初二上册数学知识点总结：第二章实数

合集下载

初二上册数学知识点总结

初二数学上册知识点总结第一章勾股定理1、探索勾股定理①勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c22、一定是直角三角形吗①如果三角形的三边长a b c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形一定是直角三角形3、勾股定理的应用第二章实数1、认识无理数①有理数：总是可以用有限小数和无限循环小数表示②无理数：无限不循环小数2、平方根①算数平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算数平方根②特别地，我们规定：0的算数平方根是0③平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a。

那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做二次方根④一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根⑤正数有两个平方根，一个是a的算数平方，另一个是—，它们互为相反数，这两个平方根合起来可记作±⑥开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数3、立方根①立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫三次方根②每个数都有一个立方根，正数的立方根是正数;0立方根是0；负数的立方根是负数。

③开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数4、估算①估算，一般结果是相对复杂的小数，估算有精确位数5、用计算机开平方6、实数①实数：有理数和无理数的统称②实数也可以分为正实数、0、负实数③每一个实数都可以在数轴上表示，数轴上每一个点都对应一个实数，在数轴上，右边的点永远比左边的点表示的数大7、二次根式①含义：一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数②=（a≥0，b≥0），=（a≥0，b>0）③最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式④化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式时最简二次根式第三章位置与坐标1、确定位置①在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据2、平面直角坐标系①含义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系②通常地，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

八年级数学上册第二章实数知识点北师大版

第二章：实数一、无理数1.定义:无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2.常见无理数的几种类型：（1)特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2—π,3π等;（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2。

010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数.如：2—π是无理数（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。

如2π,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等;无理数也不一定带根号，如：π)3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式.例：（1）下列各数:①3.141、②0。

33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0。

3030003000003……(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。

（填序号）（2）有五个数:0。

125125…，0.1010010001…，-π，4，32其中无理数有( ）个二、算术平方根1.定义：如果一个正数x的平方等于a,即a2，那么,这个正数x=x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，读作，“根号a”,其中，a称为被开方数。

例如32=9,那么9的算术平方根是3，即39=。

特别规地,0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根2。

算术平方根具有双重非负性：（1）若a有意义，则被开方数a是非负数。

（2）算术平方根本身是非负数。

3。

算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值,它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值,表示为：a±.例：（1）下列说法正确的是（）A ．1的立方根是1±;B ．24±=；(C ）、81的平方根是3±; （ D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是( ）A 、981±= B 、14.314.3-=-ππ C 、3927-=- D 、235=-（3）2)3(-的算术平方根是。

八年级数学上册第二章实数

第二章实数目录第二章实数 (1)第一课时：实数的认识 (1)知识要点一：认识无理数 (1)知识要点二：平方根 (1)知识要点四：算术平方根 (2)拓展：随机的n (3)知识要点五：立方根 (4)知识要点五：估算无理数的大小 (4)知识要点六：实数的概念 (5)知识要点七：实数的性质 (5)知识要点八：实数与数轴 (7)知识要点九：实数的比较大小 (8)知识要点10：实数的运算 (9)总练习题 (9)C 基础巩固 (9)B 能力提升 (10)A 拔尖训练 (11)第二课时：二次根式的性质、化简与运算 (13)知识要点一：二次根式的概念 (13)知识要点二：二次根式有意义的条件 (13)知识要点三：二次根式的性质与化简 (14)知识要点四：最简二次根式 (14)知识要点五：分母有理化 (15)知识要点六：二次根式的乘除法 (16)知识要点七：同类二次根式 (17)知识要点八：二次根式的加减法 (18)知识要点九：二次根式的混合运算 (18)知识要点十：二次根式的化简求值 (19)知识要点十一：二次根式的应用 (20)总练习题 (20)C 基础巩固 (20)B 能力提升 (21)A 拔尖训练 (22)第一课时：实数的认识知识要点一：认识无理数伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m 等于多少？是整数呢，还是分数？这个问题引起了学派成员希帕斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希帕斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数．希帕斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌．为了维护学派的威信，他们残忍地将希帕斯扔进地中海．这样，无理数的发现人被谋杀了！定义1 无限不循环小数叫做无理数。

常见的无理数的类型：（1）有规律但不循环的小数；（2）有特定意义的符号，如π；（3）方开不尽的数（见知识要点二之开方的概念）。

八年级上册数学第二章知识点总结

八年级上册数学第二章知识点总结一、实数的概念与分类。

1. 有理数与无理数。

- 有理数：整数和分数统称为有理数。

整数包括正整数、零、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。

例如，2，-3，(1)/(2)，0.25（有限小数，可化为(1)/(4)），0.3̇（无限循环小数，可化为(1)/(3)）都是有理数。

- 无理数：无限不循环小数叫做无理数。

常见的无理数有三类：一是开方开不尽的数，如√(2)，sqrt[3]{3}等；二是含有π的数，如π，2π等；三是有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。

2. 实数的分类。

- 按定义分类：实数可分为有理数和无理数。

有理数又可分为整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数就是无限不循环小数。

- 按正负性分类：实数可分为正实数（正有理数、正无理数）、零、负实数（负有理数、负无理数）。

二、平方根、算术平方根与立方根。

1. 平方根。

- 定义：如果一个数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个数x叫做a的平方根（或二次方根）。

例如，因为(±2)^2=4，所以±2是4的平方根。

- 表示方法：正数a的平方根记为±√(a)，读作“正负根号a”。

- 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

2. 算术平方根。

- 定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记为√(a)，0的算术平方根是0。

例如，4的算术平方根是√(4) = 2。

- 性质：算术平方根√(a)具有双重非负性，即a≥slant0且√(a)≥slant0。

3. 立方根。

- 定义：如果一个数x的立方等于a，即x^3=a，那么这个数x叫做a的立方根（或三次方根）。

例如，因为2^3=8，所以2是8的立方根。

- 表示方法：a的立方根记为sqrt[3]{a}。

- 性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

初二数学上册知识点汇总

数学知识提纲姓名初二上册初二数学（上册）知识点总结第一章勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理(直角三角形的判定条件）如果三角形的三边长a,b,c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角.3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类:（1)开方开不尽的数,如32,7等；(2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； (3）有特定结构的数，如0。

1010010001…等；（4)某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0,a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值.（｜a ｜≥0）.零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数,若|a|=a ，则a ≥0；若｜a ｜=—a,则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和—1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用. 5、估算三、平方根、算术平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a,那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

【精品】新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

b
（ 2）若 a＞ b，则 3 a 3 b或 a3 b3
（ 3）若 a、 b 都为正数，且 a＞ b 时，则 a2＞ b2
例：通过估算比较下列各组数的大小
比较两个数的大小：
方法一：估算法。如 3＜ 10 ＜ 4
3.14 C 、 27 9 3 D 、 5 3 2
（ 3） ( 3) 2 的算术平方根是
。（ 4）若 x
x 有意义，则 x 1 ___________。
（ 5）已知△ ABC的三边分别是 a, b,c, 且 a, b 满足 a 3 (b 4) 2 0 ，求 c 的取值范围。
（ 6）（提高题）如果 x、 y 分别是 4－ 3 的整数部分和小数部分。求 x － y 的值 .
（ 1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；
（ 2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为
1 的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（ 1）下列各数： ① 3.141 、② 0.33333 ,, 、③
5
7 、④π 、⑤
2.25 、⑥
2
、⑦ 0.3030003000003 ,,
平方根：
1. 定义：如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2
a ，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根；，我们称 x 是 a 的平方（也
叫二次方根），记做： x
a (a 0)
2. 性质：（ 1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；
（2） 0 只有一个平方根，它是 0 本身；（ 3）负数没有平方根
根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：
示为： a 。
例：（ 1）下列说法正确的是
（）

八年级上册数学第二章知识点

为⼤家整理的⼋年级上册数学第⼆章知识点的⽂章，供⼤家学习参考！更多最新信息请点击
⼀、实数的概念及分类
1、实数的分类
⼀是分类是：正数、负数、0；
另⼀种分类是：有理数、⽆理数
将两种分类进⾏组合：负有理数，负⽆理数，0，正有理数，正⽆理数
2、⽆理数：⽆限不循环⼩数叫做⽆理数。

在理解⽆理数时，要抓住“⽆限不循环”这⼀时之，归纳起来有四类：
（1）开⽅开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三⾓函数值，如sin60o等
⼆、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数时⼀对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成⽴。

2、绝对值
在数轴上，⼀个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本⾝，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0.
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成⽴。

倒数等于本⾝的数是1和-1.零没有倒数。

4、数轴
规定了原点、正⽅向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺⼀不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是⼀⼀对应的，并能灵活运⽤。

5、估算。

八年级数学上册知识点归纳第二章

八年级数学上册知识点归纳第二章八年级数学上册知识点归纳第二章1、实数的概念及分类①实数的分类②无理数无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：开方开不尽的数，如√7,3√2等；有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如π/?+8等；有特定结构的数，如0.1010010001…等;某些三角函数值，如sin60°等2、实数的倒数、相反数和绝对值①相反数②绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

|a|≥0。

0的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

③倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

0没有倒数。

④数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

⑤估算3、平方根、算数平方根和立方根①算术平方根一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，0的算术平方根是0。

②平方根一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

注意√a的双重非负性：√a≥0;a≥0③立方根一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作3√a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：-3√a=3√-a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

4、实数大小的比较①实数比较大小正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。

北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结

第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1.平方根的含义如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做 a 的平方根。

即 x2 a ，x叫做a的平方根。

2.平方根的性质与表示⑴表示：正数 a 的平方根用 a 表示， a 叫做正平方根，也称为算术平方根， a 叫做a的负平方根。

⑵一个正数有两个平方根： a （根指数2省略）0 有一个平方根，为0，记作0 0 ；负数没有平方根⑶ 平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数 a 的平方根的运算。

a2a a 020 ）a ==a a（aa a 0⑷ a 的双重非负性a0且a0（应用较广）例：x 4 4 x y 得知 x 4, y 0⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

区分： 4 的平方根为____4 的平方根为____4____完全平方类4＝2933.计算 a 的方法非完全平方类＝77精确到某位小数* 若a b 0 ，则a b（二）立方根和开立方1．立方根的定义如果一个数的立方等于 a ，呢么这个数叫做 a 的立方根，记作 3 a.2.立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。

正数的立方根是一个正数。

负数的立方根是一个负数。

０的立方根是０.3.开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。

333 a3a3a3 a （a取任何数）aa*０的平方根和立方根都是０本身。

（三）推广：n 次方根１.如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。

当n 为奇数时，这个数叫做 a 的奇次方根。

当n 为偶数时，这个数叫做 a 的偶次方根。

２. 正数的偶次方根有两个：n a ；０的偶次方根为０：n 0 0 ；负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。

０的奇次方根为０。

负数的奇次方根为负。

（四）实数1.实数：有理数和无理数统称为实数实数的分类：① 按属性分类：② 按符号分类2.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2的画法：画边长为 1 的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：①尺规可作的无理数，如2②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001⋯⋯思考：（ 1）－a2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？（ 2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？（3）15 的整数部分为a, 小数部分为 b，则 a=, b=。

初二数学上册知识点汇总

初二数学上册知识点汇总名师总结优秀知识点：初二数学（上册）知识点总结第一章勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a²+b²=c²。

2.勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件）：如果三角形的三边长a、b、c有关系a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角。

3.勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。

第二章实数一、实数的概念及分类1.实数的分类：正有理数有理数（包括零、有限小数和无限循环小数）负有理数正无理数无理数（无限不循环小数）负无理数2.无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：开方开不尽的数、有特定意义的数、有特定结构的数、某些三角函数值。

二、实数的倒数、相反数和绝对值1.相反数：实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称。

如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

2.绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值（|a|≥）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数。

若|a|=a，则a≥；若|a|=-a，则a≤。

3.倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数。

4.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5.估算三、平方根、算术平方根和立方根1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

特别地，2的算术平方根是√2.表示方法：记作“√a”，读作根号a。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

(完整版)北师大版八年级上册第二章实数知识点及题型总结,推荐文档

任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方
⑵一个正数有两个平方根： a （根指数 2 省略）
根是一个负数。０的立方根是０.
0 有一个平方根，为 0，记作 0 0 ；负数没有平方根
3. 开立方与立方
⑶平方与开平方互为逆运算
开立方：求一个数的立方根的运算。
开平方：求一个数 a 的平方根的运算。
2
③几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0.
二、题型解析
【例 5】若 3 2a 1 和 3 1 3b 互为相反数，求 a 的值。
b
题型一、有关概念的识别
建议收藏下载本文，以便随时学习！ .
【例 1】下面几个数：1.23 ，1.010010001…，
，3π，，，
其中，无理数的个数有（）
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙龙课反倒是龙卷风前一天
3
【变式 1】 y 2 x x 2 x2 5 ，求 y x 的平方根和算术平方根。
类型五、实数应用题
【例 10】有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm，宽为 8cm 的矩形，
建议收藏下载本文，以便随时学习！要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少。
⑥ 实数的绝对值都是非负实数.
()
2. 实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表
示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2 的画法：画边长为 1 的正方形的对角线
⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。
()
3. 实数大小比较的方法
一、平方法：比较 3 和 3 的大小 2
二、根号法：比较 2 3 和 3 2 的大小

八年级第二章实数知识点

八年级第二章实数知识点第一节正数和负数实数分为正数、负数和零。

当数比一定的基准数“大”或“小”时，它就成为正数或负数。

当两个正数相加时，和仍为正数；当两个负数相加时，和也为负数；当正数和负数相加时，当它们的绝对值相等时，和为0，即一个正数和与它相等的负数相加等于0。

正数、负数之间也可以进行减法和乘法运算，当一个数乘以正数时，积还是正数；当一个数乘以负数时，积为负数。

第二节绝对值绝对值是指一个实数到0的距离，即 $|a|$ 的等于 $a$ 或 $-a$ 中，距离0更近的那个数。

绝对值的计算公式如下：$|a|$ =$ \begin{cases}a , a\geq0\\ -a , a<0\end{cases}$第三节有理数和无理数所有小数，可以表示成有限小数或无限循环小数的数都是有理数，例如 $\frac{1}{2}$、 $0.75$和$-0.3$等。

无法表示成有限小数或无限循环小数的数称为无理数。

常见的无理数有 $\sqrt{2}$、$\pi$和$e$等，无理数可以用无限不循环小数表示。

第四节数轴和坐标数轴是一个直线，用于表示实数。

数轴的一个固定点称为原点$O$。

数轴上任取一个有向线段$AB$，称$A$为起点，$B$为终点。

坐标就是表示实数的一种方法。

在数轴上，从原点$O$到点$A$的有向线段上任取一个点$P$，则实数$a$表示点$P$到原点的距离。

若$a>0$，则点$P$在$O$的右侧；若$a<0$，则点$P$在$O$的左侧。

若$a=0$，则点$P$在原点O上。

第五节容斥原理容斥原理是一种常用的计数方法。

当要计算多个集合的并集时，容斥原理可以用来避免重复计算。

容斥原理的表述如下：设$A_1 , A_2, \cdots ,A_n$为$n$个集合，以及它们的并集为$S$，则有：$$ |A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n| =\sum\limits_{i=1}^{n}{|A_i|} -\sum\limits_{1 \leq i<j \leq n}{| A_i\cap A_j|} + \sum\limits_{1 \leq i<j<k \leq n}{|A_i \cap A_j \cap A_k|} - \cdots+(-1)^{n+1} |A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n| $$例如，三个集合$A,B,C$的并集$A\cup B \cup C$的元素个数为：$$ |A \cup B \cup C | = |A| + |B| + |C| - | A \cap B | - | A \cap C | - | B \cap C| + |A \cap B \cap C| $$以上就是八年级第二章实数知识点的内容，通过学习这些知识点，我们可以更好地理解和应用数学知识。

初二数学上册知识点汇总(最新版)

初二数学（上册）知识点总结知识提纲第一章勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理（直角三角形的判定条件）如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算三、平方根、算术平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

初二数学上册知识点汇总

数学知识提纲姓名初二上册初二数学（上册）知识点总结第一章勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理(直角三角形的判定条件）如果三角形的三边长a ，b,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数,称为勾股数.第二章实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数.在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数，如3π+8等； (3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值,如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值.(｜a|≥0)。

零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数，若|a|=a,则a ≥0;若|a ｜=-a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数,则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。

5、估算三、平方根、算术平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

第二章：实数【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2. 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。

如：2-π是无理数（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。

如2π,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。

（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。

特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。

（2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个例：（1）下列说法正确的是（）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±；（D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是。

八年级上册数学第二章实数知识点

八年级上册数学第二章实数知识点
数学八年级上册第二章实数知识点主要包括以下内容：
1. 实数的概念：实数是指有理数和无理数的统称，包括所有实数。

2. 有理数的概念：有理数包括整数和分数两类，可以用分数表示成两个整数的比，可以是正数、负数或零。

3. 无理数的概念：无理数是指无法表示为两个整数比的实数，如根号2、根号3等。

4. 实数的比较和排序：实数可以通过大小比较进行排序，可以使用相等、大于或小于等符号进行表示。

5. 实数的运算：实数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法和乘法满足交换律、结合律和分配律，减法和除法也有相应的规律。

6. 绝对值的概念和性质：绝对值是一个非负实数，表示一个数到原点的距离，用符号表示为|a|。

7. 实数的相反数和倒数：实数a的相反数是-b，满足a + (-a) = 0；实数a的倒数是1/a，满足a × (1/a) = 1。

8. 有理数的数轴表示和无理数的近似表示：有理数可以用数轴表示，数轴上有0和正负方向，无理数可以通过近似表示，取一定精度的有理数作为其近似值。

9. 实数的绝对值不等式：对于任意实数a，有|a| ≥ 0，且对于任意实数a和b，有|ab| = |a| × |b|。

10. 实数的乘方：实数的乘方运算定义为一个实数自乘若干次，例如a^n表示a自乘n次。

以上是八年级上册数学第二章实数的主要知识点，希望对你有帮助！。

八年级上册人教版数学第二章知识点归纳总结

八年级上册人教版数学第二章知识点归纳总结数学课本中介绍了大量的数学专题知识，尤其是应用题部分，是所有年级所有竞赛考试中必考的重点知识。

学生一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的基础。

下面是为大家整理的有关八年级上册数学第二章知识点，希望对你们有帮助!八年级上册数学第二章知识点1一、实数的概念及分类1、实数的分类一是分类是：正数、负数、0;另一种分类是：有理数、无理数将两种分类进行组合：负有理数，负无理数，0，正有理数，正无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：(1)开方开不尽的数，如等;(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等;(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等;(4)某些三角函数值，如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

(|a|≥0)。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0;若|a|=-a，则a≤0.3、倒数如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

八年级上册数学第二章知识点2一、定义1、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

我们也说这个图形关于这条直线[成轴]对称。

2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。

八年级数学上册第2章实数2平方根第2课时平方根新版北师大版

20
20. 实践与探究.
(1)计算：＝
(−) ＝
＝
1
2
； . ＝
3
0.5

−
＝

6 ；
；
⁠
；
0 .
⁠
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
(2)根据(1)中的计算结果，回答下列问题：
① 一定等于 a 吗？为什么？你发现其中的规律了吗？
请用பைடு நூலகம்己的语言描述出来.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
.
⁠
15
16
17
18
19
20
10. 【 2024延安期中新视角·程序框图题】按照如图所示的
－2或－8
程序框图，若输出 y ＝6，则输入 x 的值为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
.
⁠
11. 【新考法方程建模法】在半径为9 cm的圆形黏土片上裁

＝± .

解： ±
1
( . )2＝0.000 4.
4
5
6
7
8
－ (−.) ＝－0.1.
9
10

初二上册数学知识点总结：第二章实数