大学高等教育学年学期高等数学B1期末复习题

《高等数学B1》期末复习题
一、选择题
1.若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（ ）.
A ．()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值
B ．()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值
C ．()f x 在0x 的函数值可以不存在
D ．如果0()f x 存在则必等于极限值 2．若)(x f 在0x x =点处可导，则有（ ）.
A ．)()()2(lim
0'000
x f h x f h x f h =-+→ B. )()
()(lim 0'000x f h x f h x f h =--→
C ．)()()(lim
0'000
x f h h x f x f h =--→ D. )()
()(lim 0'000x f h
h x f h x f h =--+→
3．命题（I ）:)()(x g x f >是命题（II ）：)(')('x g x f >的（ ）.
A ．必要但非充分条件 B.充分但非必要条件
C ．充要条件 D.既非充分也非必要条件 4．若)(x f 是)(x g 的原函数，则（ ）.
A.
⎰+=C x g dx x f )()( B.⎰+=C x f dx x g )()( C.⎰
+='C x g dx x g )()( D.
⎰+='C x g dx x f )()(
5．定积分定义
∑⎰
=→∆=n
i i i b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ说明（ ）.
A.],[b a 必须n 等分，i ξ是],[1i i x x -端点
B.],[b a 可任意分法，i ξ必须是],[1i i x x -端点
C.],[b a 可任意分法，0}m ax {→∆=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取
D.],[b a 必须等分，0}m ax {→∆=i x λ，i ξ可在],[1i i x x -内任取
6. 设 n
n x 333.0= ，则=∞
→n n x lim ( ) A. 1/3 B. C. D. 不存在 7. 当0→x 时，x
x 1
sin
是（ ） A.x 的高阶无穷小量 B. x 的低阶无穷小量
C.x 的同阶无穷小量
D. 无穷小量，但阶数不确定
8. 设函数x x x x f sin )23()(2
+-=，则0)(='x f 在),0(π内根的个数为（ ） A ．0个 B. 至多1个 C. 2个 D. 至少3个 9. )(0x f '存在是函数)(x f 在点0x 取得极值的（ ）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件 10.
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰dx x dx
d b
a 2sin （ ） A.2
sin x B. 2
cos x C. 2
cos 2x x D. 0 11．当0→x 时，与x tan 是等价无穷小的是 （ ）
A ．x x -2
B ．x cos 1-
C ．x x sin 2
+ D ．11-+x
12．设函数)(x f 可导且下列各极限均存在，则下列各式不成立的是（ ）
A.)0()0()(lim
f x f x f x '=-→ B.)()
()2(lim 0a f h
a f h a f h '=-+→
C.)()()(lim
0000
x f x x x f x f x '=∆∆--→∆ D.)(2)
()(lim 0000x f x
x x f x x f x '=∆∆--∆+→∆
13．下列函数在给定区间上满足罗尔定理的有（ ）
A.x
xe
y -= [0,1] B.
3
2
)
1(1-x [0,2]
C.652
+-=x x y [2,3] D.⎩⎨
⎧≥<+=5
,15
,1x x x y [0,5]
14．如果⎰⎰
=)()(x dg x df ，则下列各式不正确的是（ ）
A.)()(x g x f =
B.)()(x g x f '='
C.)()(x dg x df =
D.⎰⎰
'='dx x g d dx x f d )()( 15．设⎰=a
x tdt x F arcsin )( ， 则)1('F = ( )
A.a C.2π D.2
π
-
二、填空题
1. 已知222lim 22
x x ax b
x x →++=--，则a =________，b =________.
2．曲线x x f cos )(=上点)2
1
,3(π处的切线方程__________. 3． 函数x e
x f x
2)(2-=在区间 上单调递增.
4．若)(x f 连续，则⎰
'))((dx x f ＝ .
5．已知)(x f 在),(∞+-∞上连续，且2)0(=f ，且设⎰
=
2
sin )()(x x
dt t f x F ，则
(0)F '= .
6.=+∞
→x
x x sin lim
=∞
→n
n n 2sin
lim π
=-→1
1
sin
ln lim 1
x x x 7.00,sin ,)(2>≤⎪⎩⎪
⎨⎧+=x x x
bx bx a x f 在0=x 连续，则常数a 与b 应满足怎样的关系
8. =⎰→x
x dt t t x
x sin cos lim
20
9. 设⎩
⎨⎧==-t
t e y e x 23，求三阶微商=33dx y
d 10.
=+∞→n
n n n 2)1
(lim __________。

11．函数x
a x f =)(的n 阶导数=)()
(x f n __________。

12．设2
31
)(22+--=x x x x f ，则1=x 是)(x f 的________间断点。

（填具体类型）
13．曲线x
xe
y 2-=的单调递增区间是 ；凸区间是 ；拐点是______。

14. 广义积分⎰
∞
+=1
2x
dx。

三、计算题
1. 求极限sin sin lim
x a x a
x a
→--
2．求极限01
lim x x e x
→-
3
．求极限1
lim
1
x x →-
4．5
53)(2x x x f +-=，求)0('f 和 )2('
f . 5．求由方程y
xe y +=1所确定的隐函数的2阶导数2
2dx
y
d . 6．求21arcsin x y -=的微分 7．求
⎰++dx x x x
652.
8．计算定积分⎰
---32
232dx x x
9．计算定积分
⎰
---22
2
1
x x dx
10. )
21ln()
31ln(lim x x x ++-∞→
11. )
1ln(lim 2tan 0x x e e x
x x +-→
12. 设n
n n
n n x n ++++++=
2222211 ，求lim n n x →∞
13.
⎰⎰⎪
⎭⎫ ⎝⎛→x
t x
t x dt
te
dt e 0
22
00
2
2
lim
14．设)(x y y =由方程0arctan =+-y y x 所确定，求y '
15．已知x x y x
+=，求dy 16．计算不定积分
⎰++342x x dx
17．计算不定积分
⎰-+
1
2x dx
18．计算定积分
⎰
1
2
dx xe x
19．已知函数)1000()2)(1()(---=x x x x x f , 求)0('f
20. 求11||001,1,
sin ,
0,11sin )(>≤<=-<⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧+=x x x x x x x x f 的间断点，并指出它们的类型.
21.已知x x x y sin 1ln -=，求dy
22. 已知a x y -=
与x be y =在1=x 点相切，求b a ,.
23.求极限⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
→22
1csc lim x x x 24. 计算
dx x x
⎰-1
12
25.计算dx x
x
⎰
+1arcsin
26. 设连续函数)(x f 满足1)(20
-=--⎰
x
x
e
dt t x f ，求定积分⎰1
)(dx x f .
27．计算定积分
dx x a x a
⎰
-0
222
28．计算广义积分dx x e x ⎰
∞
-0
cos
四、综合题
1．某工厂每批生产某商品
x 台的费用为2005)(+=x x C （万元），得到的收入为
201.010)(x x x R -=（万元）。

问每批生产多少台，才能使利润最大？
2．若函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，证明：
⎰⎰
=20
2
)(cos )(sin π
π
dx x f dx x f ；
3. 设曲线)0,0(2
≥>=x a ax y 与2
1x y -=相交于点A ，过坐标原点O 与点A 的直线与曲线2
ax y =围成一个平面图形.问：a 为何值时该图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积最大？
4．证明：当0≠x 时，有不等式x e x
+>1成立。

5. 设由直线ax y =与曲线2
x y =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1=x 所围成图形的面积为2S ，并且10<<a ，试确定a 的值，使得21S S +达到最小，并求出最小值。