(经典)正弦定理、余弦定理知识点总结及最全证明

正弦定理、余弦定理知识点总结及证明方法

1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.

2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

主要考查有关定理的应用、三角包等变换的能力、运算能力及转化的数学思想.解三角形常常作为解题工具用丁立体几何中的计算或证明，或与三角函数联系在一起求距离、高度以及角度等问题，且多以应用题的形式出现.

1.正弦定理

(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即.其中R是三角形外接圆的半径.

(2)正弦定理的其他形式：

① a = 2RsinA , b =, c

sinO；

③ a : b ： c= _______________________________

2.余弦定理

(1)余弦定理：三角形中任何一边的平■方等

——王彦文宵铜峡一中

丁其他两边的平■方的和减去这两边与它们的火角的余弦的积的两倍.即

a2=, b2=,

c?=.

若令C= 90°, WJ c2=,即为勾股定理.

(2)余弦定理的变形：cosA =, cosB=, cosC^.

若C为锐角，则cosC>0,即a2 + b2 ; 若C为钝角，贝U cosC<0,即a2+ b2.故由a2+ b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角.

(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角,余弦定理亦可以写成sin2A= sin2B+ sin2C—2sinBsinCcosA，类似地，sin2B= ________________ ; sin2C= _________ _S 意式中隐含条件A+ B+ C= TT .

3.解斜三角形的类型

(1)已知三角形的任意两个角与一边，用

理.只有一解.

(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对

角，用定理，可能有

L如在△ ABC中，已知a, b和A时，解的情况如表：

②sin A=2R' sinB=

A为锐角

A为钝角或

直角

图

形

关

系

式

a= bsinA bsinAb

解

的

个

数

①②③④

(3)已知三边，用理.有解时，只有一解.

(4)已知两边及火角，用理, 必有一解.

4.三角形中的常用公式或变式

⑴三角形面积公式& =

:其中R, r分别为三角形外接圆、内切圆半径.

(2)A+ B+ C=兀，WJ A=,

A

5 = , 从而sinA = tanAtanBtanC (3)a+ c sinA+ sinC

cosA = , tanA =

<

(3)互化sin2C+ sin2A—2sinCsinAcosB sin2A+

sin2B— 2sinAsinBcosC

3. (1)正弦(2)正弦一解、两解或无解

①一解②二解③一解④一解

⑶余弦⑷余弦

1 1 1 abc 1

4. (1)2absinC 2bcsinA 2acsinB 4R 2 (a+ b+ c)r

在△ ABC中，A>B 是sinA>sinB 的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件.故选C.

兀B+ C (2)代(B+ Q 2— F

sin(B+ C) — cos(B+ C)

2 (1)b* 1 2+ c2— 2bccosA c2 + a2— 2cacosB a2 + b2—2abcosC a2 + b2

b2+ c2—a2c2+ a2—b2a2+ b2—c2(2)2bc2ca2ab

—tan(B+ C) co岩

si

号«C tan 2

在△ ABC中，已知b= 6, c= 10, B= 30°,则解此三角形的结果有（）

A.无解

B. 一解

C.两解

D. 一解或两解

解：由正弦定理知sinC=半=5, 乂由

b 6

c>b>csinB知，C有两解.也可依已知条件，画

出△ ABC,由图知有两解.故选 C.

（2012陕西）在^ABC中，角A, B, C所对的边…一…Tt i—一，

分力U为a, b, c.右a= 2, B= c= 2寸3,贝U b =.

解：由余弦定理知b2= a2 + c2—2accoSB=

22 + （2^3）2— 2X 2X^/3X c%= 4, b= 2.故填2.

（2013陕西）®AABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若bcosC+ ccosB= asinA,则^ABC 的形状为（）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不确定

解：由已知和正弦定理可得sinBcosC+ sinCcosB= sinA sinA,即sin（B+ Q= sinAsinA, 亦即sinA= sinAsinA.因为0

在^ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若 a =

寸2, b=2, sinB+ cosB=寸2,则角 A

解：sinB+ cosB= ^2,