高中数学复习教案：抛物线

第七节 抛物线

[考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．

1．抛物线的概念

平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线．

2．抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程

y 2＝2px (p >0)

y 2＝－2px (p >0)

x 2＝2py (p >0)

x 2＝－2py (p >0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

图形

顶点坐标 O (0,0)

对称轴 x 轴

y 轴

焦点坐标 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－p 2，0 F ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫0，－p 2 离心率 e ＝1

准线方程 x ＝－p

2 x ＝p 2 y ＝－p

2 y ＝p 2 范围 x ≥0,y ∈R x ≤0,y ∈R y ≥0,x ∈R y ≤0,x ∈R 开口方向 向右

向左

向上

向下

[常用结论]

与抛物线有关的结论

(1)抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0,y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫

p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2,也称为抛物线的焦

半径．

(2)y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

a 4，0,准线方程为x ＝－a 4.

(3)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦, 若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则①x 1x 2＝p 2

4,y 1y 2＝－p 2.

②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p

sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)． ③以弦AB 为直径的圆与准线相切．

④通径：过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p ,通径是过焦点最短的弦．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．

( )

(2)方程y ＝ax 2

(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a 4，0,准线方

程是x ＝－a

4.

( )

(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形． ( ) (4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切． ( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．抛物线y ＝1

4x 2的准线方程是( ) A ．y ＝－1 B ．y ＝－2 C ．x ＝－1

D ．x ＝－2

A [∵y ＝1

4x 2,∴x 2＝4y ,∴准线方程为y ＝－1.]

3．(教材改编)若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.7

8 D ．0

B [M 到准线的距离等于M 到焦点的距离,又准线方程为y ＝－116,设M (x ,y ),则y ＋1

16＝1,∴y ＝15

16.]

4．(教材改编)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,如果x 1＋x 2＝6,则|PQ |等于( )

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

B[抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0),准线方程为x＝－1.根据题意可得,|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.]

5．(教材改编)已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(－2,－4),则该抛物线的标准方程为________．

y2＝－8x或x2＝－y[设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．将P(－2,－4)代入,分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.]

抛物线的定义与应用

【例1】________．

4[如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4,即|PB|＋|PF|的最小值为4.]

[拓展探究1](1)若将本例中的B点坐标改为(3,4),试求|PB|＋|PF|的最小值．

(2)若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x,直线l的方程为x－y＋5＝0,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,求d1＋d2的最小值．[解]由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．

∵|PB|＋|PF|的最小值即为B,F两点间的距离,F(1,0),

∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝42＋22＝25,

即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.

(2)由题意知,抛物线的焦点为F(1,0)．

点P到y轴的距离d1＝|PF|－1,

所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.

易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离,

故d2＋|PF|的最小值为

|1＋5|

12＋(－1)2

＝32,

所以d1＋d2的最小值为32－1.

[规律方法]与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想