数据结构课程设计：平衡二叉树

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数据结构c语言课设-二叉树排序

题目:二叉排序树的实现1 内容和要求1）编程实现二叉排序树，包括生成、插入，删除；2）对二叉排序树进展先根、中根、和后根非递归遍历；3）每次对树的修改操作和遍历操作的显示结果都需要在屏幕上用树的形状表示出来。

4）分别用二叉排序树和数组去存储一个班(50 人以上)的成员信息(至少包括学号、姓名、成绩3 项),比照查找效率，并说明在什么情况下二叉排序树效率高,为什么?2 解决方案和关键代码2.1 解决方案：先实现二叉排序树的生成、插入、删除，编写DisplayBST函数把遍历结果用树的形状表示出来。

前中后根遍历需要用到栈的数据构造，分模块编写栈与遍历代码。

要求比照二叉排序树和数组的查找效率，首先建立一个数组存储一个班的成员信息，分别用二叉树和数组查找，利用clock〔〕函数记录查找时间来比照查找效率。

2.2关键代码树的根本构造定义及根本函数typedef struct{KeyType key;} ElemType;typedef struct BiTNode//定义链表{ElemType data;struct BiTNode *lchild, *rchild;}BiTNode, *BiTree, *SElemType;//销毁树int DestroyBiTree(BiTree &T){if (T != NULL)free(T);return 0;}//清空树int ClearBiTree(BiTree &T){if (T != NULL){T->lchild = NULL;T->rchild = NULL;T = NULL;}return 0;}//查找关键字,指针p返回int SearchBST(BiTree T, KeyType key, BiTree f, BiTree &p) {if (!T){p = f;return FALSE;}else if EQ(key, T->data.key){p = T;return TRUE;}else if LT(key, T->data.key)return SearchBST(T->lchild, key, T, p);elsereturn SearchBST(T->rchild, key, T, p);}二叉树的生成、插入，删除生成void CreateBST(BiTree &BT, BiTree p){int i;ElemType k;printf("请输入元素值以创立排序二叉树:\n");scanf_s("%d", &k.key);for (i = 0; k.key != NULL; i++){//判断是否重复if (!SearchBST(BT, k.key, NULL, p)){InsertBST(BT, k);scanf_s("%d", &k.key);}else{printf("输入数据重复！\n");return;}}}插入int InsertBST(BiTree &T, ElemType e){BiTree s, p;if (!SearchBST(T, e.key, NULL, p)){s = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));s->data = e;s->lchild = s->rchild = NULL;if (!p)T = s;else if LT(e.key, p->data.key)p->lchild = s;elsep->rchild = s;return TRUE;}else return FALSE;}删除//某个节点元素的删除int DeleteEle(BiTree &p){BiTree q, s;if (!p->rchild) //右子树为空{q = p;p = p->lchild;free(q);}else if (!p->lchild) //左子树为空{q = p;p = p->rchild;free(q);}else{q = p;s = p->lchild;while (s->rchild){q = s;s = s->rchild;}p->data = s->data;if (q != p)q->rchild = s->lchild;elseq->lchild = s->lchild;delete s;}return TRUE;}//整棵树的删除int DeleteBST(BiTree &T, KeyType key) //实现二叉排序树的删除操作{if (!T){return FALSE;}else{if (EQ(key, T->data.key)) //是否相等return DeleteEle(T);else if (LT(key, T->data.key)) //是否小于return DeleteBST(T->lchild, key);elsereturn DeleteBST(T->rchild, key);}return 0;}二叉树的前中后根遍历栈的定义typedef struct{SElemType *base;SElemType *top;int stacksize;}SqStack;int InitStack(SqStack &S) //构造空栈{S.base = (SElemType*)malloc(STACK_INIT_SIZE *sizeof(SElemType));if (!S.base) exit(OVERFLOW);S.top = S.base;S.stacksize = STACK_INIT_SIZE;return OK;}//InitStackint Push(SqStack &S, SElemType e) //插入元素e为新栈顶{if (S.top - S.base >= S.stacksize){S.base = (SElemType*)realloc(S.base, (S.stacksize + STACKINCREMENT)*sizeof(SElemType));if (!S.base) exit(OVERFLOW);S.top = S.base + S.stacksize;S.stacksize += STACKINCREMENT;}*S.top++ = e;return OK;}//Pushint Pop(SqStack &S, SElemType &e) //删除栈顶,应用e返回其值{if (S.top == S.base) return ERROR;e = *--S.top;return OK;}//Popint StackEmpty(SqStack S) //判断是否为空栈{if (S.base == S.top) return TRUE;return FALSE;}先根遍历int PreOrderTraverse(BiTree T, int(*Visit)(ElemType e)) {SqStack S;BiTree p;InitStack(S);p = T;while (p || !StackEmpty(S)){if (p){Push(S, p);if (!Visit(p->data)) return ERROR;p = p->lchild;}else{Pop(S, p);p = p->rchild;}}return OK;}中根遍历int InOrderTraverse(BiTree T, int(*Visit)(ElemType e)) {SqStack S;BiTree p;InitStack(S);p = T;while (p || !StackEmpty(S)){if (p){Push(S, p);p = p->lchild;}else{Pop(S, p);if (!Visit(p->data)) return ERROR;p = p->rchild;}}return OK;}后根遍历int PostOrderTraverse(BiTree T, int(*Visit)(ElemType e)) {SqStack S, SS;BiTree p;InitStack(S);InitStack(SS);p = T;while (p || !StackEmpty(S)){if (p){Push(S, p);Push(SS, p);p = p->rchild;}else{if (!StackEmpty(S)){Pop(S, p);p = p->lchild;}}}while (!StackEmpty(SS)){Pop(SS, p);if (!Visit(p->data)) return ERROR;}return OK;}利用数组存储一个班学生信息ElemType a[] = { 51, "陈继真", 88,82, "黄景元", 89,53, "贾成", 88,44, "呼颜", 90,25, "鲁修德", 88,56, "须成", 88,47, "孙祥", 87, 38, "柏有患", 89, 9, " 革高", 89, 10, "考鬲", 87, 31, "李燧", 86, 12, "夏祥", 89, 53, "余惠", 84, 4, "鲁芝", 90, 75, "黄丙庆", 88, 16, "李应", 89, 87, "杨志", 86, 18, "李逵", 89, 9, "阮小五", 85, 20, "史进", 88, 21, "秦明", 88, 82, "杨雄", 89, 23, "刘唐", 85, 64, "武松", 88, 25, "李俊", 88, 86, "卢俊义", 88, 27, "华荣", 87, 28, "杨胜", 88, 29, "林冲", 89, 70, "李跃", 85, 31, "蓝虎", 90, 32, "宋禄", 84, 73, "鲁智深", 89, 34, "关斌", 90, 55, "龚成", 87, 36, "黄乌", 87, 57, "孔道灵", 87, 38, "张焕", 84, 59, "李信", 88, 30, "徐山", 83, 41, "秦祥", 85, 42, "葛公", 85, 23, "武衍公", 87, 94, "范斌", 83, 45, "黄乌", 60, 67, "叶景昌", 99, 7, "焦龙", 89, 78, "星姚烨", 85, 49, "孙吉", 90, 60, "陈梦庚", 95,};数组查询函数void ArraySearch(ElemType a[], int key, int length){int i;for (i = 0; i <= length; i++){if (key == a[i].key){cout << "学号：" << a[i].key << " 姓名：" << a[i].name << " 成绩：" << a[i].grade << endl;break;}}}二叉树查询函数上文二叉树根本函数中的SearchBST()即为二叉树查询函数。

平衡二叉树

2算法
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红黑树
红黑树是一种自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构，典型的用途是实现关联数组。它是在1972年由Rudolf Bayer发明的，他称之为"对称二叉B树"，它现代的名字是在 Leo J. Guibas 和 Robert Sedgewick 于1978年写的一篇论文中获得的。它是复杂的，但它的操作有着良好的最坏情况运行时间，并且在实践中是高效的: 它可以在O(log n)时间内做查找，插入和删除，这里的n是树中元素的数目。
伸展树
伸展树（Splay Tree）是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由Daniel Sleator和Robert Tarjan创造。它的优势在于不需要记录用于平衡树的冗余信息。在伸展树上的一般操作都基于伸展操作。
SBT
Size Balanced Tree（简称SBT）是一自平衡二叉查找树，是在计算机科学中用到的一种数据结构。它是由中国广东中山纪念中学的陈启峰发明的。陈启峰于2006年底完成论文《Size Balanced Tree》，并在2007年的全国青少年信息学奥林匹克竞赛冬令营中发表。由于SBT的拼写很容易找到中文谐音，它常被中国的信息学竞赛选手和ACM/ICPC选手们戏称为“傻B树”、“Super BT”等。相比红黑树、AVL树等自平衡二叉查找树，SBT更易于实现。据陈启峰在论文中称，SBT是“目前为止速度最快的高级二叉搜索树”。SBT能在O(log n)的时间内完成所有二叉搜索树（BST）的相关操作，而与普通二叉搜索树相比，SBT仅仅加入了简洁的核心操作Maintain。由于SBT赖以保持平衡的是size域而不是其他“无用”的域，它可以很方便地实现动态顺序统计中的select和rank操作。

平衡二叉树

#define EH 0 //等高
#define RH -1 //右高
//平衡二叉树的类型
struct AVLNode
{
int data;
int bf; //bf结点的平衡因子,只能够取0，-1，1，为左子树的深度减去右子树的深度
struct AVLNode *lchild,*rchild; //左、右孩子指针
{
AVLNode *rc,*rd;
rc=T->rchild;
switch(rc->bf)
{
case RH:
T->bf=rc->bf=EH;
L_Rotate(T);
break;
case LH:
rd=rc->lchild;
switch(rd->bf)
{
case RH:
T->bf=LH;
rc->bf=EH;
};
2.右旋操作：
void R_Rotate(AVLNode *&p)//LL型算法
{
AVLNode *lc=p->lchild; // lc指向p的左子树根结点
p->lchild=lc->rchild; // lc的右子树挂接为p（之前跟节点）的左子树
lc->rchild=p;
p=lc; // p指向新的根结点
插入和删除：
插入删除是互为镜像的操作。我们可以采用前面对二叉排序树的删除操作来进行。然后，在删除掉结点后，再对平衡树进行平衡化处理。删除之所以删除操作需要的平衡化可能比插入时次数多，就是因为平衡化不会增加子树的高度，但是可能会减少子树的高度，在有有可能使树增高的插入操作中，一次平衡化能抵消掉增高；在有可能使树减低的删除操作中，平衡化可能会带来祖先节点的不平衡。AVL树体现了一种平衡的美感，两种旋转是互为镜像的，插入删除是互为镜像的操作，没理由会有那么大的差别。实际上，平衡化可以统一的这样来操作：

数据结构：第9章查找2-二叉树和平衡二叉树

NODE *t; char x; {if(t==NULL)
return(NULL); else
{if(t->data==x) return(t);
if(x<(t->data) return(search(t->lchild,x));
else return(search(t->lchild,x)); } }
——这种既查找又插入的过程称为动态查找。二叉排序树既有类似于折半查找的特性，又采用了链表存储，它是动态查找表的一种适宜表示。
注：若数据元素的输入顺序不同，则得到的二叉排序树形态也不同！
讨论1：二叉排序树的插入和查找操作例：输入待查找的关键字序列=（45，24，53，45，12，24，90）
二叉排序树的建立对于已给定一待排序的数据序列,通常采用逐步插入结点的方法来构造二叉排序树,即只要反复调用二叉排序树的插入算法即可，算法描述为： BiTree *Creat (int n) //建立含有n个结点的二叉排序树 { BiTree *BST= NULL;
for ( int i=1; i<=n; i++) { scanf(“%d”,&x); //输入关键字序列
– 法2：令*s代替*p
将S的左子树成为S的双亲Q的右子树，用S取代p 。若C无右子树，用C取代p。
例：请从下面的二叉排序树中删除结点P。
F P
法1:
F
P
C
PR
C
PR
CL Q
CL QL
Q SL
S PR
QL S
SL
法2:
F
PS
C
PR
CL Q
QL SL S SL

数据结构：二叉树、平衡二叉树、红黑树详解

数据结构：⼆叉树、平衡⼆叉树、红⿊树详解⼀、⼆叉树（binary tree）指每个节点最多含有两个⼦树的树结构。

时间复杂度为O(log N)，在退化成链表的情况下时间复杂度为O(N)。

特点：1.所有节点最多拥有两个⼦节点；2.节点的左⼦树只包含⼩于当前根节点的数，节点的右⼦树只包含⼤于当前根节点的数。

缺点：只会以我们第⼀次添加的节点为根节点，如果后⾯添加的节点值都⼤于或⼩于根节点的值，在这种情况下会退化成链表。

⼆、平衡⼆叉树（Balanced Binary Tree）⼜称为AVL树，具有⼆叉树的全部特性，解决⼆叉树退化成链表情况的问题，每个节点的左⼦树和右⼦树的⾼度之差不会超过1，AVL树是严格的平衡⼆叉树，追求完全平衡，⽐较严格。

缺点：由于要求每个节点的左⼦树和右⼦树⾼度之差不超过1，这个要求⾮常严格，追求完全平衡，这就导致了在频繁插⼊和删除的场景中，可能就会导致AVL树失去平衡，AVL树就需要频繁的通过左旋右旋使其重新达到平衡，这时就会时得其性能⼤打折扣。

三、红⿊树和AVL树相⽐，红⿊树放弃追求完全平衡，⽽是追求⼤致平衡，保证每次插⼊节点最多只需要三次旋转就能达到平衡，维持平衡的耗时较少，实现起来也更为简单，它的旋转次数较少，对于频繁插⼊和删除操作的场景，相⽐AVL树，红⿊树更具优势。

特征：1.红⿊树是也是平衡⼆叉树实现的⼀种⽅式2.节点只能是⿊⾊或者红⾊，root根节点⼀定是⿊⾊3.新增时默认新增的节点是红⾊，不允许两个红⾊节点相连4.红⾊节点的两个⼦节点⼀定是⿊⾊红⿊树变换规则三种规则：1.改变节点颜⾊2.左旋转3.右旋转变⾊的情况：当前节点的⽗亲节点是红⾊，并且它的祖⽗节点的另外⼀个⼦节点（叔叔节点）也是红⾊：以当前节点为指针进⾏操作1.将⽗亲节点变为⿊⾊2.将叔叔节点变为⿊⾊3.将祖⽗节点变为红⾊4.再把指针定义到祖⽗节点进⾏旋转操作左旋转：当⽗亲节点为红⾊情况，叔叔节点为⿊⾊情况，且当前节点是右⼦树，左旋转以⽗节点作为左旋。

数据结构课程设计

数据结构课程设计实验1 线性表及其应用1．集合的并、交和差【问题描述】编制一个能演示执行集合的并、交和差运算的程序【基本要求】1）集合的元素限定为小写字母；2）演示程序以用户和计算机的对话方式执行。

void Union(OrderedSet &T,OrderedSet S1, OrderedSet S2){//求已建成的集合Sl和S2的并集T,即:S1.head!=NULL且S2.head!=NULL if(InitList(T){pl=GetEiemPos(Sl,1);p2=GetElemPos(S2,l);while(pl&&p2){cl=Elem(pl); c2=Elem(p2);if(cl<=c2){Append(T,Copy(pl);pl=SuccNode(pl);if(cl==c2) p2=SuccNode(p2);}else{ Append(T,Copy(p2)); p2=SuccNode(p2); }while(pl){ Append( T,Copy(pl)); pl=SuccNode(pl);}while(p2){Append(T,Copy(p2)); p2=SuccNode(p2);}}}//Unionvotd Intersection(OrderedSet &T,OrderedSet S1; OrderedSet S2) {//求集合 Sl 和 S2 的交集 Tif(!InitList(T)) T.head =NULL;else{pl=GetElemPos(S1,1);p2=GetElemPos(S2,l);while(pl&&p2){c1=Elem(p1);c2=Elem(p2);if(cl<c2) pl=SuccNode(pl);else if(cl>c2) p2=SuccNode(p2);else{ //cl==c2Append(T,Copy(pl));pl=SuccNode(pl);p2=SuccNode(p2);}//else}//while}// else}//Intersectionvoid Difference(OrderedSet &T,OrderedSet S1,OrderedSet S2) {//求集合Sl和S2的差集Tif(!InitList(T)) T.head =NULL;else {pl =GetElemPos(S1,l);p2=GetElemPos(S2,1);while(pl&&p2){cl=Elem(pl);c2=Elem(p2);if(cl<c2){Append(T,Copy(pl));pl=SuccNode(pl)else if(cl>c2) p2=SuccNode(p2);else // Cl ==c2{pl =SuccNode(p1);p2=SuccNode(p2);}}//whilewhile(pl){Apend(T,Copy(pl));p =SuccNode(pl);}}//else}//Differencevoid WriteSetElem(LinkType p){//显示集合的一个元素pramtk'Jh WriteElem(Elem(p));}//WriteSetElemvotd Printset(OrderedSet T){//显示集合的全部元素p=GetElemPos(T,1);printf('[']);if(p){WriteElem(Elem(p);p=SuccNode(p);}ListTraverse(p,WriteSetElem());Prtntf(')]');}//Printset实验2 栈、队列和递归程序设计2. 迷宫问题。

名词解释平衡二叉树

平衡二叉树介绍平衡二叉树（Balanced Binary Tree），简称AVL树，是一种特殊的二叉搜索树。

在平衡二叉树中，任意节点的左子树和右子树的高度之差不超过1。

这种平衡性的特点使得平衡二叉树的查找、插入和删除操作的时间复杂度保持在O(log n)级别，极大地提高了数据结构的效率。

定义和性质平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，满足以下性质： 1. 空树或者任意节点的左右子树高度之差的绝对值不超过1。

2. 左子树和右子树都是平衡二叉树。

对于平衡二叉树，我们还可以得出一些重要的结论： 1. 平衡二叉树的任意节点的左子树和右子树的高度差不超过1。

也就是说，平衡二叉树的高度是一个较小的常数倍数。

2. 平衡二叉树的最小高度是log n，最大高度是2log n。

实现方法为了保持二叉树的平衡，我们需要对插入和删除操作进行适当的调整。

下面介绍两种常见的平衡二叉树实现方法。

AVL树AVL树是最早提出的平衡二叉树之一。

在AVL树中，每个节点都会存储一个额外的信息，即平衡因子（balance factor）。

平衡因子的定义是左子树的高度减去右子树的高度。

如果平衡因子的绝对值大于1，就需要进行平衡调整。

AVL树的平衡调整分为四种情况：左-左旋转(LL)，右-右旋转(RR)，左-右旋转(LR)，和右-左旋转(RL)。

通过这四种旋转操作，可以使得树重新达到平衡状态。

红黑树红黑树是另一种常见的平衡二叉树。

红黑树的平衡调整是通过变换节点的颜色和旋转节点来完成的。

红黑树的规则如下： 1. 每个节点要么是红色，要么是黑色。

2. 根节点是黑色。

3. 所有叶子节点（NIL节点）都是黑色。

4. 如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的。

5. 任意节点到其每个叶子节点的路径上包含相同数目的黑色节点。

通过对节点进行颜色变换和旋转操作，红黑树可以在插入和删除节点的过程中保持平衡。

平衡二叉树的应用平衡二叉树在计算机科学中有广泛的应用。

二叉排序树课程设计

二叉排序树课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解二叉排序树的基本概念和性质，掌握其结构特点和应用场景。

2. 学生能够掌握二叉排序树的插入、删除和查找操作，并了解其时间复杂度。

3. 学生能够理解二叉排序树与其他排序算法的关系，了解其在排序中的应用。

技能目标：1. 学生能够运用所学知识，独立构建二叉排序树，并实现插入、删除和查找功能。

2. 学生能够分析二叉排序树的性能，对其进行优化，提高排序效率。

3. 学生能够运用二叉排序树解决实际问题，如数据排序、查找等。

情感态度价值观目标：1. 学生通过学习二叉排序树，培养对数据结构和算法的兴趣，提高解决问题的能力。

2. 学生在学习过程中，学会合作、交流，培养团队精神和共享意识。

3. 学生能够认识到二叉排序树在实际应用中的价值，激发对计算机科学的热爱。

本课程针对高中年级学生，课程性质为理论与实践相结合。

在教学过程中，注重启发式教学，引导学生主动探究、实践。

根据学生特点和教学要求，课程目标具体、可衡量，以便学生和教师能够清晰地了解课程的预期成果。

课程目标的分解为具体的学习成果，为后续的教学设计和评估提供依据。

二、教学内容1. 引入二叉排序树的概念，讲解其定义、性质和基本操作。

- 理解二叉树的基础知识，回顾二叉树的遍历方法。

- 介绍二叉排序树的定义，阐述其特点及应用场景。

- 分析二叉排序树的性质，如二叉排序树的中序遍历结果为有序序列。

2. 探讨二叉排序树的构建、插入、删除和查找操作。

- 讲解二叉排序树的构建方法，学会从无序数据建立二叉排序树。

- 分析插入、删除和查找操作的步骤，理解它们的时间复杂度。

- 举例说明如何利用二叉排序树实现数据排序和查找。

3. 分析二叉排序树的性能及优化方法。

- 探讨二叉排序树的高度、平衡因子等性能指标。

- 介绍常见的优化方法，如平衡二叉树（AVL树）和红黑树。

4. 实践环节：二叉排序树的应用。

- 设计实践题目，让学生动手实现二叉排序树的基本操作。

二叉树与平衡二叉树实现

数据结构课程设计(1)作业A一、大型作业（课程设计）题目和内容1.1二叉排序树与平衡二叉排序树基本操作的实现1.用二叉链表作储存结构（1）以回车（‘\n’）为输入结束标志，输入数列L，生成二叉排序树T；（2）对二叉排序树T作中序遍历,输出结果；（3）计算二叉排序树T的平均查找长度，输出结果；（4）输入元素x，查找二叉排序树T，如果存在含x的结点，则删除该结点，并作中序遍历(执行操作2)；否则输出信息“无结点x”；（5）判断二叉排序树T是否为平衡二叉树，输出信息“OK!”/“NO!”;*（6）再用数列L，生成平衡二叉排序树BT：当插入新元素后，发现当前二叉排序树BT 不是平衡二叉排序树，则立即将它转换成新的平衡二叉排序树BT；*（7）计算平衡二叉排序树BT的平均查找长度，输出结果。

2、用顺序表（一维数组）作存储结构（1）以回车（‘\n’）为输入结束标志，输入数列L，生成二叉排序树T；（2）对二叉排序树T作中序遍历,输出结果；（3）计算二叉排序树T的平均查找长度，输出结果；（4）输入元素x，查找二叉排序树T，如果存在含x的结点，则删除该结点，并作中序遍历(执行操作2)；否则输出信息“无结点x”；（5）判断二叉排序树T是否为平衡二叉树，输出信息“OK!”/“NO!”。

二. 程序中所采用的数据结构及存储结构的说明程序中的数据采用“树形结构”作为其数据结构。

具体的，我采用的是“二叉排序树”。

二叉排序树或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：（1）若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；（2）若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；（3）它的左右子树也分别为二叉排序树。

程序中分别采用了“二插链表”和“一维数组”作为其存储结构。

二插链表存储结构中二插树的结点由一个数据元素和分别指向其左、右子树的两个分支构成。

如：我的程序中采用的结构是：typedef struct Tnode{int data;struct Tnode *lchild,*rchild；}*node,BSTnode;一维数组顺序表存储结构是用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左而右存储完全二插树上的结点元素，即将完全二叉树上编号为i的结点元素存储在如上定义的一维数组中下标为i-1的分量中。

数据结构平衡二叉树课程设计

数据结构平衡二叉树课程设计数据结构是计算机科学中的基础，平衡二叉树是其中比较重要的一种数据结构。

平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它能够保持树的平衡，从而使插入、删除、查找节点的时间复杂度为 O(log n)。

为了更好地学习和理解平衡二叉树，最好是通过一个课程设计来实践。

第一步：学习基本概念在开始设计平衡二叉树课程之前，需要先学习一些基本概念。

这包括什么是二叉搜索树，什么是平衡树以及如何实现平衡树。

二叉搜索树是一种有序树，左子树的节点值小于根节点的值，右子树的节点值大于根节点的值。

平衡树是一种特殊的二叉搜索树，它需要满足任意节点的左右子树高度差不超过1。

平衡树有很多种实现方式，如AVL 树、红黑树等。

第二步：设计课程内容在设计平衡二叉树课程时，需要包括以下内容：1. 二叉搜索树的基本操作（插入、删除、查找节点）2. 平衡二叉树的定义和性质3. AVL树的实现方法和性质4. 红黑树的实现方法和性质5. 应用：平衡二叉树的应用第三步：课程实践在学习以上内容后，可以进行一些课程实践。

比如，可以通过实现一个平衡二叉树来巩固和深化对平衡树的理解。

也可以通过实现某个应用，如在平衡二叉树上实现字典功能等。

这样可以让学生更加深入地了解平衡树的实现和应用。

第四步：总结最后一步是总结课程的收获和体会。

学生可以总结自己在课程中所学到的知识和技能，以及对平衡二叉树的理解和应用。

对于老师而言，也应该对课程进行反思，总结哪些方面可以进一步改进，如何更好地帮助学生掌握平衡二叉树的概念和实现方法。

总之，平衡二叉树是一种非常重要的数据结构，学习平衡二叉树不仅可以提高编程能力，也可以帮助我们更好地理解和应用其他的数据结构。

通过以上步骤的课程设计，可以更加深入地学习和掌握平衡二叉树，并且在实践中加深对平衡树的理解和应用。

算法（平衡二叉树）

算法（平衡⼆叉树）科普⼆叉树⼆叉树⼆叉数是每个节点最多有两个⼦树,或者是空树(n=0),或者是由⼀个根节点及两个互不相交的,分别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成满⼆叉树有两个⾮空⼦树(⼆叉树中的每个结点恰好有两个孩⼦结点切所有叶⼦结点都在同⼀层)也就是⼀个结点要么是叶结点，要么是有两个⼦结点的中间结点。

深度为k且含有2^k-1个结点的⼆叉树完全⼆叉树从左到右依次填充从根结点开始，依次从左到右填充树结点。

除最后⼀层外，每⼀层上的所有节点都有两个⼦节点，最后⼀层都是叶⼦节点。

平衡⼆叉树AVL树[3,1,2,5,9,7]⾸先科普下⼆叉排序树⼜称⼆叉查找树,议程⼆叉搜索树⼆叉排序树的规则⽐本⾝⼤放右边,⽐本⾝⼩放左边平衡⼆叉数⾸先是⼀个⼆叉排序树左右两个⼦树的⾼度差不⼤于1下⾯图中是平衡的情况下⾯是不平衡的情况引⼊公式(LL)右旋function toateRight(AvlNode){let node=AvlNode.left;//保存左节点 AvlNode.left=node.right;node.right=AvlNode;}(RR)左旋function roateLeft(AvlNode){let node=AvlNode.right;//保存右⼦节点AvlNode.right=node.left;node.left=AvlNode;return node;}左右旋⼤图判断⼆叉树是不是平衡树⼆叉树任意结点的左右⼦树的深度不超过1深度计算定义⼀个初始化的⼆叉树var nodes = {node: 6,left: {node: 5,left: {node: 4},right: {node: 3}},right: {node: 2,right: {node: 1}}}//计算⾼度const treeDepth = (root) => {if (root == null) {return 0;}let left = treeDepth(root.left)let right = treeDepth(root.right)return 1+(left>right?left:right)}//判断深度const isTree=(root)=>{if (root == null) {return true;}let left=treeDepth(root.left)let right=treeDepth(root.right)let diff=left-right;if (diff > 1 || diff < -1) {return false}return isTree(root.left)&&isTree(root.right) }console.log(isTree(nodes))判断⼆叉数是不是搜索⼆叉树//第⼀种 //中序遍历let last=-Infinity;const isValidBST=(root)=>{if (root == null) {return true;}//先从左节点开始if (isValidBST(root.left)) {if (last < root.node) {last=root.node;return isValidBST(root.right)}}return false}console.log(isValidBST(nodes))//第⼆种const isValidBST = root => {if (root == null) {return true}return dfs(root, -Infinity, Infinity)}const dfs = (root, min, max) => {if (root == null) {return true}if (root.node <= min || root.node >= max) {return false}return dfs(root.left, min, root.node) && dfs(root.right, root.node, max)}console.log(isValidBST(nodes))实现⼀个⼆叉树实现了⼆叉树的添加,删除,查找,排序//⼆叉树结点class TreeNode {constructor(n, left, right){this.n = n;this.left = left;this.right = right;}}//⼆叉树class BinaryTree {constructor(){this.length = 0;this.root = null;this.arr = [];}//添加对外⼊⼝，⾸个参数是数组，要求数组⾥都是数字，如果有不是数字则试图转成数字，如果有任何⼀个⽆法强制转成数字，则本操作⽆效 addNode(){let arr = arguments[0];if(arr.length == 0) return false;return this.judgeData('_addNode', arr)}//删除结点deleteNode(){let arr = arguments[0];if(arr.length == 0) return false;return this.judgeData('_deleteNode', arr)}//传值判断，如果全部正确，则全部加⼊叉树judgeData(func, arr){let flag = false;//任何⼀个⽆法转成数字，都会失败if(arr.every(n => !Number.isNaN(n))){let _this = this;arr.map(n => _this[func](n));flag = true;}return flag;}//添加的真实实现_addNode(n){n = Number(n);let current = this.root;let treeNode = new TreeNode(n, null, null);if(this.root === null){this.root = treeNode;}else {current = this.root;while(current){let parent = current;if(n < current.n){current = current.left;if(current === null){parent.left = treeNode;}}else {current = current.right;if(current === null){parent.right = treeNode;}}}}this.length++;return treeNode;}//删除节点的真实实现_deleteNode(n){n = Number(n);if(this.root === null){return;}//查找该节点，删除节点操作⽐较复杂，为排除找不到被删除的节点的情况，简化代码，先保证该节点是存在的，虽然这样做其实重复了⼀次查询了，但⼆叉树的查找效率很⾼，这是可接受的let deleteNode = this.findNode(n);if(!deleteNode){return;}//如果删除的是根节点if(deleteNode === this.root){if(this.root.left === null && this.root.right === null){this.root = null;}else if(this.root.left === null){this.root = this.root.right;}else if(this.root.right === null){this.root = this.root.left;}else {let [replaceNode, replacePNode, rp] = this.findLeftTreeMax(deleteNode);replacePNode[rp] = null;replaceNode.left = this.root.left;replaceNode.right = this.root.right;this.root = replaceNode;}}else {//被删除的⽗节点，⼦节点在⽗节点的位置p，有left,right两种可能let [deleteParent, p] = this.findParentNode(deleteNode);if(deleteNode.left === null && deleteNode.right === null){deleteParent[p] = null;}else if(deleteNode.left === null){deleteParent[p] = deleteNode.right;}else if(deleteNode.right === null){deleteParent[p] = deleteNode.left;}else {//⽤来替换被删除的节点，⽗节点，节点在⽗节点的位置let [replaceNode, replacePNode, rp] = this.findLeftTreeMax(deleteNode);if(replacePNode === deleteNode){deleteParent[p] = replaceNode;}else {deleteParent[p] = replaceNode;replacePNode.right = null;}replacePNode[rp] = null;replaceNode.left = deleteNode.left;replaceNode.right = deleteNode.right;}}this.length--;}//查找findNode(n){let result = null;let current = this.root;while(current){if(n === current.n){result = current;break;}else if(n < current.n){current = current.left;}else {current = current.right;}}return result;}//查找⽗节点findParentNode(node){let [parent, child, p] = [null, null, null];if(this.root !== node){parent = this.root;if(node.n < parent.n){child = parent.left;p = 'left';}else {child = parent.right;p = 'right';}while(child){if(node.n === child.n){break;}else if(node.n < child.n){parent = child;child = parent.left;p = 'left';}else {parent = child;child = parent.right;p = 'right';}}}return [parent, p];}//查找当前有左⼦树的节点的最⼤值的节点M，如有A个节点被删除，M是最接近A点之⼀（还有⼀个是右⼦树节点的最⼩值） findLeftTreeMax(topNode){let [node, parent, p] = [null, null, null];if(this.root === null || topNode.left === null){return [node, parent, p];}parent = topNode;node = topNode.left;p = 'left';while(node.right){parent = node;node = node.right;p = 'right';}return [node, parent, p];}//查找最⼤值maxValue(){if(this.root !== null){return this._findLimit('right');}}//查找最⼩值minValue(){if(this.root !== null){return this._findLimit('left');}}//实现查找特殊值_findLimit(pro){let n = this.root.n;let current = this.root;while(current[pro]){current = current[pro];n = current.n;}return n;}//中序排序,并⽤数组的形式显⽰sortMiddleToArr(){this._sortMiddleToArr(this.root);return this.arr;}//中序⽅法_sortMiddleToArr(node){if(node !== null){this._sortMiddleToArr(node.left);this.arr.push(node.n);this._sortMiddleToArr(node.right);}}//打印⼆叉树对象printNode(){console.log(JSON.parse(JSON.stringify(this.root)));}}//测试var binaryTree = new BinaryTree();binaryTree.addNode([50, 24, 18, 65, 4, 80, 75, 20, 37, 40, 60]);binaryTree.printNode();//{n: 50, left: {…}, right: {…}}console.log(binaryTree.maxValue());//80console.log(binaryTree.minValue());//4console.log(binaryTree.sortMiddleToArr());// [4, 18, 20, 24, 37, 40, 50, 60, 65, 75, 80] binaryTree.deleteNode([50]);binaryTree.printNode();//{n: 40, left: {…}, right: {…}}排序复习function ArrayList() {this.array = [];}ArrayList.prototype = {constructor: ArrayList,insert: function(item) {this.array.push(item);},toString: function() {return this.array.join();},swap: function(index1, index2) {var aux = this.array[index2];this.array[index2] = this.array[index1];this.array[index1] = aux;},//冒泡排序bubbleSort: function() {var length = this.array.length;for (var i = 0; i < length; i++) {for (var j = 0; j < length - 1 - i; j++) {if (this.array[j] > this.array[j + 1]) {this.swap(j, j + 1);}}}},//选择排序selectionSort: function() {var length = this.array.length;var indexMin;for (var i = 0; i < length - 1; i++) {indexMin = i;for (var j = i; j < length; j++) {if (this.array[indexMin] > this.array[j]) {indexMin = j;}}if (indexMin !== i) {this.swap(indexMin, i);}}},//插⼊排序insertionSort: function() {var length = this.array.length;var j;var temp;for (var i = 1; i < length; i++) {temp = this.array[i];j = i;while (j > 0 && this.array[j - 1] > temp) {this.array[j] = this.array[j - 1];j--;}this.array[j] = temp;}},//归并排序mergeSort: function() {function mergeSortRec(array) {var length = array.length;if (length === 1) {return array;}var mid = Math.floor(length / 2);var left = array.slice(0, mid);var right = array.slice(mid, length);return merge(mergeSortRec(left), mergeSortRec(right)); }function merge(left, right) {var result = [];var il = 0;var ir = 0;while (il < left.length && ir < right.length) {if (left[il] < right[ir]) {result.push(left[il++]);} else {result.push(right[ir++]);}}while (il < left.length) {result.push(left[il++]);}while (ir < right.length) {result.push(right[ir++]);}return result;}this.array = mergeSortRec(this.array);},//快速排序quickSort:function(){function sort(array){if (array.length <= 1) {return array;}var pivotIndex = Math.floor(array.length/2);var pivot = array.splice(pivotIndex,1)[0];var left = [];var right = [];for(var i = 0; i < array.length; i++){if (array[i] < pivot) {left.push(array[i]);}else{right.push(array[i]);}}return sort(left).concat([pivot],sort(right));}this.array = sort(this.array);}};...................................................................................................................############################################################################ ###################################################################################。

《数据结构》课程设计--二叉排序树调整为平衡二叉树

《数据结构》课程设计--二叉排序树调整为平衡二叉树2013-2014学年第一学期《数据结构》课程设计报告题目：二叉排序树调整为平衡二叉树专业：网络工程班级：二姓名：汪杰指导教师：刘义红成绩：计算机与信息工程系2013年 1 月 2日目录1、问题描述………………………………………2、设计思路(数学模型的选择) ……………3、二叉排序树和平衡二叉树定义…………………………4、程序清单……………………………5.程序功能说明……………………………5.运行与调试分析………………………6.总结…………………………………1.问题描述输入带排序序列生成二叉排序树，并调整使其变为平衡二叉树，运行并进行调试。

2.设计思路平衡二叉树的调整方法平衡二叉树是在构造二叉排序树的过程中，每当插入一个新结点时，首先检查是否因插入新结点而破坏了二叉排序树的平衡性，若是，则找出其中的最小不平衡子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整最小不平衡子树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转，使之成为新的平衡子树。

具体步骤如下：⑴每当插入一个新结点，从该结点开始向上计算各结点的平衡因子，即计算该结点的祖先结点的平衡因子，若该结点的祖先结点的平衡因子的绝对值均不超过1，则平衡二叉树没有失去平衡，继续插入结点；⑵若插入结点的某祖先结点的平衡因子的绝对值大于1，则找出其中最小不平衡子树的根结点；⑶判断新插入的结点与最小不平衡子树的根结点的关系，确定是哪种类型的调整；⑷如果是LL型或RR型，只需应用扁担原理旋转一次，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；如果是LR型或LR型，则需应用扁担原理旋转两次，第一次最小不平衡子树的根结点先不动，调整插入结点所在子树，第二次再调整最小不平衡子树，在旋转过程中，如果出现冲突，应用旋转优先原则调整冲突；3.二叉排序树和平衡二叉树定义二叉排序树二叉排序树（Binary Sort Tree）又称二叉查找树。

数据结构_第9章_查找2-二叉树和平衡二叉树

F
PS
C
PR
CL Q
QL SL S SL
10
3
18
2
6 12
6 删除10
3
18
2
4 12
4
15
15
三、二叉排序树的查找分析
1) 二叉排序树上查找某关键字等于给定值的结点过程，其实就是走了一条从根到该结点的路径。比较的关键字次数＝此结点的层次数; 最多的比较次数＝树的深度（或高度），即 log2 n+1
-0 1 24
0 37
0 37
-0 1
需要RL平衡旋转 (绕C先顺后逆）
24
0
-012
13
3573
0
01
37
90
0 53 0 53
0 90
作业
已知如下所示长度为12的表：
（Jan, Feb, Mar, Apr, May, June, July, Aug, Sep, Oct, Nov, Dec）
(1) 试按表中元素的顺序依次插入一棵初始为空的二叉排序树，画出插入完成之后的二叉排序树，并求其在等概率的情况下查找成功的平均查找长度。
2) 一棵二叉排序树的平均查找长度为：
n i1
ASL 1
ni Ci
m
其中：
ni 是每层结点个数； Ci 是结点所在层次数； m 为树深。
最坏情况：即插入的n个元素从一开始就有序， ——变成单支树的形态！
此时树的深度为n ; ASL= (n+1)/2 此时查找效率与顺序查找情况相同。
最好情况：即：与折半查找中的判ห้องสมุดไป่ตู้树相同（形态比较均衡）树的深度为：log 2n +1 ； ASL=log 2(n+1) –1 ；与折半查找相同。

二叉排序树与平衡二叉排序树基本操作的实现文本文档

10 设计说明书（论文）质量 30 综述简练完整，有见解；立论正确，论述充分，结论严谨合理；实验正确，分析处理科学。
11 创新 10 对前人工作有改进或突破，或有独特见解。
成绩
指导教师评语
指导教师签名：年月日
摘要及关键字
本程序中的数据采用“树形结构”作为其数据结构。具体采用的是“二叉排序树”。
1.2.5 平衡二叉树( AVL树 )
①平衡二叉树(Balanced Binary Tree)是指树中任一结点的左右子树的高度大致相同。 ②任一结点的左右子树的高度均相同(如满二叉树)，则二叉树是完全平衡的。通常，只要二叉树的高度为O(1gn)，就可看作是平衡的。 ③平衡的二叉排序树指满足BST性质的平衡二叉树。 ④AVL树中任一结点的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1。在最坏情况下，n个结点的AVL树的高度约为1.44lgn。而完全平衡的二叉树高度约为lgn，AVL树是最接近最优的。
1.2.4平均查找长度…………………………………………………………… 6
1.2.5平均二叉树（AVL树）…………………………………………………… 6
1.2.6平衡因子………………………………………………………………… 7
1.2.7平衡二叉树的调整方法…………………………………………………… 7
攀枝花学院本科学生课程设计任务书
题目二叉排序树与平衡二叉树的实现
1、课程设计的目的
使学生进一步理解和掌握课堂上所学各种基本抽象数据类型的逻辑结构、存储结构和操作实现算法，以及它们在程序中的使用方法。
使学生掌握软件设计的基本内容和设计方法，并培养学生进行规范化软件设计的能力。
3）使学生掌握使用各种计算机资料和有关参考资料，提高学生进行程序设计的基本能力。

【数据结构与算法笔记03】详解平衡二叉树的失衡类型划分及调整策略设计

【数据结构与算法笔记03】详解平衡⼆叉树的失衡类型划分及调整策略设计1. 平衡⼆叉树平衡⼆叉树对于树中的每个节点要求：左⼦树和右⼦树的深度差不超过1左右⼦树都是平衡⼆叉树平衡因⼦ = 左⼦树深度 - 右⼦树深度==> 在⼀棵平衡⼆叉树中，所有节点的平衡因⼦只可能有三种取值：-1, 0, 12. 失衡原因分析及失衡情况分类平衡⼆叉树是⼀种特殊的⼆叉排序树，插⼊新节点的⽅法与在⼆叉排序树中插⼊节点相同：先查找，然后在查找失败的位置插⼊新节点。

但是在⼀棵平衡⼆叉树中新插⼊⼀个节点可能会导致树的失衡，因此每次插⼊新节点之后要对树进⾏调整。

书上和⽹上的资料很多，但⼤部分都只给出了最终的结论，没有给出为什么要这样做的原因，现在我试图⽤⾃⼰的⽅式来理解AVL树的调整⽅法：1. 在平衡⼆叉树中新插⼊节点会造成树中某些节点平衡因⼦的改变，从⽽有失衡的风险。

==> 只有插⼊路径上的节点的平衡因⼦可能会改变。

==> 在插⼊路径上的节点中，只有那些原本的平衡因⼦为1, -1的节点可能会失衡（平衡因⼦变为2）。

==> 原本平衡因⼦为1的节点失衡后平衡因⼦会变为2；原本平衡因⼦为-1的节点失衡后平衡因⼦会变为-2。

并且这两种情况是对称的。

2. 在插⼊路径上可能会有多个节点失衡，但是⾼层节点的失衡是由低层节点的失衡造成的，因此存在⼀个最低失衡节点，只要将这个最低失衡节点调整平衡，并且保证以该节点为根的⼦树的⾼度和原来⼀样，那么⾼层节点的失衡就会⾃动恢复。

3. 所谓对失衡节点的调整，其实就是在已知⼀些⼦树和节点相互之间的⼤⼩关系以及他们的⾼度等信息时⽤这些⼦树和节点重新组装成⼀棵满⾜平衡⼆叉树要求的树。

下⾯仅考虑最低失衡节点原本的平衡因⼦为1的情况：==> 该节点失衡后平衡因⼦变为2，说明新节点的插⼊导致该节点的左⼦树的⾼度增加了1，这也间接说明了新节点插在了该节点的左⼦树上。

==> 插在该节点的左⼦树上有两种可能的情况：①该节点原本就没有左孩⼦，②该节点原本是有左孩⼦的。

数据结构课程设计-二叉树

《数据结构》课程设计说明书二叉平衡树算法实现班级组别：二指导老师：完成时间：2019.6.19 组长：学号：05 组员1：学号：33 组员2：学号：组员3：学号：成绩：目录目录一、课题设计任务 (2)二、任务分析 (2)1. 数据逻辑结构（算法描述） (2)2. 关键算法思想 (3)三、概要设计（总体设计） (3)四、详细设计 (4)1. 数据存储结构 (4)2. 各模块流程图及算法 (5)3. 算法效率分析 (9)五、测试 (10)1. 删除 (10)2. 查找 (10)3. 遍历 (10)六、课程设计心得 (10)七、参考文献 (11)八、附录 (11)一、课题设计任务针对给定的序列建立存储结构，实现各种遍历；实现树的生成，实现数据的查找、插入、删除，输出各种遍历。

二、任务分析1.数据逻辑结构（算法描述）//中序--递归void InorderTra(PNode root) {if (root) {InorderTra(root->leftChild); //中序遍历左子树printf("%d\t", root->keyValue); //访问根节点InorderTra(root->rightChild); //中序遍历右子数}}//前序--递归void PreOrderTra(PNode root) {if (root != NULL) {printf("%d\t", root->keyValue); //访问根节点PreOrderTra(root->leftChild); //前序遍历左子树PreOrderTra(root->rightChild); //前序遍历右子数}}//后序--递归void PostOrderTra(PNode root) {if (root) {PostOrderTra(root->leftChild); //后序遍历左子树PostOrderTra(root->rightChild); //后序遍历右子树printf("%d\t", root->keyValue); //访问根节点}}//求树的最大深度int getDeep(PNode root) {if (!root) {return 0;}int leftDeep = getDeep(root->leftChild) + 1;int rightDeep = getDeep(root->rightChild) + 1;return leftDeep > rightDeep ? leftDeep : rightDeep;}//从根节点开始打印出所有层void printByLevel(PNode root, int deep) {for (int i = 0; i < deep; i++) {LevelOrderTra(root, i);}printf("\n");}2.关键算法思想树的生成过程保持左右平衡，插入删除过程中保证树的平衡。

平衡二叉树构造方法

平衡二叉树构造方法构造平衡二叉树的方法有很多，其中一种绝妙的方法是通过AVL树进行构造。

AVL树是一种平衡二叉树，它的左子树和右子树的高度差不超过1、利用这种特性，我们可以通过以下步骤构造平衡二叉树：1.将需要构造平衡二叉树的数据按照升序或者降序排列。

2.选择数据的中间元素作为根节点。

3.将数据分成左右两个部分，分别作为根节点的左子树和右子树的数据。

4.递归地对左子树和右子树进行构造。

下面我们通过一个例子来具体说明这个方法：假设我们需要构造一个平衡二叉树，并且数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9首先，我们将数据按照升序排列得到1，2，3，4，5，6，7，8，9、选择中间的元素5作为根节点。

然后，我们将数据分成两部分：1，2，3，4和6，7，8，9、递归地对这两个部分进行构造。

对于左子树，我们选择中间元素2作为根节点，将数据分成两部分：1和3，4、递归地构造这两个部分。

对于右子树，我们选择中间元素8作为根节点，将数据分成两部分：6，7和9、递归地构造这两个部分。

重复这个过程，直到所有的数据都被构造为节点。

最后得到的树就是一个平衡二叉树。

这个构造方法的时间复杂度是O(nlogn)，其中n是数据的数量。

虽然它的时间复杂度比较高，但是它保证了构造的树是一个平衡二叉树，从而提高了数据的查找、插入和删除等操作的效率。

总结起来，通过AVL树进行构造是一种有效的方法来构造平衡二叉树。

它将数据按照升序或者降序排列，选择中间元素作为根节点，然后递归地对左子树和右子树进行构造。

这种方法保证了构造的树是一个平衡二叉树，从而提高了数据的查找、插入和删除等操作的效率。

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