数学-《定积分的简单应用-在物理中的应用》
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定积分在物理学上的应用
详细描述
热量传递是热力学中的基本过程，包括热传 导、热对流和热辐射。在这些过程中，热量 传递的速率通常与温度梯度、物质属性以及 边界条件等因素有关。定积分可以用来求解 这些因素对热量传递速率的影响。
热力学第一定律的推导
总结词
定积分在推导热力学第一定律中具有重要应用，通过能量守恒原理和热力学基本方程， 可以建立热力学第一定律的数学表达式。
详细描述
在推导电磁感应定律的过程中，我们需要考虑磁场的变化对导体中电子运动的影响。通过定积分，我们可以计算 出导体中的电动势，从而理解电磁感应现象的本质。定积分的应用使得我们能够准确地描述和预测电磁感应现象 。
04
定积分在热学中的应用
温度分布的计算
总结词
定积分在计算温度分布问题中具有广泛应用，通过求解偏微分方程，可以得到物体内部和表面的温度 分布情况。
此外，定积分还在相对论中的质能关系推导、引力场中的时空几何结构分析等方面发挥着重要作用。
混沌理论中的分形结构描述
混沌理论是研究非线性系统中复杂行为和现象的学科，分形结构是混沌 理论中的重要概念。分形结构具有自相似性和无穷嵌套的特点，通常用 于描述复杂系统的结构和行为。
定积分在分形结构的描述中起到关键作用。通过定积分，可以计算分形 结构的维数和面积、体积等几何属性，从而更好地理解和描述混沌系统
VS
详细描述
磁场强度是由电流产生的，而电流分布又 是随空间变化的。通过使用定积分，我们 可以计算出任意形状导电物体在空间中任 意一点的磁场强度。这对于理解和预测磁 场的行为至关重要。
电磁感应定律的推导
总结词
电磁感应定律的推导过程中，定积分起到了核心作用，该定律描述了磁场变化时会在导体中产生电动势的现象。
定积分在物理中的应用PPT精品课件
W = 28 (J ) 3
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？
120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速
直线运动的位移和变力所作的功，其基
本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体
作业：
P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
自学导航:
一、动物在自然界 中的作用
问题1：人类是否可以将苍蝇和蚊子赶尽 杀绝？
1、不能，因为在自然界中，某种动物与 其他生物有着直接或者间接的关系，当 某种动物被灭杀后，会间接或者直接影 响其他生物的生存，以至影响到整个自 然界。
2、不能，当某种动物的数量增多时，以 该动物为食的动物也会增多（或它的天 敌也会增多），从而限制了这种动物的 数量。
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min
内行驶的路程是多少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40
30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
运输 观赏
耕地 食品
3.动物与基因工程
2.动物与仿生学
动物与仿生萤火虫与冷光 Nhomakorabea保护我们的生存环境
草履虫 蚯蚓
净化污水 改良土壤
啄木鸟和杜鹃 壁虎
森林害虫的天敌 捕捉苍蝇、蚊子
例3 某汽车在高速公路上直线行驶， 刹车后汽车的速度为v(t)＝12－0.6t （m/s），求刹车后汽车需前进多少m才 能停住？
120m
小结作业
1.在物理中，定积分主要应用于求变速
直线运动的位移和变力所作的功，其基
本原理如下：
原理1（求变速直线运动的位移）：
若物体运动的速度函数为v(t)，则物体
作业：
P59练习：1，2. P60习题1.7A组：2，3.
自学导航:
一、动物在自然界 中的作用
问题1：人类是否可以将苍蝇和蚊子赶尽 杀绝？
1、不能，因为在自然界中，某种动物与 其他生物有着直接或者间接的关系，当 某种动物被灭杀后，会间接或者直接影 响其他生物的生存，以至影响到整个自 然界。
2、不能，当某种动物的数量增多时，以 该动物为食的动物也会增多（或它的天 敌也会增多），从而限制了这种动物的 数量。
思考3：根据定积分计算，汽车在这1min
内行驶的路程是多少m？
v(m/s)
ò 10
3tdt＝150
30 A
B
0
ò 40
30dt＝900
C
10
O 10
40 60 t(s)
ò 60 (- 3 t + 90)dt ＝300
40
2
思考4：根据定积分的几何意义，如何计 算汽车在这1min内行驶的路程？
v(m/s)
运输 观赏
耕地 食品
3.动物与基因工程
2.动物与仿生学
动物与仿生萤火虫与冷光 Nhomakorabea保护我们的生存环境
草履虫 蚯蚓
净化污水 改良土壤
啄木鸟和杜鹃 壁虎
森林害虫的天敌 捕捉苍蝇、蚊子
定积分在物理的应用ppt课件
变速直线运动程做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数等于其速度函数vvtvt0在时间区间在时间区间ab上的定积分即变力做功力如果物体在变力fx的作用下做直线运动并且物体沿着与的作用下做直线运动并且物体沿着与fx相同的方向从xa移动到xbab那么变力fx所做的功为所做的功为?bavtdt?bafxdx1
A
C．810 ．945 解析 停车时 v(t)＝0D ，由 27－0.9t＝0，
得 t＝30，
30 30 ∴s＝ʃ v ( t )d t ＝ ʃ 0 0 (27－0.9t)dt
＝(27t－0.45t2)|30 0 ＝405.
练习 2．一个弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力，把它从自然 长度压缩到比自然长度短 5 cm，求弹簧克服弹力所做的 功．
1.7.2
定积分在物理的应用
1．7.2
【学习要求】
定积分在物理中的应用
1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力 做功问题. 2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问 题，进一步体会定积分的价值． 【学法指导】 利用定积分解决变速直线运动的路程，变力做功等问题， 要特别注意问题的物理意义同时借助定积分的几何意义， 用“数形结合”思想解决问题.
0
将速度转化为 20m/s，设制动后 ts 内速度为 0，路
0
t t 程为 v(t)dt 且 v(t)＝v0＋ adt.
解 (1)a＝－0.4m/s2，v0(t)＝72km/h＝20m/s，设 ts 后的
t t 速度为 v，则 v＝v0＋ adt＝20－ 0.4dt＝20－0.4t.
答 案
b 1.S＝ v(t)dt
a
b 2.W＝ F(x)dx
A
C．810 ．945 解析 停车时 v(t)＝0D ，由 27－0.9t＝0，
得 t＝30，
30 30 ∴s＝ʃ v ( t )d t ＝ ʃ 0 0 (27－0.9t)dt
＝(27t－0.45t2)|30 0 ＝405.
练习 2．一个弹簧压缩 x cm 可产生 4x N 的力，把它从自然 长度压缩到比自然长度短 5 cm，求弹簧克服弹力所做的 功．
1.7.2
定积分在物理的应用
1．7.2
【学习要求】
定积分在物理中的应用
1．能利用定积分解决物理中的变速直线运动的路程、变力 做功问题. 2.通过定积分在物理中的应用，学会用数学工具解决物理问 题，进一步体会定积分的价值． 【学法指导】 利用定积分解决变速直线运动的路程，变力做功等问题， 要特别注意问题的物理意义同时借助定积分的几何意义， 用“数形结合”思想解决问题.
0
将速度转化为 20m/s，设制动后 ts 内速度为 0，路
0
t t 程为 v(t)dt 且 v(t)＝v0＋ adt.
解 (1)a＝－0.4m/s2，v0(t)＝72km/h＝20m/s，设 ts 后的
t t 速度为 v，则 v＝v0＋ adt＝20－ 0.4dt＝20－0.4t.
答 案
b 1.S＝ v(t)dt
a
b 2.W＝ F(x)dx
2007.4.2定积分的简单应用(二)
2 3 2 2
m
变式题 2: 物体以速度 v ( t ) 3 t 2 2 t 运动,求其在前 10 秒内的平均速率.
3
(m/s)作直线
m 93
s
2、 力 作 功 问 题 : 1 . 恒 力 :由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变
的力 F 作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致， 那么，在物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为 W F s .
定积分在物理中的应用
上一节我们学习了定积分在几何中的 应用，这节课，我们运用定积分知识 来解决物理学中的一些问题.
1、变速直线运动的路程
我们知道， 变速直线运动的物体所经过 作 的 路 程 s, 等 于 其 速 度 函 数 v = v ( t) ( v( t) ≥ 0 ) 在 时 间 区 间 [a,b]上 的 定 积 分 ,即
即：F(x)=kx 所以据变力作功公式有
W
L 0 L 0
F ( x )d x
kxdx
1 2
1 2
2
k x |0
2 L
1 2
kl (J )
2
答:克服弹力所作功的功为
kl J .
练习巩固
练习: 1.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm, 克服弹力所作的功为( A ) (A)0.18J (B)0.26J (C)0.12J (D)0.28J 2.
∴汽车在这 1 min 行 驶的路程是:
s
10 0
3 td t
40 10
30dt
60 40
( 1 .5 t 9 0 ) d t
=1350m
m
变式题 2: 物体以速度 v ( t ) 3 t 2 2 t 运动,求其在前 10 秒内的平均速率.
3
(m/s)作直线
m 93
s
2、 力 作 功 问 题 : 1 . 恒 力 :由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变
的力 F 作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致， 那么，在物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为 W F s .
定积分在物理中的应用
上一节我们学习了定积分在几何中的 应用，这节课，我们运用定积分知识 来解决物理学中的一些问题.
1、变速直线运动的路程
我们知道， 变速直线运动的物体所经过 作 的 路 程 s, 等 于 其 速 度 函 数 v = v ( t) ( v( t) ≥ 0 ) 在 时 间 区 间 [a,b]上 的 定 积 分 ,即
即：F(x)=kx 所以据变力作功公式有
W
L 0 L 0
F ( x )d x
kxdx
1 2
1 2
2
k x |0
2 L
1 2
kl (J )
2
答:克服弹力所作功的功为
kl J .
练习巩固
练习: 1.如果 1N 力能拉长弹簧 1cm,为了将弹簧拉长 6cm, 克服弹力所作的功为( A ) (A)0.18J (B)0.26J (C)0.12J (D)0.28J 2.
∴汽车在这 1 min 行 驶的路程是:
s
10 0
3 td t
40 10
30dt
60 40
( 1 .5 t 9 0 ) d t
=1350m
定积分在物理中的应用 课件
做一做 1. (2012·高考湖北卷)已知二次函数 y＝f(x)的图象如图所示，则 它与 x 轴所围图形的面积为( )
2π
4
A. 5
B.3
3
π
C.2
D.2
解析：选 B.由图象可知二次函数的表达式为 f(x)＝1－x2，∴S＝
-11
(1－ x2 )dx＝ (x－1x3 ) 3
＝(1－13)－(－1＋13)＝43.
【解】 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F1＝Fcos 30°，在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F2＝Fcos 45°. 由变力做功公式得：
W＝∫50014x＋5cos 30°dx＋590014x＋5cos 45°dx＋ 600＝
3 8
12x2＋
20x
＋
2 8
12x2＋
20x
(2)当 t＝5 时，点 P 离开原点的位移 s2＝05(8t－2t2)dt＝(4t2
－23t3)|50＝530.
∴点
P
在
x
轴正方向上距离原点50处． 3
(3)从 t＝0 到 t＝5 时，点 P 经过的路程
s3＝04(8t－ 2t2)dt－45 (8t－ 2t2 )dt
＝ (4t2－23t3 )|40－(4t2－23t3 )|54＝ 26.
12 点 A 的坐标以及在切点 A 的切线方程．
【解】 如图，设切点 A(x0，y0)，由 y′＝2x，过点 A 的切
线方程为 y－y0＝2x0(x－x0)，即 y＝2x0x－x20， 2 分
令 y＝0，得 x＝x0，即 C(x0，0)，
2
2
设由曲线和过点 A 的切线与 x 轴围成图形的面积为 S， 则 S＝S 曲边△AOB－S△ABC，5 分
数学-《定积分的简单应用-在物理中的应用》
x
定积分在物理中的应用
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
小 矩 形 片 的 压 力 元 素 为 dP 2gxR2x2dx 端 面 上 所 受 的 压 力
PR2gxR2x2dx 0
gRR 2x 2 d (R 2x 2) 0
g32
n
主 页
（3）取极限：每个小区间的长度趋于零.
后退 目录
退
出
定积分在物理中的应用
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
函数 f (x)在区间[a,b]上的平均值为
yliy m 0y1y2 yn 1,
n
n
y l n iy 0 m y 1 b y 2 a y n 1 b n a x
b1a lxi m 0in1yi1xb 1a lxi 0 m i n1 f(xi1)x,
y 1
b
f(x)dx
ba a
几何平均值公式
区间长度
(b a) y (b a) f ( )
定积分在物理中的应用
例 4计 算 纯 电 阻 电 路 中 正 弦 交 流 电 i I m sit在 n
本节 知识
Pa2(x2a)a (x)gd 7xg a3.
0
3
出
定积分在物理中的应用
习题
本节 知识 引入
本节
目的
与要 求
2.一个质点按规律x=t3作直线运动，介质的
本节 重点
阻力与速度成正比，求质点从x=0移到x=1时克服
与难
点
本节 介质阻力所作的功。
定积分在物理中的应用
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
小 矩 形 片 的 压 力 元 素 为 dP 2gxR2x2dx 端 面 上 所 受 的 压 力
PR2gxR2x2dx 0
gRR 2x 2 d (R 2x 2) 0
g32
n
主 页
（3）取极限：每个小区间的长度趋于零.
后退 目录
退
出
定积分在物理中的应用
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
函数 f (x)在区间[a,b]上的平均值为
yliy m 0y1y2 yn 1,
n
n
y l n iy 0 m y 1 b y 2 a y n 1 b n a x
b1a lxi m 0in1yi1xb 1a lxi 0 m i n1 f(xi1)x,
y 1
b
f(x)dx
ba a
几何平均值公式
区间长度
(b a) y (b a) f ( )
定积分在物理中的应用
例 4计 算 纯 电 阻 电 路 中 正 弦 交 流 电 i I m sit在 n
本节 知识
Pa2(x2a)a (x)gd 7xg a3.
0
3
出
定积分在物理中的应用
习题
本节 知识 引入
本节
目的
与要 求
2.一个质点按规律x=t3作直线运动，介质的
本节 重点
阻力与速度成正比，求质点从x=0移到x=1时克服
与难
点
本节 介质阻力所作的功。
高中数学第一章导数及其应用1定积分的简单应用定积分在物理中的应用素材
定积分在物理中的应用摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分.微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科.内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分最重要的思想就是用"微元"与”无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想,‘无限细分'就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一.在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用.定义：设函数f(x)在［a,b]上有界，在[a,b ］中任意插入若干个分点 a=X0〈X1〈...〈Xn —1<Xn=b 把区间[a ，b ］分成n 个小区间 [X0，X1]，..。
[Xn —1，Xn]。
在每个小区间[Xi —1，Xi ］上任取一点ξi(Xi -1≤ξi≤Xi ），作函数值f(ξi ）与小区间长度的乘积f(ξi ）△Xi ，并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对［a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi 怎样取法,只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数f （x)在区间[a ，b]上的定积分， 记作: ()dx x f a b⎰即： ()()ini ia bx f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x ）作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b ，力的方向与运动方向平行，求变力所作的功.在[a ，b]上任取子区间[x ，x+dx ］，在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F （x ）在区间［a,b ］上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1．在一个带+q 电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a 〈b ），求电场力所做的功。
定积分在物理上的简单应用
v /m/s
30
A
B
20
10
C t/s
oห้องสมุดไป่ตู้
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
S 3tdt 30dt 1.5t 90dt
3 2 40 3 2 t 30t 10 t 90t 1350m. 2 0 4 40
10 60
答 汽车在这1min 行驶的路程是 1350m.
• 法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程 即为如图所示的梯形的面积，即
30 60 s 30 1350 2
练习: 1. 物体以速度 v(t ) 3t 2 2t 3 (m/s) 作直线运动 , 它 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m (A)9 (B)18 (C)27 (D)36
1.7.2 定积分在物理中的应用
1、变速直线运动的路程
设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0， 则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
s v(t )dt
a
b
v
v v(t )
O
a
b
t
v /m/s
例: 一辆汽车的 速 度 时间曲 线 如图 1.7 3所示.求汽车在 这1min 行驶的路程 .
30
A
B
20
10
C t/s
o
10
20 30
40 50
60
图1.7 3
解 由速度 时间曲线可知 : 3t , 0 t 10 ; 10 t 40; vt 30 , 1.5t 90, 40 t 60. 因此汽车在这 1min 行驶的路 程是 :
【教学课件】第三节 定积分在物理中的应用
但 是 在 实 际 问 题 中 ,平 板 放 置 并 不 总 水 平 ,现 就 垂 直 放 置 的 平 板 的 一 侧 所 受 的 液 体 压 力 进 行 进 行 计 算 .另 外 ,倾 斜 放 置 在 液 体 内 的 平 板 的 一 侧 所 受 的 压 力 也 可 以 用 定 积 分 的 微 元 法 计 算 .
ay22
1,(0xb)
2b
l* 2a
图5-19 例3水箱
整理课件
7
( 1 ) 取 积 分 变 量 为 x , 积 分 区 间 0 , b ; (2)在 0,b上 任 取 一 小 区 间 x,xdx,而 面 积 为
dA2a b2x2dx的 小 窄 条 (见 图 520阴 影 部 分 ) b
一 侧 所 受 的 液 体 压 力 ,也 就 是 压 力 微 元 为
f krq2,(k为常数) 如 图 5 1 7 所 示 ,当 这 个 单 位 正 电 荷 在 电 场 中 从 r a 处 沿 r a 处 沿 r轴 移 动 到 r b ,(a b )处 时 ,计 算 电 场 力 对 它 所 做 的 功 .
q
Oa
x xdx
b
r
图5-17 电场整力理课所件做的功
2
解 ( 1 ) 取 积 分 变 量 为 r , 积 分 区 间 为 a , b ; (2)在 区 间 a,b上 作 取 一 小 区 间 r,rdr,与 它 相 应 的 电 场
学模型. 例2 修建一座大桥墩时先要下围囹,
10m
并抽尽其中的水以便施工,已知半径是
2m
10m的圆柱形围囹的上沿高出水面2m,
x
河水深18m,问抽尽围囹内的水做多少功?
18m
dx
图5-18 例题 抽水做功
ay22
1,(0xb)
2b
l* 2a
图5-19 例3水箱
整理课件
7
( 1 ) 取 积 分 变 量 为 x , 积 分 区 间 0 , b ; (2)在 0,b上 任 取 一 小 区 间 x,xdx,而 面 积 为
dA2a b2x2dx的 小 窄 条 (见 图 520阴 影 部 分 ) b
一 侧 所 受 的 液 体 压 力 ,也 就 是 压 力 微 元 为
f krq2,(k为常数) 如 图 5 1 7 所 示 ,当 这 个 单 位 正 电 荷 在 电 场 中 从 r a 处 沿 r a 处 沿 r轴 移 动 到 r b ,(a b )处 时 ,计 算 电 场 力 对 它 所 做 的 功 .
q
Oa
x xdx
b
r
图5-17 电场整力理课所件做的功
2
解 ( 1 ) 取 积 分 变 量 为 r , 积 分 区 间 为 a , b ; (2)在 区 间 a,b上 作 取 一 小 区 间 r,rdr,与 它 相 应 的 电 场
学模型. 例2 修建一座大桥墩时先要下围囹,
10m
并抽尽其中的水以便施工,已知半径是
2m
10m的圆柱形围囹的上沿高出水面2m,
x
河水深18m,问抽尽围囹内的水做多少功?
18m
dx
图5-18 例题 抽水做功
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用
定积分是微积分的一个重要概念，它在物理及其他领域都有着广泛的应用。
下面我将从物理学的角度，以及其他领域的例子，介绍一些定积分的应用。
定积分在物理学中有着举足轻重的地位，它被广泛应用于描述物理量的变化。
以运动学为例，当我们需要计算物体在一段时间内的位移、速度和加速度时，可以利用定积分来求解。
通过对速度函数进行定积分，我们可以得到位移函数，进而计算出物体在一段时间内的位移。
同理，通过对加速度函数进行定积分，我们可以得到速度函数，进而计算出物体在一段时间内的速度。
定积分在描述物体的运动过程中起到了至关重要的作用。
除物理学外，定积分在其他领域也有着广泛的应用。
在经济学中，定积分可以用来计算总收入、总成本和总利润等。
通过对收入、成本和利润函数进行定积分，我们可以得到相应的总量。
同样地，在地理学中，定积分可以用来计算地形的面积、体积和质量等。
通过对地形的高程函数进行定积分，我们可以得到相应的面积、体积和质量。
定积分在物理学及其他领域都有着广泛的应用。
它可以用来描述物理量的变化，计算物理量的面积、体积和质量，以及计算经济、地理等领域的相关量。
定积分在这些领域的应用，为我们提供了强有力的工具，帮助我们理解和解决实际问题。
定积分在物理中的应用上
定积分的应用可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，为解决物理问题 提供了重要的数学工具。
03
CHAPTER
动能与势能的定积分表示
动能的定积分表示
总结词
动能的定积分表示是物体在某段时间内通过的路径与该路径上的力的乘积的积分。
详细描述
根据牛顿第二定律，物体的动能为物体质量与速度平方的一半的乘积。在定积分形式下，动能的表示为 ∫F·dx，其中F是作用在物体上的力，dx是物体在该力作用下的位移。
瞬时加速度表示物体在某一时刻的速 度变化快慢，而平均加速度表示物体 在某段时间内速度变化的平均快慢。
速度与加速度的连续变化
在物理中，物体的速度和加速度通常都是随时间连续变化的。定积分可以 用来描述这种连续变化的过程。
通过定积分，我们可以计算物体在任意时间段内的速度和加速度的变化量， 以及物体在任意时刻的速度和加速度的大小。
详细描述
在热力学中，温度场是一个连续变化的物理量，它描述 了物体内部各点的温度分布。通过定积分，可以将温度 场表示为一个连续的函数，从而方便地计算物体内部各 点的温度值。
热量传递的定积分表示
总结词
热量传递的过程可以通过定积分来描述，包括热传导、热对流和热辐射等。
详细描述
热量传递是热力学中的重要过程，包括热传导、热对流和热辐射等。这些过程都可以通过定积分来描 述。通过定积分，可以计算热量传递的速率、方向和分布，从而更好地理解和控制热量传递的过程。
VS
详细描述
在匀速直线运动中，物体的速度是恒定的 ，因此物体的位移量可以通过速度与时间 的乘积来计算。定积分可以用来计算在一 段时间内物体的总位移量。
匀加速直线运动的定积分表示
总结词
定积分在匀加速直线运动中可以表示物体的 速度和位移量。
03
CHAPTER
动能与势能的定积分表示
动能的定积分表示
总结词
动能的定积分表示是物体在某段时间内通过的路径与该路径上的力的乘积的积分。
详细描述
根据牛顿第二定律，物体的动能为物体质量与速度平方的一半的乘积。在定积分形式下，动能的表示为 ∫F·dx，其中F是作用在物体上的力，dx是物体在该力作用下的位移。
瞬时加速度表示物体在某一时刻的速 度变化快慢，而平均加速度表示物体 在某段时间内速度变化的平均快慢。
速度与加速度的连续变化
在物理中，物体的速度和加速度通常都是随时间连续变化的。定积分可以 用来描述这种连续变化的过程。
通过定积分，我们可以计算物体在任意时间段内的速度和加速度的变化量， 以及物体在任意时刻的速度和加速度的大小。
详细描述
在热力学中，温度场是一个连续变化的物理量，它描述 了物体内部各点的温度分布。通过定积分，可以将温度 场表示为一个连续的函数，从而方便地计算物体内部各 点的温度值。
热量传递的定积分表示
总结词
热量传递的过程可以通过定积分来描述，包括热传导、热对流和热辐射等。
详细描述
热量传递是热力学中的重要过程，包括热传导、热对流和热辐射等。这些过程都可以通过定积分来描 述。通过定积分，可以计算热量传递的速率、方向和分布，从而更好地理解和控制热量传递的过程。
VS
详细描述
在匀速直线运动中，物体的速度是恒定的 ，因此物体的位移量可以通过速度与时间 的乘积来计算。定积分可以用来计算在一 段时间内物体的总位移量。
匀加速直线运动的定积分表示
总结词
定积分在匀加速直线运动中可以表示物体的 速度和位移量。
试论定积分在物理及其他领域的应用
试论定积分在物理及其他领域的应用定积分是微积分的一个重要概念，它在物理及其他领域有着广泛的应用。
本文将以物理为例，探讨定积分在物理及其他领域的应用。
定积分在物理中的应用可以追溯到牛顿的经典力学。
在经典力学中，我们常常需要计算物体的质量、密度、速度、加速度、力等物理量。
利用定积分，可以求解这些物理量。
我们可以通过定积分求解物体的质量，即将物体分割成无限小的微元，然后将每个微元的质量相加得到总质量。
定积分在力学中的应用也非常广泛。
在计算物体受力后的位移时，可以通过定积分求解。
当物体受到恒力作用时，通过定积分可以求解物体在力的作用下的位移。
同样地，当力随时间变化时，我们也可以通过定积分求解物体的位移。
定积分在力学中还有一个重要的应用是求解物体的动量和动能。
动量是物理学中一个重要的物理量，它描述了物体的运动状态。
利用定积分，我们可以求解物体的动量。
同样地，定积分还可以用来求解物体的动能，即物体由于运动而具有的能量。
除了在经典力学中的应用，定积分在电磁学中也有着重要的应用。
在计算电磁场中的电荷分布时，可以利用定积分来求解。
根据库伦定律，我们可以通过定积分来求解电荷分布所产生的电场。
定积分还在热力学中有着重要的应用。
热力学是研究热现象和宏观物质性质变化的学科。
在热力学中，温度、热量等物理量经常需要进行积分计算。
通过定积分可以求解物体在不同温度下的内能。
定积分在其他领域中也有广泛的应用。
在数学中，定积分被用来计算曲线下的面积和物体的体积。
在经济学中，定积分被用来计算边际效益和边际成本。
在生物学中，定积分被用来计算生物体积和表面积。
定积分在物理及其他领域的应用非常广泛。
它可以用来求解物体的质量、位移、动量、动能等物理量，进而应用于经典力学、电磁学、热力学等领域。
定积分在数学、经济学、生物学等其他领域也有着重要的应用。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.7 1.7.2 定积分在物理中的应用
栏 目 链 接
例： 一物体在恒力 F＝30 N 的作用下做直线运动， 物体沿着与 F(x)相同的方向移动了 10 m， 恒力 F 所做 的功是________．
答案：300 J
基 础 梳 理
3．一物体在变力 F(x)的作用下做直线运动， 物体沿着与 F(x)相同的方向由 x＝a 运动到 x＝b 时，
栏 目 链 接
解析：s＝ 答案：D
自 测 自 评
2．如果 1 N 的力能使弹簧伸长 1 cm，在弹性限度内， 为了将弹簧拉长 10 cm，拉力所做的功为( A．0.5 J B．1 J C．50 J ) D．100 J
栏 目 链 接
解析： 由于弹簧所受的拉力 F(x)与伸长量 x 成正比， 依 题意，得 F(x)＝x，为了将弹簧拉长 10 cm，拉力所做的功 为 W＝
b W＝ a F(x)dx.
栏 目 链 接
(2)用定积分解决物理上的基本问题时， 要： ①准确地写出 积分式；②准确地进行计算．
跟 踪 训 练
m1m2 2．按万有引力定律，两质点间的吸引力 F＝k 2 ，k r 为常数，m1，m2 为两质点的质量，r 为两点间的距离，若两 质点起始距离为 a，质点 m1 沿直线移动至离 m2 的距离为 b 处，试求所做的功(b＞a)．
b W ＝ x aF(x)d 变力 F(x)所做的功是________ ．
栏 目 链 接
4．用 F(x)(单位：N)的力拉弹簧，将弹簧拉长
l W ＝ )dx 0F(x l m，所耗费的功是________ ．
自 测 自 评
1．一物体沿直线以 v＝2t＋1(t 的单位：s，v 的单位： m/s)的速度运动，则物体在 1～2 s 间行进的路程为( A．1 m C．3 m B．2 m D． 4 m )
例： 一物体在恒力 F＝30 N 的作用下做直线运动， 物体沿着与 F(x)相同的方向移动了 10 m， 恒力 F 所做 的功是________．
答案：300 J
基 础 梳 理
3．一物体在变力 F(x)的作用下做直线运动， 物体沿着与 F(x)相同的方向由 x＝a 运动到 x＝b 时，
栏 目 链 接
解析：s＝ 答案：D
自 测 自 评
2．如果 1 N 的力能使弹簧伸长 1 cm，在弹性限度内， 为了将弹簧拉长 10 cm，拉力所做的功为( A．0.5 J B．1 J C．50 J ) D．100 J
栏 目 链 接
解析： 由于弹簧所受的拉力 F(x)与伸长量 x 成正比， 依 题意，得 F(x)＝x，为了将弹簧拉长 10 cm，拉力所做的功 为 W＝
b W＝ a F(x)dx.
栏 目 链 接
(2)用定积分解决物理上的基本问题时， 要： ①准确地写出 积分式；②准确地进行计算．
跟 踪 训 练
m1m2 2．按万有引力定律，两质点间的吸引力 F＝k 2 ，k r 为常数，m1，m2 为两质点的质量，r 为两点间的距离，若两 质点起始距离为 a，质点 m1 沿直线移动至离 m2 的距离为 b 处，试求所做的功(b＞a)．
b W ＝ x aF(x)d 变力 F(x)所做的功是________ ．
栏 目 链 接
4．用 F(x)(单位：N)的力拉弹簧，将弹簧拉长
l W ＝ )dx 0F(x l m，所耗费的功是________ ．
自 测 自 评
1．一物体沿直线以 v＝2t＋1(t 的单位：s，v 的单位： m/s)的速度运动，则物体在 1～2 s 间行进的路程为( A．1 m C．3 m B．2 m D． 4 m )
定积分在物理上的应用【高等数学PPT课件】
bΒιβλιοθήκη W a F (x) dx
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 .
解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
q 1 1
则功的元素为 dW
k r
q
2
d
r
o
a
r r dr b r
所求功为
kq
1 r
b a
kq
(
1 a
1 b
)
说明:
kq a
例2. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解: 建立坐标系如图. 在任一小区间
o
[x , x dx] 上的一薄层水的重力为
g 32 dx (KN)
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
5m x
xdx
dW 9 g x dx
故所求功为
5
W 0
9 g x d x 9
g x2
2
5 0
112.5 g ( KJ )
3m
x
设水的密
度为
第三节 定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 *二、 液体的侧压力 *三、 引力问题
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作的功元
素为
dW F(x)dx
a x x dx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 .
解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
q 1 1
则功的元素为 dW
k r
q
2
d
r
o
a
r r dr b r
所求功为
kq
1 r
b a
kq
(
1 a
1 b
)
说明:
kq a
例2. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解: 建立坐标系如图. 在任一小区间
o
[x , x dx] 上的一薄层水的重力为
g 32 dx (KN)
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
5m x
xdx
dW 9 g x dx
故所求功为
5
W 0
9 g x d x 9
g x2
2
5 0
112.5 g ( KJ )
3m
x
设水的密
度为
第三节 定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 *二、 液体的侧压力 *三、 引力问题
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作的功元
素为
dW F(x)dx
a x x dx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
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本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
小 矩 形 片 的 压 力 元 素 为 dP 2gxR2x2dx 端 面 上 所 受 的 压 力
PR2gxR2x2dx 0
gRR 2x 2 d (R 2x 2) 0
g32
R2x2
30R
2g 3
Fkx
重点 与难
已知 F 1 N ,x0 .01
点
本节 复习
代入上式得 k100
o
指导
从而变力为 F10x0 比例系数
所求的功
x
主 页 后退 目录
退 出
W 0.1100xdx0.5J 0
Fkx
x
Page 5
定积分在物理中的应用
Hale Waihona Puke 本节 知识 引入本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页
液体的压力就不能直接使用此公式，可采用
后退 目录
退 出
“微元法”来计算.
Page 8
定积分在物理中的应用
例 3 一 个 横 放 着 的 圆 柱 形 水 桶 ， 桶 内 盛 有 半 桶 水 ，
本节 设 桶 的 底 半 径 为 R ， 水 的 比 重 为 ， 计 算 桶 的 一 端 面
知识
引入 上 所 受 的 压 力 ．
主 页 后退 目录
是变化的，就不能直接使用此公式，而采用
退
出
“微元法”思想.
Page 3
定积分在物理中的应用
如图：以 x为积分变量，积分区间为[a,b].
本节 知识
在区间 [a,b] 内任取一小区间[x,xd]x,
引入
本节 功的微元数
目的
x xdx
与要 求
dW F(x)dx o a
bx
本节
F(x)
本节
目的 与要
解 在端面建立坐标系如图
求
本节 重点
取x为积分变量，x[0,R]
与难
点
取 任 一 小 区 间 [x,xd]x
本节
复习
指导
小 矩 形 片 上 各 处 的 压 强 近
似 相 等 pg,x
o
x
xdx
主 页 后退 目录
退 出
小 矩 形 片 的 面 积 为 2 R2x2d.x
x
Page 9
定积分在物理中的应用
本节
知识 引入
1. 由物理学知道，如果物体在作直线运动的
本节 目的
过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且
与要 求
这力的方向与物体的运动方向一致，那么，物
本节 重点
体位移为s时，力F对物体所作的功为FF(x)
与难 点
WFs.
本节 复习
2. 微元法
指导 二、变力沿直线所作的功
如 果 物 体 在 运 动 的 过 程 中 所 受 的 力 FF(x)
知识
引入
由物理学知道，距液体表面深度为h处的
本节 目的
液体压强为pgh，这里是液体密度， g 是
与要 求
重力加速度。如果有一面积为A的平板水平地
本节 重点
放置在液体深为h处，那么，平板一侧所受的
与难 点
液体压力为P p A．
本节 复习
二、液体的静压力
指导
如果平板垂直放置在液体中，由于液体
在不同的深度压强p不同，平板一侧所受的
（3）取极限： 每个小区间的长度趋于零.
后退 目录
退
出
Page 13
定积分在物理中的应用
本节 知识 引入
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
函数 f (x)在区间[a,b]上的平均值为
yliy m 0y1y2 yn 1,
n
n
y ln iy m 0 y 1 b y 2 a y n 1b n a x
R3 .
Page 10
定积分在物理中的应用
III. 平均值和均方差
本节 知识
引入 一、预备知识
本节
目的 与要
实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均
求
值来描述这个班的成绩的概况。
本节
重点
与难
点
本节 复习
yy1y2yn
指导
n
算术平均值公式 只适用于有限个数值
主 页 后退 目录 退 出
Page 11
定积分在物理中的应用
b1a lxi m 0in1yi1xb 1a lx i0 m i n1 f(xi1)x,
y 1
b
f(x)dx
ba a
几何平均值公式
区间长度
(b a) y (b a) f ( )
Page 14
定积分在物理中的应用
本节 目的 与要 求
本节 重点 与难 点
本节 复习 指导
主 页 后退 目录 退 出
这一薄层水的重力为 9.832dx
功元素为 d w 8.2 8 x d,x
o
x x dx
5
x
5
w088.2xdx
88.2
x2 2
5 0
346(2千焦)．
Page 7
定积分在物理中的应用
II. 液体的静压力
本节 一、预备知识
本节
知识 引入
a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b ,
本节 目的 与要
每个小区间的长度 x ba;
求
n
本节 重点
（2）求和：设各分点处的函数值为 y0,y1,y2, ,yn
与难
点
函数 f (x)在区间[a,b]上的平均值近似为
本节
复习
指导
y0y1y2 yn1;
n
主 页
1.7.2《定积分的简单应用 --在物理中的应用》
本节知识 引入
本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习
指导
主 页 后退 目录 退 出
Page 2
定积分
定积分在物理中的应用
I. 变力沿直线所作的功 II.液体的静压力 III.平均值和均方根
定积分在物理中的应用
I. 变力沿直线所作的功
一、预备知识
二、平均值和均方差
本节 知识 引入
1.平均值
本节 目的 与要 求
本节 问题：求气温在一昼夜间的平均温度.
重点 与难
点 入手点：连续函数 f (x)在区间[a,b]上的平均值.
本节 复习 指导
讨论思想：分割、求和、取极限.
主 页 后退 目录 退 出
Page 12
定积分在物理中的应用
（1）分割：把 区 间 [ a ,b ] 分 成 n 等 分
主 页 后退 目录 退 出
例 2 一圆柱形蓄水池 高为 5米，底半径为 3米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？
解 建立坐标系如图
取x为积分变量，x[0,5]
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o
x x dx
取 任 一 小 区 间 [x ,xd],x
5
x
Page 6
定积分在物理中的应用
本节 知识 引入
重点
与难 点
所以
本节
复习
b
b
指导
WadW aF(x)dx
主 页 后退 目录 退 出
Page 4
定积分在物理中的应用
例1 设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要
使弹簧伸长0.1米，需作多少功？
本节 解 如图：建立直角坐标系。
知识
引入 因为弹力的大小与弹簧的
本节 目的
伸长（或压缩）成正比，
与要
求
即
本节