物理中的极值问题

物理中的极值问题
1．物理中的极值问题：
物理试题常出现如：至少、最大、最短、最长等物理量的计算，这类问题就属于极值问题。

其处理是高考试题中是常见的，本专题以此作为重点，试图找出处理该问题的一般方法。

2．物理中极值的数学工具：
（1）y=ax 2
+bx+c 当a ＞0时，函数有极小值 y m in =a
b a
c 442
-
当a ＜0时，函数有极大值 y m ax =a
b a
c 442
-
（2）y=
x a +b
x 当ab =x 2
时，有最小值 y m in =2ab （3）y=a sin θ+b cos θ=22b a + sin （)θϕ+ 当θϕ+=90°时，函数有最大值。

y m ax =22b a + 此时，θ=90°-arctan a
b
（4）y =a sin θcon θ=
21a sin2θ 当θ=45°时，有最大值：y m ax =2
1a 3．处理方法：
（1）物理型方法：
就是根据对物理现象的分析与判断，找出物理过程中出现极值的条件，这个分析过程，既可以用物理规律的动态分析方法，也何以用物理图像发热方法（s-t 图或v-t 图）进而求出极值的大小。

该方法过程简单，思路清晰，分析物理过程是处理问题的关键。

（2）数学型方法：
就是根据物理现象，建立物理模型，利用物理公式，写出需求量与自变量间的数学函数关系，再利用函数式讨论出现极值的条件和极值的大小。

4．自主练习
1．如图所示，在倾角为300的足够长的斜面上有一质量为m 的物体，它受到沿斜面方向的力F 的作用。

力F 可按图（a ）、（b ）（c ）、（d ）所示的四种方式随时间变化（图中纵坐标是F 与mg 的比值，力沿斜面向上为正）。

已知此物体在t =0时速度为零，若用v 1、v 2 、v 3 、v 4分别表示上述四种受力情况下物体在3秒末的速率，则这四个速率中最大的是（ ）
A 、v 1
B 、v 2
C 、v 3
D 、v 4
2．一枚火箭由地面竖直向上发射，其v ~t 图像如图所示，则
A ．火箭在t 2—t 3时间内向下运动
B ．火箭能上升的最大高度为4v 1t
1
v
v 2
C ．火箭上升阶段的平均速度大小为
212
v D ．火箭运动过程中的最大加速度大小为23
v
t
3．如图所示，一质量为M ，倾角为θ的斜面体放在水平面上，质量为m 的小木块（可视为质点）放在斜面上，现用一平行于斜面的、大小恒定为F 的拉力作用于小木块，拉力在斜面所在平面内绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和小木块始终保持静止状态，则下列说法正确的是 （ ）
（A
（B （C （D
4．如图7（a ）所示，用一水平外力F 拉着一个静止在倾角为
θ的光滑斜面上的物体，逐渐增大F ，物体做变加速运动，其加速度a 随外力F 变化的图像
如图7（b ）所示，若重力加速度g 取10m/s 2。

根据图（b ）中所提供的信息可以计算出（ ） A ．物体的质量 B ．斜面的倾角 C ．物体能静止在斜面上所施加的最小外力
D ．加速度为6m/s 2时物体的速度
5．重物 M,长杆的一端放在地上通过铰链连接形成转轴,其端点恰好处于左侧滑轮正下方O 点处,在杆的中点C 处拴一细绳,通过两个滑轮后挂上重物M 。

C 点与O 点距离为L ,现在杆的另一端用力使其逆时针匀速转动,由竖直位置以角速度ω缓慢转至水平(转过了90°角
),此过程中下述说法正确的是（ ） A.重物M 做匀速直线运动
B.重物M 做匀变速直线运动
C.重物M 的最大速度是ωL
D.重物M 的速度先减小后增大
6．一物体静止在光滑水平面上，同时受到两个方向相反的水平拉力F 1、F 2的作用，F l 、F 2随位移变化，如图所示．则物体的动能将［ ］ A ．一直变大，至20m 时达最大 B ．一直变小，至20m 时达最小
C ．先变大至10m 时最大，再变小
D ．先变小至10m 时最小，再变大
7．一个矩形金属框MNPQ 置于xOy 平面内，平行于x 轴的边NP 的长为d ，如图（a ）所示。

空间存在磁场，该磁场的方向垂直于金属框平面，磁感应强度B 沿x 轴方向按图（b ）所示规律分布，
－图（a ） ）
图（a ） B 图（b ）
x 坐标相同各点的磁感应强度相同。

当金属框以大小为v 的速度沿x 轴正方向匀速运动时，下列判断正确的是( )。

（A ）若d =l ，则线框中始终没有感应电流
（B ）若d = 1
2l ，则当线框的MN 边位于x = l 处时，线框中的感应电流最大
（C ）若d = 12l ，则当线框的MN 边位于x = 1
4l 处时，线框受到的安培力的合力最大
（D ）若d = 32l ，则线框中感应电流周期性变化的周期为 l
v
8．如图8所示，R 1为定值电阻，R 2为最大阻值为2R 1的可变电阻。

E 为电源电动势，r 为电源内阻，大
小为r ＝R 1。

当R 2的滑动臂P 从a 滑向b 的过程中，下列说法正确的是
（ ） A ．当2
1
2R R =时，R 2上获得最大功率 B ．当12R R =时，R 2上获得最大功率
C ．电压表示数和电流表示数之比逐渐增大
D ．电压表示数和电流表示数之比保持不变
9．如图所示，四根相同粗细的均匀玻璃管内有水银柱封住一部分空气，水银柱长度h 1＝h 3＞h 2＝h 4，气柱长度L 3＝L 4＞L 1＝L 2，管内气体温度t 1＝t 3＝20︒C 、t 2＝t 4＝30︒C 。

当管内气体温度都下降10︒C 时，管内水银柱下降最多的是 （ ） （A ）a 管 （B ）b 管 （C ）c 管 （D ）d 管
10．如图所示，B 是质量为2m 、半径为R 的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。

A 是质量为m 的细长
直杆，光滑套管D 被固定在竖直方向，使A 可以自由上下运动，物块C 的质量为m ，紧靠半球形碗放置。

初始时，A 杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触。

然后从静止开始释放A ，A 、B 、C 便开始运动，则长直杆的下端第一次运动到碗内的最低点时，B 、C 水平方向的速度为 ，在运动的过程中，长直杆的下端能上升到的最高点距离半球形碗内底部的高度是 。

11．如图所示，一根长L =25cm 的均匀细杆OB ，可以绕通过其一端的水平轴O 在竖直平面内转动，杆最初处于水平位置，杆上离O 轴a =5cm 处放有一小物体（视为质点），
杆与其上的小物体均处于静止状态。

若此杆突然以角速度ω匀速绕O 轴顺时针转动．则为使小物体与杆不相碰，角速度ω不能小于临界值________rad/s ，若杆以这个临界角速度ω0转动，设经过时间t ，小物体在竖直方向上与杆上某点的距离最大（设杆的转动角度不超过90°），试写出求解这个t 的方程:_______________________（用a 、g 、t 和ω0来表示）．
B
图
8
h h h h L L L L a b c d
12．如图所示，粗糙程度均匀的绝缘斜面下方O 点处固定一正点电荷，带负电的小物体以大小为V 1的初速度从M 点沿斜面上滑，到达N 点时速度为零，然后下滑回到M 点，此时速度大小为V 2。

若小物体电荷量保持不变，OM ＝ON ，重力加速度为g ，则小物体上升过程中，受到的摩擦力大小变化情况是 ，小物体上升的最大高度为 。

13．一物体从某一行星（行星表面不存在空气）表面竖直向上抛出。

从抛出时开始计时，得到如图所示的s -t 图像，则该行星表面的重力加速度大小为_____m/s 2；当t ＝t 0时，再以初速度10m/s 抛出另一物体，经△t 时间两物体在空中相遇，为使△t 最大，则t 0＝______s
14．熊蜂能够以最大速度v 1竖直向上飞，以最大速度v 2竖直向下飞。

熊蜂“牵引力”与飞行方向无关，空气阻力与熊蜂速度成正比，比例系数为k 。

则熊蜂“牵引力”的大小是 ，熊蜂沿水平方向飞行的最大速度是 。

15．在匀强电场中，有一固定的O 点，连有长度都为L 的绝缘细线，细线的另一端分别系住一个带电小球A 、B 、C （不计重力，带电小球之间的作用力不能忽略），其中Q A 带负电、电量为Q ，三个小球目前都处于如图所示的平衡状态，静电力恒量为k ，则匀强电场的大小为E ＝___________；若已知Q A 与Q B 的电量大小之比为1︰2，则为维持三个小球平衡，细绳需承受的可能的最大拉力为___________。

16．如图所示电路中，定值电阻R 0的阻值为2Ω，安培表和伏特表均为理想电表。

闭合开关K ，当滑动变阻器R x 的滑片P 从一端移到另一端时，发现电压表的电压变化范围为0V 到3V ，安培表的变化范围为0.75A 到1.0A 。

则电源内电阻为________Ω，移动变阻器滑片时，能得到的电源的最大输出功率为________W 。

17．如图所示，粗细均匀、底端封闭的三通玻璃管中用水银与活塞封闭了两段温度相同，长度均为30cm 的空气柱A 、B ，大气压强P 0＝75cmHg ，各段水银长均为15cm 。

现缓慢抽动玻璃管上端的活塞，使A 、B 两部分气体体积之比达到最大值，则此最大值为 ，活塞至少上移的距离为 cm 。

18．质量为2kg的物体放在水平面上，物体离墙20m，现在用30N的水平力作用于此物体，经2s可到达墙边。

（1）若仍用30N的水平力推此物体，使此物体沿水平面到达墙
边，推力作用的最短时间为多少？
（2）若用大小为30N的力一直作用在物体上，使物体从原地最
短时间到达墙边，则作用的最短时间为多少？
19．如图所示，一小环A套在一均匀圆木棒B上，A和B的质量都等于m，A和B之间
滑动摩擦力为f（f＜mg）。

开始时B竖直放置，下端离地面的高度为h，A在B的顶端，
让他们由静止开始自由下落。

当木棒与地面相碰后，以大小不变的速率反弹。

不考虑棒与
地面的作用时间及空气阻力，问：在B再次着地前，要使A不脱离B，B至少应该多长？
20．如图所示，OAB为轻质直角三角形框架，OA=50cm，OA︰OB︰AB=3︰4︰5，
框架可以绕固定轴O在竖直平面内转动。

框架A处悬挂质量为M=0.4kg的物体。

一个质量为m=0.5kg的物块在沿框架AB边的恒力F作用下,从静止开始由A点出
发沿框架AB边向上运动。

已知F=5.6N，物块与AB边的动摩擦因数 =0.25，求
框架能维持稳定的最长时间。

21．当汽车B在汽车A前方7m时，A正以v A=4m/s的速度向右做匀速直线运动，而汽车B此时速度v B=10m/s，向右做匀减速直线运动，加速度大小为a=2m/s2.此时开始计时，则（1）经过多少时间，A 和B相距最远，A、B相距最远的距离为多大。

（2）再经过多少A恰好追上B？
22．航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器，其质量为2kg，动力系统提供的恒定升力为28 N。

试飞时，飞行器从地面由静止开始竖直上升。

设飞行器飞行时所受的阻力大小不变。

（1）第一次试飞，飞行器飞行8 s 时到达高度64 m。

求飞行器所阻力的大小；
（2）第二次试飞，飞行器飞行 6 s 时遥控器出现故障，飞行器立即失去升力。

求飞行器能达到的最大高度；
（3）为了使飞行器不致坠落到地面，求飞行器从开始下落到恢复升力的最长时间。

23．滑板运动是一种非常剌激的水上运动。

研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力F N 垂直于板面，大小为KV 2，其中V 为滑板的速率（水可视为静止），K 为常数K ＝54kg/m 。

某次运动中，人和滑板的总质量为108kg ，在水平恒定牵引力作用下，当水平牵引力F 1=810N 时（如图），滑板做匀速直线运动，试求：
（1）滑板匀速直线运动的速度V 1；滑板与水面的夹角为θ1的大小。

（2）在运动过程中运动员可以通过调节滑板与水面的夹角来改变速度，当滑板与水面的夹角为θ2＝30︒时，水平牵引力F 2=810N ，运动员在竖直方向仍处平衡，滑板此时的速率V 2为多少？此时滑板的加速度a 为多少？
（3）若运动员要做离开水面的空中特技动作，运动员可以先下蹬，使重心
下降，使牵引力与水面的夹角α=15︒斜向上。

滑板与水面的夹角为θ3＝53︒。

速度为V 3=5m/s, 则在离水面前（水对滑板的作用力F N 还存在）牵引力F 3大小至少为多少？(sin15︒=0.26)
24．如图所示，质量为m 可看作质点的小球从静止开始沿斜面由点A 滑到点B 后，进人与斜面圆滑连接的1/4竖直圆弧管道BC ，管道出口为C ，圆弧半径R=15 cm ，AB 的竖直高度差h=35 cm ．在紧靠出口 C 处，有一水平放置且绕其水平轴线匀速旋转的圆筒（不计筒皮厚度），筒上开有小孔D ，筒旋转时，小孔D 恰好能经过出口C 处．若小球射出C 口时，恰好能接着穿过D 孔，并且还能再从D 孔向上穿出圆筒，小球返回后又先后两次向下穿过D 孔而未发生碰撞．不计摩擦和空气阻力，问：
（1）小球到达点C 的速度υc 为多少？ （2）圆筒转动的最大周期T 为多少？
（3）在圆筒以最大周期T 转动的情况下，要完成上述运动圆筒的半径R′必须为多少？
25．为了使航天员能适应在失重环境下是的工作和生活，国家航天局组织对航天员进行失重训练。

故需要创造一种失重环境；航天员乘坐到民航客机上后，训练客机总重5×104kg ，以200m/s 速度沿300倾角爬升到7000米高空后飞机向上拉起，沿竖直方向以200m/s 的初速度向上作匀减速直线运动，匀减速的加速度为g ，当飞机到最高点后立即掉头向下，仍沿竖直方向以加速度为g 加速运动，在前段时间内创造出完全失重，当飞机离地2000米高时为了安全必须拉起，后又可一次次重复为航天员失重训练。

若飞机飞行时所受的空气阻力f=Kv （k =900N·s/m ），每次飞机速度达到350m/s 后必须终止失重训练（否则飞机可能失速）。

求：（1）飞机一次上下运动为航天员创造的完全失重的时间。

（2）飞机下降离地4500米时飞机发动机的推力（整个运动空间重力加速度不变）。

（3）经过几次飞行后，驾驶员想在保持其它不变，在失重训练时间不变的情况下，降低飞机拉起的高度（在B 点前
把飞机拉起）以节约燃油，若不考虑飞机的长度，计算出一次最多能节约的能量。

F
26．如图所示，一根全长为L=125cm 的均匀玻璃管竖直放置，下端封闭，管内有h=25cm 的汞柱封闭了长度为l=64cm 的空气柱，初始温度27℃，大气压强p 0=75cmHg 。

(1)若从管口缓缓注入水银，最多可注入的水银柱的长度是多少?
(2)若逐渐升高气体温度，气体受热膨胀会将水银柱推至管顶并排出，问温度至少升高到多少度才能将水银柱全部推出玻璃管?
27．光滑绝缘水平面AB 上有C 、D 、E 三点．CD 长L 1＝10cm ，DE 长L 2＝2cm ，EB 长L 3＝9cm 。

另有一半径R ＝0.1m 的光滑半圆形金属导轨PM 与水平面相连，P 点接地，不计BP 连接处能量损失。

现将两个带电量为－4Q 和Q 的物体（可视作点电荷）固定在C 、D 两点，如图所示。

将另一带电量为＋q ，质量m ＝1⨯104kg 的金属小球（也可视作点电荷）从E 点静止释放，则（感应电荷的影响忽略不计）
（1）小球在水平面AB 运动过程中最大加速度和最大速度对应的位置
（2）若小球过圆弧的最高点后恰能击中放在C 处的物体，则小球
在最高点时的速度为多少?对轨道的压力为多大？
（3）若不改变小球的质量而改变小球的电量q ，发现小球落地点到B
点的水平距离s 与小球的电量q ，符合下图的关系，则图中与竖直轴的相交的纵截距应为多大?
（4）你还能通过图像求出什么物理量，其大小为多少？
28．如图所示，处于匀强磁场中的两根足够长、电阻不计的平行金属导轨相距lm ，导轨平面与水平面成θ=37°角，上端连接阻值为R ＝2Ω的电阻。

匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度Ｂ＝0.4Ｔ。

质量为0.2kg 、电阻为1Ω的金属棒ab ，以初速度v 0从导轨底端向上滑行，金属棒ab 在安培力和一平行与导轨平面的外力Ｆ的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为ａ＝3m/s 2、方向和初速度方向相反，在金属棒运动过程中，电阻R 消耗的最大功率为1.28W 。

设金属棒与导轨垂直并保持良好接触，它们之间的动摩擦因数为0.25。

(g=10 m/s 2，sin37°＝0.6， cos37°＝0.8) 求：
（1）金属棒产生的感应电动势的最大值 （2）金属棒初速度v 0的大小 （3）当金属棒速度的大小为初速度一半时施加在金属棒上外力Ｆ的大小和方向 （4）请画出金属棒在整个运动过程中外力Ｆ随时间t 变化所对应的图线
29．如图甲所示，MN 、PQ 为水平放置的足够长的平行光滑导轨，导轨间距L 为0.5m ，导轨左端连接一个2Ω的电阻R ，将一根质量m 为0.4 kg 的金属棒c d 垂直地放置导轨上，且与导轨接触良好，金属棒的电阻r 大小为0.5Ω，导轨的电阻不计，整个装置放在磁感强度B 为1T 的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下，现对金属棒施加一水平向右的拉力F ，使棒从静止开始向右运动．当棒的速度达到1 m/s 时，拉力的功率为0.4w ，此刻t ＝0开始计时并保持拉力的功率恒定，经一段时间金属棒达到稳定速度，在该段时间内电流通过电阻R 做的功为1.2 J ．试求： （1）金属棒的稳定速度；
（2）金属棒从开始计时直至达到稳定速度所需的时间；
（3）在乙图中画出金属棒所受拉力F 随时间t 变化的大致图象； （4）从开始计时直至达到稳定速度过程中，金属棒的最大加速度为多大？并证明流过金属棒的最大电量不会超过2.0C ． 30．在光滑绝缘的水平面上，长为2L 的绝缘轻质细杆的两端各连接一个质量均为m 的带电小球A 和B ，A 球的带电量为＋2q ，B 球的带电量为－3q （可视为质点，也不考虑两者间相互作用的库仑力）。

现让A 处于如图所示的有界匀强电场区域MPQN 内，已知虚线MP 位于细杆的中垂线，MP 和NQ 的距离为4L ，匀强电场的场强大小为E ，方向水平向右。

释放带电系统，让A 、B 从静止开始运动（忽略小球运动中所产生的磁场造成的影响）。

求：
（1）小球A 、B 运动过程中的最大速度；
（2）带电系统从开始运动到速度第一次为零所需的时间； （3）带电系统运动过程中，B 球电势能增加的最大值。

31．两个带电量均为+q 小球，质量均为m ，固定在轻质绝缘直角框架OAB （框架的直角边长均为L ）的两个端点A 、B 上，另一端点用光滑铰链固定在O 点，整个装置可以绕垂直于纸面的水平轴在竖直平面内自由转动。

（1）若施加竖直向上的匀强电场E 1，使框架OA 边水平、OB 边竖直并保持静止状态，则电场强度E 1多大？ （2）若改变匀强电场的大小和方向（电场仍与框架面平行），为使框架的OA 边水平、OB 边竖直（B 在O 的正下方），则所需施加的匀强电场的场强E 2至少多大？方向如何？
（3）若框架处在匀强电场E 1中OA 边水平、OB 边竖直并保持静止状态时，对小球B 施加一水平向右的恒力F ，则小球B
在何处时速度最大？最大值是多
L +q +q
E
参考答案
1．C 2．B 3．C 4．ABC 5．C 6．C 7．ACD 8．AC 9．C
10．32gR 32R 11．π2
5
（7.9）；t a gt 02
0cos ωω= 12．先增大后减小，22124V V g +
13．2 2 14．
()212
k +v v 15．2kQ 4L 2 ，（2＋4）kQ
4L 2
16．10 3.375 17．4/3 25 18．（1）1.15s （2）1.84s 19．1.01s 20．2
22)
(8f mg h
g m + 21．（1）t=3s ∆s=16m （2） 5s 22．（1）f =4N （2）42m （3）t 3=3 2
2
s(或2.1s)
23．（1）F N cos θ1＝mg ，F N sin θ1＝F 1，可解得θ1＝37︒
F N ＝mg/cos θ1，F N ＝KV 12，V 1＝mg/kcos θ ＝5 m/s （2）KV 12cos θ1=mg
KV 22cos θ2=mg
V 2=V 1
2
1
cos cos θθ=4.8m/s
F 2-KV 22sin θ2=ma
a=1.74m/s 2
（3）F 3sin α+KV 32 cos θ3 ≥ mg
F 3 ≥ (mg -KV 32 cos θ3) /sin α=1038N
24．（1）对小球从A→C 由机械能守恒定律有：mgh=mgR+
2
2
1υm 代入数值解出 s m /20=υ （2）小球向上穿出圆筒所用时间为t
T k t 2
1
21-=
（k=1，2，3……） 小球从离开圆筒到第二次进入圆筒所用时间为2t 2.。

2t 2=nT (n=1，2，3……) 对小球由C 竖直上抛的上升阶段，由速度公式得： 0=)(210t t g +-υ 联立解得 T=
s n k 1
24
.0-+ 当n=k=1时， T max =0.2s
（3）对小球在圆筒内上升的阶段，由位移公式得：
21102
1
2gt t R -='υ 代入数值解得 R '=0.075m
25．（1）55s （2）N kv f F 5
2107.2300900⨯=⨯===-
（3）N h kv mg W F 8
0010525.730sin /h ⨯=∆+∆=
26．（1）60 （2）468.75K
27．（1）带电小球最大加速度应在场强最大处即E 点处，带电小球最大速度就是场强为零点即距E 点8cm 处。

（2）N ＝1.025⨯10－
4N （3）（0，-0．16m ²）（4）通过图线的斜率可求
出 U EB ＝450V
28．（1） V 4.2V )12(8.0max =+⨯=ε （2）Bl
v ε
=
0 s m v /60=
（3）当s m v /3=时，N r
R v
l B F 16.02
2=+=安 分两种情况
ⅰ）在上升过程中
ma f G x =-++外安F F N 16.1=外F 方向沿导轨平面向上 ⅱ）在下降过程中
ma f G x =---外安F F N 04.0=外F 方向沿导轨平面向上
（4）如图所示
29．（1）ε＝BLv ， I ＝BLv
R ＋r ，F 安＝BIL ＝r
R v L B +2
2
当金属棒达到稳定速度时，F 安＝F 拉＝ 所以v 2＝2
2)
(L
B r R P +，代入数据得v ＝2m/s
（2）W R ＝1.2J ，所以Wr ＝0.3J ，W 电＝1.5J
Pt －W 电＝12mv 2－1
2
mv 02
代入数据得 t ＝5.25s
（3） F 的变化范围0.4N ～0.2N
图线起点与终点对应的纵坐标必须正确
（4） 作出速度图象如图所示
t ＝0时合外力为ΣF=0.4 -
3.00
22=+r
R v l B N v
P
t
(s)
1
6 t /s
打好基础 提升能力
用毅力战胜困难 - 11 - 这时加速度最大 75.0=∑=m
F a m m/s 2 证明：3
4=∆=∆m a v t s 金属棒的最大位移 S m ＜5.25×1+
8.92
1)33.125.525.5(=⨯-+m 流过金属棒的电量 5.025.08.91+⨯⨯=+∆r R S B Q ＜
C =1.97C ＜2.0C 证毕
30．（1）v m ＝2qEL m （2）Eq
mL t t t 2321=+= （3）∆W 1＝3Eq ⨯2L ＝6EqL 31．（1）1mg
E q =
（2） 当4πθ=
时，2min 2E q =
（3）框架力矩为零的时候小球B 的速度最大，即当OB 边右侧水平时B 速度最大
由动能定理可知222
1mv FL = B 球的最大速度为m FL v =。