高等数学第二章谓词逻辑练习题
第2章习题答案
⇔((T→T)∧(T→T)∧(T→F))∨F ⇔(T∧T∧F)∨F ⇔F (3)∃x(F(x)∨G(x))⇔(F(－2)∨G(－2))∨(F(3)∨G(3))∨(F(6)∨G(6)) ⇔(T∨F)∨(T∨F)∨(F∨T) ⇔T 11.完成定理 2.3 中未给出的证明。 证明 (1)∀x(A(x)∨B)为假⇔∃a 使(A(a)∨B)为假⇔∃a 使 A(a)为假且 B 为假⇔∀xA(x)为假且 B 为 假⇔∀xA(x)∧B 为假，故∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B。 (2)∀x(A(x)∧B)为假⇔∃a 使(A(a)∧B)为假⇔∃a 使 A(a)为假或 B 为假⇔∀xA(x)为假或 B 为假 ⇔∀xA(x)∧B 为假，故∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B。 (4)∀x(B→A(x))⇔∀x(¬B∨A(x)) ⇔¬B∨∀x A(x) ⇔B→∀xA(x)
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第 2 章 谓词逻辑
⇔T (4)∀x∃yF(x，f(f(x，y)，y))⇔∀x∃y(x＜f(f(x，y)，y))
⇔∀x∃y(x＜(f(x，y)－y)) ⇔∀x∃y(x＜(x－y－y)) ⇔∀x∃y(x＜x－2y) ⇔T 8.判断下列公式的类型： (1)¬∃xP(x)→∀xP(x)。 (2)¬∀xA(x)↔∃x(¬A(x))。 (3)∃x(P(x)∧Q(x))→(∃xP(x)→¬Q(x))。 (4)∃x∀y(F(x，y)→F(y，x))。 解 (1)设论域为{1，2}。 若 P(1)＝P(2)＝T，则 ¬∃xP(x)→∀xP(x)⇔¬( P(1)∨P(2))→( P(1)∧P(2)) ⇔¬(T∨T)→(T∧T) ⇔F→T ⇔T 若 P(1)＝P(2)＝F，则 ¬∃xP(x)→∀xP(x)⇔¬( P(1)∨P(2))→( P(1)∧P(2)) ⇔¬(F∨F)→(F∧F) ⇔T→F ⇔F 所以，¬∃xP(x)→∀xP(x)为可满足式。 (2)¬∀xA(x)↔∃x(¬A(x))⇔∃x(¬A(x))↔∃x(¬A(x))⇔T，所以¬∀xA(x)↔∃x(¬A(x))为永真式。 (3)设论域为{1，2}。 若 P(1)＝P(2)＝Q(1)＝Q(2)＝F，则 ∃x(P(x)∧Q(x))→(∃xP(x)→¬Q(x)) ⇔((P(1)∧Q(1))∨(P(2)∧Q(2)))→(( P(1)∨P(2))→¬Q(x)) ⇔((F∧F)∨(F∧F))→((F∨F)→¬Q(x)) ⇔T 若 P(1)＝Q(1)＝Q(2)＝T，P(2)＝F，则 ∃x(P(x)∧Q(x))→(∃xP(x)→¬Q(x)) ⇔((P(1)∧Q(1))∨(P(2)∧Q(2)))→(( P(1)∨P(2))→¬Q(x)) ⇔((T∧T)∨(F∧T))→((T∨F)→¬Q(x))
谓词逻辑练习及答案讲课稿
谓词逻辑练习及答案第二章谓词逻辑练习一1、指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并回答它们是否是命题：（1）∀x(P(x)∨Q(x))∧R （R为命题常元）（2）∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)（3）∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))（4）P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))解（1）全称量词∀，辖域 P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元，∀x(P(x)∨Q(x))∧R是命题。
（2）全称量词∀，辖域 P(x)∨Q(x)，其中 x为约束变元。
存在量词∃，辖域 S(x) ，其中 x为约束变元。
T(x)中x为自由变元。
∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)不是命题。
（3）全称量词∀，辖域 P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y)，其中 x为约束变元，T(y)中y为自由变元。
存在量词∃，辖域B(x,y)∧Q(y)，其中y为约束变元。
∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))是命题。
（4）全称量词∀，辖域∃x(P(x)∧B(x,y))，其中 y为约束变元。
存在量词∃，辖域P(x)∧B(x,y)，其中 x为约束变元。
不在量词辖域中的P(x)中的x为自由变元。
P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))不是命题。
2、对个体域{0，1}判定下列公式的真值, E(x)表示“x是偶数”：（1）∀x(E(x)→┐x=1)（2）∀x(E(x)∧┐x=1)（3）∃x(E(x)∧x=1)（4）∃x(E(x)→x=1)再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。
解（1）∀x(E(x)→┐x=1) 真∀x(E(x)→┐x=1) 可表示成命题公式（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）其中E(0)→┐0=1真，E(1)→┐1=1也真，故（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）真。
谓词逻辑试题讲解及答案
谓词逻辑试题讲解及答案1. 定义谓词逻辑中的量词。
谓词逻辑中的量词用来表示对某个集合中所有元素或某些元素的断言。
主要有两种量词：全称量词（∀）和存在量词（∃）。
全称量词表示对所有对象都成立的断言，而存在量词表示至少有一个对象满足断言。
2. 解释谓词逻辑中的谓词。
谓词逻辑中的谓词是对一个或多个对象的属性或关系的描述。
例如，谓词“P(x)”可以表示“x是偶数”。
谓词可以是一元的（一个参数），二元的（两个参数），或者多元的（多个参数）。
3. 给出一个谓词逻辑表达式，并解释其含义。
表达式：∀x∈N, ∃y∈N, x=2y含义：对于所有自然数x，都存在一个自然数y，使得x等于2y的倍数。
4. 判断下列命题是否为真，并给出理由。
命题：∀x∈R, x^2 ≥ 0答案：真。
理由：对于所有实数x，x的平方都是非负的。
5. 将下列自然语言命题转化为谓词逻辑表达式。
命题：所有人都是聪明的。
表达式：∀x(P(x) → C(x))解释：对于所有个体x，如果x是人（P(x)），那么x是聪明的（C(x)）。
6. 证明：如果一个数是偶数，那么它的平方也是偶数。
证明：设x为任意整数，如果x是偶数，即存在一个整数k使得x=2k。
那么x^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2(2k^2)，由于2k^2是整数，所以x^2是偶数。
7. 判断下列命题是否为假，并给出理由。
命题：存在一个实数x，使得x^2 < 0。
答案：假。
理由：实数的平方不可能是负数，因为任何实数的平方都是非负的。
8. 将下列命题转化为谓词逻辑表达式。
命题：没有比2大的偶数。
表达式：∀x∈N, (x > 2 ∧ x是偶数) → 假解释：对于所有自然数x，如果x大于2并且是偶数，则该命题为假。
9. 证明：如果一个数是奇数，那么它的平方也是奇数。
证明：设x为任意整数，如果x是奇数，即存在一个整数k使得x=2k+1。
那么x^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1，由于2k^2 + 2k是整数，所以x^2是奇数。
第2章 谓词逻辑
习题21．在一阶逻辑中将下面命题符号化。
(1)所有的有理数均可表成分数。
Q(x)：x是有理数，F(x)：x可表成分数∀x(Q(x) →F(x))(2)有的有理数是整数。
Q(x)：x是有理数，Z(x)：x是整数∃x(Q(x) ∧Z(x))(3)凡偶数均能被2整除F(x)：x是偶数，G(x)：x能被2整除∀x(F(x) →G(x))(4)存在着偶素数F(x)：x是偶数，G(x)：x是素数∃x(F(x) ∧G(x))(5)没有不犯错误的人M(x)：x是人，G(x)：x犯错误﹁∃x(M(x)∧﹁G(x))∀x(M(x) →G(x))（所有的人都犯错误）(6)在北京工作的人未必都是北京人F(x)：x在北京工作，G(x)：x是北京人﹁∀x(F(x) →G(x))∃x(F(x)∧﹁G(x))（存在着在北京工作的非北京人）(7) 尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。
同课本p36例2.2.2(1)令C(x)：x聪明；M(x)：x是人。
则命题(7)可符号化为xCx))Mx→∃∧∧⌝∀Mxx()())(((xC)((8) 每列火车都比某些汽车快。
T(x)：x是火车，B(x)：x是汽车，F(x,y)：x比y快。
∀x(T(x) →∃y (B(y)∧F(x,y)))(9)某些汽车比所有的火车慢。
T (x )：x 是火车，B (x )：x 是汽车，F(x,y)：x 比y 快。
∃x(B(x) ∧∀y (T (y) →F (y ,x )) )2．指出下列各合式公式中的指导变项，量词的辖域，个体变项的自由出现和约束出现。
(1)),())((y x yH x F x ∃→∀(2)),()(y x G x xF ∧∃(3)),()),(),((y x xH z y L y x R y x ∃∧∨∀∀解：(1) ∃yH (x,y )中，y 为指导变项，∃的辖域为H (x,y )，其中y 是约束出现，x 是自由出现，∀x (F (x ))中，x 是指导变项，∀的辖域为F (x )，x 是约束出现。
新教材苏教版高中数学必修第一册第二章常用逻辑用语 课时分层练习题 精选最新配套习题,含解析
第二章常用逻辑用语1命题、定理、定义....................................................................................................... - 1 -2充分条件、必要条件、充要条件............................................................................... - 4 -3全称量词命题与存在量词命题................................................................................... - 9 -4全称量词命题与存在量词命题的否定..................................................................... - 13 -1命题、定理、定义基础练习1.下列语句中,是命题的个数是 ( )①垂直于同一条直线的两条直线平行吗?②x,y都是无理数,则x+y是无理数;③请完成第九题;④正方形既是矩形又是菱形.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.根据命题的定义逐个判断.①不是命题,因为它不是陈述句;②是命题,是假命题,例如-+=0,不是无理数;③不是命题,因为它不是陈述句;④是命题,是真命题.2.下列四个命题中,可判断为真的是( )A.空集没有子集B.空集是任何集合的一个真子集C.空集的元素个数为0D.任何集合至少有两个不同子集【解析】选C.空集只有一个子集是它本身,故A、D错误;空集是任何非空集合的一个真子集,故B错误;C正确.3.将“等角的余角相等”改写成“如果……,那么……”的形式为_____________ _________________________.【解析】根据命题的特点,可以改写为:“如果两个角相等,那么它们的余角也相等”.答案:如果两个角相等,那么它们的余角也相等4.有下列命题:①对于任意m∈R,mx2+2x-1=0是一元二次方程;②若xy=0,则+=0;③互相包含的两个集合相等;④如果两个角互为补角,那么这两个角和为180°.真命题的个数是________.【解析】①当m=0时,方程是一元一次方程,故是假命题;②当x=1,y=0时,xy=0,但+≠0,故是假命题;③④是真命题.答案:25.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.(1)6是12和18的公约数;(2)能被6整除的整数,一定能被3整除;(3)平行四边形的对角线互相平分;(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.【解析】(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.(2)若一个整数能被6整除,则这个数能被3整除,是真命题.(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题.(4)已知x,y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2,是假命题.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c 的值依次为( )A.3,2,1B. 1,-2,-3C.-1,-2,-3D. 0,-2,-3【解析】选C.所举反例应满足“若a>b>c,则a+b≤c”,可设a,b,c的值依次为-1,-2,-3.2.下列叙述正确的有____个( )①若|a|=-a,则a≤0;②若|a|=|b|,则a=-b;③若a<b,则|a|<|b|;④若|a|>|b|,则a>b.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.绝对值等于其相反数的数是小于等于0的,故①正确;绝对值相等的两个实数,相等或互为相反数,故②错误;当a=-3,b=1时,a<b但|a|>|b|,故③错误;当a=-3,b=-1时,|a|>|b|,但a<b,故④错误.【补偿训练】下列说法正确的是 ( )A.命题“任何一个角的补角都不小于这个角”是真命题B.语句“标准大气压下,100 ℃时水沸腾”不是命题C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D.语句“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”是真命题【解析】选D.选项A中的命题是假命题,例如120°的角大于它的补角;B所给语句是命题;C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”.对于D,因为m>0,所以方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0.所以“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真.3.下列命题中,是真命题的有( )①如果a>-1,那么am>-m(m≠0);②在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若x2+y2=0,则x,y全为零;④正三角形都相似.A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【解析】选 C.①a>-1,则当m>0时,am>-m,当m<0时,am<-m,故如果a>-1,那么am>-m(m≠0)是假命题;②在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a∥c,故在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a⊥c是假命题;③④是真命题,故真命题有2个.4.(多选题)下列命题中,是真命题的是( )A.三边长为5,12,13的三角形是直角三角形B.等边三角形是轴对称图形,它只有一条对称轴C.有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等D.抛物线y=(x+2)2+1的对称轴是直线x=-2【解析】选ACD.对于A,由于52+122=132,根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形是直角三角形,此命题是正确的;对于B,等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴,此命题是错误的;对于C,利用证两次全等的方法可以判断出:有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等,故此命题正确;对于D,抛物线y=(x+2)2+1 的对称轴是直线x=-2,正确,是真命题.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知命题:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的弧,若把上述命题改为“若p,则q”的形式,则p:________,q:________.【解析】已知命题可改写成:若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.p:一条直线是弦的垂直平分线,q:这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.答案:一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧6.给出下列几个命题:(1)若x,y互为相反数,则x+y=0;(2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形;(3)若x>-3,则x2+x-6≤0.其中的假命题有________个.【解析】根据两数互为相反数的性质,(1)正确,为真命题;(2)由圆的内接四边形的性质可知,为真命题;(3)中若取x=3>-3,而x2+x-6=6>0,故为假命题.答案:1三、解答题7.(10分)判断下列命题的真假:(1)若三条线段a,b,c满足a+b>c,则这三条线段a,b,c能够组成三角形;(2)个位数字是5的整数,能被5整除;(3)对于所有的自然数n,代数式n2-n+11的值都是质数;(4)一边上的中点到其余两边的距离相等的三角形是等腰三角形.【解析】(1)a=2,b=5,c=3,满足a+b>c,但不能围成三角形,所以命题为假.(2)因为个位数字是0或5的整数,能被5整除,所以命题为真.(3)约数只有1和它本身的数就是质数. 当n=11时,n2-n+11=112不是质数,所以命题为假.(4)命题为真,理由如下:已知:如图,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求证:三角形ABC为等腰三角形;证明:如图,因为DE=DF,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,所以Rt△BDE≌Rt△CDF,所以∠B=∠C,所以AB=AC,所以△ABC为等腰三角形.2充分条件、必要条件、充要条件基础练习1.使|x|=x成立的一个必要条件是( )A.x<0B.x≥0或x≤-1C.x>0D.x≤-1【解析】选B.因为|x|=x⇒x≥0⇒x≥0或x≤-1,所以使|x|=x成立的一个必要条件是x≥0或x≤-1.2.有以下说法,其中正确的个数为( )(1)“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.(2) “两三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3)“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选D.(1)由于“m是有理数”⇒“m是实数”,因此“m是有理数”是“m 是实数”的充分条件.(2)由三角形全等可推出这两个三角形对应的角相等,所以“两三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.(3) 由(a+b)·(a-b)=0,得|a|=|b|,推不出a=b,由a=b,能推出|a|=|b|,故“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.【补偿训练】设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的 ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由(a-b)a2<0一定可得出a<b;但反过来,由a<b不一定得出(a-b)a2<0,如a=0.3.若△ABC∽△DEF,“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的________________条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)【解析】相似三角形的对应高的比与相似比相等,所以“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的充要条件.答案:充要4.函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是________.【解析】函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是k>0,b>0.答案:k>0,b>0【补偿训练】“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)【解析】当k>4,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示.由一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,知x=0,y=b-5<0,所以b<5.当y=0时,x=>0,因为b<5,所以k>4.故填“充要”.答案:充要5.下列所给的各组p,q中,p是q的什么条件?(1)p:x2=x+6,q:x=;(2)p:b2=ac,q:=;(3)p:A∩B=A,q:U B⊆UA;(4)p:点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等,q:a=1或a=0.【解析】(1)由于“x2=x+6”,则“x=±”,故“x2=x+6”是“x=”的必要不充分条件.(2)b2=ac=,如b=0,c=0时,b2=ac,而,无意义.但=⇒b2=ac,所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.(3)画出Venn图(如图)可得.A∩B=A⇔A⊆B⇔U A⊇UB,故p是q的充要条件.(4)当a=1时,点P(1,1)到两坐标轴距离相等,当a=0时,点P(2,-2)到两坐标轴距离相等,当点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等时,|2-a|=|3a-2|,解得a=1或a=0.所以p⇔q,所以p是q的充要条件.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则( )A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件【解析】选B.x∈A必有x∈C,但反之不一定成立,所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.2.(2020·常州高二检测)盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道:青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还.其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”,由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.3.(2020·南通高一检测)设U是全集,A,B均是非空集合,则“存在非空集合C,使C”是“A∩B=∅”成立的 ( )得C⊆A,B⊆UA.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解题指南】“存在非空集合C,使得C⊆A,B⊆C”,B与A可能有公共元素,U“A∩B=∅”⇒“存在非空集合C,使得C⊆A,B⊆U C”,由此能求出结果.【解析】选C.U是全集,A,B均是非空集合,C”,B与A可能有公共元素,“存在非空集合C,使得C⊆A,B⊆U“A∩B=∅”⇒“存在非空集合C,使得C⊆A,B⊆U C”,所以“存在非空集合C,使C”是“A∩B=∅”成立的必要不充分条件.得C⊆A,B⊆U4.(多选题)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则( )A.p是q的既不充分也不必要条件B.p是s的充分条件C.r是q的必要不充分条件D.s是q的充要条件【解题指南】可将r,p,q,s的关系用图表示,然后利用递推法结合图示作答. 【解析】选BD.根据题意画出示意图如图:由图示可知,p⇒r⇒s⇒q⇒r⇒s,所以p是q的充分条件,p是s的充分条件,r是q的充要条件,s是q的充要条件.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,则实数a 的取值范围是________.【解析】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q⊆P,所以即所以-1≤a≤5.答案:-1≤a≤5【补偿训练】下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以是<1的一个充分条件的所有序号为______,可以是<1的一个必要条件的所有序号为________.【解析】由于<1,即-1<x<1,所以①x<1-1<x<1;但是-1<x<1⇒ x<1;② 0<x<1⇒-1<x<1;③-1<x<0⇒-1<x<1;④-1<x<1⇔-1<x<1.所以②③④是<1的一个充分条件,①④是<1的一个必要条件.答案:②③④①④,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是 n=__________. 6.设n∈N+【解析】直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断.x= =2± ,因为 x 是整数,即 2±为整数,所以为整数,且n≤4 ,又因为n∈N,取 n=1,2,3,4,验证可知 n=3,4符合题意;反之+n=3,4 时,可推出一元二次方程 x2-4x+n=0有整数根.答案:3或4三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))【证明】设p: a3+b3+ab-a2-b2=0,q: a+b=1.(1)充分性(p⇒q):因为a3+b3+ab-a2-b2=0,所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0.因为ab≠0,a2-ab+b2=+b2>0,所以a+b-1=0,即a+b=1.(2)必要性(q⇒p):因为a+b=1,所以b=1-a,所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,综上所述:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.8.设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【证明】设p:xy≥0,q:|x+y|=|x|+|y|,(1)充分性(p⇒q):如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况,当xy=0时,不妨设x=0,则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,所以等式成立.当xy>0时,即x>0,y>0,或x<0,y<0,又当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,所以等式成立.当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y=-(x+y),所以等式成立.总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.(2)必要性(q⇒p):若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,则|x+y|2=(|x|+|y|)2,即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,所以|xy|=xy,所以xy≥0.由(1)(2)可得,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.3全称量词命题与存在量词命题基础练习1.“存在集合A,使 A”,对这个命题,下面说法中正确的是( )A.全称量词命题、真命题B.全称量词命题、假命题C.存在量词命题、真命题D.存在量词命题、假命题【解析】选C.当A≠∅时,∅A,是存在量词命题,且为真命题.故选C.2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是( )A.∃a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2B.∃a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2C.∀a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2D.∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2【解析】选D.命题对应的全称量词命题为:∀a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2.3.若“任意x∈,x≤m”是真命题,则实数m的最小值为( )A.-B.-C.D.【解析】选D.因为“任意x∈,x≤m”是真命题,所以m≥, 所以实数m的最小值为.4.对每一个x1∈R,x2∈R,且x1<x2,都有<是________量词命题(填“全称”或“存在”),是________(填“真”或“假”)命题.【解析】含有全称量词“每一个”,是全称量词命题,令x1=-1,x2=0,则>,故此命题是假命题.答案:全称假5.用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假:(1)实数都能写成小数形式.(2)有的有理数没有倒数.(3)不论m取什么实数,方程x2+x-m=0必有实根.(4)存在一个实数x,使x2+x+4≤0.【解析】(1)∀a∈R,a都能写成小数形式,此命题是真命题. (2)∃x∈Q,x没有倒数,有理数0没有倒数,故此命题是真命题.(3)∀m∈R,方程x2+x-m=0必有实根.当m=-1时,方程无实根,是假命题.(4)∃x∈R,使x2+x+4≤0.x2+x+4=+>0恒成立,所以为假命题.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.下列命题中,存在量词命题的个数是( )①实数的绝对值是非负数;②正方形的四条边相等;③存在整数n,使n能被11整除.A.1B.2C.3D.0【解析】选A.①②是全称量词命题,③是存在量词命题.2.设非空集合P,Q满足P∩Q=Q且P≠Q,则下列命题是假命题的是( )A.∀x∈Q,有x∈PB.∃x∈P,有x∉QC.∃x∉Q,有x∈PD.∀x∉Q,有x∉P【解析】选D.因为P∩Q=Q且P≠Q,所以Q P,所以集合Q中的元素都是集合P的元素,但是集合P中有元素集合Q中是没有的,所以A,B,C正确,D错误.3.(2020·丹东高一检测)已知∀x∈[0,2],p>x;∃x∈[0,2],q>x.那么p,q的取值范围分别为( )A.p∈(0,+∞),q∈(0,+∞)B.p∈(0,+∞),q∈(2,+∞)C.p∈(2,+∞),q∈(0,+∞)D.p∈(2,+∞),q∈(2,+∞)【解析】选C.由∀x∈[0,2],p>x;得p>2.由∃x∈[0,2],q>x;得q>0.所以p,q的取值范围分别为(2,+∞),(0,+∞).4.(多选题)下列命题是真命题的为( )A.∀x∈R,-x2-1<0B.∀n∈Z,∃m∈Z,nm=mC.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D.存在实数x,使得=【解析】选ABC.对于A,∀x∈R,-x2≤0,所以-x2-1<0,此命题是真命题;对于B,当m=0时,nm=m恒成立,此命题是真命题;对于C,任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径,此命题是真命题.对于D,因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以≤<.故该命题是假命题.二、填空题(每小题5分,共10分)5.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为________.【解析】当a=,b=时,存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab是真命题,故所求有序数对可以为.答案:(答案不唯一)6.给出下列命题,①存在a,b∈R,使得a2+b2-2a-2b+2<0;②任何实数都有算术平方根;③某些四边形不存在外接圆;④∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.其中正确命题的序号为________.【解析】①是假命题,因为对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2=+≥0;②是假命题,例如-4没有算术平方根;③是真命题,因为只有对角互补的四边形有外接圆;④为假命题,当x=y=0时,x2+|y|=0.答案:③【误区警示】解答本题①容易忽视配方法的应用.三、解答题7.(10分)是否存在整数m,使得命题“∀x≥-,-5<3-4m<x+1”是真命题?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.【解析】假设存在整数m,使得命题“∀x≥-,-5<3-4m<x+1”是真命题.因为当x≥-时,x+1≥,所以-5<3-4m<,解得<m<2,又m为整数,所以m=1,故存在整数m=1,使得命题“∀x≥-,-5<3-4m<x+1”是真命题.4全称量词命题与存在量词命题的否定基础练习1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】选D.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”是一个全称量词命题,其否定一定是一个存在量词命题,故排除A,B,结合全称量词命题的否定方法,我们易得命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.2.(2020·潍坊高一检测)命题“∃x∈(0,+∞),x+≥3”的否定是( )A.∃x∈(0,+∞),x+≤3B.∃x∈(0,+∞),x+<3C.∀x∈(0,+∞),x+<3D.∀x∈(0,+∞),x+≤3【解析】选C.命题“∃x∈(0,+∞),x+≥3”的否定是:否定存在量词和结论,故为:∀x∈(0,+∞),x+<3.3.下列全称量词命题的否定是假命题的个数是( )①所有能被3整除的数都能被6整除;②所有实数的绝对值是正数;③三角形的外角至少有两个钝角.A.0 1 2 3【解析】选B.①该命题的否定:存在能被3整除的数不能被6整除”如3是能被3整除,不能被6整除的数,这是一个真命题;②该命题的否定:∃x=0∈R,|0|=0,不是正数,这是一个真命题;③该命题的否定:存在一个三角形,其外角最多有一个钝角,这是一个假命题.4.(2020·扬州高一检测)命题“∃x∈R,x>2”的否定是________.【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以,命题“∃x∈R,x>2”的否定是:∀x∈R,x≤2.答案:∀x∈R,x≤2【补偿训练】命题“∃x>-1,x2+x-2 019>0”的否定是________.【解析】该命题的否定是“∀x>-1,x2+x-2 019≤0”.答案:∀x>-1,x2+x-2 019≤05.写出下列命题的否定,并判断真假:(1)直角相等.(2)等圆的面积相等,周长相等.(3)有的三角形为正三角形.(4)∀x>0,x+1>.【解析】(1)该命题的否定:有些直角不相等.这是一个假命题.(2)该命题的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.这是一个假命题.(3)该命题的否定:所有的三角形都不是正三角形.这是一个假命题.(4)该命题的否定:∃x>0,使x+1≤.因为x+1-=+>0,所以∀x>0,x+1>是真命题,它的否定是假命题.提升训练一、选择题(每小题5分,共20分)1.“对于任意a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根”的否定是( )A.对于任意a≤0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根B.对于任意a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根C.存在a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根D.存在a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根【解析】选D.全称量词“任意”改为存在量词“存在”,另一方面“至多有三个”的否定是“至少有四个”.2.已知命题p:∃x∈{x|1<x<3},x-a≥0;若p是真命题,则实数a的取值范围是( ) A.a<1 B.a>3C.a≤3D.a≥3【解析】选D.p是真命题,所以p是假命题;所以∃x∈{x|1<x<3},x-a≥0无解;所以当1<x<3时,a≤x不成立,所以a≥3.3.命题“∀a,b∈R,使方程ax=b都有唯一解”的否定是 ( )A.∀a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一B.∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一C.∀a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在D.∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在【解析】选D.该命题的否定:∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.【误区警示】解答本题,在否定结论时容易出现考虑不全面而出错的情况.4.(多选题)(2020·济南高一检测)下列命题正确的是( )A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件B.命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,则x2≥1”C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件【解析】选ABD.A正确.“a>1”可推出“<1”,但是当<1时,a有可能是负数,所以“<1”推不出“a>1”,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件;B正确.由全称量词命题的否定方法可知.C.错误.当x=-3,y=3时,x2+y2≥4,但是“x≥2且y≥2”不成立,所以“x2+y2≥4”推不出“x≥2且y≥2”,所以“x≥2且y≥2”不是“x2+y2≥4”的必要条件.D正确.“a≠0”推不出“ab≠0”,但“ab≠0”可推出“a≠0”,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件.二、填空题(每小题5分,共10分)5.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为________,此命题的否定是______,是______命题(填“真”或“假”).【解析】此命题用符号表示为∃x,y∈R,x+y>1,此命题的否定是∀x,y∈R,x+y≤1,原命题为真命题,所以它的否定为假命题.答案:∃x,y∈R,x+y>1 ∀x,y∈R,x+y≤1 假6.命题“对于任意三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+中至少有一个不小于2”的否定是____________.【解析】该命题的否定:存在三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+全小于2.答案:存在三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+全小于2三、解答题7.(10分)已知集合A=,集合B=,如果命题“∃m∈R,使得A∩B≠∅”为假命题,求实数a的取值范围.【解析】因为“∃m∈R,使得A∩B≠∅”为假命题,所以它的否定“∀m∈R,使得A ∩B=∅”为真命题,当a<0时,A==∅,符合A∩B=∅;当a≥0时,因为m2+3>0,所以由∀m∈R,A∩B=∅可得a<m2+3,对于∀m∈R恒成立,因为m2+3≥3,所以0≤a<3.综上,实数a的取值范围为a<3.。
谓词逻辑测试题及答案
谓词逻辑测试题及答案一、选择题1. 谓词逻辑中的基本单位是：A. 命题B. 谓词C. 变量D. 连接词2. 在谓词逻辑中，以下哪个是合法的谓词表达式？A. P(x)B. x = yC. ∀x P(x)D. P(x, y)3. 以下哪个是谓词逻辑中的量词？A. ∨B. ∧C. ∀D. →4. 以下哪个命题不是谓词逻辑中的命题？A. ∀x P(x)B. ∃x P(x)C. P(x)D. ¬P(x)5. 谓词逻辑中的“存在量词”用符号表示为：A. ∀B. ∃C. ¬D. →二、简答题6. 解释谓词逻辑中的“全称量词”和“存在量词”的区别。
7. 请用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”。
8. 给出谓词逻辑中的一个推理例子，并解释其推理过程。
三、证明题9. 证明：如果∀x (P(x) → Q(x)) 且∃x P(x)，则∃x Q(x)。
10. 给出一个谓词逻辑的命题，并构造一个反例来证明它不是普遍有效的。
答案一、选择题1. B. 谓词2. D. P(x, y)3. C. ∀4. C. P(x)5. B. ∃二、简答题6. 在谓词逻辑中，“全称量词”（符号为∀）表示对于所有个体，某个命题都成立；而“存在量词”（符号为∃）表示至少存在一个个体使得某个命题成立。
7. 用谓词逻辑表达“所有学生都通过了考试”可以写作：∀x (Student(x) → Passed(x))，其中 Student(x) 表示 x 是学生，Passed(x) 表示 x 通过了考试。
8. 推理例子：假设有命题∀x (P(x) → Q(x)) 和 P(a)，其中 a 是某个特定的个体。
根据全称量词的定义，对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。
由于 P(a) 成立，根据条件，Q(a) 也必须成立。
这是一个典型的全称量词和存在量词的推理过程。
三、证明题9. 证明：已知∀x (P(x) → Q(x))，即对于所有 x，如果 P(x) 成立，则 Q(x) 也成立。
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目1、若P, Q,为二命题，P Q真值为0当且仅当 ____________________________ 。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x) : x为实数，L(x,y):x y则命题的逻辑谓词公式为_________ 3、谓词合式公式xP(x) xQ(x)的前束式为。
4、将量词辖域中出现的_______________和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规贝叽5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D, A(x)关于y是自由的，则 ____________________________________被称为存在量词消去规则，记为ESo6 •设P, Q的真值为0，R, S的真值为1, 则(P (Q (R P))) (R S) 的真值________________________________________ O7 •公式(P R)(S R) P的主合取式为&若解释I的论域D仅包含一个元素，则xP(x) xP(x) 在I下真值为9. P :你努力，Q:你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为______________________ ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式x yP(y,x)真值为__________________________ 。
11. P，Q真值为0 ; R，S真值为1。
则wff (P (R S)) ((P Q) (R S)) 的真值为___________________________________ 。
12. w ff ((p Q) R) R的主合取式为____________________________________ _ 。
13. 设P (x): x是素数，E(x) : x是偶数，O(x) : x是奇数N (x,y) : x可以整数y。
二 谓词逻辑习题
二谓词逻辑习题1．设下面谓词的个体域都是{a, b ,c},试将下列谓词公式的量词消去,写成与之等价的命题公式。
（1）∀x R(x)∧∃x S (x)（2）∀x (P(x)→Q(x) )(3) ∀x ┐P(x)∨∀x P(x)２.指出下列谓词公式在相应解释下的真值（１）∀x（Ｐ→Ｑ（x））∨Ｒ（e）其中个体域Ｄ＝{－２，３，６}, P：“３＞２”,Ｑ（x）：“x ≤３”，Ｒ（Ｘ）：“x＞５”，e：３。
（２）∃x( P(x)→Q(x) )其中Ｐ（x）：“Ｘ＞３”，Ｑ（x）：“x＝４”，个体域Ｄ＝{2}那么真值是（１）（２）3. 设Ｐ（x）：x是素数，Ｑ（x）：x是偶数，E（x，y）：x和y相等。
命题“至多存在一个偶素数“可符号化为命题“存在唯一的偶数”可符号化4．命题“任意实数总能比较大小“可符号化为5公式∀x(P(x)→Q(x , y)∨∃ zR(y, z))→S(x)中，自由变元为约束变元为6．试证明∀x A(x)→∃x B(x) ⇔∃x(A(x)→B(x))7．设公式Ａ＝∀x∃y(P(x)→Q(x, y)),论域D={a, b}, 且P(a) P(b) Q(a, a) Q(a, b) Q(b, a) Q(b, b)０１１００１求Ａ的真值8．∀x A(x)→B 与∀x(A(x)→B)是( )（Ａ）等价的（Ｂ）蕴含的（Ｃ）重言蕴言的9求谓词公式∀x P(x)→∀z Q(x, z)∨∀z R(x, y ,z)的前束范式。
10．求谓词公式∃x(┐∃y P(x, y)→(∃z Q(z)→R(x)))的前束范式11．在谓词逻辑中，将下列命题符号化为：（１）有些人喜欢所有的花。
（２）没有不犯错误的人。
（３）在北京工作的人未必都是北京人。
（４）尽管有人聪明，但未必每个人都聪明。
12．对下面每个公式指出约束变元和自由变元。
(1)∀x P(x)→Q(y)(2)∀x P(x)∧Q(x)∧∃x G(x)(3)∃x∀y(P(x)∧Q(y))→∀x R(x)(4)∃x∃y(P(x, y)∧Q(z))13．设个体域D={a, b, c}，试将下列各式化为不含量词的形式。
谓词逻辑——精选推荐
习题二(参考答案)2.1 在谓词逻辑中将下面命题符号化，）高斯是数学家，但不是文学家。
（1）高斯是数学家，但不是文学家。
P(x):x是数学家. s(x):x是文学家. a:高斯高斯P(a) ÙØs(a) ）如果小张比小李高，小李比小赵高，则小张比小赵高。
（2）如果小张比小李高，小李比小赵高，则小张比小赵高。
P(x,y):x比y高. a:小张. b:小李. c:小赵小赵(p(a,b) Ùp(b,c)) ®p(a,c) ）鱼都会在水里游。
（3）鱼都会在水里游。
P(x)::x是鱼是鱼 R(x)x都会在水里游. "x (P(x) ® R(x)) ）情商比智商更重要。
（4）情商比智商更重要。
P(x,y):x比y更重要. a:情商. b:智商智商P(a,b) ）并不是所有的人都爱看电影。
（5）并不是所有的人都爱看电影。
P(x):x是人. G(x):爱看电影. Ø"x(p(x) ® G(x)) 或$x(p(x) ÙØ G(x)) ）有的人爱吃醋，并且没有不爱美的人。
（6）有的人爱吃醋，并且没有不爱美的人。
P(x):x是人. G(x):x爱吃醋. R(x):x爱美. $x(P(x) ÙG(x)) Ù"x (P(x) ® R(x)) 2.2 利用二元谓词将下面命题符号化。
利用二元谓词将下面命题符号化。
）每列火车都比某些汽车快。
（1）每列火车都比某些汽车快。
P(x,y):x比y快. M(x):x是火车. G(y):y是汽车是汽车"x(M(x) ®$y(G(y) ÙP(x,y)) ）某些汽车比所有火车慢。
（2）某些汽车比所有火车慢。
P(x,y):x比y慢. M(x):x是汽车. G(y):y是火车是火车$x(M(x) Ù"y(G(y) ®P(x,y))) 2.3 在谓词逻辑中将下面命题符号化，要求使用全称量词与存在量词两种方法。
谓词逻辑习题解
数理逻辑习题解二1.设个体域是整数集合，请利用给出的谓词将下列命题符号化。
N(e)：e是自然数（不包括0）。
P(e)：e是素数。
Q(e)：e是偶数。
E(e1,e2)：e1=e2。
L(e1,e2)：e1≤e2。
D(e1,e2)：e1|e2。
（即e1整除e2）a)凡素数均为自然数。
b)没有最大的素数。
c)有些自然数不是素数。
d)并非所有的素数都不是偶数。
e)偶素数只有2。
f)一个自然数是素数的充要条件是除1之外，该数不能被其它任何小于它的自然数整除。
[解]a)∀x(P(x)→N(x))。
b)⌝∃x(P(x)∧∀y(P(y)→L(y,x)))。
c)∃x(N(x)∧⌝P(x))。
d)⌝∀x(P(x)→⌝Q(x))。
e)∀x(P(x)∧Q(x)→E(x,2))。
f)∀x(N(x)→(P(x)↔⌝∃y(N(y)∧⌝E(y,1)∧⌝E(y,x)∧L(y,x)∧D(y,x))))。
2.利用上题给出的各谓词，用自然语言表达下述命题。
a)∀x(Q(x)→D(2,x))b)∃x(N(x)∧D(x,9))c)∀x∀y(N(x)∧N(y)∧D(x,y)∧D(y,x)→E(x,y))d)⌝∃x(N(x)∧∀y(N(y)→L(y,x))e)∀x(P(x)→∀y(N(y)∧D(y,x)→E(y,x)∨E(y,1)))f)∀x(N(x)∧⌝P(x)→∃y(⌝E(y,x)∧⌝E(y,1)∧D(y,x)))[解]a)凡偶数都能被2整除。
b)存在着能整除9的自然数。
c)两个能互相整除的自然数相等。
d)没有最大的自然数。
e)凡素数的因数只有1和自身。
g)凡合数必有不是1和自身的因数。
3.符号∃!称为唯一性量词，即∃!x A(x)为真当且仅当存在唯一的x，使得A(x)为真。
请用量词∀，∃和相等=来表达∃!x A(x)。
[解]1)∃!x A(x)=Df∃x(A(x)∧∀y(A(y)→y=x))。
2)∃!x A(x)=Df∃x A(x)∧∀x∀y(A(x)∧A(y)→x=y)3)∃!x A(x)=Df∃x∀y(A(y)↔y=x)注:可以证明上述三种表达式是等价的。
2谓词逻辑习题
一. 命题符号化 60页(2) a) x(J(x)→L(x)) b) x(L(x)∧S(x)) c) x(J(x)∧O(x)∧V(x)) d) J(j)∧O(j)∧V(j) e) x(L(x)→J(x)) 或者 x(L(x)∧J(x)) f) x(S(x)∧L(x)∧C(x)) g) x(C(x)∧V(x)) 或者 x(C(x)→V(x)) h) x((C(x)∧O(x))→L(x)) i) x(W(x)∧C(x)∧H(x)) j) x(W(x)∧J(x)∧C(x)) k) x(L(x)→y(J(y)∧A(x,y))) l) x(S(x)∧y(L(y)→A(x,y)))
x(Y(x)→(((D(4,x)∧D(100,x))→R(x))∨(D(400,x) →R(x)))) 此式有些问题，因为它等价于 x(Y(x)→(((D(4,x)∧D(100,x))∧D(400,x))→R(x))) 正确答案： 1)x(Y(x)→((D(4,x)∧D(100,x))→R(x)))∧ x(Y(x)→(D(400,x) →R(x))) 2)x(Y(x)→(((D(4,x)∧D(100,x))∨D(400,x)) →R(x)))
x(A(x)→(B(x)→C(x))),x(A(x)∧D(x)) C(a)∧D(a) A(a)→B(a)
⑴ A(a) ⑵ x(A(x)→(B(x)→C(x))) ⑶ A(a)→(B(a)→C(a)) ⑷ B(a)→C(a) ⑸ C(a)∧D(a) ⑹ C(a) ⑺ B(a) ⑻ B(a) ⑼ A(a)→B(a)
72页(2)d)论域为{1,2} P(1) P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2) F T T T F F xy(P(x)∧Q(x,y)) y(P(1)∧Q(1,y))∧y(P(2)∧Q(2,y)) ((P(1)∧Q(1,1))∨(P(1)∧Q(1,2)))∧ ((P(2)∧Q(2,1))∨(P(2)∧Q(2,2))) ((F∧T)∨(F∧T))∧((T∧F)∨(T∧F)) (F∨F)∧(F∨F)F
谓词逻辑习题及答案
习题21．将下列命题符号化。
(1) 某些实数是有理数。
(2) 每一个有理数都是实数。
(3) 不是每一个实数都是有理数。
(4) 并非所有的素数都不是偶数。
(5) 没有不犯错误的人。
(6) 所有人都会犯错误。
(7) 火车比轮船快。
(8) 有些液体能溶解任何金属。
(9) 金子都会闪光，但闪光的未必是金子。
(10) 存在一些人是大学生。
解答：(1) 设H (x )：x 是实数；P (x )：x 是有理数。
则命题可符号化为：()x ∃(H (x )∧P (x ))。
(2) 设H (x )：x 是有理数；P (x )：x 是实数。
则命题可符号化为：()x ∀(H (x )→P (x ))。
(3) 设H (x )：x 是实数；P (x )：x 是有理数。
则命题可符号化为：⌝()x ∀(H (x )→P (x ))。
(4) 设H (x )：x 是素数；P (x )：x 是偶数。
则命题可符号化为：⌝()x ∀(H (x )→⌝P (x ))。
(5) 设H (x )：x 是人；P (x )：x 会犯错误。
则命题可符号化为：⌝()x ∃(H (x )∧⌝P (x ))。
(6) 设H (x )：x 是人；P (x )：x 会犯错误。
则命题可符号化为：()x ∀(H (x )→P (x ))。
(7) 设H (x )：x 是火车；L (x )：x 是轮船；P (x ,y )：x 比y 快。
则命题可符号化为：()x ∀()y ∀(H (x )∧L (y )→P (x ,y ))。
(8) 设H (x )：x 是液体；L (x )：x 是金属；P (x ,y )：x 能溶解y 。
则命题可符号化为：()x ∃(H (x )∧()y ∀(L (y )→P (x ,y )))。
(9) 设H (x )：x 是金子；P (x )：x 会闪光。
则命题可符号化为：()x ∀(H (x )→P (x ))∧()x ∃(H (x )∧⌝P (x ))。
谓词逻辑-习题参考解答(2)
谓词逻辑习题参考答案与提示1.（1）设W(x)：x是工人；c：小张。
原命题可符号化为：⌝W(c)。
（2）设S(x)：x是田径运动员；B(x)：x是球类运动员；h：他。
原命题可符号化为：S(h)∨B(h)。
（3）设C(x)：x是聪明的；B(x)：x是美丽的；l：小莉。
原命题可符号化为：C(l)∧B(l)。
（4）设O(x)：x是奇数。
原命题可符号化为：O(m)→⌝O(2m)（5）设P(x，y)：直线x平行于直线y；G(x，y)：直线x相交于直线y。
原命题可符号化为：P(x，y)→⌝G(x，y)。
（6）设O(x)：x是老的；V(x)：x是健壮的；j：王教练。
原命题可符号化为：⌝O(j)∧⌝V(j)。
（7）设L(x, y)：x大于y。
原命题可符号化为：L(5,4)→L(4,6)。
2.（1）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1；a)0 b)0 c)0 d)0（2）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=1；a)0 b)0 c)0 d)1（3）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=0；a)1 b)1 c)0 d)0（4）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=1；a)1 b)1 c)0 d)0（5）对每个自然数x，存在自然数y满足xy=x；a)1 b)1 c)1 d)1（6）存在自然数x，对任意自然数y满足xy=x；a)1 b)1 c)0 d)0（7）对任意自然数x,y，存在自然数z满足x-y=z。
a)1 b)1 c)0 d)03.（1）⌝∃xL(x,0)（2）∀x∀y∀z((L(x,y)∧L(y,z))→L(x,z))（3）∀x∀y((L(x,y)→∃z(L(z,0)∧G(xz,yz)))（4）∃x∀yM(x,y,y)（5）∀x∃yA(x,y,x)4. ∃!xP(x)可用以下具有相同的意义的谓词公式表示∃x(P(x)∧∀y(P(y)→E(y,x)))E(y,x)表示y等于x5. 设R(x)：x是兔子；T(x)：x是乌龟。
谓词逻辑复习题及答案
谓词逻辑复习题及答案1. 请解释谓词逻辑中的量词“∀”和“∃”分别代表什么含义？答案：在谓词逻辑中，“∀”代表全称量词，意为“对于所有的”；“∃”代表存在量词，意为“存在”。
2. 描述谓词逻辑中命题逻辑与谓词逻辑的主要区别。
答案：命题逻辑主要处理简单命题及其逻辑关系，而谓词逻辑则引入了量词和谓词，能够处理更为复杂的结构，如个体之间的关系和属性。
3. 如何用谓词逻辑表达“所有的人都是会死的”？答案：可以用谓词逻辑表达为：∀x(P(x) → Q(x))，其中P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会死”。
4. 请解释谓词逻辑中的逻辑等价和逻辑蕴涵。
答案：逻辑等价指的是两个公式在所有可能的解释下都具有相同的真值，而逻辑蕴涵指的是一个公式的真值能够保证另一个公式的真值。
5. 给定以下谓词逻辑表达式：∀x(P(x) → Q(x))，如果P(a)为真，那么Q(a)的真值如何？答案：如果P(a)为真，根据全称量词的定义，Q(a)也必须为真，否则表达式∀x(P(x) → Q(x))将不成立。
6. 请解释谓词逻辑中的析取和合取。
答案：析取（∨）表示逻辑或，即至少有一个命题为真时整个表达式为真；合取（∧）表示逻辑与，即所有命题都为真时整个表达式才为真。
7. 用谓词逻辑表达“存在一个学生，他既聪明又勤奋”。
答案：∃x(S(x) ∧ W(x) ∧ D(x))，其中S(x)表示“x是学生”，W(x)表示“x聪明”，D(x)表示“x勤奋”。
8. 描述谓词逻辑中的否定和双重否定。
答案：否定（¬）表示对一个命题的真值取反，即如果P为真，则¬P 为假；双重否定（¬¬P）则表示对否定的否定，逻辑上等同于原命题P。
9. 请解释谓词逻辑中的蕴含和逆蕴含。
答案：蕴含（→）表示如果前件为真，则后件也为真；逆蕴含（←）则表示如果后件为真，则前件也为真。
10. 用谓词逻辑表达“所有人都是动物，但并非所有动物都是人”。
谓词逻辑复习题及答案
谓词逻辑复习题及答案谓词逻辑是数理逻辑中的一个重要分支，它用于表达和推理关于对象和它们之间关系的命题。
以下是一些谓词逻辑的复习题及答案：题目一：定义谓词1. 定义谓词“L(x, y)”表示“x 爱y”。
2. 定义谓词“S(x, y)”表示“x 是 y 的学生”。
答案一：1. 谓词“L(x, y)”是一个二元谓词，它描述了两个对象x和y之间的关系，即x对y有爱的情感。
2. 谓词“S(x, y)”也是一个二元谓词，它描述了x和y之间的师生关系，即x是y的学生。
题目二：写出以下命题的谓词逻辑表达式1. 张三爱李四。
2. 每个学生都是老师的学生。
答案二：1. 命题“张三爱李四”的谓词逻辑表达式为：L(张三, 李四)。
2. 命题“每个学生都是老师的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x∃y(S(x, y) ∧ T(y))，其中T(y)表示y是老师。
题目三：转换命题为谓词逻辑表达式1. 如果张三爱李四，那么李四也爱张三。
2. 没有学生是他自己的学生。
答案三：1. 命题“如果张三爱李四，那么李四也爱张三”的谓词逻辑表达式为：(L(张三, 李四) → L(李四, 张三))。
2. 命题“没有学生是他自己的学生”的谓词逻辑表达式为：∀x¬(S(x, x))。
题目四：谓词逻辑中的量词1. 写出“所有”的逻辑表达式。
2. 写出“存在”的逻辑表达式。
答案四：1. “所有”的逻辑表达式使用全称量词，表示为：∀x。
2. “存在”的逻辑表达式使用存在量词，表示为：∃x。
题目五：谓词逻辑中的逻辑连接词1. 写出“并且”的逻辑表达式。
2. 写出“或者”的逻辑表达式。
3. 写出“非”的逻辑表达式。
答案五：1. “并且”的逻辑表达式使用逻辑与，表示为：A ∧ B。
2. “或者”的逻辑表达式使用逻辑或，表示为：A ∨ B。
3. “非”的逻辑表达式使用否定，表示为：¬A。
题目六：谓词逻辑推理给定以下命题：1. ∀x (L(x, y) → L(y, x))。
第二章谓词逻辑
第二章谓词逻辑第二章谓词逻辑1.什么叫做客体和客体变元？如何表示客体和客体变元？2.么叫做谓词？3.什么叫做论域？我们定义一个“最大”的论域叫做什么？4.填空题：1．存在量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。
2．全称量词：记作( )，表示( )或者( )或者( )。
5.什么叫做量词的作用域？指出下面两个谓词公式中各个量词的作用域。
x(F(x,y)→?yP(y))∧Q(z)∧?xA(x)x?y?z(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)6.什么叫做约束变元？什么叫做自由变元？指出下面公式中哪些客体变元是约束变元？哪些客体变元是自由变元？x(F(x,y)→?yP(y))∧Q(z)∧?xA(x)7.填空：一个谓词公式如果无自由变元，它就表示一个( )。
8.给出的谓词 J(x)：x是教练员， L(x) ：x是运动员， S(x) ：x是大学生，O(x) ：x是年老的，V(x) ：x是健壮的，C(x) ：x是国家选手，W(x) ：x是女同志， H(x) ：x是家庭妇女，A(x,y)：x钦佩y。
客体 j：金某人。
用上面给出的符号将下面命题符号化。
1．所有教练员是运动员。
2．某些运动员是大学生。
3．某些教练是年老的，但是健壮的。
4．金教练既不老，但也不是健壮的。
5．不是所有运动员都是教练。
6．某些大学生运动员是国家选手。
7．没有一个国家选手不是健壮的。
8．所有老的国家选手都是运动员。
9．没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。
10．有些女同志既是教练又是国家选手。
11．所有运动员都钦佩某些教练。
12．有些大学生不钦佩运动员。
9.将下面命题符号化1．金子闪光,但闪光的不一定都是金子。
2．没有大学生不懂外语。
3．有些液体可以溶解所有固体。
4．每个大学生都爱好一些文体活动。
5．每个自然数都有唯一的后继数。
10.令P表示天气好。
Q表示考试准时进行。
A(x)表示x是考生。
B(x)表示x提前进入考场。
C(x)表示x取得良好成绩。
第2章 谓词逻辑-1
定义2.1.1:由一个谓词H和n个客体变元组成的表 达式H(x1, x2 , …, xn)称为n元简单命题函数. 由定义可知, n元谓词就是有n个客体变元的命题 函数.当n=0时,称为0元谓词.因此,一般情况下,命题 函数不是命题;特殊情况0元谓词就变成一个命题. 复合命题函数:由一个或几个简单命题函数以及 逻辑联结词组合而成的表达式.
(x) A(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) (x) A(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
例6：在谓词逻辑中将下列命题符号化. （1）所有的人都长头发。 （2）有的人吸烟。 （3）没有人登上过木星。 （4）清华大学的学生未必都是高素质的。 解：令 M(x): x是人。（特性谓词） （1） 令F(x): x长头发。则符号化为： （x）(M(x) F(x)) （2） 令S(x): x吸烟。则符号化为： （x）(M(x)∧S(x)) （3） 令D(x): x登上过木星。则符号化为： ┐(x)(M(x)∧D(x))
(4)一般来说，当多个量词同时出现时，它们的顺序不能
随意调换。如： 在实数域上用H(x,y)表示x+y=5,则命题“对于任意的x, 都存在y使得x+y=5”可符号化为： xyH(x,y) ,其真值 为1.若调换量词顺序后为： yx H(x,y) , 其真值为0。 (5) 当个体域为有限集合时,如D={a1, a2 …, an},对任 意谓词A(x),有
所有的人都是要死的， 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。 根据常识，认为这个推理是正确的。但是，若用命题逻辑 （Ls）来表示，设P、Q和R分别表示这三个原子命题，则 有 P，QR 然而，(P∧Q)→R 并不是永真式，故上述推理形式又是错 误的。一个推理，得出矛盾的结论，问题在哪里呢? 问题就 在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系不是体现在原子 命题之间，而是体现在构成原子命题的内部成分之间，即 体现在命题结构的更深层次上。对此，Ls是无能为力的。 所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作进一步分 析，分析出其中的个体词，谓词和量词，研究它们的形式 结构的逻辑关系、正确的推理形式和规则，这些正是谓词 逻辑（简称为Lp）的基本内容。
高等数学第二章谓词逻辑练习题
一、 选择题1．下列四个公式正确的是①)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∧∀⇒∧∀ ②)()())()((x xB x xA x B x A x ∀∨∀⇒∨∀③)()())()((x xB x xA x B x A x ∃∨∃⇒∨∃ ④))()(()()(x B x A x x xB x xA ∧∃⇒∃∧∃A.①③B.①④C.③④D.②④2. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是( )(A) ))()((y yR x P x ∃∨∀ (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ∃∨ (D) )(x Q3. 谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ⌝∃→⌝∀→∀的类型是（ ）(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 蕴涵式4. 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )(A) )0(=+∃∀y x y x (B) )0(=+∀∃y x x y(C))0(=+∀∀y x y x (D) )0(=+∃⌝∃y x y x5. 设个体域{,}A a b =，公式()()xP x xS x ∀∧∃在中消去量词后应为 ( )(A) ()()P x S x ∧ (B) ()()(()())P a P b S a S b ∧∧∨(C) ()()P a S b ∧ (D) ()()()()P a P b S a S b ∧∧∨6. 在谓词演算中，下列各式正确的是( )(A) (,)(,)x yA x y y xA x y ∃∀⇔∀∃ (B) (,)(,)x yA x y y xA x y ∃∃⇔∃∃(C) (,)(,)x yA x y x yA x y ∃∀⇔∀∃ (D) (,)(,)x yA x y y xA x y ∀∀⇔∀∀7.下列各式不正确的是( )(A) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∨⇔∀∨∀(B) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∀∧⇔∀∧∀(C) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ∃∨⇔∃∨∃(D) (())()x P x Q xP x Q ∀∧⇔∀∧8. 设I 是如下一个解释：D ＝{a,b}, 01 0 1b) P(b,a) P(b,b) P(a,),(a a P 则在解释I 下取真值为1的公式是( ).(A) ∃x ∀yP(x,y) (B)∀x ∀yP(x,y) (C)∀xP(x,x) (D)∀x ∃yP(x,y).9. 设个体变元z y x ,,的论域都为自然数集合，(,,):,P x y z x y z +=(,,),(,):Q x y z x y z R x y x y ⋅=<：，则以下命题中（ ）是假命题.A ．),0,(x x xP ∀B ．),,(y y x yP x ∀∃C ．),,(x x y yQ x ∃∀D ．)0,(x xR ∀10. 下面不是命题的是（ ）A ．()xP x ∀B ．()()x P x ∃C ．()()()x P x P y ∀∨D ．()()(()())x y P x R y ∃∃→11公式()()()()x P x x Q x ∀→∀的前束范式为（ ）A ．()()(()())x y P x Q y ∀∀→B ．()()(()())x y P x Q y ∀∃→C ．()()(()())x y P x Q y ∃∀→D ．()()(()())x y P x Q y ∃∃→12. 公式()(())x P x Q ∀↔⇔（ ）A ．(()())(()())x P x Q Q x P x ∀→∧→∀B ．(()())(()())x P x Q Q x P x ∀→∧→∃C (()())(()())x P x Q Q x P x ∃→∧→∀D ．(()())(()())x P x Q Q x P x ∃→∧→∃13. ()()(,)x y P x y ∀∃的否定是（ ）A ．()()(,)x y P x y ∀∀⌝B ．()()(,)x y P x y ∃∀⌝C ．()()(,)x y P x y ∀∃⌝D ．()()(,)x y P x y ∃∃⌝14.下列谓词公式与()(()())x A x B x ∀↓等价的是（ ）A ．()()()()x A x xB x ∀↓∀ B ．()()()()x A x x B x ∀↑∀C ．()()()()x A x x B x ∃↓∃D ．()()()()x A x x B x ∃↑∃15.在谓词演算中，()P a 是()xP x ∀的有效结论，其理论依据是（ ）A ．USB ．UGC ．ESD ．EG16. 设个体域是整数集合，P 代表∀x ∀y ((x <y )→(x -y <x ))，下面4个命题中为真的是( )(A) P 是真命题 (B) P 是假命题(C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题 (D) P 不是一阶逻辑公式二、填空题1. 设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ()x y xy y ∀∃= ( ) (2) ()+x y x y y ∃∀= ( )(3) ()+x y x y x ∃∀= ( ) (4) (2)x y y x ∀∃= ( )2. 谓词公式()((,)())()((,)()())x P x y Q z y R x y z Q z ∀∨∧∃→∀中量词∀x 的辖域是3. 公式()(()(,)()(,))()x P x Q x y z R y z S x ∀→∨∃→中量的自由变量为 约束变量为4. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为 .5. 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ∃→∀消去量词化为6. 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是自然数”符号化为7. 谓词公式∀x (F (x )→G (x ))∧⌝∀y (F (y )→G (y ))的类型是 ．8. 设个体域{1,2},谓词P (1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q (2)=1，则∀x (P (x )∨Q (x ))的真值是9.只用联结词,,⌝∀→表示以下公式()(()())x P x Q x ∃∧=()(()()())x P x y Q y ∃↔∀=()(()()())y x P x Q y ∀∀∨⌝=三、计算及证明1. 求谓词公式))(())((a f R x Q P x ∧→∀的真值．其中P ：4>3，Q （x ）：x >1，R （x ）：x ≤ 2．f （-3）=1，f （1）=5，f （5）= -3．a ：5．个体域D =（-3，1，5）．2. 说明公式))(),(()(x xP y x yG x xP ∀→∃→∀是逻辑有效式(永真式)．3. 通过等值演算说明下列等值式成立： )()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃→∀⇔→∃4. 求谓词公式),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ∃∧∀→∀的前束范式5. 前提：∃xF (x ), ∀x (F (x )→G (x )∧H (x ))结论：∃x (F (x )∧H (x ))6. 构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →∀⇒∀→∃．。
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高等数学第二章谓词逻辑练习题
一、选择题
1．下列四个公式正确的是
①)()())()((x xB x xA x B x A x ?∧??∧? ②)()())()((x xB x xA x B x A x ?∨??∨?
③)()())()((x xB x xA x B x A x ?∨??∨? ④))()(()()(x B x A x x xB x xA ∧∧?
A.①③
B.①④
C.③④
D.②④
2. 谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中量词?x 的辖域是( )
(A) ))()((y yR x P x ?∨? (B) P (x ) (C) )()(y yR x P ?∨ (D) )(x Q
3. 谓词公式))()(()(x xQ x Q x x xP ??→??→?的类型是（）
(A) 永真式 (B) 矛盾式
(C) 非永真式的可满足式 (D) 蕴涵式
4. 设个体域为整数集，下列公式中其真值为1的是( )
(A) )0(=+??y x y x (B) )0(=+??y x x y
(C))0(=+??y x y x (D) )0(=+y x y x
5. 设个体域{,}A a b =，公式()()xP x xS x ?∧?在中消去量词后应为( )
(A) ()()P x S x ∧ (B) ()()(()())P a P b S a S b ∧∧∨
(C) ()()P a S b ∧ (D) ()()()()P a P b S a S b ∧∧∨
6. 在谓词演算中，下列各式正确的是( )
(A) (,)(,)x yA x y y xA x y (B) (,)(,)x yA x y y xA x y
(C) (,)(,)x yA x y x yA x y (D) (,)(,)x yA x y y xA x y
7.下列各式不正确的是( )
(A) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∨??∨?
(B) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∧??∧?
(C) (()())()()x P x Q x xP x xQ x ?∨??∨?
(D) (())()x P x Q xP x Q ?∧??∧
8. 设I 是如下一个解释：D ＝{a,b}, 0
1 0 1b) P(b,a) P(b,b) P(a,),(a a P 则在解释I 下取真值为1的公式是( ).
(A) ?x ?yP(x,y) (B)?x ?yP(x,y) (C)?xP(x,x) (D)?x ?yP(x,y).
9. 设个体变元z y x ,,的论域都为自然数集合，(,,):,P x y z x y z +=
(,,),(,):Q x y z x y z R x y x y ?=<：，则以下命题中（）是假命题.
A ．),0,(x x xP ?
B ．),,(y y x yP x ??
C ．),,(x x y yQ x ??
D ．)0,(x xR ?
10. 下面不是命题的是（）
A ．()xP x ?
B ．()()x P x ?
C ．()()()x P x P y ?∨
D ．()()(()())x y P x R y ??→
11公式()()()()x P x x Q x ?→?的前束范式为（）
A ．()()(()())x y P x Q y ??→
B ．()()(()())x y P x Q y ??→
C ．()()(()())x y P x Q y ??→
D ．()()(()())x y P x Q y ??→
12. 公式()(())x P x Q （）
A ．(()())(()())x P x Q Q x P x ?→∧→?
B ．(()())(()())x P x Q Q x P x ?→∧→?
C (()())(()())x P x Q Q x P x ?→∧→?
D ．(()())(()())x P x Q Q x P x ?→∧→?
13. ()()(,)x y P x y ??的否定是（）
A ．()()(,)x y P x y
B ．()()(,)x y P x y
C ．()()(,)x y P x y
D ．()()(,)x y P x y
14.下列谓词公式与()(()())x A x B x ?↓等价的是（）
A ．()()()()x A x x
B x ?↓? B ．()()()()x A x x B x ?↑?
C ．()()()()x A x x B x ?↓?
D ．()()()()x A x x B x ?↑?
15.在谓词演算中，()P a 是()xP x ?的有效结论，其理论依据是（）
A ．US
B ．UG
C ．ES
D ．EG
16. 设个体域是整数集合，P 代表?x ?y ((x <="" )→(x="" -y=""
(A) P 是真命题 (B) P 是假命题
(C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题 (D) P 不是一阶逻辑公式
二、填空题
1. 设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：
(1) ()x y xy y ??= ( ) (2) ()+x y x y y ??= ( )
(3) ()+x y x y x ??= ( ) (4) (2)x y y x ??= ( )
2. 谓词公式()((,)())()((,)()())x P x y Q z y R x y z Q z ?∨∧?→?中量词?x 的辖域是
3. 公式()(()(,)()(,))()x P x Q x y z R y z S x ?→∨?→中量的自由变量为约束变
量为
4. 设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式
为 .
5. 设个体域D ＝{a ,b },公式)),()((y x yH x G x ?→?消去量词化为
6. 设N (x )：x 是自然数，Z (y )；y 是整数，则命题“每个自然数都是整数，而有些整数不是
自然数”符号化为
7. 谓词公式?x (F (x )→G (x ))∧??y (F (y )→G (y ))的类型是．
8. 设个体域{1,2},谓词P (1)=1,P(2)=0，Q(1)=0，Q (2)=1，则?x (P (x )∨Q (x ))的真值是
9.只用联结词,,??→表示以下公式
()(()())x P x Q x ?∧=
()(()()())x P x y Q y =
()(()()())y x P x Q y ??∨?=
三、计算及证明
1. 求谓词公式))(())((a f R x Q P x ∧→?的真值．
其中P ：4>3，Q （x ）：x >1，R （x ）：x ≤ 2．
f （-3）=1，f （1）=5，f （5）= -3．a ：5．
个体域D =（-3，1，5）．
2. 说明公式))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是逻辑有效式(永真式)．
3. 通过等值演算说明下列等值式成立： )()())()((x xQ x xP x Q x P x ?→??→?
4. 求谓词公式),,()),(),((z y x zH y x yG y x xF ?∧?→?的前束范式
5. 前提：?xF (x ), ?x (F (x )→G (x )∧H (x ))
结论：?x (F (x )∧H (x ))
6. 构造推理证明))()(()()(x Q x P x x xQ x xP →→?．。