常用的两数的最大公因数
常用的两数的最大公因数
（6，9）＝3 （6，10）＝2 （6，27）＝3 （9，12）=3
（9，15）＝3 （10，12）＝2 （10，15）＝5 （10，35）＝5
（12，18）＝6 （12，20）＝4 （15，21）＝3 （15，25）＝5
（16，20）＝4 （18，30）＝6 （18，45）＝9 （18，51）＝3
（21，35）＝7 （24，42）＝6 （25，35）＝5 （28，32）＝4
（30，36）＝6 （30，45）＝15 （45，60）＝15 （52，78）＝26
常用的两个数的最小公倍数
［4，6］＝12 ［4，10］＝20 ［4，14］＝28 ［4，18］＝36 ［6，8］＝24 ［6，10］＝30 ［6，14］＝42 ［6，16］＝48 ［6，20］＝60 ［8，10］＝40 ［8，12］＝24 ［8，14］＝56
［8，18］＝72 ［8，20］＝40 ［9，12］＝36 ［9，15］＝45
［10，12］＝60 ［10，14］＝70 ［10，16］＝80 ［10，18］＝90
［12，14］＝84［12，16］＝48［12，18］＝36［12，20］＝60
常用的两个数的最小公倍数
［4，6］＝12 ［4，10］＝20 ［4，14］＝28 ［4，18］＝36 ［6，8］＝24 ［6，10］＝30 ［6，14］＝42 ［6，16］＝48 ［6，20］＝60 ［8，10］＝40 ［8，12］＝24 ［8，14］＝56
［8，18］＝72 ［8，20］＝40 ［9，12］＝36 ［9，15］＝45
［10，12］＝60 ［10，14］＝70 ［10，16］＝80 ［10，18］＝90
［12，14］＝84［12，16］＝48［12，18］＝36［12，20］＝60
常用的两数的最大公因数
（6，9）＝3 （6，10）＝2 （6，27）＝3 （9，12）=3
（9，15）＝3 （10，12）＝2 （10，15）＝5 （10，35）＝5
（12，18）＝6 （12，20）＝4 （15，21）＝3 （15，25）＝5
（16，20）＝4 （18，30）＝6 （18，45）＝9 （18，51）＝3
（21，35）＝7 （24，42）＝6 （25，35）＝5 （28，32）＝4
（30，36）＝6 （30，45）＝15 （45，60）＝15 （52，78）＝26
最大公因数和最小公倍数总结(精)
最大公因数与最小公倍数 质数和合数 质数：一个数除了1和它本身以外，不再有别的因数，这个数叫质数。 因数：一个数除了1和它本身以外，还有别的因数，这个数叫做合数。 ☆1既不是质数也不是合数。 ☆最小的质数是2，最小的合数是4。 ☆常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、 41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共计25个。 ☆除了2，其余的质数都是奇数，除了2和5，其余质数的各位数字只能是1、3、7或9. 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数。例如，因为70=2×5×7，所以2，5，7是70的质因数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 分解质因数的方法——短除法 把一个合数分解质因数，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小开始）去除，出得商如果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商是合数，按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止．然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。 ★合数都能分解质因数。 ★1是任何合数的因数。 ★质因数、合数与1组成自然数。 最大公因数 定义：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数。公因数中最大的一个公因数，称为这几个自然数的最大公因数。 最大公因数的求法： 1、短除法。 2、分解质因数法。 3、列举法。 例如：12=2×2×3 18=2×3×3 （12，18）=2×3=6 互质数：公因数只有1的两个数叫互质数。 互质的两个数不一定都是质数。有可能有以下几种情况： ⊙两个数都是质数。 ⊙两个数都是合数。 ⊙一个是质数，另一个是合数。 ⊙一个是1，另一个是质数或合数。 ⊙相邻的两个数都是互质的。 最小公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。 最小公倍数的求法： 1、分解质因数法：如求两个数的最小公倍数，可以先分解质因数，找出两
人教版小学数学最大公因数和最小公倍数知识点
最大公因数和最小公倍数 1. 基本知识 (1)因数与最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，所有的公因数中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 自然数 a，b 的最大公因数记作(a，b)，例如(12，8)=4，(4，6，10) =2。 如果(a，b)=l，则 a 与b 互质。如果a 是b 的倍数，则（a，b）=b。 自然数 a 能被自然数b 整除，则称 a 是b 的倍数，b 是a 的因数。 (2)倍数与最小公倍数 几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。一般用符号[a，b]表示 a，b 的最小公倍数，例如：[4，10] =20。 (3)求解方法 ①求最大公因数常用的方法：短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。 ②求最小公倍数常用的方法：短除法，分解质因数法，列举法，最大公因数法。 2.性质 (1)两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数。 如果（a，b）=d，c|d，那么 c|a，c|b。 (2)两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质的。 如果(a，b)=d，那么（a÷d，b÷d）=1。 (3)若一个数 c 能同时被两个自然数 a，b 整除，那么 c 一定能被这两个数的最小公倍数整除。或 者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。 (4)两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 例1(★)已知两个数分别是 4 和 B，已知4 =2×2×3×5．B=2×3×3×5，求 A，B 的最大公因数。例2(★)一箱图书可以平均分给 2，3，4，5，6 名小朋友，这箱图书最少有多少本？
常用的两数的最大公因数
常用的两数的最大公因数 （6，9）＝3 （6，10）＝2 （6，27）＝3 （9，12）=3 （9，15）＝3 （10，12）＝2 （10，15）＝5 （10，35）＝5 （12，18）＝6 （12，20）＝4 （15，21）＝3 （15，25）＝5 （16，20）＝4 （18，30）＝6 （18，45）＝9 （18，51）＝3 （21，35）＝7 （24，42）＝6 （25，35）＝5 （28，32）＝4 （30，36）＝6 （30，45）＝15 （45，60）＝15 （52，78）＝26 常用的两个数的最小公倍数 ［4，6］＝12 ［4，10］＝20 ［4，14］＝28 ［4，18］＝36 ［6，8］＝24 ［6，10］＝30 ［6，14］＝42 ［6，16］＝48 ［6，20］＝60 ［8，10］＝40 ［8，12］＝24 ［8，14］＝56 ［8，18］＝72 ［8，20］＝40 ［9，12］＝36 ［9，15］＝45 ［10，12］＝60 ［10，14］＝70 ［10，16］＝80 ［10，18］＝90 ［12，14］＝84［12，16］＝48［12，18］＝36［12，20］＝60
常用的两个数的最小公倍数 ［4，6］＝12 ［4，10］＝20 ［4，14］＝28 ［4，18］＝36 ［6，8］＝24 ［6，10］＝30 ［6，14］＝42 ［6，16］＝48 ［6，20］＝60 ［8，10］＝40 ［8，12］＝24 ［8，14］＝56 ［8，18］＝72 ［8，20］＝40 ［9，12］＝36 ［9，15］＝45 ［10，12］＝60 ［10，14］＝70 ［10，16］＝80 ［10，18］＝90 ［12，14］＝84［12，16］＝48［12，18］＝36［12，20］＝60 常用的两数的最大公因数 （6，9）＝3 （6，10）＝2 （6，27）＝3 （9，12）=3 （9，15）＝3 （10，12）＝2 （10，15）＝5 （10，35）＝5 （12，18）＝6 （12，20）＝4 （15，21）＝3 （15，25）＝5 （16，20）＝4 （18，30）＝6 （18，45）＝9 （18，51）＝3 （21，35）＝7 （24，42）＝6 （25，35）＝5 （28，32）＝4 （30，36）＝6 （30，45）＝15 （45，60）＝15 （52，78）＝26
最大公因数和最小公倍数
最大公因数和最小公倍数 知识内容： 知识点1、最大公因数 几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。我们可以把自然数a、b的最大公因数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a、b互质。 求几个数的的最大公因数可以用列举法、分解质因数法和断除法等方法。 1、列举法：分别找出两个数的因数，然后看哪些是它们的公因数，从中找出最大的一个因数。 2、分解质因数法：先把两个数分解质因数，相同的质因数的积就是它们的最大公因数。 3、短除法：用两个数的最小质因数除起，一直除到两个商是互质数为止，除数相乘的积就是它们的最大公因数。 知识点2、最小公倍数 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。自然数a、b的最小公倍数可以记作〔a、b〕，当（a、b）=1时，〔a、b〕=a×b。两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积即（a、b）×〔a、b〕= a×b 要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通常就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公因数问题混淆。
教学辅助练习（或探究训练） 知识点1、最大公因数 例题1、求下面每组数的最大公因数。 24和36 36和27 解： 方法1：列举法： 方法2：分解质因数法： 方法3、短除法： 练习1、 1、用列举法求下面每组数的最大公因数。 15和12 30和45 18和72
2、用分解质因数法求下面每组数的最大公因数。 34和51 42和54 15和80 3、用短除法求下面每组数的最大公因数。 18和24 48和18 30和50 32、12和16 4、求下列各组数的最大公因数。 45和18 51和17 28和96 24、38和18
最大公因数与最小公倍数应用(较难含有部分的讲解)
最大公因数与最小公倍数应用（一） 一、知识要点： 1、性质1：如果a、b两数的最大公因数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。 例如：（24,54）=6,24=4×6,54=9×6，（4,9）=1。 2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。 a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公因数，并且a×b=[a,b]×（a,b）。 例如：（18，12）= ，[18，12]= （18，12）×[18，12]= 3、两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。 3、辗转相除法 二、热点考题： 例1 两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。 练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。 例2 两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。 分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。” 例3 已知a与b，a与c的最大公因数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。 分析与解：因为12，15都是a的因数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。
练一练：已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？ 例4已知两个自然数的和是50，它们的最大公因数是5，求这两个自然数。 例5 已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数。 习题四 1．已知某数与24的最大公因数为4，最小公倍数为168，求此数。 2．已知两个自然数的最大公因数为4，最小公倍数为120，求这两个数。 3．已知两个自然数的和为165，它们的最大公因数为15，求这两个数。
怎样求最大公因数和最小公倍数
怎样求最大公因数和最小公倍数 最大公因数和最小公倍数有着广泛的应用，特别是在分数四则运算中，更是不可缺失。所以求最大公因数和最小公倍数是小学高年级数学的教学的重点，也是难点。下面就我多年的探索及教学经验，就两个数的最大公因数和最小公倍数的求法，列举出来，供大家分享。 一、基本法 求两个数的最大公因数，首先分别求出这两个数的因数，然后在这两个数的因数中，找出他们的公共的因数，即公因数。再从中选出最大的一个，就得出了最大公因数了。同理求出最小公倍数。 二、分类法 下面用表格来说明这种方法： 表中的说的小数缩倍意思是用较小的数，分别除以2、3、4……等，从商中找到较大的数的因数，即是他们的最大公因数。大数翻倍，道理相同。 三、短除法 教学生会用短除的格式，这点比较简单，主要是要学生记住：在短除法中，除数的积是两个数的最大公因数，除数与两个商的积是两个数的最小公倍数。例：求求18和24最大公因数和最小公倍数：
四、分解质因数法 把两个数分别分解质因数，其中他们公有的质因数的积，就是他们的最大公因数，他们公有的质因数积再乘以他们各自独有的质因数，得数就是最小公倍数。例：求18和24最大公因数和最小公倍数：18＝2×3×3 24＝2×2×2×3。18与24的最大公因数是2×3＝6（2和3是18与24公有的质因数，也就是短除法中的除数）；18与24的最小公倍数是2×3×3×2×2（其中3是18独有的质因数， 2、2是24独有的质数。） 五、翻缩倍法 在完全理解求最大公因数与最不公倍数方法后，在求最大公因数时，能够依次看两数中的较小的一数的除以1、2、3……是不是大数的因数，假如先发现了是大数的因数，那么这个得数就是它们的最大的公因数；在求最小公倍数时，能够看大数的1、2、3……倍是不是小数的倍数，先发现小数的倍数，则求出了最小公倍数。 北师大版的小学数学，仅仅介绍了求两个数学最大公因数和最小公倍数的基本法，对于其它方法没有提及，这也是有道理了，学生假如把这种方面搞熟了，其它方法是能够总结出来的，但是假如没能教师的引导，能对这些方法融会贯通，实在是不容易的。所以需要教师在学生掌握基本法的基础上，介绍另外的三种方法。使学生对求两个数学最大公因数和最小公倍数有深刻而全面的理解。 这几种方法是密切相关的。分解质因数中的公有的质因数，就是短除法中除数；各自独有的质因数就是短除法中商。而倍数关系中的
找最大公因数的几种方法
因数和倍数 一、《因数和倍数》单元涉及的概念 1、因数：4是12的因数。（因数是相对概念，单说4是因数是错误的。） 特征：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。 2、倍数：12是4的倍数。（倍数是相对概念，单说12是倍数是错误的。） 特征：一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。 因数和倍数关系：一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。 3、偶数：是2的倍数的数叫做偶数。 4、奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 5、质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数叫作质数（素数）。 100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 6、合数：除了1和它本身还有别的因数的数叫作合数。 比如：8=1×8，8=2×4，1、2、4和8是8的因数，所以8是合数。 7、质因数：如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。 分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。分解质因数方法：相乘法和短除法 ①相乘法：写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。如：36=2×2×3×3 运算时可逐步分解写成36=4×9=2×2×3×3
②短除法：1、写出短除式2、用能整除这个合数的最小质数去除3、商如果是合数，照上面的方法除下去，直到商是质数止4、把除数和最后的商写成连乘的形式． 8、公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 特征：几个数的公因数也是有限的。 9、公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 特征：几个数的公倍数也是无限的。 10、书上46页拓展 两个数的最大公因数可以用“( ）”表示，最小公倍数可以用“[ ]” 表示。12和18的最大公因数是6,可以表示为(12，18 ）= 6; 12和18的最小公倍数是36，可以表示为[12，18 ]=36。
求最大公因数最快方法
求最大公因数最快方法 最大公因数（GCD）是指两个或多个整数中最大的公约数。求最大公因数的方法有很多种，包括穷举法、辗转相除法、质因数分解法、更相减损法等。下面将分别介绍这些方法的原理和优劣势，以及一些其他方法。 1. 穷举法： 穷举法是最直观的方法，即对两个整数的所有因数进行穷举，找出它们的公约数中最大的一个。这个方法的优势是简单易理解，适用于较小的整数。但当整数较大时，穷举的范围较大，速度较慢。 2. 辗转相除法（欧几里得算法）： 辗转相除法利用了两个整数之间的整除关系，即两个整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于b与a%b的最大公约数。通过不断地将较大数与余数计算最大公约数，直到余数为0，则较小的数即为最大公约数。这个方法的优势在于计算速度较快，适用于大整数。但当两个整数相差很大时，此方法可能效率较低。 3. 更相减损法： 更相减损法是一种辗转相减的方法，它使用的原理是任何一个奇数减去另一个奇数的差是偶数，一个奇数减去一个偶数的差是奇数。因此，我们可以不断地将两个整数中较大的减去较小的，直到两个整数相等，这时的整数即为最大公约数。这个方法的优势在于可以减少除法运算，但当两个整数相差很大时，辗转相减的次数较多，效率较低。
4. 质因数分解法： 质因数分解法是将两个整数进行质因数分解，然后找出它们公共的质因数，再将这些质因数相乘。这个方法的优势在于可以避免不必要的除法运算，尤其对于较大的整数来说，计算速度较快。但它的劣势在于复杂度较高，需要先将两个整数进行质因数分解。 除了上述传统的方法，还有一些更高效的方法，如辗转相减法与移位法相结合的二进制算法和Stein算法等。这些方法主要基于更相减法和移位运算的思想，利用位运算和递归来提高计算速度。它们的优势在于减少了运算次数和数据规模，适用于非常大的整数。 总而言之，要确定最大公因数最快的方法，需要根据具体情况选择合适的算法。对于小整数，穷举法和辗转相除法都是简单有效的选择；对于大整数，质因数分解法和二进制算法等更高级的方法能够提供更快的计算速度。此外，还有一些特殊情况可以利用数学性质来简化计算，如当其中一个整数是素数的情况下，最大公因数为1。因此，根据具体问题的要求和数据的特点来选择合适的方法，能够更快地求得最大公因数。
最大公因数的定义
最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。 如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系，不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。 "倍"与"倍数"是不同的两个概念，"倍"是指两个数相除的商，它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内，相对于"约数"而言的一个数字的概念，表示的是能被某一个自然数整除的数。 几个整数中公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12，16）=4。12、15、18的最大公约数是3，记为（12，15，18）=3。 几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个自然数，叫做这几个数的最小公倍数。例如：4的倍数有4、8、12、16，……，6的倍数有6、12、18、24，……，4和6的公倍数有12、24，……，其中最小的是12，一般记为[4，6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12，15，18]=180。若干个互质数的最小公倍数为它们的乘积的绝对值。例如：5的平方是4的平方根，3和4的最小公倍数
都是（4,9）。几个整数相互商时，公因数与约数商不能同时存在，只能在一个区间内存在。例如：5的最大公约数x和它对应的约数ax都是3。在整数平方中，约数a不一定能被5整除；约数一般有一个较大的约数（如2和1）被3整除，较小的约数（如4和6）被3整除。但是1是约数a在自然数平方中唯一的约数，即1是最大公约数，因为1可以被自然数整除。 例如：5的平方是3的平方根，2的平方是2、1、2。 3和5在两个自然数平方中唯一一个可被整除。在整数平方时，约数a通常表示为n=a+b。其中，n表示约数a;b是约数a所对应的约数。整数互解时，如果其中的两个整数不是互质的，那么只要知道一个约数所对应的另一个奇数，便可将互解出来。例如：3和5互解得1=2.因此3能被5整除。
公因数 公倍数
一、A是B的倍数。最大公约数是B,最小公倍数是A A和B互素，最大公约数是1.最小公倍数是A*B 二、最大公因数最小公倍数 1、分解质因数法：就是将几个数各自分解成质因数的形式， 把公因数相乘得出最大公因数。 求（12，18）。 12=2×2×3 18=2×3×3 （12，18）=2×3=6 2、最小公倍数的求法 求几个数的最小公倍数，常用的方法有： （1）求几个数的最小公倍数，先看这几个数有没有公约数（不一定是全部已知数的公约数，其中任何两个数的公约数也可以），如果有的话，就用它们的公约数去连续除，一直除到每两个数都是互质数为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来，积就是这几个数的最小公倍数。 例：①求12和18的最小公倍数。 2和3互质，除到此为止。 12和18的最小公倍数是2×3×2×3＝36。 ②求12、18、24的最小公倍数 1、2、3每两个数都是互质数，除到此为止。
12、18、24的最小公倍数是2×3×2×1×3×2＝72。（2）先求最大公因数法 求两个数的最小公倍数，可以利用这两个数与它们的最大公因数和最小公倍数的关系求得。 关系是：最大公因数×最小公倍数=两数相乘的积 例：求12和18的最小公倍数。 解：因为12和18的最大公因数是6，两数之积为12×18＝216，所以12和18的最小公倍数为：216÷6=36。 （3）直接观察法 ①两个数成倍数关系的： 如果较大的数是较小的数的倍数，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。例：96是16的倍数，96是96和16的最小公倍数。 ②两个数是互质关系的： 如果两个数是互质数，那么这两个数的最小公倍数就是这两个数的积。例：7和13的最小公倍数是7×13=91。 （4）两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质，即如果（Ａ，Ｂ）＝Ｄ，那么（Ａ÷Ｄ，Ｂ÷Ｄ）＝１
用短除法求数的最大公因数。
用短除法求数的最大公因数。 最大公因数，即最大公约数，是指两个或多个整数公有的最大因数。求最大公因数的方法有很多，其中一种常用且简便的方法是短除法。 短除法也叫做欧几里得算法，是一种用于找到两个数的最大公约数的算法。它基于这样一个观察结果：如果a能被b整除，那么a和b 的最大公约数就是b；反之，如果a不能被b整除，那么a和b的最大公约数就等于b和a除以b的余数的最大公约数。通过这种逐步筛选的方式，我们可以迭代地找出两个数的最大公约数。 下面我们来具体介绍短除法的求最大公因数的步骤： 步骤一：选择两个需要求最大公因数的整数a和b。 步骤二：用a除以b，得到商q和余数r。 步骤三：判断余数r是否为0，如果为0，则b就是最大公因数；如果不为0，则继续进行下一步。 步骤四：将b的值赋给a，将r的值赋给b，然后跳转到步骤二。 通过以上步骤的重复执行，我们可以得到最终的最大公因数。 下面我们通过一个具体的例子来演示短除法求最大公因数的过程。 假设我们需要求出56和42的最大公因数： 步骤一：选择a=56，b=42。 步骤二：用56除以42，得到商1和余数14。 步骤三：余数不为0，继续进行下一步。 步骤四：将b的值14赋给a，将r的值42赋给b，然后跳转到步骤二。 步骤二：用14除以42，得到商0和余数14。 步骤三：余数不为0，继续进行下一步。 步骤四：将b的值14赋给a，将r的值14赋给b，然后跳转到步骤二。 步骤二：用14除以14，得到商1和余数0。
步骤三：余数为0，得出最大公因数为14。 综上所述，56和42的最大公因数为14。 短除法是一种简单直观的求最大公因数的方法，适用于小数据范围内的计算。然而，对于大数的求解可能会比较耗时，需要通过更高效的算法来进行优化。
7公因数与最大公因数(公约数)
专题七公因数与最大公因数（公约数）知识概要 几个自然数，公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12、16的公约数有1、2、4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12、16）=4。12、15、18的最大公约数是3，记为（12、15、18）=3。求几个数的最大公因数常用的方法有：分解质因数法或辗转相除法。 用分解质因数的方法求两个数的最大公因数，一般用这两个数共有的质因数去除，一直除到商互质数为止，然后把所有的除数连乘起来。 辗转相除法求两个数的最大公因数，用大数去除以小数，得到商和余数，再用除数去除以余数，依次去除，直到整除没有余数，最后的一个除数就是这两个数的最大公因数。 基本训练 1．填空题 （1）既是质数又是偶数的自然数是（）；既是质数又是奇数的最小数是（）。既不是质数又不是合数的数是（）。既是偶数又是合数的最小数是（）。 （2）21的因数有（），其中共有（）组互质数。 （3）在2，8，17，51中，质数有（），（）是（）的质因数，（）和（）是互质数。 （4）（）的因数只有1个，（）的因数只有2个，（）的因数至少3个。 （5）一个数的最大公因数是36，这个数是（），把它分解质因数是（）。 （6）a=2×2×3，b=2×3×5，a和b公有的质因数有（），a和b的最大公因数是（）。 2．按要求写出互质数 （1）两个数都是质数（），两个数都是合数（）。 （2）一个是合数，一个是质数（）。 （3）相邻的两个自然数（）。 （4）一个既不是质数又不是合数的自然数与其他自然数（）。 3．把下面的合数分解质因数。 60=（）48=（）45=（）91=（）4．判断题 （1）1和16是互质数。 （2）所有自然数的公因数是1。 （3）两个合数不可能是互质数。 （4）15和17互质，所以15和17没有最大公因数。 5．选择题
最大公因数与最小公倍数应用(较难含有部分的讲解)
最大公因数与最小公倍数应用(一) 、知识要点: 1、性质1:如果a、b两数的最大公因数为d，贝U a=md,b=nd,并且(m,n ) =1。 例如：(24,54 ) =6,24=4 X6,54=9 X6, (4,9) =1。 2、性质2 :两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积。 a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公因数，并且a xb=[a,b] x(a,b )。 例如：(18 , 12 ) = , [18 , 12]= (18 , 12 )X[18 , 12]= 3、两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。 3、辗转相除法 二、热点考题： 例1两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。 练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。例2两个自然数的最大公因数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是77,求这两个自然数。 分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。” 例3已知a与b , a与c的最大公因数分别是12和15 , a, b , c的最小公倍数是120，求a, b , c。 分析与解：因为12 , 15都是a的因数,所以a应当是12与15的公倍数,即是[12 , 15]=60 的倍数。再由[a , b , c]=120 知，a只能是60或120。[a , c]=15，说明c 没有质因数2，又因为[a , b , c]=120=23 X3X5，所以c=15。 练一练：已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和
最大公因数与最小公倍数的实际应用
最大公因数和最小公倍数 基础知识与实际应用 相关基础知识 几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 最大公因数和最小公倍数的性质 （1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。 （2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数， （3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 两个自然数的最大公因数与最小公倍数关系是：（a，b）x [a，b]=a x b。 6是12和18的最大公因数，记作（12，18）=6。 36是12和18的最小公倍数，记作[12，18]=36。 这样，求两个数的最小公倍数的问题，即可转化成先求两个数的最大公因数，再用最大公因数除两个数的积，其结果就是这两个数的最小公倍数。 两个数A, B,①如果A是B的倍数，那么最大公因数就是B,最小公倍数是A; ②如果AB互质，那么最大公因数就是1，最小公倍数是A*B; 欧几里得用辗转相除法求两个数的最大公因数。
《九章算术》更相减损术找最大公因数
短除法找最大公因数与最小公倍数 短除符号就是除号倒过来。短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数， 然后落下两个数被公有质因数整除的商， 之后再除，以此类推，直到结果互质为止 （两个数 互质，最大公因数是 1的两个数叫互质数，如8和9）。 而在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因 数的数则原样落下。直到剩下每两个都是互质关系。 求最大公因数便乘一边，求最小公倍数便乘一圈。 （公因数：如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数” ；公 因数中最大的称为最大公因数。） 图1 图2 实际应用 例：有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。如果把这块木 头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个 数各是多少？ 2 12 18 3 6 9 2 3 最大公约数 2作6