ax b b a 2x ab b,