电工基础教案——第九章相量法

第九章 相量法

第一节 复数的概念

一、虚数单位

参见图9-1给出的直角坐标系复数平面。在这个

复数平面上定义虚数单位为

1j -=

即

j 2 = -1，j 3 = - j ，j 4 = 1

虚数单位j 又叫做90︒旋转因子。

二、复数的表达式

一个复数Z 有以下四种表达式。

1．直角坐标式(代数式)

序号 内 容 学 时

1 第一节 复数的概念 1

2 第二节 复数的四则运算 1

3 第三节 正弦量的复数表示法 1

4 第四节 复数形式的欧姆定律 2

5 第五节 复阻抗的连接 2

6 本章小结与习题 1

7 本章总学时 8

图9-1 在复平面上表示复数

1．了解复数的各种表达式和相互转换关系，掌握复数的四则运算。

2．掌握正弦量的复数表示法，以及复数(相量)形式的

欧姆定律。

3．掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流

电路。 1．掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转

换。

2．掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。

Z = a + j b

式中，a 叫做复数Z 的实部，b 叫做复数Z 的虚部。

在直角坐标系中，以横坐标为实数轴，纵坐标为虚数轴，这样构成的平面叫做复平面。任意一个复数都可以在复平面上表示出来。例如复数A = 3 + j2在复平面上的表示如图9-1所示。

2．三角函数式

在图9-1中，复数Z 与x 轴的夹角为 θ，因此可以写成

Z = a + j b = |Z |(cos θ + jsin θ)

式中|Z |叫做复数Z 的模，又称为Z 的绝对值，也可用r 表示，即 22|Z | b a r +==

θ 叫作复数Z 的辐角，从图9-1中可以看出

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<+π-><-π>=)0 0( arctan )0 0( arctan )0( arctan b a a b b a a b a a b ，，θ 复数Z 的实部a 、虚部b 与模|Z |构成一个直角三角形。

3．指数式

利用欧拉公式，可以把三角函数式的复数改写成指数式，即

Z =|Z |(cos θ + jsin θ) =|Z |e j θ

4．极坐标式(相量式)

复数的指数式还可以改写成极坐标式，即

Z =|Z |/θ

以上这四种表达式是可以相互转换的，即可以从任一个式子导出其它三种式子。

解：利用关系式Z = a + j b =|Z |/θ ，|Z |=22b a +，θ = arctan a

b ，计算如下： (1) Z 1= 2 = 2/0︒

(2) Z 2 = j5 = 5/90︒ (j 代表90︒旋转因子，即将“5”作反时针旋转90︒)

(3) Z 3 = - j9 = 9/-90︒ (－j 代表－90︒旋转因子，即将“9”作顺时针旋转90︒)

(4) Z 4= -10 = 10/180︒或10/-180︒ (“-”号代表 ±180︒)

(5) Z 5 = 3 + j4 = 5/53.1︒

(6) Z 6 = 8 - j6 = 10/-36.9︒

(7) Z 7 = - 6 + j8 = - (6 - j8) = -(10/- 53.1︒) = 10/180︒- 53.1︒ = 10/126.9︒

(8) Z 8 = - 8 - j6 = - (8 + j6) = - (10/36.9︒) = 10/-180︒ + 36.9︒ = 10/-143.1︒。 【例9-1】将下列复数改写成极坐标式：

(1) Z 1 = 2；(2) Z 2 = j5；(3) Z 3 = -j9；(4) Z 4 = -10；(5) Z 5 =

3 + j4；(6) Z 6 = 8 - j6；(7) Z 7 = - 6 + j8；(8) Z 8 = - 8 - j6。

解：利用关系式Z = |Z |/θ =|Z |(cos θ + jsin θ) = a + j b 计算：

(1) Z 1= 20/53.1︒ = 20(cos53.1︒ + jsin53.1︒) = 20(0.6 + j0.8) = 12 + j16

(2) Z 2 = 10/-36.9︒ = 10(cos36.9︒ - jsin36.9︒) = 10(0.8 -j0.6) = 8 - j6

(3) Z 3 = 50/120︒ = 50(cos120︒ + jsin120︒) = 50(- 0.5 + j0.866) = - 25 + j43.3

(4) Z 4 = 8/- 120︒ = 8(cos120︒ - jsin120︒) = 8(- 0.5 - j0.866) = - 4 - j6.928

第二节 复数的四则运算

设Z 1= a + j b =|Z 1|/α ，Z 2 = c + j d = |Z 2|/β ，复数的运算规则为

1．加减法 Z 1 ± Z 2 = (a ± c ) + j(b ± d )

2．乘法 Z 1 · Z 2 = |Z 1| · |Z 2|/α + β

3．除法 2121Z Z Z Z =/α - β

4．乘方 n n Z Z 11=/n α

解：(1) Z 1 + Z 2 = (8 - j6) + (3 + j4) = 11 - j2 = 11.18/-10.3︒

(2) Z 1 - Z 2 = (8 - j6) - (3 + j4) = 5 - j10 = 11.18/- 63.4︒

(3) Z 1 · Z 2 = (10/- 36.9︒) ⨯ (5/53.1︒) = 50/16.2︒

(4) Z 1 / Z 2 = (10/- 36.9︒) ÷ (5/53.1︒) = 2/- 90︒

第三节 正弦量的复数表示法

正弦量可以用复数表示，即可用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。其表示方法是用正弦量的有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。

正弦电流i = I m sin(ω t + ϕi )的相量表达式为

==i I I ϕj m e 2

I /ϕi 正弦电压u = U m sin(ω t + ϕu )的相量表达式为

i U U ϕj m e 2

= = U /ϕu

【例9-2】将下列复数改写成代数式(直角坐标式)： (1) Z 1= 20/53.1︒；(2) Z 2 = 10/- 36.9︒；(3) Z 3 = 50/120︒；(4) Z 4 = 8/- 120︒。 【例9-3】已知 Z 1= 8 - j6， Z 2 = 3 + j4。试求：(1) Z 1 + Z 2；(2) Z 1 - Z 2；(3) Z 1 · Z 2；(4) Z 1 / Z 2。