2021年全国统一高考数学试卷(天津卷)

2021年全国统一高考数学试卷（天津卷）

一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}1,0,1A =-，{}1,3,5B =，{}0,2,4C =，则()A B C =

（A ）{}0

（B ）{}0,1,3,5 （C ）{}0,1,2,4 （D ）{}0,2,3,4

2.已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件

（C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

3.函数2ln 2

x y x =

+的图像大致为

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其平分数据，将所得400个评分数据分为8组：

[)66,70，[)70,74，

，[]94,98，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的

影视作品数量为

（A ）20

（B ）40

（C ）64 （D ）80

5.设3.0log 2=a ，4.0log 2

1=b ，3

.04

.0=c ，则a 、b 、c 的大小关系为

（A ）c b a << （B ）b a c << （C ）a c b << （D ）b c a <<

6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为3

π

32，两个圆锥的高之比为3:1，则这两个圆锥的体积之和为

（A ）π3 （B ）π4 （C ）π9 （D ）π12 7.若1052==b

a

，则

=+b

a 11 （A ）1- （B ）7lg （C ）1 （D ）10log 7

8.已知双曲线12222=-b

y a x ()0,0>>b a 的右焦点与抛物线px y 22

=（0>p ）的焦点重合，抛物线

的准线交双曲线于B A 、两点，交双曲线的渐近线与D C 、两点，若AB CD 2=,则双曲线的离

心率为

（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3

9.设R a ∈,函数a x a

x a x a x a x x f ≥<⎩

⎨⎧+++--=,5)1(2),22cos()(2

2ππ,若)(x f 在区间）（+∞,0内恰好有6个零点，则a 的取值范围是

（A ）⎥⎦

⎤ ⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛41125492，， （B ）⎥

⎦⎤

⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛41125247，，

（C ）⎪⎭⎫⎢

⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛

3411492，， （D ）⎪⎭

⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛3411247，，

二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10.i 是虚数单位，复数

922i

i

++=______. 11在3

6

1(2)x x

+的展开式中，6

x 的系数是_____.

12.若斜率为3的直线与y 轴交于点A ，与圆22(1)1x y +-=相切与点B ，则||AB =____. 13.若0,0,a b >>则

2

1++a

b a b 的最小值为_____. 14.甲、乙两人在每次猜谜语活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对一方获胜，否则本次平局。已知每次活动中，甲乙猜对的概率分别为

56和3

5

，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为_____;3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______.

15. 在边长为1的等边三角形ABC 中。D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 与点E ，DF ∥AB

交AC 于点F ，则|2|BE DF +的值为_____;()DE DF DA +⋅的最小值为_____. 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分14分）在ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin :sin :sin 2:1:2A B C =．2b =．

（I ）求a 的值； （II ）求cos C 的值； （III ）求sin 26C π⎛

⎫- ⎪⎝

⎭的值．

17（本小题满分15分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，

(1)求证：1//D F 平面11A EC ;

(2)求直线1AC 与平面11A EC 所成的角的正弦值; (3)求二面角11A AC E --的正弦值.

18. （本小题满分15分）已知椭圆22x a

+2

21(0)y a b b =>>的右焦点为F ,上顶点为B

，离心率为

5

BF =(1)求椭圆的方程；

(2)直线 l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过 N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ，若

M P BF //，求直线l 的方程.

19.（本题满分15分）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64.{}n b 是公比大于0的等比数列，14b =，3248b b -=. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记*21

,n n n

c b n N b =+

∈. （i ）证明{}

2

2n n c c -是等比数列；（ii

）证明n

k =<

20. (本小题满分16分)已知0>a ,函数x

e x ax x

f ⋅-=)(.

(1) 求函数)(x f y =在点))0(,0(f 处的切点的方程； (2) 证明)(x f 存在唯一极值点;

(3) 若存在a ,使得b a x f +≤)(对于任意的R x ∈成立，求实数b 的取值范围.