证明极限的几种方法.

证 明 极 限 的 几 种 方 法

丹东十中 于君伟

极限证明的方法有许多种，包括：极限定义、极限的性质、迫敛定理、单调有界准则、两个重要极限、洛必塔法则、泰勒公式、无穷小量、定积分定义、不动点原理、导数定义、积分中值定理、区间套定理、逆推关系及斯锋兹定理等。既然证明极限有如此多的方法，那么，我们是否对每个方法都理解得透彻呢？本文针对这一 点，列举了四种极限证明的方法：1.利用极限定义；2.利用夹逼定理；3.利用洛必塔法则；4.利用定积分定义。 一、利用极限的定义：

下面是数列与函数极限定义的对照表

记号 任给 当自变量变到 有关系式 结论

n n x Lim ∞

→= a ε>0 n > N ε<-a x n 当n ∞→时，{x n }的极限为a

)(0

x f Lim x x →= A ε>0 0<0x x -<δ A x f -)(<ε 当x 0x →时，f(x)以A 为极限

)(x f Lim x ∞→= A ε>0 x >N A x f -)(<ε 当x ∞→时，f(x)以A 为极限

)(x f Lim x +∞

→= A ε>0 x >N A x f -)(<ε 当x +∞→时，f(x)以A 为极限

)(x f Lim x -∞

→= A ε>0 x <-N A x f -)(<ε 当x -∞→时，f(x)以A 为极限

根据极限定义，我们可以知道无论是“N -ε”定义,还是“δε-”定义，对于ε都有任意性，它强调n a 或f(x)超过极限A 的程度，但N 与δ则强调的是存在性，只需找到即可，也就是能够找到某N （ε）[或δ（ε）]，当n>N(ε)[或<0)(0εδ<-x x ]时，满足a x n -<ε[或A x f -)(<ε]即可。那么，我们通常可以把证明某个极限问题归结为三类：〈1〉直接法；〈2〉解析法；〈3〉定量法。

〈1〉直接法：在证明过程中除最后下结论外，中间不允许出现不等式

ε<-A x f )([或a x n -<ε]。

例1.用“δε-”定义证明：13912

3

1+--

→x x Lim x =2 分析：关系式)3

1

(3)(--=-x A x f 比较简单，可以采用直接法。

〈证〉：A x f -)(=

21

3912

-+-x x

=13+x =)3

1(3--x 对0>∀ε,取3ε

δ=

则当0<)3

1(--x <δ时，有不等式

ε<-+-21

3912

x x 成立。

所以， 13912

3

1+--

→x x Lim x =2 〈2〉分析法：先假定ε<-A x f )( [或a x n -ε<]成立，然后通过解不等式找到

δ[或N 或X]。 例2.用“N -ε”定义证明：04

2=-∞

→n n

Lim

n 分析：直接从不等式ε<-=

-4

2

n n

a x n ,找到N 显然比较麻烦，因此，采用解析法时，应先对 4

2-=-n n

a x n 适当放大。

〈证〉： 1

1

4042

22-=-<-=--=

-n n n n n n n n a x n （n>3时） 对0>∀ε,要使ε<-a x n ，只要

ε<-11n 或 11

+>ε

n 取正整数N ≥11

+ε

（为保证放大后的关系式成立，不妨设N ≥3），则

n>N 时，有不等式ε<--04

2

n n

成立。 所以，04

2

=-∞

→n n

Lim

n 注意：1）.解析法的书写格式中“要使”、“只要”、“即”等字句不能省略。 2）.对a x n -只能放大，不能省略。

〈3〉定量法：在比较复杂的关系式不易放大时，可先设00ε<-x x [或n>N 0,

这里0ε与N 0为常数]，然后再放大，找到δ'（或N '），取δ=min{0ε,δ'}[或N=max{N N ',0}]。

例3.用“δε-”定义证明：3

4

122=+→x x Lim

x 分析：关系式2)

1(32

3)(-⋅++=

-x x x A x f 比较复杂，

需要先适当放大，变成2-x a 的形式，其中a 是常数。由于极限问题是在20=x 的邻域内考虑，不妨设

12<-x （也可以设2

1

2<

-x 等），利用不等式，便能放大A x f -)(。 〈证〉：3

4

1)(2-+=-x x A x f

=

2)

1(32

3-⋅++x x x 因为2→x ,不妨设12<-x ，即1

22)

1(32

32)1(323-<-++=-⋅++x x x x x x x 对0>∀ε，要使ε<-A x f )(,

只要ε<-2x ,取},1min{εδ=

则当δ<-<20x 时，不等式ε<-+3

4

12x x 成立。

因此，3

4

122=+→x x Lim

x 注意：1）只取εδ=，这样的δ不一定满足12<-x 这个前提。例如：取2=ε，

从220<-

2）定量法可以看作是解析法的延伸。

二．利用夹逼定理

夹逼定理：若数列{x n },{y n },{z n }