对称矩阵上三角存储公式
数据结构模拟试题(1)
(1)
(2)
(3)
(4)
参考答案：
(0) [30 18 20 15 38 12 44 53 46 18* 26 86]
(1) [18 30][15 20][12 38][44 53][18* 46][26 86]
(2) [15 18 20 30][12 38 44 53][18* 26 46 86]
A:n-I B:n-I+1
C:n-i-1 D:I
7、 不带头结点的单链表first为空的判定条件是( )。
A:first == NULL; B:first->link == NULL;
C:first->link == first; D:D. first != NULL;
8、 树中所有结点的度之和等于所有结点数加( )。
A:0 B:1
C:－1 D:2
9、 一棵具有35个结点的完全二叉树的高度为( )。假定空树的高度为 -1。
A:5 B:6
C:7 D:8
数据结构模拟试题（1）
一、填空题:06分，每题02分
1、 从一个具有n个结点的单链表中搜索其值等于x的结点时, 在搜索成功的情况下, 需平均比较_______次。
2、 根据一组记录(56,42,50,64,48)依次插入结点生成一棵AVL树时，当插入到值为_______的结点时需要进行旋转调整。
31、 已知一个数据表为{48,25,56,32,40}，请写出在进行快速排序的过程中每次划分后数据表的变化。
(0) [48 25 56 32 40]
(1)
(2)
(3)
参考答案：
(0) [48 25 56 32 40]
对称正定矩阵15
9 10 9
yi =
bi − ∑ lik ⋅ yk
k =1
lii
b1 9 y1 = = l11 6
2
b2 − l21 ⋅ y1 y2 = l22
k =1
7*9 10 − 6 = 29 6
−3 = 174
y3 =
b3 − ∑ l3 k ⋅ yk l33
10 = 29
即
Ax = b i = 2,3,L, n
第五章 a11
a21 A= M an1
a12 解线性方程组的直接法 L a1n i −1 a22 L a2n bi − ∑lij x j § M j =1 M 5.5 平方根法 x = M i lii an2 L ann
r −1
-------------(7) -------------(8) i = r , r + 1,L , n
k =1
air = ∑ lik ⋅ lrk = ∑ lik ⋅ lrk + lir ⋅ lrr
k =1
r −1
k =1
由( 6 ) ~ ( 8 )式可得 L的元素的计算公式
l11 = a11
中间量lrk 得以控制, 不会放大 平方根法是数值稳定的
事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解 而不必加入选主元步骤
思考
~ ~ ~ 原因为 D = diag (u11 , u 22 , L , u nn ) = D D
1 2 1 2
~ ~ ~ D = diag ( u11 , u22 ,L , unn )
因此不作A的LLT 分解
考虑改变分解方式
? ~ ~~ = LDLT A = L U = L DU 1 = LDU
数据结构本科期末综合练习二填空与判断题剖析
数据结构〔本科〕期末综合练习二〔填空与判断题〕填空题数据是__信息__的载体，它能够被计算机程序识别、存储和加工处理。
数据结构包括逻辑结构、__存储结构__和数据的运算三个方面。
数据结构的逻辑结构包括线性结构和__非线性__结构两大类。
数据结构的存储结构包括顺序、__链接___、索引和散列等四种。
5. 根本数据类型是计算机已经实现了的_数据结构__。
抽象数据类型的特点是__数据封装__、信息隐蔽、使用与实现别离。
算法的一个特性是__有穷性__，即算法必须执行有限步就结束。
面向对象的特征应包括对象、类、__继承__、消息通信。
属性与效劳相同的对象构成类，类中的每个对象称为该类的__实例__。
对象的私有状态只能通过该对象的__操作〔或效劳〕_才能改变。
模板类是一种数据抽象，它把__数据类型_当作参数，可以实现类的复用。
1 2.在类的继承结构中，位于上层的类叫做基类，其下层的类那么叫做__派生〔或子〕__类。
1 3.一维数组所占用的空间是连续的。
但数组元素不一定顺序存取，通常是按元素的__下标〔或顺序号〕__存取的。
在程序运行过程中不能扩充的数组是__静态__分配的数组。
这种数组在声明它时必须指定它的大小。
在程序运行过程中可以扩充的数组是__动态___分配的数组。
这种数组在声明它时需要使用数组指针。
16. 二维数组是一种非线性结构，其中的每一个数组元素最多有__两个__个直接前驱〔或直接后继〕。
17. 假设设一个nn的矩阵A的开始存储地址LOC(0,0) 及元素所占存储单元数d，按行存储时其任意一个矩阵元素a[i][j] 的存储地址为__LOC(0,0)+(i*n+j)*d __。
118.对称矩阵的行数与列数__相等_且以主对角线为对称轴，aij=aji，因此只存储它的上三角局部或下三角局部即可。
将一个n阶对称矩阵的上三角局部或下三角局部压缩存放于一个一维数组中，那么一维数组需要存储__n(n+1)/2_个矩阵元素。
上三角矩阵的奇异值分解 -回复
上三角矩阵的奇异值分解-回复上三角矩阵是一个矩阵，其除了主对角线及其上方的元素外，其余元素皆为零。
奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是一种常见的矩阵分解方法，用于分解任意矩阵为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是正交矩阵，另一个是对角矩阵。
这篇文章将介绍上三角矩阵的奇异值分解，并一步一步解释其原理与过程。
上三角矩阵的奇异值分解可以用于数据降维、矩阵逆、矩阵近似等很多应用中。
在深度学习、图像处理、数据分析等领域中，奇异值分解被广泛应用。
要进行奇异值分解，首先需要明确上三角矩阵的定义。
一个m ×n 的上三角矩阵T可以表示为：T = [ t11 t12 t13 (1)0 t22 t23 (2)0 0 t33 (3)...0 0 0 ... tnn ]其中，tij代表矩阵T第i行第j列的元素。
奇异值分解的目标是将矩阵T分解为以下三个矩阵的乘积：T = UΣV^T其中，U是一个m×m的正交矩阵，Σ是一个m×n的对角矩阵，V^T 是V的转置，是一个n×n的正交矩阵。
正交矩阵满足U^TU=I、VV^T=I，对角矩阵Σ的非零元素称为奇异值，通常按降序排列。
接下来，我们将一步一步解释上三角矩阵的奇异值分解过程。
首先，我们计算矩阵T的转置T^T乘以矩阵T的乘积，记作M = T^TT，得到一个对称矩阵：M = [ m11 m12 m13 (1)m12 m22 m23 (2)m13 m23 m33 (3)...mn1 mn2 mn3 .. mnn ]在对称矩阵M上，我们求解其特征值和特征向量，并按特征值的降序排列。
特征向量对应的特征值构成一个对角矩阵Λ。
接下来，我们将矩阵T乘以特征向量矩阵V，记作T' = TV。
T'是一个正交矩阵，满足T'^TT'^T=I。
然后，我们求解矩阵T'的转置乘以T'的乘积Z = T'^TT'，得到一个对角矩阵。
数据结构模拟试题(1)
C:基数排序 D:归并排序
二、判断题:10分，每题01分
14、 数组是一种静态的存储空间分配，就是说，在程序设计时必须预先定义数组的数据类型和存储空间大小，由编译程序在编译时进行分配。
15、 在顺序表中，逻辑上相邻的元素在物理位置上不一定相邻。
(2*n－J－1)*J/2+I
因此，A[8][5]在数组B中对称元素A[J][I]的位置为
(2*10－5－1)*5/2+8=43
29、 已知一个有序表(15,26,34,39,45,56,58,63,74,76,83,94)顺序存储于一维数组a[12]中，根据折半搜索过程填写成功搜索下表中所给元素34, 56, 58, 63, 94时的比较次数。
A:n-I B:n-I+1
C:n-i-1 D:I
7、 不带头结点的单链表first为空的判定条件是( )。
A:first == NULL; B:first->link == NULL;
C:first->link == first; D:D. first != NULL;
双关键码结点数：2
四、小型计算题:40分，每题08分
27、 设有一个二维数组A[10][20]，按列存放于一个连续的存储空间中，A[0][0]的存储地址是200，每个数组元素占1个存储字，则A[6][2]的地址是多少。
参考答案：
226
答案说明：
按列存储时，计算A[i][j]地址的公式为
10、 对于具有e条边的无向图，它的邻接表中有 ( ) 个边结点。
A:e-1 B:e
C:2(e-1) D:2e
11、 图的深度优先搜索类似于树的（ ）次序遍历。
对称矩阵
对称矩阵对称矩阵元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。
1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。
后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。
泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
目录特性矩阵的转置和对称矩阵数据结构中的对称矩阵编辑本段特性C++数组应用之特殊矩阵的压缩存储[1]1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
3.对角矩阵都是对称矩阵。
两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。
两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
用<,>表示Rn上的内积。
的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有，。
任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT) 每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。
一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。
如果X是对称矩阵,那么AXA T也是对称矩阵.n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
所谓对称变换，即对任意α、β∈V，都有（σ（α），β）=（α，σ（β））。
投影变换和镜像变换都是对称变换。
编辑本段矩阵的转置和对称矩阵把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。
(其中T为上标)【矩阵转置的运算律】(即性质):1.(A')'=A2.(A+B)'=A'+B'3.(kA)'=kA'(k为实数)4.(AB)'=B'A'若矩阵A满足条件A=A',则称A为对称矩阵，由定义知对称矩阵一定是方阵,而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即aij=aji,对任意i,j都成立。
刚度矩阵的性质和存储
! ! !
k ji ! kn1i
! ! !
k jj ! kn1 j
! ! !
k jn1 !
⎥ ⎥ ⎥
kn1n1 ⎥⎦
过虚功原理得到证明。
6
3、结构刚度矩阵主对角线上的元素恒为正值
由性质(1)可知，任一主对角线上元素kii是使 节点位移Δi为一单位位移，其它节点位移为零时必须 在第i号位移方向施加的力Pi。它的方向自然应与位移 方向相同，因而是正值。
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
⎢0 ! kii ! kij ! kim ! 0⎥ i
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
[k ]2n×2n = ⎢0 ! k ji ! k jj ! k jm ! 0⎥ j
⎢ ⎢
"
"
"
"
"
"
"
"
"
⎥ ⎥
⎢0
⎢ ⎢
"
! !
kmi "
! "
kmj "
! "
kmm "
! "
0⎥
"
个节点的节点数大得多，因而，结构刚度矩阵中很大
t
一部分元素是零，即所谓的稀疏矩阵。
9
5、结构刚度矩阵是一个奇异矩阵
从单元刚度矩阵的奇异性讨论中知，处于静力 平衡状态的无约束单元可以发生任意的刚体位移。 与单元刚度矩阵是奇异矩阵的理由一样，无约束结 构的结构刚度矩阵[K]也是奇异矩阵，即[K]的行列 式为零。
矩阵的三角分解方法
§4矩阵的三角分解矩阵的三角分解定理：设n nA R ×∈,如果A 的前n-1个顺序主子式det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，则A 可分解为一个单位下三角矩阵L 与一个上三角矩阵U 的乘积，且这种分解是唯一的。
证明：1.存在性：利用高斯消去法来构L 和U(1)(2)()1122det()0,1,2,,1i i ii A a a a i n =≠=−1L A U −=，A LU=2112100101n n m L m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，(1)(1)(1)11121(2)(1)222()0nn n nn a a a a a U a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2．唯一性：分A 非奇异和奇异两种情况来证 （1）A 非奇异考虑到A 的前n-1个顺序主子式非零，得 det()0,1,2,,i A i n ≠=设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
因A 非奇异，所以1U 可逆，从而112121L L U U −−=112121112121(,)L L E U U L L U U −−−−⇒==因为单位下三角阵为上三角阵2121,L L U U ⇒==（2）A 奇异因det()0,1,2,,1i A i n ≠=− ，det()0n A =()0,1,2,,1i ii a i n ⇒≠=− ，()0n nn a = 设1122A LUL U ==，12,L L 为单位下三角矩阵，12,U U 为上三角矩阵。
对它们进行矩阵分块，得(1)(1)(1)(1)(1)(1)111222(1)(1)1122001010n n n n n n n n L U a L U a m a m a −−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠其中(1)(1)12,n n L L −−为n-1阶单位下三角矩阵，(1)(1)12,n n U U −−为可逆的n-1阶上三角矩阵(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)11112222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1111122222n n n n n n n n n n n n n n n n L U L a L U L a m U m a a m U m a a −−−−−−−−−−−−−−−−⎛⎞⎛⎞⇒=⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L U L U −−−−=(1)(1)(1)(1)2121,n n n n L L U U −−−−⇒==由(1)(1)(1)(1)1122n n n n L a L a −−−−=(1)(1)21n n a a −−⇒= 由(1)(1)(1)(1)1122n n n n m U m U −−−−=(1)(1)21n n m m −−⇒=由(1)(1)(1)(1)222111n n n n m a a m a a −−−−+=+21a a ⇒= 故2121,L L U U == 证毕。
计算机专业基础综合数据结构数组和广义表历年真题试卷汇编3_真题无答案
计算机专业基础综合数据结构（数组和广义表）历年真题试卷汇编3(总分66, 做题时间90分钟)6. 综合题1.数组A[1．．8，一2．．6，0．．6]以行为主序存储，设第一个元素的首地址是78，每个元素的长度为4，试求元素A[4，2，3]的存储首地址。
【厦门大学1998五、1(5分)】SSS_TEXT_QUSTI2.数组A中，每个元素A[i，f]的长度均为32个二进位，行下标从一1到9，列下标从1到11，从首地址S开始连续存放在主存储器中，主存储器字长为16位。
求：(1)存放该数组所需多少单元?(2)存放数组第4列所有元素至少需多少单元?(3)数组按行存放时，元素A[7，4]的起始地址是多少?(4)数组按列存放时，元素A[4，7]的起始地址是多少?【大连海事大学1996四、1(6分)】SSS_TEXT_QUSTI3.假设按低下标优先存储整型数组A(一3：8，3：5，一4：0，0：7)时，第一个元素的字节存储地址是100，每个整数占4字节，问A(0，4，一2，5)的存储地址是什么? 【清华大学1996三】SSS_TEXT_QUSTI4.设有五对角矩阵A=(aij )20*20，按特殊矩阵压缩存储的方式将其五条对角线上的元素存于数组A[-10：m]中，计算元素A[15，16]的存储位置。
【东北大学1999一、2(4分)】SSS_TEXT_QUSTI5.数组A[0．8，1．．10】的元素是6个字符组成的串，则存放A至少需要多少字节?A的第8列和第5行共占多少字节?若A按行优先方式存储，元素A[8，5]的起始地址与当A按列优先方式存储时的哪个元素的起始地址一致?【厦门大学2000五、3(14％／3分)】SSS_TEXT_QUSTI6.设m×n阶稀疏矩阵A有t个非零元素，其三元组表表示为LTMA[t+1)，1．．3]，试问：非零元素的个数t达到什么程度时用LTMA表示A才有意义?【北京航空航天大学1998一、5(4分)】SSS_TEXT_QUSTI设有三对角矩阵(aij )n×n将其三条对角线上的元素逐行地存于数组B(1：3n一2)中，使得s[k]=ai，j，求：SSS_TEXT_QUSTI7.用i，j表示k的下标变换公式；SSS_TEXT_QUSTI8.若n=10 3，每个元素占用L个单元，则用B[K]方式比常规存储节省多少单元?【西安电子科技大学1996二、4(5分)】9.已知A为稀疏矩阵，试从空间和时间角度，比较采用两种不同的存储结构(二维数组和三元组表)完成求运算的优缺点。
矩阵
对于上三角矩阵
对于下三角区元素，只用存储一个即可，存在 B中下标为n(n+1)/2的位置即可
123
下三角区：i>j
主对角线：i=j
上三角矩阵
王道考研/
三对角矩阵
三对角矩阵：对角矩阵也称为带状矩阵。对于n阶方阵A中的任一元素ai,j，当|i-j|＞1时，有ai,j=0 （1≤i，j≤n），则称为三对角矩阵，
王道考研/
三角矩阵
1
2
3
上三角区：i<j
123
下三角区：i>j
主对角线：i=j
下三角矩阵
王道考研/
三角矩阵
1
2
3
上三角区：i<j
对于上三角矩阵
123
下三角区：i>j
主对角线：i=j
上三角矩阵
王道考研/
三角矩阵
1
2
3
上三角区：i<j
前面有几整行 一整行的元素 最后一行前面
个数
的元素数量
一整行有5-0+1=6个元素
l1=3 h1=5 l2=0 h2=5
a3,0
a5,3
最后一行前面还有3-0=3个元素
5-3=2整行
王道考研/
矩阵
设二维数组的行下标与列下标的范围分别为[l1，h1]与[l2，h2] 行优先：先行后列，先存储行号较小的元素，行号相等先存储列号较小的元素
更常见的就是l1=0,l2=0,上式化为
王道考研/
矩阵
设二维数组的行下标与列下标的范围分别为[l1，h1]与[l2，h2] 列优先：先列后行，先存储列号较小的元素，列号相等先存储行号较小的元素
a[0][0] a[1][0] a[2][0]
对称矩阵上三角存储公式
对称矩阵上三角存储公式对称矩阵是一种特殊的方阵，其元素满足关于主对角线对称的性质。
具体来说，对于一个n阶对称矩阵A，对于任意的i、j，都有A[i][j]=A[j][i]。
这一性质使得对称矩阵具有一些独特的特点和应用。
对称矩阵的上三角存储方式是指只存储矩阵的上三角部分，其中包括主对角线及其上方的所有元素。
由于对称矩阵的下三角部分与上三角部分完全相同，因此只需要存储上三角部分的元素即可，从而减少了存储空间的使用。
对称矩阵的上三角存储公式可以表示为：A[k] = A[i][j] (0 ≤ i ≤ j ≤ n-1)其中，k为上三角矩阵中的元素在一维数组中的下标，i和j分别为对应元素在二维矩阵中的行和列下标。
通过这个公式，我们可以将对称矩阵存储在一个一维数组中，从而更加高效地进行存储和计算。
对称矩阵的上三角存储方式在很多实际问题中都有广泛的应用。
例如，在图论中，对称矩阵可以用来表示无向图的邻接矩阵。
对称矩阵的上三角存储方式可以有效地存储图的边信息，从而方便地进行图的遍历和计算。
此外，在物理学、统计学和机器学习等领域中，对称矩阵也经常被用来表示某些特定的数据结构或模型。
对称矩阵的上三角存储方式还可以提高矩阵运算的效率。
由于对称矩阵的上三角部分与下三角部分完全相同，因此可以通过对上三角部分的操作得到下三角部分的结果。
这样，可以减少矩阵运算的时间和空间复杂度，提高计算效率。
总结起来，对称矩阵的上三角存储方式是一种高效的存储方式，可以节省存储空间并提高矩阵运算的效率。
它在图论、物理学、统计学和机器学习等领域中有广泛的应用。
通过合理地利用对称矩阵的特性和存储方式，我们可以更加高效地处理和分析相关的问题。
希望本文能够为您对对称矩阵的理解提供一些帮助，并为您在相关领域的研究和应用中提供一些启示。
特殊矩阵和稀疏矩阵
2
2
2
25
3
4
1
19
4
5
4
37
5
6
7
50
6
Size=6
... ... ... ...
MaxSize-1
md 6 nd 7 td 6
3.稀疏矩阵的三元组链表
(1)三元组链表 用链表存储的三元组线性表。
(2)行指针数组结构的三元组链表 把每行非零元素三元组组织成一个单链表，再设计一个指针类型的数组存储所有单 链表的头指针。
行指针数组
1
2
3
∧
4
5 6
列指针数组
1
2
3
4
5
6
∧
∧ 11 ∧ 25 ∧
∧ 17 ∧
列号
7
纵向头指针
∧ 19 ∧
∧ 37 ∧
∧ 50 ∧
行号 横向头指针
纵向指针
横向指针
非零元素
} printf("\n"); } }
#include <stdio.h> （矩阵加和输出函数同上，省略） void main(void) {
int a[] = {1,2,4,3,5,6}, b[] = {10,20,40,30,50,60},c[6];
/*注意元素的排列次序*/
int n = 3;
（2）编写一个采用压缩存储的n阶对称矩阵的输出函数，要求输出显示成矩阵形 式，设矩阵元素均为整数类型。
（3）设矩阵A和矩阵B为如下所示的矩阵，编写一个用矩阵A和矩阵B作为测试例 子的测试上述函数的主程序。
void Add(int a[], int b[], int c[], int n) { int i;
选主元对称矩阵原位替换解算方法
选主元对称矩阵原位替换解算方法对称矩阵原位替换解算方法也称为对称高斯消元法，是解对称矩阵线性方程组的一种有效方法，它基于高斯消元法，但又做了一些优化。
本文将详细介绍对称矩阵原位替换解算方法的原理和步骤。
一、对称矩阵的定义对称矩阵是指矩阵中任意一元素A(i,j)等于其转置矩阵中A(j,i)的值，即A(i,j)=A(j,i)。
对称矩阵的特点是它的非零元素分布在矩阵的上三角和下三角中，所以只需要存储其中一半的元素即可，节省了存储空间。
二、对称高斯消元法原理对称高斯消元法的核心思想是高斯消元法，即通过矩阵初等变换将系数矩阵化为上三角矩阵，再通过回带求解出未知数的值。
与传统的高斯消元法不同的是，对称高斯消元法在消元过程中只使用对称矩阵的下三角元素作为主元，从而减少了计算量。
对称高斯消元法的步骤如下：1.将系数矩阵化为对称上三角矩阵首先，需要将矩阵按行顺序排列，用A(i,:)表示第i行元素。
然后，对于每一行i，找到最小的k，使得A(k,k)不为0且A(i,k)不为0。
将第k行与第i行交换位置，然后用第k行消去A(i,k)下面的元素。
即执行以下操作：A(i,:) = A(i,:) - A(k,:) * A(i,k) / A(k,k)再依次处理第i+1行至第n行，最后得到对称上三角矩阵。
2.回带求解未知数从最后一行n开始，用第n行反向消去之前所有已解出的未知数。
设第i个未知数的值为x(i)，则有：四、代码实现以下是对称高斯消元法的MATLAB代码实现：function [x] = sym_gauss_elimination(A, b)% 输入：系数矩阵A，常数向量b% 输出：未知数向量xn = size(A, 1);% 将系数矩阵化为对称上三角矩阵for i = 1 : n% 找到第i行及以下的最小的A(k,k)不为0的行kk = i;for j = i+1 : nif (abs(A(j,j)) > abs(A(k,k)) && A(j,i) ~= 0)k = j;endend% 如果最小的A(k,k)为0，则无解if A(k,k) == 0disp('无解');x = [];returnend% 交换第k行和第i行，并消去下面的元素if k ~= iA([i k], :) = A([k i], :);b([i k]) = b([k i]);endfor j = i+1 : nif A(j,i) ~= 0A(j,i+1:n) = A(j,i+1:n) - A(i,i+1:n) * A(j,i) / A(i,i); b(j) = b(j) - b(i) * A(j,i) / A(i,i);endendend% 回带求解x = zeros(n, 1);for i = n : -1 : 1x(i) = (b(i) - A(i,i+1:n) * x(i+1:n)) / A(i,i);end执行sym_gauss_elimination(A, b)函数即可得到解向量x。
只存放下三角部分由于对称矩阵关于主对角线对称
a 00
a10
a11
a20
a21
a22
... ... ... ... ...
an10 an11 an12 ... an1n1
(a) 一个下三角矩阵
0123 45 a00 a10 a11 a20 a21 a22
67
……n
( n 1) 2
-3
a30 a31 ……
an-1n-3
n ( n 1) 2
(a) 上三角矩阵
（b）下三角矩阵
图 3-2 三角矩阵
• 对角矩阵
若矩阵中所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区 域中，区域外的值全为0，则称为对角矩阵。常见的有三对 角矩阵、五对角矩阵、七对角矩阵等。
例如，图3-3为77的三对角矩阵（即有三条对角线上元素非
0）。
a00 a01 0 0 0 0 0
-2
n ( n 1) 2
-1
an-1n-2
an-1n-1
(b) 下三角矩阵的压缩存储形式
图 3-4 对称矩阵及用下三角压缩存储
（1）只存放下三角部分
由于对称矩阵关于主对角线对称，故我们只需存放主 对角线及主对角线以下的元素。这时， a[0][0]存入 s[0]，a[1][0] 存入s[1]，a[1][1]存入 s[2]，…，具体参 见图3-4。这时s[k]与a[i][j]的对应关系为：
2． 多维数组在计算机内的存放
由于数组一般不作插入或删除操作，也就是说， 一旦建立了数组，则结构中的数组元素个数和元 素之间的关系就不再发生变动，即它们的逻辑结 构就固定下来了，不再发生变化。因此，采用顺 序存储结构表示数组是顺理成章的事了。本章中， 仅重点讨论二维数组的存储，三维及三维以上的 数组可以作类似分析。
矩阵的三角分解
现在学习的是第24页，共54页
Cruou分解
令
a11 a12 ... a1n l11
a21
a22
...
a2n
l21
l22
1 u12 ... u1n
1 ... u2n
an1 an2 ... ann ln1 ln2 ... lnn
1
用比较等式两边方 元法 素逐 的行逐列L,求 U各解元素
由a23 l21u13 u23 得u23 a23 l21u13；
由a32 l31u12 l32u23
得l32
a32
l31u12 u22
k 3时：由a33 l31u13 l32u23 u33
得u33 a33 (l31u13 l32u23)
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Doolittle分解 若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下
三角阵，U为上三角阵，则称该分解为 Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺 序主子式均不为零时，Doolittle分解可以 实现并且唯一。
现在学习的是第10页，共54页
A的各阶顺序主子式均不为零，即
a11 ... a1k Ak ... ... ...0
ak1 ... akk
(k1,2,..n.)
l11 u12 ... u1n
l21
l22
...
u
2
n
ln1
ln2
...
lnn
现在学习的是第26页，共54页
3.2.3 对称正定矩阵的Cholesky分解
在应用数学中，线性方程组大多数的系数 矩阵为对称正定这一性质，因此利用对称 正定矩阵的三角分解式求解对称正定方程 组的一种有效方法，且分解过程无需选主 元，有良好的数值稳定性。
excel中对称矩阵转三角矩阵
标题：Excel中对称矩阵转三角矩阵的操作方法随着数据分析在各个领域的广泛应用，Excel作为一款功能强大的电子表格软件，也被越来越多的人用来进行数据处理和分析。
在实际操作中，我们常常会遇到需要将对称矩阵转换为三角矩阵的需求。
本文将就Excel中对称矩阵转三角矩阵的操作方法进行介绍和探讨。
1. 对称矩阵和三角矩阵的概念对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身的矩阵，即A的转置等于A，通常表示为A=A^T。
而三角矩阵则是指除了对角线以下（或以上）的元素均为零的矩阵。
三角矩阵根据主对角线的位置分为上三角矩阵和下三角矩阵两种类型。
2. 对称矩阵转三角矩阵的操作步骤在Excel中实现对称矩阵向三角矩阵的转换，可以采用以下步骤：步骤一：构建对称矩阵数据。
我们需要在Excel中构建对称矩阵的数据，确保每个元素的数值符合对称矩阵的定义。
步骤二：利用转置函数获取矩阵的转置。
在Excel中，可以使用TRANSPOSE函数来获取矩阵的转置，即将对称矩阵中的行转换为列。
步骤三：进行加法运算得到三角矩阵。
利用对称矩阵和其转置矩阵相加，即可得到三角矩阵的数据。
3. 具体操作示例接下来，我们将通过一个具体的示例来演示在Excel中如何将对称矩阵转换为三角矩阵。
假设我们有一个对称矩阵如下：| 1 4 7 || 4 2 5 || 7 5 3 |第一步，我们在Excel中构建对称矩阵的数据，可以将上述矩阵直接输入到Excel的单元格中。
第二步，利用TRANSPOSE函数获取矩阵的转置。
在Excel中，可以选择合适的位置输入TRANSPOSE函数，将对称矩阵的转置矩阵计算出来。
第三步，进行加法运算得到三角矩阵。
选择三角矩阵的起始位置，并对对称矩阵和其转置矩阵进行相加，得到三角矩阵的数据。
通过以上操作，我们就可以在Excel中将对称矩阵转换为三角矩阵了。
这样的操作不仅可以提高数据处理的效率，也为后续的数据分析和计算提供了便利。
4. 个人观点和总结在实际工作中，对称矩阵转三角矩阵是一个常见且实用的操作。
数据结构习题数组 23
数组（23）1．设n个人围坐在一个圆桌周围，现在从第s个人开始报数，数到第m个人，让他出局；然后从出局的下一个人重新开始报数，数到第m个人，再让他出局，……，如此反复直到所有的人全部出局为止。
下面要解决的Josephus问题是：对于任意给定的n, s和m，求出这n个人的出局序列。
请以n = 9, s = 1, m = 5为例，人工模拟Josephus的求解过程以求得问题的解。
2．试编写一个求解Josephus问题的函数。
用整数序列1, 2, 3, ……, n表示顺序围坐在圆桌周围的人，并采用数组表示作为求解过程中使用的数据结构。
然后使用n = 9, s = 1, m = 5，以及n = 9, s = 1, m = 0，或者n = 9, s = 1, m = 10作为输入数据，检查你的程序的正确性和健壮性。
3．设有一个线性表 (e0, e1, …, e n-2, e n-1) 存放在一个一维数组A[arraySize]中的前n个数组元素位置。
请编写一个函数将这个线性表原地逆置，即将数组的前n个原址内容置换为 (e n-1, e n-2, …, e1, e0)。
4．设有一个二维数组A[m][n]，假设A[0][0]存放位置在644(10)，A[2][2]存放，每个元素占一个空间，问A[3][3](10)存放在什么位置？脚注(10)表位置在676(10)示用10进制表示。
5．设有一个n n的对称矩阵A，如图(a)所示。
为了节约存储，可以只存对角线及对角线以上的元素，或者只存对角线或对角线以下的元素。
前者称为上三角矩阵，后者称为下三角矩阵。
我们把它们按行存放于一个一维数组B中，如图(b)和图(c)所示。
并称之为对称矩阵A的压缩存储方式。
试问：(1) 存放对称矩阵A上三角部分或下三角部分的一维数组B有多少元素？(2) 若在一维数组B中从0号位置开始存放，则如图(a)所示的对称矩阵中的任一元素a ij在只存上三角部分的情形下(图(b))应存于一维数组的什么下标位置？给出计算公式。
矩阵的存储及转置算法
矩阵的存储及转置算法本文要点：1.对称矩阵与稀疏矩阵2.两种矩阵的压缩存储3.代码实现两种矩阵对称矩阵<SymmetryMatrix>1.对称矩阵也是一种特殊矩阵，满足Aij = Aji(设矩阵为A,且有0<=i<N-1 && 0<=j<N-1),这种矩阵以对角线分割为上三角和下三角，关于对角线对称的元素相等。
2.对称矩阵的压缩存储如果把矩阵中的每个元素都存储起来，那么就会显得浪费空间，因为每两个关于对角线对称的元素相等，因此就可以将矩阵压缩存储到一个数组Array中，即：将对称的两个元素存一份，对角线上的元素都存储起来，也就是说只存储上三角或下三角，那么存储的元素的总个数就为n(n+1)/2个，这样，当n特别大的时候，也就最有效。
压缩存储的数组与矩阵之间满足：Array[i*(i+1)/2+j] = Martix[i][j](下三角存储i>=j)3.代码实现[cpp] view plain copy1.template<class T>2.class SymmetryMatrix3.{4.public:5. SymmetryMatrix(const T* a,size_t n)6. :_matrix(new T[n*(n+1)/2])7. ,_size(n*(n+1)/2)8. ,_n(n)9. {10.size_t index = 0; //表示一维数组的下标11.for (size_t i=0; i<n; ++i)12. {13.for (size_t j=0; j<n; ++j)14. {15.if (i >= j) //存储下三角16. {17. _matrix[index++] = a[i*n+j];18. //index++;19. }20.else21.continue;22. }23. }24. }25.26. T& Access(size_t row,size_t col) //访问数据27. {28.if (row < col)29. {30. std::swap(row,col);31. }32.return _matrix[row*(row+1)/2+col];33. }34.35.void Display()36. {37.for (size_t i=0; i<_n; i++)38. {39.for (size_t j=0; j<_n; j++)40. {41. cout<<Access(i,j)<<" ";42. }43. cout<<endl;44. }45. }46.p rotected:47. T* _matrix; //压缩存储的一维数组48.size_t _size; //可存储的大小49.size_t _n; //行列的大小50.};稀疏矩阵<SparseMatrix>1.稀疏矩阵中，有效数据（非0）的数量远小于非法数据的个数（0为非法数据）2.稀疏矩阵的存储也是压缩存储的，但与对称矩阵不同的地方有两点：（1）稀疏矩阵的压缩存储只存储有效值；（2）稀疏矩阵存储以行优先的顺序存储在三元组中，表示为：{row,col,value}，row和col 分别表示该有效值的行和列。
数据结构(C++版)课后答案 (王红梅)第4章 广义线性表多维数组和广义表
第 4 章广义线性表——多维数组和广义表课后习题讲解1. 填空⑴数组通常只有两种运算：（）和（），这决定了数组通常采用（）结构来实现存储。
【解答】存取，修改，顺序存储【分析】数组是一个具有固定格式和数量的数据集合，在数组上一般不能做插入、删除元素的操作。
除了初始化和销毁之外，在数组中通常只有存取和修改两种操作。
⑵二维数组A中行下标从10到20，列下标从5到10，按行优先存储，每个元素占4个存储单元，A[10][5]的存储地址是1000，则元素A[15][10]的存储地址是（）。
【解答】1140【分析】数组A中每行共有6个元素，元素A[15][10]的前面共存储了(15-10)×6+5个元素，每个元素占4个存储单元，所以，其存储地址是1000+140=1140。
⑶设有一个10阶的对称矩阵A采用压缩存储，A[0][0]为第一个元素，其存储地址为d，每个元素占1个存储单元，则元素A[8][5]的存储地址为（）。
【解答】d+41【分析】元素A[8][5]的前面共存储了(1+2+…+8)+5=41个元素。
⑷稀疏矩阵一般压缩存储方法有两种，分别是（）和（）。
【解答】三元组顺序表，十字链表⑸广义表((a), (((b),c)),(d))的长度是（），深度是（），表头是（），表尾是（）。
【解答】3，4，(a)，((((b),c)),(d))⑹已知广义表LS=(a，(b，c，d)，e)，用Head和Tail函数取出LS中原子b的运算是（）。
【解答】Head(Head(Tail(LS)))2. 选择题⑴二维数组A的每个元素是由6个字符组成的串，行下标的范围从0~8，列下标的范围是从0~9，则存放A至少需要（）个字节，A的第8列和第5行共占（）个字节，若A按行优先方式存储，元素A[8][5]的起始地址与当A按列优先方式存储时的（）元素的起始地址一致。
A 90B 180C 240D 540E 108F 114G 54H A[8][5] I A[3][10] J A[5][8] K A[4][9]【解答】D，E，K【分析】数组A为9行10列，共有90个元素，所以，存放A至少需要90×6=540个存储单元，第8列和第5行共有18个元素（注意行列有一个交叉元素），所以，共占108个字节，元素A[8][5]按行优先存储的起始地址为d+8×10+5=d+85，设元素A[i][j]按列优先存储的起始地址与之相同，则d+j×9+i=d+85，解此方程，得i=4，j=9。
数据结构期末复习重点知识点总结
第一章绪论一、数据结构包括：逻辑结构、存储结构、运算（操作）三方面内容。
二、线性结构特点是一对一。
树特点是一对多图特点是多对多三、数据结构的四种存储结构：顺序存储、链式存储、索引存储、散列存储顺序存储结构和链式存储结构的区别？线性结构的顺序存储结构是一种随机存取的存储结构。
线性结构的链式存储是一种顺序存取的存储结构。
逻辑结构分类：集合线性树图，各自的特点。
或者分为线性结构和非线性结构。
四、算法的特征P13五、时间复杂度(1) i=1; k=0;while(i<n){ k=k+10*i;i++;}分析：i=1; //1k=0; //1while(i<n) //n{ k=k+10*i; //n-1i++; //n-1}由以上列出的各语句的频度，可得该程序段的时间消耗：T(n)=1+1+n+(n-1)+(n-1)=3n可表示为T(n)=O(n)六、数据项和数据元素的概念。
第二章线性表一、线性表有两种存储结构：顺序存储和链式存储，各自的优、缺点。
二、线性表的特点。
三、顺序表的插入、思想、时间复杂度o(n)、理解算法中每条语句的含义。
（1）插入的条件：不管是静态实现还是动态实现，插入的过程都是从最后一个元素往后挪动，腾位置。
静态是利用数组实现，动态是利用指针实现。
不管静态还是动态，在表中第i个位置插入，移动次数都是n-i+1。
四、顺序表的删除、思想、时间复杂度o(n)、理解算法中每条语句的含义。
（1）删除的条件：不管是静态实现还是动态实现，删除的过程都是从被删元素的下一位置向前挪动。
静态是利用数组实现，动态是利用指针实现。
不管静态还是动态，删除表中第i个元素，移动次数都是n-i。
五、顺序表的优缺点？为什么要引入链表？答：顺序表的优点是可以随机存取，缺点是前提必须开辟连续的存储空间且在第一位置做插入和删除操作时，数据的移动量特别大。
如果有一个作业是100k，但是内存最大的连续存储空间是99K，那么这个作业就不能采用顺序存储方式，必须采用链式存储方式。
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对称矩阵上三角存储公式
对称矩阵上三角存储方式是指只存储矩阵的上三角部分，由于矩阵是对称的，因此下三角部分可以通过对称性质推导得到。
对称矩阵上三角存储方式的公式如下：
设对称矩阵 A\in R^{n\times n}，则有
A=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\
\end{bmatrix}
对称矩阵上三角存储方式将 A 存储为一个一维数组 a，其中 a 的前n 个元素为矩阵的第一行，接下来 n-1 个元素为矩阵的第二行的除了第一个元素以外的剩余元素，以此类推，最后一个元素为矩阵最后一行的最后一个元素。
即
a=[a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n},a_{22},\cdots,a_{2n},\cdots,a_ {(n-1)(n-1)+1},\cdots,a_{(n-1)n},a_{nn}]
对于对称矩阵 A 的第 i 行，第 j 列 (i\le j) 的元素可以通过上三角存储数组 a 中的下标 k 算出，即
k=\frac{(i-1)n-i(i-1)/2+j}
这里 (i-1)n-i(i-1)/2 表示前 i-1 行元素个数之和，加上 j 就是当
前元素所在的位置，且因为是上三角存储，因此要去掉下三角部分。
对称矩阵 A 的第 i 行，第 j 列 (i\ge j) 的元素可以通过对称性质得到，即 a_{ij}=a_{ji}。