罗尔定理内容及证明

罗尔定理内容及证明

罗尔定理（RolleTheorem）是求解单变量函数微分方程的一个基本定理，它最初是由法国数学家特朗罗尔在1691年提出来的。罗尔

定理它说明了在满足某些特定条件的情况下，某一个函数的一阶导数存在且满足某一条件，它是实变函数微分方程的理论和应用的一个基础性定理。

一、罗尔定理的内容

罗尔定理是指，设在[a,b]上已知f(a) = f(b),且f(x)在区间[a,b]上连续可导，则存在某个c∈(a,b)，使得f(c)= 0。

它概括地说明了，在函数f(x)在区间[a,b]上有f(a)=f(b)，并

且f(x)在区间[a,b]上连续可导的情况下，那么函数f一定存在极值点，也就是一阶导数f(x)在某一点存在且为零，也就是f(c)=0。

二、罗尔定理的证明

设f(x)在区间[a,b]上连续可导，f(a)=f(b)（设f(a)≠f(b)，

不妨设f(a)>f(b)），证明f(c)=0。我们假定c∈(a,b)，如果f(a)>f(b)，那么说明f在[a,b]上是连续的凸函数，其一阶导数f(x)也是连续的，存在一点c∈(a,b),使得f(c)=0。

由此，根据函数微分的定义，可知

$$f(c)=lim_{xrightarrow

c}frac{f(x)-f(c)}{x-c}=frac{f(b)-f(c)}{b-c}+

frac{f(c)-f(a)}{c-a}=frac{f(b)-f(a)}{b-c} +

frac{f(a)-f(a)}{c-a}=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

由于f(a)=f(b),以f(c)=0,即c为f(x)的极值点。

综上所述，罗尔定理说明了在满足某些特定条件的情况下，一个函数f一定存在一个极值点，其一阶导数f(x)在某一点存在且为零，由此可以应用在解决实变函数微分方程的应用中，成为实变函数微分方程的理论和应用的一个基础性定理。详细的推导过程在本文中已经完全说明，罗尔定理在实际中不断发挥着重要作用。