九年级数学辅导： 三角函数的综合计算

三角函数的综合计算

【典型例题】

例1．如图，在直角△ABC 中，AB 是斜边，点P 在中线CD 上，AC=3cm, BC=4cm.设点P 、C 的距离为xcm ，△APB 的面积为2

ycm .那么，

x y 与的函数关系式是 ，x 的取值范围是 .

例2．如图，AB 、CD 是两根竖立的电线杆，A 、C 距离地面的高度分别 是AB=6米，CD=9米，在A 、C 处分别用钢萦将这两根电线杆固定， 则钢索AD 与BC 的交点

M 距离地面的高度MH= 米.

例3．在Rt △ABC 中，n n B A C 那么,5

4

sin ,51cos ,90-==︒=∠

的值是 .

例4．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 逆时针旋转后能与△ACD ′重合，那么D AD '∠cos = .

例5．将一副三角尺如图13，摆放在一起，连结AD ， 试求∠ADB 的余切值。

例6．在△ABD 中，︒=∠90C ，斜边AB=10，直角边AC 、BC 的长是 关于x 的方程06m 3mx x 2

=++-的两个实数根. （1）求m 的值；

（2）计算B A B A sin sin sin sin ⋅++.

课堂练习

（1）如图8是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的 倾斜角为45o ，为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度， 使新坡面的倾斜为30o ，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角 10

1.732≈≈）

2．设直线()011=-++y k kx （k 为正整数）与坐标轴所构成的直角三角形面 积为20012000321),2001,,3,2,1(S S S S S k S k +++++=ΛΛ则= .

【备注】

A

C B

D

D

C

A B

图13

图8

大家一起行动起来：（时间为30分钟）

（1）．在ABC Rt ∆中，∠=∠Rt C ，且=

A cos 3

2

，那么=A sin ；在∆ABC 中，AB=AC=3，BC=2，则6cos B 等于

（2）．已知∠A 为锐角，且sin A 是24830x x -+=方程的一个根，

则sin A 的值为______________。

（3）在△ABC 中，∠C=90°，若∠B=2∠A ，则cot B 等于（ ）

A

C

．12

（4）tan1tan 2o o ……tan88tan89o o

的值为（ ）

A ．44

B ．45

C ．45．5

D ．1

（5）如图3，BC ⊥AC ，设,,,AD a BD b A a B β==∠=∠=，用含a 、b 、

α、β的代数式表示AC 的是（ ）

A ．sin cos a b αβ+

B ．cos sin a b αβ+

C ．cos cos a b αβ+

D ．sin sin a b αβ+

（6）如图4，在等腰三角形ABC 中，90o C ∠=，AC=6， D 为AC 上一点，1tan 5

DBA ∠=，那么AD 的长为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D

．

（7）如图5，在四边形ABCD 中，60,o ABC A ∠=∠和∠

C

都是90o ，AD=11，CD=2，则对角线BD 的长为（ ）。

A ．13

B ．

C ．14

D ．

（8）如图6

，天空中有一个静止的广告汽球C ，从地 面A 测得C 的仰角为45°，从地面B 点测得点C 的仰角 为60o ，已知AB=20m ，则气球与地面之间的距离为_____。

（9）如图9，一个小球由地面沿着坡度1:i =此时小球距离地面的高度为（ ）。 A ．5m B ． C ．D ．

10

3

m （10）．在Rt △ABC 中，90o

C ∠=，2

6,sin 3

AC B ==，那么AB 的长是（ ）。

【备注】

A

α

β

D

C

B 图3 A D C

图4 B

图5

A

D

B

C

A B C

图6

图9

A ．4

B ．9

C ．3

D ．2 （11）．如图10，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点

E 反射后照射 到B 点，若入射角α （入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足 分别为C 、D ，且11,6,3===CD BD AC ，则tan

A ．11

3

B ．311

C ．911

D ．11

9

（12）．如图11，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后， 点D 落在CB 的延长线上的D '处，那么tan BAD '∠等于（ ）。

A ．1

B

C

D ．

13．如图12，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直 距离MA 为a 米，此时梯子的倾斜角为75o ，若梯子底端距离地面的垂直距离 NB 为b 米，梯子的倾斜角为45o ，则这间房子的宽AB 一定是（ ）。 A ．

2

a b

+米 B ．2a b -米

C ．a 米

D ．b 米

14（1）(tan 60cos30)o o o +

（2）4cos60sin 45o

o

⋅

图10

图11

图12 A

M

B

75o 45o

N

【备注】