2015年全国高考数学试卷理科含答案

2０15年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

（1)设复数Z 满足
＝则＝－Z Z
Z
,i 11+ （Ａ)1 (Ｂ) (C ） (D)2 (2）=-0
10sin 160cos 10cos 20sin （A ）23－
(B)23 (Ｃ)2
1－ (D ） 21 (3）设命题为则P n N n P n
⌝>∈∃,2,:2
(A ）n
n N n 2,2
>∈∀ (Ｂ)n
n N n 2,2
≤∈∃ (C ）n
n N n 2,2
≤∈∀ (D ）
n n N n 2,2＝∈∃
（４)投篮测试中,每人投3次，至少2次命中才能通过测试，已知某同学每次投篮命中的概率为０。

6,且各次投篮是否命中相互独立,则该同学通过测试的概率为
（A ）0。

6４８ (B ）0.４32 (C ）0。

36 (D)０．３12
(5)已知),(00y x M 是双曲线C:12
22
=-y x 上的一点,的是双曲线C F F 21,两个焦点，若021<⋅MF MF ，则的取值范围是
（A ）)33,33(-
(Ｂ))63,63(- (C))3
2
2,322(- (D ）)3
32,332(-
（6）《九章算术》是我国古代极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问：积及米几何？”,其意为：“在屋内角处堆放米(如图,米堆是一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为５尺,问米堆的的体积和米堆放的
米各为多少?”已知一斛米的体积约为1.６２立方尺，圆周率约为3，估算出米堆的米约为 (A)１４斛 （B)22斛 (Ｃ）36斛 （Ｄ）66斛 (７）设D 为所在平面内一点ABC ∆,CD BC 3=，则
(A ）AC AB AD 3431+-
= （B)AC AB AD 3431－= (C)AC AB AD 3134+= (D)AC AB AD 3
1
34－=
(8）函数)cos()(ϕω+=x x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的单调减区间为
(Ａ)Z k k k ∈+-
,43,41）（ππ (Ｂ）
Z k k k ∈+-,43
2,412）（ππ （C ）Z k k k ∈+-,43
,41）（
（D ）Z k k k ∈+-,4
3
2,412）（
(９)执行右边的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= (A)5 (B)６ (C)７ （D)８
（１0）5
2）（y x x ++的展开式中,25y x 的系数为 (Ａ）
10 （Ｂ）２0 (C ）30(D)６0
(11)圆柱被一平面截去一部分后与半球
(半径为r ） 组成一个几何休,该几何体的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为１6＋20π,则ｒ=
（A)1 （B)2 (C ）4 （D ）8
(12）设函数ｆ（x)=e x
(2x-1）—a ｘ＋a,其中ａ1,若存在唯一的整数x ０,使得f （x 0)0，则a 的取值范围是（ ） （A)［— —，1)（B ） ［—，）(C)
［,)（Ｄ) ［,1)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。

(1３)若函数=++=a x a x x x f 为偶函数，则)ln()(2.
(１4)一个圆经过椭圆
14
162
2=+y x 的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为。

（１5）若⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤-≥-0
400
1,y x y x x y x 满足约束条件,则x y 的最大值为。

（16)在平面四边形AB ＣD 中,0
75＝＝＝C B A ∠∠∠，ＢＣ＝2,则A Ｂ的取值范围是。

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

（１7)(本小题满分12分)是数列{}n a 的前ｎ项和，已知0>n a ,3422
+=+n n n S a a
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ)设,1
1
+=n n n a a b 求数列}{n b 的前ｎ项和。

(18)(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是菱
形,0
120＝
ABC ∠ ,E ，Ｆ是平面ＡＢC Ｄ同一侧的两点，ABCD BE 平面⊥，
ABCD DF 平面⊥,EC AE DF BE ⊥，＝2
(Ⅰ)证明：AFC AEC 平面平面⊥； （Ⅱ)求直线AE 与直线ＣF 所成有的余弦值。

（1９)（本小题满分12分)某公司为确定下一年的投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位:千元）对年销售量ｙ（单位:t)和年利润（单位:千元)的影响，对近8年的年宣传费和对年销售量)8,,2,1(⋅⋅⋅=i y i 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值，
∑=-8
1
2
)(i i
x x
∑=-8
1
2
)
w
(i i
w
∑=--8
1
)
)((i i
i
y y
x x ∑=--8
1
)
)(w
(i i i
y y w 46.６
５63
6.8 2８9.8
1。

６
１４6９
108．8
表中∑===8
1
81i i i i w w x w ，
（Ⅰ）根据散点图,判断x d c y bx a y +=+=与哪一个宜作为年销售量ｙ关于年宣传费x 的回归类型（给出判断即可,不必说明理由)；
（Ⅱ）根据（Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 与x 的回归方程;
(Ⅲ)已知这种产品年利润z 与x ，ｙ之间的关系为z=0。

2y-ｘ,根据(Ⅱ）的结果回答问题 （ｉ)年宣传费x ＝４9时,年销售量及年利润的预报值为多少？ （ii ）年宣传费为何值时，年利润的预报值最大?
附：对于一组数据(u １ｖ1），(u 2v 2)…….。

（u n ｖn )，其回归线v ＝αβ+ｕ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
1
2
1
()()
,()
n
i
i
i n
i
i u u v v v u u u βαβ==--=
=--∑∑
(２0)(本小题满分12分) 在平面直角坐标系ｘOy 中，曲线C ：4
2
x y =与直线
）（0:>+=a a kx y l 交于M ，N 两点。

(Ⅰ）当0=k 时,分别求C 在M 点和N 点处的切线方程;
(Ⅱ）P y 轴上是否存在点，使得当变动时,总有OPN OPM ∠∠＝？说明理由.
（2１)(本小题满分12分)已知函数.ln )(,4
1
)(3
x x g ax x x f -=++= （Ⅰ)当为何值时，轴为曲线)(x f y =的切线;
（Ⅱ）用{}n m ,m in 表示n m ,中的最小值,设函数{})0()(),(m in )(>=x x g x f x h 讨论函数
)(x h 零点的个数。

请考生在第22、２３、２4题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。

做答时请写清题号。

(22)（本小题满分10分)选修４－1:几何证明选讲
如图，AB 是圆为的直径，AC 是圆O 的切线，BC 交圆Ｏ与点Ｅ，
(Ⅰ）若D 为AC 的中点,证明:DE 是圆O 的切线; （Ⅱ)若CE OA 3=
,求ACB ∠的大小.
（23）(本小题满分1０分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线C 12-=x ,1)2()1(:2
2
2=-+-y x C 圆 ,以坐标原点为极点,轴的正半轴为级轴建立极坐标系
（Ⅰ)求21,C C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线）（＝的极坐标方程为R C ∈ρπ
θ4
3，设N M C C ，的交点为与32,求
MN C 2∆的面积。

(24）（本小题满分1０分)选修４－5:不等式选讲
设函数a x x x f --+=21)(,0a >。

（Ⅰ)当1a =时,求不等式1)(>x f 的解集;
（Ⅱ）若)(x f 的图像与ｘ轴围成的三角形面积大于６，求的取值范围。

答案
一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

（1） 设复数z 满足1+z
1z
-=ｉ,则｜z|=
(A)1 （B ） (C) (Ｄ)2
【答案】Ａ
(2）s ｉn2０°cos10°-co ｎ1６0°s ｉｎ10°= （Ａ）32- （B ）32 (C)12- (Ｄ)12
【答案】D
【解析】原式=si ｎ2０°c ｏs10°＋ｃｏs20°s ｉｎ10°=s ｉn ３０°=1
2
,故选Ｄ。

（３）设命题P ：n Ｎ,〉，则P 为 (A)ｎN ，〉 （B) nN,≤ (C ）ｎN ，≤ (D) n Ｎ,=
【答案】Ｃ
【解析】:2,2n n N n ∀∈≤，故选C 。

(4)投篮测试中,每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0。

6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0。

648 (Ｂ)0．432(Ｃ)0。

３6(D ）０。

312 【答案】A
【解析】根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ⨯+=0。

64８,
故选A 。

(5）已知M(x ０，y 0)是双曲线C:
2
212
x y -= 上的一点，F １、Ｆ2是C 上的两个焦
点,若1MF 2MF <0,则y 0的取值范围是
(Ａ）（-
33,33)（Ｂ）(-36，36
） （C)（223-,223) （D ）（233-，233
）
【答案】A
(6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有
委米依垣内角,下周八尺,高五尺。

问:积及为米几何?＂其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为８尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？＂已知1斛米的体积约为１.62立方尺,圆周率约为３，估算出堆放斛的米约有
A.1４斛
B.２2斛 C 。

36斛 D.66斛 【答案】Ｂ 【解析】学科网
设圆锥底面半径为r,则12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆的体积为2
11163()5433
⨯⨯⨯⨯＝
3209,故堆放的米约为320
9÷1.62≈２2，故选B 。

（7）设Ｄ为AB Ｃ所在平面内一点=３，则
（Ａ)=＋ (B)=
(C)＝+(D）=【答案】A
【解析】由题知
11
()
33
AD AC CD AC BC AC AC AB
=+=+=+-==
14
33
AB AC
-+，
故选Ａ.
（8)函数f(x）=的部分图像如图所示,则f(x）的单调递减区间为（Ａ）(),k (b)（),k
(C)（)，k(Ｄ）（),k
【答案】D
（９)执行右面的程序框图,如果输入的ｔ=０.01，则输出的n=
(Ａ）5 （B）６(C)7 (D)8
【答案】Ｃ
（10）
的展开式中,
ｙ²的系数为
(A ）10 (B ）２０ (C)30(Ｄ)60
【答案】Ａ
【解析】在25
()x x y ++的5个因式中,２个取因式中剩余的3个因式中1个取,其余因式取
y,故5
2
x y 的系数为2
1
2
532C C C =３0,故选 A.
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为ｒ)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。

若该几何体的表面积为１6 + 20,则r=
(Ａ)1（B)2（Ｃ）4(D)８
【答案】Ｂ 【解析】学科网
由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱的组合体,圆柱的半径与球的半径都为r,圆柱的高为2ｒ，其表面积为221
42222
r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20，解得r=2,故选B 。

12．设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中ａ１,若存在唯一的整数x ０,使得
0()f x 0，则的取值范围是( )
A.[—,1）
B. [—,）
C. [，) D 。

［，１） 【答案】D
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第（１３)题～第(21）题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第（2２)题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13)若函数f （x ）=x ｌn(x+2a x +）为偶函数,则ａ= 【答案】1
【解析】由题知2ln()y x a x =++是奇函数,所以22ln()ln()x a x x a x +++-++ ＝22ln()ln 0a x x a +-==,解得=１. (14)一个圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在x 轴上,则该圆的标准方程
为。

【答案】22325()24
x y ±+=
【解析】设圆心为（,0）,则半径为4||a -,则222(4||)||2a a -=+,解得3
2
a =±,故圆
的方程为22325
()24
x y ±+=。

(１5)若ｘ，y 满足约束条件则
y
x
的最大值为． 【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，y
x
是可行域内一点
与原点连线的斜率，由图可知，点Ａ(1，3)与原点连线的斜率最大，故y
x
的最大
值为3。