对称矩阵上三角存储公式

对称矩阵上三角存储公式

对称矩阵上三角存储方式是指只存储矩阵的上三角部分，由于矩阵是对称的，因此下三角部分可以通过对称性质推导得到。对称矩阵上三角存储方式的公式如下：

设对称矩阵 A\in R^{n\times n}，则有

A=\begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\

a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \\

\end{bmatrix}

对称矩阵上三角存储方式将 A 存储为一个一维数组 a，其中 a 的前n 个元素为矩阵的第一行，接下来 n-1 个元素为矩阵的第二行的除了第一个元素以外的剩余元素，以此类推，最后一个元素为矩阵最后一行的最后一个元素。即

a=[a_{11},a_{12},\cdots,a_{1n},a_{22},\cdots,a_{2n},\cdots,a_ {(n-1)(n-1)+1},\cdots,a_{(n-1)n},a_{nn}]

对于对称矩阵 A 的第 i 行，第 j 列 (i\le j) 的元素可以通过上三角存储数组 a 中的下标 k 算出，即

k=\frac{(i-1)n-i(i-1)/2+j}

这里 (i-1)n-i(i-1)/2 表示前 i-1 行元素个数之和，加上 j 就是当

前元素所在的位置，且因为是上三角存储，因此要去掉下三角部分。对称矩阵 A 的第 i 行，第 j 列 (i\ge j) 的元素可以通过对称性质得到，即 a_{ij}=a_{ji}。