空间平面与平面垂直的公式
空间平面与平面垂直的公式
平面垂直，法向量也是相互垂直的，法向量的数量积等于0。设向量一的坐标是（a,b），向量二的坐标是（m,n），若二者垂直，则am+bn=0。设a、b为非零向量，a⊥b等价于a·b=0。
平面垂直，法向量也是相互垂直的，法向量的数量积等于0。设向量一的坐标是（a,b），向量二的坐标是（m,n），若二者垂直，则am+bn=0。设a、b为非零向量，a⊥b等价于a·b=0。
面面垂直的向量方法是：证明这两个平面的法向量互相垂直，即法向量的数量积等于0；
面面垂直的判定定理中：文字语言是“一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直”，符号语言是“若l⊥β，l?α，则α⊥β”。
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a 与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1·x2+y1·y2
空间几何的平行与垂直关系知识点总结
空间几何的平行与垂直关系知识点总结 空间几何是研究点、线、面等几何形体在空间中的相互关系和特性的学科。在空间几何中，平行和垂直是两种重要的关系。本文将总结空间几何中的平行与垂直关系的知识点。 一、平行关系 平行是指两条直线或两个平面在空间中永远不会相交的关系。平行关系在日常生活和工程建设中经常被应用到。 1. 平行关系的性质 - 平行线与同一平面内的直线交线的两个内角是同位角，即两个内角之和等于180度。 - 平行线与同一平面外的直线交线的两个内角也是同位角，同位角性质适用于平行于同一平面内的两条直线。 2. 判定平行关系的方法 - 平行线的判定：如果两条直线上有一点与第三条直线上的两个点重合，并且这两条直线分别与第三条直线平行，则这两条直线是平行线。 - 平行面的判定：如果两个平面上有一条直线与第三个平面上的两条直线重合，并且这两个平面分别与第三个平面平行，则这两个平面是平行面。 3. 平行线的性质
- 平行线投影性质：平行于同一平面内的两条直线的等角投影相等。 - 平行线的方向性：平行线有确定的方向，可以延长或缩短，但方 向不会改变。 二、垂直关系 垂直是指两条直线或两个平面相交成直角的关系。垂直关系在几何学、建筑学和物理学中都有广泛应用。 1. 垂直关系的性质 - 垂直关系性质一：两个直角相等。 - 垂直关系性质二：两个互相垂直的直线或两个互相垂直的平面， 其中一个与第三个垂直，则它们与第三个也是垂直关系。 - 垂直关系性质三：垂直于同一面的直线与该面的交线垂直。 2. 判定垂直关系的方法 - 判定直线垂直关系的方法：如果两条直线上有一点与第三条直线 上的两个点重合，并且这两条直线分别与第三条直线垂直，则这两条 直线是垂直的。 - 判定面垂直关系的方法：如果两个平面上有一条直线与第三个平 面上的两条直线相交成直角，并且这两个平面分别与第三个平面垂直，则这两个平面是垂直的。 三、平行和垂直关系的应用
第11讲 空间中垂直关系的判定与性质
空间中垂直关系的判定与性质 一．基础知识整合 1.直线与平面存垂直 （1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线 l 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫作垂足． （2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图 （3）判定定理 ?????l ⊥a l ⊥b a αb αa ∩b ＝P ?l ⊥α 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面． （2）二面角的记法：如图，记作：二面角α－AB －β，也可记作2∠α—AB —β. （3）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角， 其中平面角是直角的二面角叫作直二面角． 3.平面与平面垂直 （1）定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 ?????a αa ⊥β?α⊥β 符号语言
? ????α⊥βα∩β＝l a αa ⊥l ?a ⊥β 题型一：线面垂直的判定 例1：如图所示，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且S 为所在平面外一点，满足SA ＝SB ＝SC .D 为AC 的中点．求证：SD ⊥平面ABC . 证明：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，且D 为AC 的中点，∴BD ＝AD ＝DC .又∵SA ＝SB ＝SC ，SD 为公共边，∴△SBD ≌△SAD ≌△SCD ， ∴∠SDB ＝∠SDA ＝∠SCD ＝90°，∴SD ⊥AD ，SD ⊥BD ，∵AD ∩BD ＝D ，∴SD ⊥ 平面ABC . 变式训练1：如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点， P A ⊥⊙O 所在的平面，AF ⊥PC 于F ，求证：BC ⊥平面PAC . 证明：因为AB 为⊙O 的直径，所以BC ⊥AC .因为P A ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，所以P A ⊥BC .因为P A ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面P AC . 题型二：面面垂直的判定 例2：已知四面体ABCD 的棱长都相等，E ，F ，G ，H 分别为AB ，AC ， AD ，BC 的中点．求证：平面EHG ⊥平面FHG . 证明：如图，取CD 的中点M ，连接HM ，MG ，FM ，则四边形MHEG 为平行四边形．连接EM 交HG 于O ，连接FO .在△FHG 中，O 为HG 的中点，且FH ＝FG ，所以 FO ⊥HG .同理可证FO ⊥EM .又HG ∩EM ＝O ， 所以FO ⊥平面EHMG .又FO 平面FHG ，所以平面EHG ⊥平面FHG . 变式训练 2 ：如图，在空间四边形 ABDC 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E 、 F 、 G 分别为CD 、DA 和对角线AC 的中点．:求证：平面BEF ⊥平面 BDG . 证明：∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点，∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ， 又EF ∥AC ，∴EF ⊥BG ，EF ⊥DG .∴EF ⊥平面BGD .∵EF 平面BEF ，∴平
两个平面垂直
两个平面垂直 1．两个平面垂直的定义：如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定：如果一个平面 有一条直线 另一个平面，则这两个平面互相垂直． 3．两个平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面 的垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面． 4．异面直线上两点间的距离公式：EF ＝θcos 2222mn n m d ±++，其中：d 是异面直线a 、b 的 ，θ为a 、b ，m 、n 分别是a 、b 上的点E 、F 到 AA'与a 、b 的交点A ，A'的距离． 例1 如图所示，在四面体S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ASB ＝∠ASC ＝60°，∠BSC ＝90°． 求证：平面ABC ⊥平面BSC ． 证明：略 变式训练1：如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ． ⑴ 求证：AB ⊥BC ； ⑵ 若设二面角S －BC －A 为45°， SA ＝BC ，求二面角A －SC －B 的大小． 证明：(1) 作AH ⊥SB 于H ，则AH ⊥平面SBC ∴AH ⊥BC ， 又SA ⊥BC ∴BC ⊥平面SAB ∴BC ⊥AB (2) ∠SBA 是二面角S －BC －A 的平面角，∠SBA ＝45°，作AE ⊥SC 于E ，连结EH ，EH ⊥SC ，∠AEH 为所求二面角的平面角，∠AEH ＝60° 例2.在120°的二面角P －a －Q 的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B ，已知点A 和点B 到棱a 的距离分别是2和4，且线段AB ＝10，求： (1) 直线AB 和棱a 所成的角； (2) 直线AB 和平面Q 所成的角． 答案：(1) arc sin 57 (2) arc sin 10 3 变式训练2：已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点． （1） 证明：平面PED ⊥平面PAB ； （2） 求二面角P －AB －F 的平面角的余弦值． （1）证明：连BD ．∵AB ＝AD ，∠DAB ＝60°， ∴△ADB 为等边三角形，∴E 是AB 中点．∴AB ⊥DE ，∵PD ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB ⊥PD ． ∵DE ⊂面PED ，PD ⊂面PED ，DE∩PD ＝D ， ∴AB ⊥面PED ，∵AB ⊂面PAB ．∴面PED ⊥面PAB ． C A S D B A S B C
空间中的垂直关系
8． 5 空间中的垂直关系 1．线线垂直 如果两条直线所成的角是______ ( 无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直 (1)定义：如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说__________________________ ，记作_______ .直 线I叫做______________ ，平面a叫做_______________ .直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做________ .垂 线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的______________ . (2)判定定理：一条直线与一个平面内的________________ 都垂直，则该直线与此平面垂直. 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.用符号表示： a // b, (3)__________________________________________ 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 . 3.直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ___________ ，叫做这条直线和这个平面所成的角. 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°勺角.任一直线与平面所成角B的范围是 ____________ . 4.二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的________________________ 叫做二面角． (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 ______________ 的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是 _______________ ． 5．平面与平面垂直 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_________________ ，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的__________ ，则这两个平面垂直． (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于_____ 的直线与另一个平面垂直． 自查自纠 1．直角 2.(1)直线I与平面a互相垂直I丄a 平面a的垂线 直线I 的垂面垂足距离(2)两条相交直线 (3)平行 3.锐角[0；90° 4.(1)两个半平面所组成的图形(2)垂直于棱[0 ° 180°] 5.(1)直二面角(2)垂线(3)交线
空间几何中的平行与垂直关系
空间几何中的平行与垂直关系在空间几何中，平行与垂直是两种重要的关系。它们的性质和应用 广泛存在于数学、物理学、工程学等领域。本文将介绍平行和垂直的 定义、性质以及相关的定理，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。 一、平行关系 1. 定义 在空间几何中，平行是指两个或多个直线或平面在同一平面内没有 任何交点的特殊关系。我们可以用符号 "∥" 表示平行关系。例如，在 平面α上有两条直线l和m，如果l ∥ m，则说明直线l和m在平面α 上没有交点。 2. 性质 平行的直线具有以下性质： - 平行线与同一平面内的第三条直线的相交角相等。 - 平行线与平行线之间的距离在任意两点处相等。 平行的平面具有以下性质： - 平行平面之间没有任何交点。 - 平行平面内的直线与另一平面的交线与平行平面平行。 3. 平行的判定方法 判定两条直线是否平行可以采用以下方法：
- 垂直判定法：如果两条线分别与同一直线的两条垂线垂直，则这 两条线是平行的。 - 夹角判定法：如果两直线与另一直线的夹角相等或互补，则这两 条直线是平行的。 二、垂直关系 1. 定义 在空间几何中，垂直是指两个直线或者平面之间的交角等于90度 的特殊关系。我们可以用符号"⊥" 表示垂直关系。例如，在平面β上，如果一条直线l与平面β内另一条直线m垂直，则可以表示为 l ⊥ m。 2. 性质 垂直关系具有以下性质： - 垂直于同一直线的两条直线平行。 - 如果两个平面相互垂直，则由这两个平面确定的直线与任一平面 相交的直线垂直。 3. 垂直的判定方法 判定两条直线是否垂直可以采用以下方法： - 两直线斜率之积为 -1，则这两条直线是垂直的。 - 如果两直线的斜率都不存在（即两直线都是垂直于x轴或y轴的），则这两条直线是垂直的。
空间中的垂直关系
空间中的垂直关系 1．两条直线互相垂直 定义：如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理及其推论： 文字语言图形语言符号语言 判定定理 如果一条直线与平面内 的两条相交直线垂直，则 这条直线与这个平面垂 直? ? ? ?? a?α b?α a∩b＝O l⊥a l⊥b ?l⊥α 推论1如果在两条平行直线中， 有一条垂直于平面，那么 另一条直线也垂直于这 个平面 ?? ? ?? a∥b a⊥α ?b⊥α 推论2 如果两条直线垂直于同 一个平面，那么这两条直 线平行 ?? ? ?? a⊥α b⊥α ?a∥b 3. 平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义： 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理： 文字语言图形语言符号语言 判定定理如果一个平面过另一个平面的一 条垂线，则这两个平面互相垂直?? ? ?? l⊥α l?β ?α⊥β (3)平面与平面垂直的性质定理： 文字语言图形语言符号语言
性质 定理 如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于 它们交线的直线垂直于另 一个平面 ?????α⊥βl ?β α∩β＝a l ⊥a ?l ⊥α 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α. ( ) (2)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直． ( ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b . ( ) (4)若α⊥β，a ⊥β?a ∥α. ( ) (5)a ⊥α，a ?β?α⊥β. ( ) 2． (2013·广东)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A ．若α⊥β，m ?α，n ?β，则m ⊥n B ．若α∥β，m ?α，n ?β，，则m ∥n C ．若m ⊥n ，m ?α，n ?β，则α⊥β D ．若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥β 3． 设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件是 ( ) A ．a ⊥c ，b ⊥c B ．α ⊥β，a ?α，b ?β C ．a ⊥α，b ∥α D ．a ⊥α，b ⊥α 4． 将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 的中线折起得到空间四面体ABCD (如图2)，则在 空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是 ( ) A ．相交且垂直 B ．相交但不垂直 C ．异面且垂直 D ．异面但不垂直 5． α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ； ②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________________________. A 组 专项基础训练
证明平面与平面垂直的方法
证明平面与平面垂直的方法 以《证明平面与平面垂直的方法》为标题，写一篇3000字的中文文章 在几何学中，平面和平面的垂直状态是一个重要的概念。因此，本文旨在通过向读者介绍几种证明平面和平面垂直的方法，来帮助读者弄清楚这一概念。首先，本文将介绍坐标系、角度、法向量三种证明方法，然后给出一个证明平面与平面垂直的案例，最后说明如何用这三种方法来解决问题。 首先，要了解什么是坐标系，什么是角度，什么是法向量，必须从基本概念开始介绍。坐标系是一种可用来表示空间点的系统，它由三个不同的坐标轴构成，包括x轴、y轴和z轴，它们构成了一个三维空间，可以用来标记每个点在这个三维空间中的位置。角度是表示两个线段或两个平面之间的夹角，它可以是直角、锐角或钝角，其单位一般使用度数，表示两个线段或两个平面之间的夹角大小。法向量（Normal Vector）是一个虚拟的矢量，用来指示一个平面或表面的法向，它指向平面或表面内部，而不是平面或表面的边界。 接下来，以下是一个证明平面和平面垂直的案例：假设有两个平面A和B，它们的法向量分别为a和b，要求证明它们是垂直的。根据定义，两个平面A和B互相垂直，当它们的法向量a和b满足内积为0的条件时，即ab=0。因此，只要计算a和b的内积，并确认它等于零，即可证明平面A和平面B是垂直的。 最后，用坐标系、角度和法向量三种方法可以证明平面和平面之
间是垂直的。第一种方法是用坐标系，根据三维空间中的坐标轴x、y和z，可以计算出两个平面之间的夹角，如果夹角为90°，则说明这两个平面是垂直的。第二种方法是用角度，计算两个平面之间的夹角，如果夹角为90°，则证明它们是垂直的。第三种方法是用法向量，计算两个平面的法向量的内积，如果此内积为零，说明两个平面互相垂直。 本文旨在介绍几种证明平面和平面垂直的方法，并给出一个平面和平面垂直的案例，以帮助读者弄清楚这一概念。结果表明，用坐标系、角度和法向量三种方法可以证明平面和平面之间是垂直的，并有助于解决几何学中的问题。
高中数学空间直线、平面垂直的判定及其性质解析！
高中数学空间直线、平面垂直的判定及其性质解析！ 一、直线和平面垂直的判定和性质 1、证明直线和平面垂直的常用方法： ① 利用判定定理； ② 利用平行线垂直于平面的传递性（a∥b , a⊥α，则b⊥α .）; ③ 利用面面平行的性质（a⊥α，α∥β , 则a⊥β .）; ④ 利用面面垂直的性质 . 注： 当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任何一条直线，常用来证明线线垂直 . 【例题1】如图所示，已知 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面，点 M , N 分别是 AB , PC 的中点，若∠PDA = 45°， 求证：MN⊥平面 PCD . 例题1图 【解析】 思路：点 M , N 是中点，取 PD 中点 E，则MN∥AE , AE⊥平面 PCD，则MN⊥平面 PCD . 解答： 证明：如下图所示，取 PD 的中点 E，连接 AE , NE .
∵ 点 E , N 分别为 PD , PC 的中点， ∴ EN∥且= 1/2 CD , (三角形中位线定理) 又∵ 点 M 是 AB 的中点，四边形 ABCD 为矩形， ∴ AM ∥且= 1/2 CD , ∴ EN ∥且= AM， ∴ 四边形 AMNE 为平行四边形 . ∴ MN ∥且= AE , 又∵ PA⊥平面 ABCD，∠PDA = 45°， ∴ △PAD 为等腰直角三角形， ∴ AE⊥PD . 又∵ CD⊥AD，CD⊥PA， ∴ CD⊥平面 PAD , 而 AEㄷ平面 PAD , ∴ CD⊥AE . 又∵ CD∩PD = D , ∴ AE⊥平面 PCD ， ∴MN⊥平面 PCD . 二、平面与平面垂直的判定 1、证明面面垂直的常用方法： ① 利用判定定理；（判断垂线常用等腰三角形“三线合一”、“勾股定理”等结论 .） ② 利用定义证明；（判断两平面所成的二面角是直二面角 .） ③ 利用常用结论；（若α∥β，α⊥γ，则有β⊥γ .） 【例题2】如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB = BC , 点 D 是 AB 的中点 . (1) 求证：BC1∥平面 CA1D ; (2) 求证：平面CA1D⊥平面 AA1B1B .
直线平面平行、垂直的判定及其性质知识点
一、直线、平面平行的判定及其性质 知识点一、直线与平面平行的判定 ⅰ.直线和平面的位置关系（一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种） 注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 ⅱ.思考：如图，设直线b 在平面α内，直线a 在平面α外，猜想在什么条件下直线a 与平面α平 行.（a ||b ） 线线平行，则线面平行（线与面的平行问题一定要排除现在直线内的情况） ※判定定理的证明
性质 文字描述 一条直线与一个平面平行，则这条直线与该平面无交点 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平 面相交，这条直线和交线平行． 图形 条件 a ∥α a ∥αa ⊂βα∩β＝ b 结论 a ∩α＝∅ a ∥b 特别提示 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行. 判定 文字描述 如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行 一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． 如果两个平面同时垂直于 一条直线，那么这两个平面垂直。 图形 条件 α∩β＝∅ a ， b ⊂β a ∩b ＝P a ∥α b ∥α l ⊥α l ⊥β 结论 α∥β α∥β α∥β
二、直线、平面垂直的判定及其性质 与平面α内的任一直线，一直线总有l ⊥α 要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面 内的所有直线”，这与“无 数条直线”不同（线线垂直线面垂直） 知识点二、直线和平面垂直的性质 知识点三、二面角 Ⅰ.二面角：：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle ）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角AB αβ－－. （简记P AB Q －－） 二面角的平面角的三个特征:ⅰ. 点在棱上 ⅱ. 线在面内 ⅲ. 与棱垂直 Ⅱ.二面角的平面角：在二面角αβ－l －的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面,αβ内分别
利用空间向量证明垂直关系
利用空间向量证明垂直关系 主讲教师：巫宇霞 【知识概述】 利用空间向量证明垂直关系 设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则 线线垂直：l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b =0； 线面垂直：l ⊥α⇔a //u ⇔a = k u ； 面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v =0. 【学前诊断】 1. [难度]易 已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥． 2． [难度]易 如图，在四棱锥V -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD ． 证明：AB ⊥平面VAD ． 3． [难度]中 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点， 求证：平面AED ⊥平面A 1FD 1.
【经典例题】 例1. 如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面 ABC ，P A =AB ，∠ABC =600，∠BCA =900，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC . 求证：BC ⊥平面P AC . 例2． 在圆锥PO 中，已知PO O 的直径AB =2，C 是AB 弧的中点，D 为AC 的中点． 证明：平面POD ⊥平面P AC ． 例3． 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ， 底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠= ，当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求P A 的长. 例 4. 如图,已知平行六面体1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，且 1160C CB C CD BCD ∠=∠=∠= ，当 1 CD CC 的值为多少时能使1 1AC C BD ⊥平面？请给出证明.
2019-2020年人教A版高中数学必修二2.3.2《平面与平面垂直的判定》word教案
2019-2020年人教A版高中数学必修二2.3.2《平面与平面垂直的判 定》word教案 一、教材分析 在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念； （2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用. 2．过程与方法 （1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程； （2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理. 3．情态、态度与价值观 通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力. 三、教学重点与难点 教学重点:平面与平面垂直判定. 教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角. 四、课时安排 1课时 五、教学设计 （一）复习 两平面的位置关系： （1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β. （2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图1. 图1 （二）导入新课 思路1.(情境导入) 为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角. 思路2.(直接导入)
证明平面与平面垂直(空间向量)
1．利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直． 2．向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度． .用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. (2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示. (3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 4．若平面α与β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(1,0,2)，则平面α与β的位置关系是( ) A．平行 B．垂直 C．相交不垂直 D．无法判断 解析：∵a·b＝4×1＋0＋(－2)×2＝0. ∴a⊥b，∴α⊥β. 答案：B 面面垂直. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED⊥平面B1BD.
【证明】 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，E (0,1，12)，DB 1→＝(1,1,1)，DE → ＝(0,1，12 )，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则x ＋y ＋z ＝0且y ＋1 2z ＝0，令z ＝－2，∴n 1＝(1,1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1,0)， 由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD . 图3－2－12 4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，证明：平面B 1ED ⊥平面B 1BD . [证明] 以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则D (0，0，0)，B 1(1，1，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，DB 1→＝(1，1，1)，DE →＝⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，1，12，设平面B 1DE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝0且y ＋12z ＝0，令z ＝－2，则y ＝ 1，x ＝1，∴n 1＝(1，1，－2)．同理求得平面B 1BD 的法向量为n 2＝(1，－1，0)，由n 1·n 2＝0，知n 1⊥n 2，∴平面B 1DE ⊥平面B 1BD . 例3：如图3－2－12，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，E 为BB 1的中点，求证：平面AEC 1⊥平面AA 1C 1C .
考点24 空间几何中的垂直(解析版)
考点24 空间几何中的垂直知识理解 一．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 二．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
三．证明线线垂直的思路 平行四边形：正方形、菱形、矩形图形三角形：等腰（等边）三角形--取中点正余弦定理 边关系或边长勾股逆定理线面垂直的定义面面垂直的性质 ⎧⎧⎪⎪⎨ ⎪⎩⎪⎪ ⎧⎪⎪⎨⎨ ⎪⎩⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ 考向一 线面垂直 【例1】3．（2021·江西吉安市·高三期末节选）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //AD BC ，90ADC ∠=︒，22AD DC BC ===，PAD △为正三角形，Q 为AD 的中点，求证：AD ⊥ 平面PBQ 【答案】证明见解析 【解析】∵PAD △为正三角形，Q 为AD 的中点，∴PQ AD ⊥. ∵//AD BC ，2AD DC BC ==，Q 为AD 的中点.∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴//BQ CD . 又90ADC ∠=︒，∴90AQB ∠=︒，即BQ AD ⊥.又PQ BQ Q =，∴AD ⊥平面PBQ . 考向分析
【举一反三】 1．（2021·河南信阳市节选）如图所示，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，AD DC ⊥， 2224CD AD AB SD ====，SD ⊥平面ABCD ，求证:BC ⊥平面SBD 【答案】证明见解析 【解析】证明://,,2AB CD AD DC AB AD ⊥==，BD BC ∴== 又4CD =，222CD BD BC ∴=+，故BC BD ⊥， 又SD ⊥平面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，BC SD ∴⊥， 又 SD BD D =，BC ∴⊥平面SBD . 2．（2021·江西赣州市节选）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，13 B BA π ∠=，证明：1B C ⊥ 平面1ABC