集合、函数与导数、三角函数综合检测题

集合、函数与导数、三角函数

一、选择题

1、若集合，，则等于（）

A．B．C．D

【答案】D

2、已知是第二象限角,（）

A．B．C．D．

【答案】A

3、设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.“

4、下列函数中为偶函数的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

5、函数的定义域为（）

A．B．C．D．

【答案】C

6、已知函数为奇函数,且当时,,则（）

A．2 B．1 C．0 D．-2

【答案】D

7、若函数（）

A．B．C．D．

【答案】B

8、函数f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是（）

A．π,1B．π,2C．2π,1 D．2π,2

【答案】A

9、函数的图象大致为（）

【答案】D

10、将函数y=f(x)·sinx的图象向右平移个单位长度后,再作关于x轴对称变换,得到函数y=1-2sin2x的图象,则f(x)可以是(D)

A.sinx

B.cosx

C.2sinx

D.2cosx

11、若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增,则ω的取值范围是(A)

A. B.

C.[1,2]

D.[0,2]

12、已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≤0时,f(x)=(x+1)3e x+1,那么函数f(x)

的极值点的个数是(C)

A.5

B.4

C.3

D.2

二、填空题

13、经过曲线y=x3-2x上的点(1，-1)的切线方程为.

【答案】x-y-2=0，或5x+4y-1=0.

14、，，三个数的大小关系是．

【答案】

15、设f(x)= sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是_____._____

【答案】

16.若cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tanα·tanβ=.

答案:

三、解答题

17、(12分)已知函数y=cos.

(1)求函数的最小正周期.

(2)求函数的对称轴及对称中心.

(3)求函数的单调增区间.

【解析】(1)由题可知ω=,T==8π,

所以函数的最小正周期为8π.

(2)由x+=kπ(k∈Z),

得x=4kπ-(k∈Z),

所以函数的对称轴为x=4kπ-(k∈Z);

又由x+=kπ+(k∈Z),

得x=4kπ+(k∈Z);

所以函数的对称中心为(k∈Z).

(3)由2kπ+π≤x+≤2kπ+2π(k∈Z),

得8kπ+≤x≤+8kπ(k∈Z);

所以函数的单调递增区间为,k∈Z.

18、(10分)(2016·深圳模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.

(1)求角C的大小.

(2)若sinA=,求△ABC的面积.

【解题提示】(1)先利用三角恒等变换公式化简已知的表达式,再利用三角函数的性质得到方程,解方程求解.(2)先利用正弦定理求a,再利用三角恒等变换公式,求sinB,最后求面积.

【解析】(1)由题意得

-=sin2A-sin2B,

即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,

sin=sin.

由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),

得2A-+2B-=π,

即A+B=,所以C=.

(2)由c=,sinA=,

=,得a=.

由a

故sinB=sin(A+C)

=sinAcosC+cosAsinC=,

所以,△ABC的面积为

S=acsinB=.

19、设函数.

(Ⅰ)求的最小值,并求使取得最小值的的集合;

(Ⅱ)不画图,说明函数的图像可由的图象经过怎样的变化得到.

【答案】解:(1)

当时,,此时

所以,的最小值为,此时x 的集合.

(2)横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得;

然后向左平移个单位,得

20、(12分)设a>0,且a≠1,已知函数f(x)=log a是奇函数.

(1)求实数b的值.

(2)求函数f(x)的单调区间.

(3)当x∈(1,a-2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值.

【解析】(1)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).

从而f(-x)+f(x)=0,

即log a+log a=0,

于是,(b2-1)x2=0,由x的任意性知b2-1=0,

解得b=-1或b=1(舍),所以b=-1.

(2)由(1)得f(x)=log a,

(x<-1或x>1),

f′(x)=.

当00,即f(x)的增区间为(-∞,-1),(1,+∞);

当a>1时,f′(x)<0,

即f(x)的减区间为(-∞,-1),(1,+∞).

(3)由a-2>1得a>3,所以f(x)在(1,a-2)上单调递减,从而f(a-2)=1,即log a=1,又a>3,得a=2+.

21、