一元二次方程的定义

一元二次方程的定义
一、满足条件
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

②只含有一个未知数；
③未知数项的最高次数是2。

二、方程形式
折叠一般形式
ax²+bx+c=0(a≠0)
其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项。

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

折叠变形式
ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0);
ax²+c=0(a、c是实数，a≠0);
ax²=0(a是实数，a≠0)。

三、解题方法
折叠公式法
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求根公式
折叠十字相乘法
x的平方+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
解法
折叠因式分解法
因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

用因式分解法解一元二次方程的步骤
一元二次方程
一元二次方程
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
如
1.解方程：x²+2x+1=0
解：利用完全平方公式因式解得：（x+1)²=0
解得：x=-1
2.解方程x（x+1）-2（x+1）=0
解：利用提公因式法解得：（x-2）（x+1）=0
即 x-2=0 或 x+1=0
∴ x1=2，x2=-1
3.解方程x²-4=0
解：（x+2）（x-2）=0
x+2=0或x-2=0
∴ x1=-2，x2= 2
折叠十字相乘法公式
x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
例：
1. ab+b²+a-b- 2
=ab+a+b²-b-2
=a(b+1)+(b-2)(b+1)
=(b+1)(a+b-2)
公式法
（可解全部一元二次方程）求根公式
首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根
1.当Δ=b²-4ac<0时 x无实数根（初中）
2.当Δ=b²-4ac=0时 x有两个相同的实数根即x1=x2
3.当Δ=b²-4ac>0时 x有两个不相同的实数根
当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程
有根则可根据公式：x={-b±√（b²－4ac）}/2a 来求得方程的根
配方法
（可解全部一元二次方程）
如：解方程：x²+2x－3=0
解：把常数项移项得：x²+2x=3
等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x²+2x+1=4 因式分解得：（x+1)²=4
解得：x1=-3,x2=1
用配方法的小口诀：
二次系数化为一
分开常数未知数
一次系数一半方
两边加上最相当
开方法
（可解部分一元二次方程）
如：x²-24=1
解：x²=25
x=±5
∴x1=5 x2=-5
均值代换法
（可解部分一元二次方程）
ax²+bx+c=0
同时除以a，得到x²+bx/a+c/a=0
设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)
根据x1·x2=c/a
求得m。

再求得x1, x2。

如：x²-70x+825=0
均值为35，设x1=35+m，x2=35-m (m≥0)
x1·x2=825
所以m=20
所以x1=55， x2=15。

一元二次方程根与系数的关系（以下两个公式很重要，经常在考试中运用到）（韦达定理）
一般式：ax²+bx+c=0的两个根x1和x2关系：
x1+x2= -b/a
x1·x2=c/a。