(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明

正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
主要考查有关定理的应用、三角包等变换的能力、运算能力及转化的数学思想.解三角形常常作为解题工具用丁立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现.
1.正弦定理
(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.其中R是三角形外接圆的半径.
(2)正弦定理的其他形式：
① a = 2RsinA , b =, c
sinO；
③ a : b ： c= _______________________________
2.余弦定理
(1)余弦定理：三角形中任何一边的平■方等
——王彦文宵铜峡一中
丁其他两边的平■方的和减去这两边与它们的火角的余弦的积的两倍.即
a2=, b2=,
c?=.
若令C= 90°, WJ c2=,即为勾股定理.
(2)余弦定理的变形：cosA =, cosB=, cosC^.
若C为锐角，则cosC>0,即a2 + b2 ; 若C为钝角，贝U cosC<0,即a2+ b2.故由a2+ b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角.
(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角,余弦定理亦可以写成sin2A= sin2B+ sin2C—2sinBsinCcosA，类似地，sin2B= ________________ ; sin2C= _________ _S 意式中隐含条件A+ B+ C= TT .
3.解斜三角形的类型
(1)已知三角形的任意两个角与一边，用
理.只有一解.
(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对
角，用定理，可能有
L如在△ ABC中，已知a, b和A时，解的情况如表：
②sin A=2R' sinB=
A为锐角
A为钝角或
直角
图
形
关
系
式
a= bsinA bsinA<a< b a为a>b
解
的
个
数
①②③④
(3)已知三边，用理.有解时，只有一解.
(4)已知两边及火角，用理, 必有一解.
4.三角形中的常用公式或变式
⑴三角形面积公式& =
:其中R, r分别为三角形外接圆、内切圆半径.
(2)A+ B+ C=兀，WJ A=,
A
5 = , 从而sinA = tanAtanBtanC (3)a+ c sinA+ sinC
cosA = , tanA =
<
(3)互化sin2C+ sin2A—2sinCsinAcosB sin2A+
sin2B— 2sinAsinBcosC
3. (1)正弦(2)正弦一解、两解或无解
①一解②二解③一解④一解
⑶余弦⑷余弦
1 1 1 abc 1
4. (1)2absinC 2bcsinA 2acsinB 4R 2 (a+ b+ c)r
在△ ABC中，A>B 是sinA>sinB 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件.故选C.
兀B+ C (2)代(B+ Q 2— F
sin(B+ C) — cos(B+ C)
2 (1)b* 1 2+ c2— 2bccosA c2 + a2— 2cacosB a2 + b2—2abcosC a2 + b2
b2+ c2—a2c2+ a2—b2a2+ b2—c2(2)2bc2ca2ab
—tan(B+ C) co岩
si
号«C tan 2
在△ ABC中，已知b= 6, c= 10, B= 30°,则解此三角形的结果有（）
A.无解
B. 一解
C.两解
D. 一解或两解
解：由正弦定理知sinC=半=5, 乂由
b 6
c>b>csinB知，C有两解.也可依已知条件，画
出△ ABC,由图知有两解.故选 C.
（2012陕西）在^ABC中，角A, B, C所对的边…一…Tt i—一，
分力U为a, b, c.右a= 2, B= c= 2寸3,贝U b =.
解：由余弦定理知b2= a2 + c2—2accoSB=
22 + （2^3）2— 2X 2X^/3X c%= 4, b= 2.故填2.
（2013陕西）®AABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcosC+ ccosB= asinA,则^ABC 的形状为（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
解：由已知和正弦定理可得sinBcosC+ sinCcosB= sinA sinA,即sin（B+ Q= sinAsinA, 亦即sinA= sinAsinA.因为0<A<TT,所以sinA= 1, 所以A=2.所以三角形为直角三角形.故选B.
在^ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若 a =
寸2, b=2, sinB+ cosB=寸2,则角 A
解：sinB+ cosB= ^2,
,•寸2sin B+4 =寸2,即sin B+4 = 1.
_____ __ _兀兀_兀
乂.. B€ （0,冗）... B+； = ；, B=~.
4 2 4
a b asinB
sinA= b
根据正弦正理、皿=sinB，可侍
1
2'
. a<b, . . Av B... A=g.故填&
类型一正弦定理的应用
△ ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知A— C= 90 , a+ c=寸2b,求C.
解：由a+ c=寸2b及正弦定理可得sinA+
sinO 2sinB
乂由丁A— C= 90 , B= 180 — (A+C),故cosC + sinC = sinA + sinC=戒sin(A + Q =戒sin(90 + 2Q =匝sin2(45 + Q.
,•哀sin(45 + C) = 2 戒sin(45 + C)cos(45 + C),
* 一1
即cos(45 + C) = 2.
乂 .。

玄Cv 90°, ... 45 + C= 60°, C= 15°.
【评析】利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键.
(2012江西)在左ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知A= bsin 奇 + C — csin ；+ B =a.
r、一 _ 一兀
(1)求证：B—C= 2；
⑵若a= 艘，求^ABC的面积.
-一、一—，
兀.一兀._ 解：(1)证明：对bsin 4+ C — csin^+ B =
、一__ ______ 兀- 一一一兀 _ a应用正弦正理得sinBsin 4 + C — sinCsin 4 + B
=sinA,
即sinB 乎sinC+ 乎cosC 一sinC乎sinB+^cosB = g2,整理得sinBcosC- sinCcosB= 1,即sin(B— C) = 1.
t - —一3^ _ _ Tt
由丁B, CC 0, 4 , B—C=-.
一- 3兀
(2)L B+ C= ■— A=才，乂由(1)知B- C=
项
2，
B= 8，O 8.
a=<2,A=艾，由正弦定理知b=asjnB ，
4 sinA
5^ asinC 项
=2sin8 'c= sinA = 2sin8.
Sz\ABb 2bcsinA= ：x 2s釐x 2si#><2 w_：_5兀-兀 k ____ 兀-兀\12 .兀1 = [sin^sq = 2co专sm§=云sin.=].
类型二余弦定理的应用
在^ABC中，a, b, c分别是角A, B, C
⑴求B的大小；
⑵若b= 辰,a+ c= 4,求△ ABC的面积.
•. . 、、 . a2 + c2-b2
解：（1）由余弦定理知，cosB=—舔一,
2ac
cosB b /口—=—--------- 得
cosC 2a+ c
a2 + c2-b22ab b
•- - -=—
2ac a2 + b2— c2 2a+ c
整理得a2 + c2— b2= —ac.
_ a2 + c2— b2— ac 1
.• cosB= 2ac = 20c = —2.
2
-B为二角形的内角，--B= 3 TT .
2
⑵将b =而，a+ c= 4, B=a兀代入b2=
3
2
a2+ c? — 2accosB，得13= 42— 2ac— 2acco我兀,
3 解得ac= 3.
1 . 3,3
. . Sz\ABb 2acsinB= 4 .
【评析】①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.
若^ABC的内角A, B, C所对的边a, b, c满足(a+
b)2— c2= 4,且C= 60°,则ab 的值为( )
B.8- 4,3
C. 1
解：由余弦定理得c2= a2+ b2— 2abcosC=
a2 + b2— ab,代入(a+ b)2— c2= 4 中得(a+ b)2—
4
(a + b? — ab) = 4,即3ab= 4, •,-ab = 3.故选A.
类型三正、余弦定理的综合应用
（2013全国新课标n ）△ ABC的内角A、B、C的对边分别为a, b, c,已知a= bcosC+ csinB.
⑴求B;
⑵若b= 2,求^ABC面积的最大值.
解：（1）由已知及正弦定理得sinA= sinBcosC + sinCsinB.①
乂A=兀一（B+ Q,故
sinA= sin（B+ Q = sinBcosC+ cosBsinC.②
由①,②和CC （0,兀得sinB= cosB.
. 一一.、. it
乂B€ （0,兀）所以B=~.
1 2
（2）AABC的面积S=ZacsinB= ac.
由已知及余弦定理得4= a2 + c2-2acco等
一 c c - 4
乂a2 + c2>ac,故ac 一寸2,
的对边，且cosB b cosCT 2a + c.
cosC= a2+ b2一苗
2ab
，将上式代入
当且仅当a = c时，等号成立.
因此△ ABC面积的最大值为寸2+ 1.
【评析】（1）化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；⑵已知
边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值.
试判断三角形ABC的形状.
解法一：由正弦定理，得
tanA sin2A
tanB sin2B，
sinAcosB sin2A 口口
所以诙未=sn§，即
所以2A= 2B,或2A+ 2B=
兀，因此A= B
Tt . . —. 一_______ _ 一一，…一
或A+ B=2,从而△ ABC是等腰二角形成直角
三角形.
a2sin2A 解法二：由正弦正理，得snB，所以
tanA sin2A cosB sinA +工十人鼻
肺=snB，所以诙=繇，再由正、余弦正
a2+ c2— b2
2ac
理，侍h2i p2^2 E，化间侍
(a—b)(^ —a b 十c — a b
2bc
(2013山东)®AABC的内角A, B, C所对的边
分别为a, b, c,且 a + c= 6, b= 2, cosB=~.
9
(1)求a, c的值；
⑵求sin(A— B)的值.
解：(1)由余弦定理b2 = a2+ c2 — 2accosB,
得b2= (a+ c)2— 2ac(1 + cosB), 乂a+ c= 6, b = 2,
cosB=g,所以ac= 9,解得a = 3, c= 3.
9
—b2）= 0,即a2= b2或c2= a2+ b2.
从而△ ABC是等腰三角形或直角三角形.
【评析】由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该包等式的边都化为角，然后进行三角函数式的包等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数包等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握.
(2)在左ABC中，sinB=寸1 — cos2B=半,
9
asinB 2.2
由正弦正理得
sinA= -V = 3 -
因为a= c,所以A为锐角，
所以cosA= . 1 — sin2A=耳 3
因此sin(A — B) = sinAcosB — cosAsinB =
10 .：2
27 -
a2sin2A
snB sin2A= sin2B.
类型四判断三角形的形状
在三角形ABC中，若tanA ： tanB= a2 : b2, （2012 上海^^ABC中，若sin2A+ sin2B<sin2C,
则^ ABC的形状是（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.
解：在^ABC 中，.• sin 2 3A+ sin 2B<sin 2C,
<0,即ZC 为钝角，△ ABC 为钝角三角形.故 选C
类型五解三角形应用举例
某港口。

要将一件重要物品用小艇送到 一艘正
在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船 位丁港口 O 北偏西30°且与该港口相距 20 n mile 的A 处，并以30 n mile/h 的航行速度沿正 东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过t h 与轮船相 遇.
(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小，贝U 小艇航行速度的大小应为多少
(2) 假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，试设计航行方案(即确定航行方向和航 行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船 相遇，并说明理由.
解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为Sn mile,贝U
S
=
寸900t 2+ 400— 2 30t 20 cos (90°— 30°)
\/900t 2-600t + 400
600 400 …
• •0<v< 30 900- —+< 900 3 …
解得t 胃.乂 t = |时，v= 30.故v= 30时，t _____ ____ ______ ..... ___ 2 取得取小值，且取小值等丁 ~.
3
此时，在^OAB 中，有 OA= OB= AB= 20, 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东 30°,航行速度为30 n mile/h ,小艇能以最短时 间与轮船相遇.
解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小， 乂轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向 为正北方向.
遇时小艇的航行距离最小.
(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则
v 2t 2 = 400+ 900t 2- 2 20 30t cos(90 - 30°), 皿 2
600 400
故 v 2= 900-f + ~T.
设小艇与轮船在C 处相遇.
在 R^AOAC 中，OA 20cos30 = 1球，AC = 20sin30 = 10.
乂 AC= 30t, OO vt,
…1 2 E
A/900 t — 3 + 300,
故当t = 1■时，S min = 10寸3，此时v=捋3=
由正弦定理知
a 2 +
b 2<
c 2. . . cosC =
a 2+
b 2—
c 2
2ab
此时，轮船航行时间t=芸=3, v=拜
3=
3
30 3.
即小艇以30寸3 n mile/h 的速度航行，相 遇时小艇的航行距离最小.
(2)假设v= 30时，小艇能以最短时间与轮 船在D 处相遇，此时 AD= D0= 30t.
乂 Z OAD= 60°,所以 AD= D0= 0A= 20, 解得t= 2.
3
据此可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°,航行速度的大小为30 n mile/h 这样，小艇能以最短时间与轮船相遇.
证明如下：
如图，由(1)得00 10寸3, AO 10, 10+ 10x/3tan 。

1邮
30
— vcosT
乂 v<30 故 sin(0+ 30 )专,从而， 300 徊
90°.
由丁 0= 30时，tan 0取得最小值，且最小
3 值为~r.
3
十 I
j 10+ 1ftan 览
丁是，少0= 30时，t = m 取
30
_
…
—2
得最小值，且最小值为2.
【评析】①这是一道有关解三角形的实际 应用
题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数 学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中 的数量关系，然后利用正、余弦定理求解. ② 解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应 用.在物理学中，有关向量的计算也要用到解 三角形的方法.近年的高考中我们发现以解三 角形为背景的应用题开始成为热点问题之 一.③不管是什么类型的三角应用问题，解决 的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙 述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其 归结为届丁哪类可解的三角形. ④本题用几
何方法求解也较简便.
故OC>AC,且对丁线段AC 上任意点P,有 0P200AC. 而小艇的最高航行速度只能达到
30 n
mile/h ，故小艇与轮船不可能在 A, C 之间(包 含C)的任意位置相遇.
设Z COE> 0(0 < *90°),则在 RtACOD 中，
由丁从出发到相遇，轮船与小艇所需要的
10 10《3tan 10 '3 叱 时间分别为t=―30—和t=焉)，所
由此可得, 15 3
v=
C
sin ( 9+ 30 )
CA 10>/3tanO, OD=
10用 cos(T
(2012武汉5月模拟)如图，渔船甲位丁岛屿A 的 南偏西600方向的B 处，且与岛屿A 相距12海 里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出 发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发 沿北偏东a 的方向追赶渔船乙，刚好用2小时 追上.
1. 已知两边及其中一边的对角解三角形 时，要注意解的情况，谨防漏解.
2. 在判断三角形的形状时，一般将已知条 件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化 为角角关系(注意应用A+ B+ C=兀这个结论) 或边边关系，再用三角变换或代数式的包等变
形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的 公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则有 可能漏掉一种形状.
3. 要熟记一些常见结论，如三内角成等差 数列，则必有一角为60°;若三内角的正弦值成 等差数歹0,则三边也成等差数歹U ；内角和定理 与诱导公式结合产生的结论：sinA= sin(B+ Q,
A
B+ C
cosA= — cos(B+ C), sin] = cos ? , sin2A=一 sin2(B+ Q, cos2A= cos2(B+ Q 等.
4. 应用正、余弦定理解斜三角形应用题的 一般步骤：
(1) 分析：理解题意，分活已知与未知， 画出示意图；
(2) 建模：根据已知条件与求解目标，把已 知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立 一个解斜三角形的模型；
(3) 求解：利用正、余弦定理有序地解出三 角形，求得数学模型的解；
(4) 检验：检验上述所求得的解是否符合实 际意义，从而得出实际问题的解. 5.
正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理， 它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使 三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量 (如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了 理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形
(1)求渔船甲的速度； ⑵求sin a 的值.
解：(1)依题意，/ BAO 120°, AB= 12, AC= 10XM 20,在^ABC 中，由余弦定理知 BC 2 =AB 2 + AC 2 — 2AB AC cosZ BAO 122 + 202 一 2X 12 X 20X cos12784, BO 28.
28
所以渔船甲的速度为 v= y = 14(海里/小 时).
(2)在左ABC 中，AB= 12, Z BAA 120°, BA 28,
/BC/^ a,由正弦定理得 甚 =sinZ BAC
5 12 28 … . 12sin120 0
览
即云=s^2^，。

从而
sin ,= 28 = 14 .
中有关等式的重要依据.主要方法有：化角法, 化边
法，面积法，运用初等几何法.注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.
. A …A
sin,=? cos2 =
A 一- tan]= + tanB+ tanC=.
(3)若三角形三边a, b, c成等差数列，则
B 2b =2sirB =2sir, =cos A y C2cos A|^= cosAyCtanAtan^^ !
2 2 2 2 2 3
【自查自纠】
1. (I^-? = 2R
sinA sinB sinC
b c
⑵①2RsinB 2RsinC ② 2R 2R
③sin A : sinB ： sinC
3
30 3.
即小艇以30V3 n mile/h的速度航行，相。