压膜阻尼作用下微机械谐振器动力学分析

压膜阻尼作用下微机械谐振器动力学分析
张琪昌;周凡森;王炜
【摘要】静电驱动微机械谐振器由于其高频率、低功耗和小型化被广泛应用于工作在空气中和液体中的化学传感器和生物物种传感器中。

对于微机械谐振器，作为表面效应的空气阻尼以及三次非线性静电刚度会显著影响器件的动态响应特性。

通过压膜阻尼理论，探究了双端固支梁在自由振动过程中由于环境压力引起的空气阻尼和三次非线性静电刚度对微梁的运动形态、谐振响应等性能参数的影响，发现了双极板微谐振器振动特性与环境压力以及立方非线性静电刚度的关系。

结果表明：环境压力的增加会使微机械谐振器的共振频率增加，振动的幅值以及共振漂移的幅度减小。

微机械谐振器在小位移振动时，通过对幅频曲线的分析发现，三次非线性静电刚度会使微机械谐振器表现出或软或硬的非线性特性且不可忽
略。

%Electrostatically actuated micromechanical resonators with advantages of high frequency,low-power consumption and small size are widely used in chemical sensors and sensors of biological species,these sensors work in air or liquid.The air damping as surface effects and the cubic nonlinear static electrical stiffness can significantly affect the dynamic response characteristics of a micromechanical resonator.Here,via the squeeze-film damping theory,the effects of air damping caused by ambient pressure during free vibration and cubic nonlinear static electrical stiffness on the patterns of movement and response performance of a mirco beam fixed at both ends were investigated in detail.The relationships between the dynamic characteristics of the resonator and ambient pressure as well as nonlinear static electrical stiffness were found.The
results indicated that the resonance frequencies of the micromechanical resonator increase with increase in ambient pressure,while the vibration amplitudes and the resonance drift decline with increase in ambient pressure;the cubic nonlinear static electrical stiffness makes the resonators exhibit softening or hardening nonlinear characteristics,they can not be ignored in amplitude-frequency curves of the resonaters'small amplitude vibration.
【期刊名称】《振动与冲击》
【年(卷),期】2015(000)017
【总页数】7页(P124-130)
【关键词】微机械谐振器;压膜阻尼;环境压力
【作者】张琪昌;周凡森;王炜
【作者单位】天津大学机械工程学院天津市非线性动力学与混沌控制重点实验室，天津300072;天津大学机械工程学院天津市非线性动力学与混沌控制重点实验室，天津300072;天津大学机械工程学院天津市非线性动力学与混沌控制重点实验室，天津 300072
【正文语种】中文
【中图分类】O322
第一作者张琪昌男，博士，教授，1959年生
通信作者王炜男，博士，讲师，1980年8月生
Dynamic characteristics of a micro-mechanical-resonator with squeeze film
damping
Key words:micro-mechanical-resonator; squeeze film damping; ambient pressure
硅微机械谐振器因其体积小、能耗低、易集成等优点被广泛应用于微机电系统中。

因此，在微系统领域对硅微机械谐振器的研究受到人们的普遍关注。

其中，对硅微机械谐振器的动力学表现的关注尤为显著。

目前，影响硅微机械谐振器动力学表现的耗散机制包括：压膜阻尼、热弹性阻尼、支撑损耗和内损耗等耗散机制。

岳东旭等
[1]和Ruzziconi等
[2]做了关于微悬臂梁运动方程的建模工作，并用理论和实验相结合的方法探讨了交直流电以及过腐蚀对微结构刚度和频率响应的影响。

Mestrom等
[3]研究了真空状态微机械谐振器在简谐激励载荷下的动态响应，探究了微机械谐振器机械部分、静电部分和热弹性阻尼对其运动形态、谐振响应等性能的影响。

Mestrom等
[4-5]利用铁木辛柯梁理论以及伽辽金离散和摄动分析，在考虑几何非线性以及静电非线性影响下，进一步研究了微机械谐振器机械部分、静电部分和热弹性阻尼的影响，并创新性的研究了锚点丢失对微机械谐振器的影响。

Gologanu等 [6]和Belardinelli等
[7-8]，利用有限元的方法综述了粘性流体阻尼、声辐射、热弹性阻尼等耗散机制对微机械谐振器共振频率以及质量因子的影响。

近年来，由于封装技术的日趋成熟，为了获得尽可能高的质量因子，降低压膜阻尼对微机械谐振器的影响，微机械谐振器通常在真空环境下工作。

但是，在诸如微生物传感器、微化学传感器和微生物物种传感器等微系统中，真空封装是不可取的，
它们一般工作在不同的环境压力之下。

Wu等
[9]通过数值模拟与实验相结合的方法，发现了压膜阻尼对微机械谐振器振动的主要影响因素为刚度系数和阻尼系数，并提出了其等效电路模型。

Nigro等
[10]对于稀薄效应下的压膜系数做了比较深入的研究，比较了几种有效粘
度的计算公式，并给出了他们的适用范围和准确度。

Keyvani 等
[11]通过理论分析，探讨了气体压强、交直流电等因素对微机械谐振器共
振频率以及质量因子的影响。

Gualdino等
[12]以理论和实验为基础，分析了不同环境压力作用下，盘式结构微机械
谐振器的动态特性，指出同一压力作用下，提高共振频率除减小微结构的尺寸外，还可以改变盘式结构的振动形态。

Zhang等
[13-14]分析了压膜阻尼作用下微共振传感器动态响应，通过欧拉伯努利梁理论，建立微振动部件的运动方程，并分析了交直流电以及压膜阻尼对微振动部件动力学特性的影响。

目前，微机械谐振器在实验和理论方面研究已经比较成熟，但是在理论上还有许多非线性问题亟待解决和探索。

随着微机械技术的发展，压膜阻尼得到了广泛的应用，成为一种新的阻尼技术，可用于调节微机械结构的质量因子以及线性和非线性共振频率。

压膜阻尼中可控的因素即为环境压力。

所以，清楚了解环境压力与微谐振器线性和非线性共振频率之间的关系成为设计微器件的重要依据。

立方非线性静电刚度作为微机械谐振器非线性特性的重要影响因素之一。

在微谐振器小位移振动时，立方非线性静电刚度是否可以省略关系到设计者设计出的微器件能否达到使用的预期，所以对于该问题的研究具有非常重要的理论价值。

如果能够将微机械谐振器的各种微观影响因素的机理分析清楚，这将不仅有利于我们进一步加深对谐振式微器件的工作原理的认识，同时也将有利于优化产品的设计，提高产品的工作性能。

本文采用单自由度模型，既能很好的描述微机械谐振器的结构，又能准确的探究微机械谐振器的动力学行为以及其非线性特性。

MEMS微型双端固支梁系统动力学模型见图1，微梁结构采用对称位置放置直流偏置电压，这样可以有效地降低直流偏置电压对微机械谐振器的影响，更有利于微机械谐振器性能的发挥。

微型双端固支梁的动力学方程可表示为：
式中:
m、
c
1和
k
0分别是简化系统的等效质量、等效阻尼系数和等效刚度系数；
k
2为非线性立方刚度；
x为微梁的垂直位移，
和
表示沿
x方向的速度和加速度，非线性静电力
[3]
F
e(
x,
t)为：
式中:
C
0表示当
x=0时的电容，
d
0表示基底和微梁间的初始距离，
V
1(
t)和
V
2表示基底的加载电压，表达式分别为：
式中:
V
dc为直流偏置电压，
V
ac为交流电压的幅值。

将非线性静电力在
x=0处泰勒公式展开：
式中:h.o.t为高阶小量。

非线性静电力
F
e(
x,
t)展开后的动力学模型与Duffing方程相似，但具有高阶位移项，由于谐
振器的振动位移是小量，所以舍去高阶位移项。

最终的非线性静电力为：
MEMS的阻尼机制对其动力学、控制、性能和设计至关重要。

由于矩形微梁的振动，导致转换间隙中的空气压缩，从而形成压膜阻尼。

压膜阻尼力主要由两部分组成：由于粘性而导致的粘性阻尼力和由于流体压缩引起的弹性阻尼力。

由文献[9]可知，矩形微梁标准化的压膜阻尼力为：
式中:
k
e和
c
d分别表示弹性阻尼力系数和粘性阻尼力系数。

其中
k
e和
c
d分别表示为：
式中:
m和
n为奇整数,
β为矩形板长宽比，
w、
A
e和
p
a分别表示微梁振动角速度、基底和微梁重合面积以及环境压力。

压膜数σ的表达式为：
式中:
μ
ep表示有效粘度系数，
l表示微梁的特征长度。

由文献
[10
]可知，有效粘度的表达式为：
式中:
a=0.018 07，
b=1.353 55，
c=-1.174 68，且
D表示为：
式中:
K
n为Knudsen数，由文献[6]可知，
K
n的表达式为：
式中:
λ
0为平均自由程，且
λ
0=64 nm，
p
0为标准大气压。

引入无量纲量：
其中：
系统动力学方程可写成以下无量纲式：
假设微结构动力学系统是通常讨论的弱非线性系统，则系统参数可用小参数变量ε表示，令
1,则系统动力学方程(15)可写成：
利用多尺度法对方程(15)进行摄动分析，为了使分析方程中不出现长期项，可得：式中:
D
n(
n=0,1)为微分算子，
A为稳态振动幅值，设
，将
A代入式(17)整理并分离虚实部可得：
令
=0，并消除两式中的
θ，得到分岔响应方程为：
根据方程(20)可以得到微机械谐振器各参数对其幅频响应的影响，以及各参数与非线性共振频率之间的关系。

微机械谐振器重要的动力学性质包括：共振频率、幅频响应等。

这些动力学性质对微机械谐振器性能的表现有非常显著的影响。

所以，本文采用理论分析和数值模拟的方法分析了微机械谐振器的几何结构、环境压力等因素对谐振器动力学特性的影响。

3.1 共振频率
共振频率是微机械谐振器的重要参数之一，其对微机械谐振器的设计参数有着直接的影响，探究不同环境压力下，压膜阻尼对共振频率的影响是非常重要的。

图2是不同环境压力下一阶共振频率与直流偏置电压之间的关系，其中
d
0=2.2 μm。

由图可知，随着直流电压的增大，共振频率逐渐减小，有很明显的“弹簧软化”现象，即刚度软化；微机械谐振器随着环境压力的增加，共振频率逐渐增加，引起明显的“弹簧硬化”现象，即刚度硬化。

3.2 幅频响应
通过方程(20)来描绘微机械谐振器的幅频响应。

非线性控制因素主要包括：环境压力
p
a、直流偏置电压
V
dc、交流电压幅值
V
ac、微梁与固定基底间的距离
d
0以及立方刚度系数
η。

本文将分别分析各个参数对微机械谐振器的影响。

3.2.1 环境压力的影响
微谐振式压力传感器
[15]是工业控制、生物检测、航天、军事等领域中应用最广泛的传感器之一。

了解腔内环境压力与微谐振器非线性共振频率之间的关系是设计微压力传感器的关键。

环境压力的改变，会导致微悬臂梁非线性共振频率的改变，通过检测非线性共振频率及其变化，推断出外界压力。

图3描述了当取参数
V
dc=50 V，
V
ac=0.5 V时不同环境压力下的幅频响应曲线。

随着环境压力的增加，微机械谐振器的非线性共振频率逐渐减小，稳态幅值也逐渐减小。

由图3可知，环境压力与微机械谐振器非线性共振频率之间的关系。

当环境压力大于30 000 Pa时，共振漂移量几乎为零，微机械谐振器呈现线性振动。

3.2.2 直流偏置电压
V
dc的影响
图4给出了不同直流偏置电压下微机械谐振器的幅频响应特性曲线。

从图可知，幅频曲线变化不大，但是随着直流偏置电压的增加，稳态振动的幅值上升，频率响应曲线向右逐渐弯离
σ=0轴，呈现硬式非线性。

3.2.3 交流电压幅值
V
ac的影响
不同交流电压幅值下微机械谐振器的幅频响应特性曲线见图5，改变交流电压的幅频响应特性曲线和改变直流偏置电压幅频响应特性曲线相似，不同点在于，相同百分比的幅值改变，改变交流激励电压可以降低能源输入。

所以，在微机械谐振器的设计中，可以通过改变交流激励电压，以较小的能源输入，设计出满足工作要求的微系统。

3.2.4 微梁与固定基底间的距离
d
图6给出了不同间距下微机械谐振器的幅频响应特性曲线。

由图可知，随着间距的减小，稳态振动的幅值增加，共振漂移量逐步变大。

3.2.5 立方刚度系数的影响
由立方刚度系数可知，其中控制参数分别为直流偏置电压，微梁与固定基底间的距离。

立方刚度主要影响微机械谐振器幅频曲线的偏转方向。

当
η>0时，幅频响应曲线向右弯离
σ=0轴，呈现硬式非线性；当
η<0时，幅频响应曲线向左弯离
σ=0轴，呈现软式非线性。

图7表示的是在相同条件下，直流偏置电压与交流电压幅值相乘为常数时，微机械谐振器的幅频曲线。

当直流电压逐渐减小，交流电压幅值逐渐增加的过程中，微机械谐振器逐渐从软式非线性向硬式非线性过度。

所以，对于微机械谐振器不同的设计参数，可以确定相应参数下直流偏置电压和交流电压幅值的取值范围，在此范围内，微机械谐振器的幅频响应曲线不会出现软硬非线性，即不会有滞后现象的发生。

因此可以利用其稳定的幅频响应满足某些微机电应用的需求。

图8研究了在微机械谐振器处于小位移振动时，立方非线性静电刚度对其幅频响应曲线的影响。

图8(a)是在直流偏置电压为70 V，交流电压幅值为150 mV，间距为2.2 μm时微系统的幅频响应曲线。

由图可知，立方非线性静电刚度对微机械谐振器的幅频响应几乎没有影响。

但是，对于不同微系统不同的参数设计，立方非线性静电刚度往往起决定性作用。

图8(b)是在直流偏置电压为70 V，交流电压幅值为75 mV,间距为1 μm时的幅频响应曲线。

虚线表示的是立方刚度项不含非线性静电刚度，实线表示的是立方刚度项含有非线性静电刚度。

结果表明，微机械谐振器表现出不同的非线性特性，含有非线性静电刚度时表现出软式非线性，而不含有非线性静电刚度时却表现出硬式非线性。

通过两幅图的对比，本文得到相应的结论，对于不同的设计参数，是否考虑立方非线性静电刚度对微机械谐振器表现出来的性能有很大的影响。

为了能够让微机械谐
振器达到预期的设计要求，在对微机械谐振器进行设计的时候，立方非线性静电刚度是至关重要的且不可忽略。

图9是环境压力为20 000 Pa时，无量纲幅频曲线与有量纲幅频曲线的对比，图9(a)为有量纲幅频曲线，图9(b)为无量纲幅频曲线。

由图可知，无量纲与有量纲幅频曲线的一致性，验证了本文理论分析的正确性。

3.3 数值仿真
不同环境压力下微机械谐振器的相图见图10，随着环境压力的增加，微机械谐振器稳态振动的幅值逐渐降低，与理论分析结果保持一致。

图11为环境压力为20 000 Pa，激励频率逐渐增加时的相图。

线性固有频率为0.421 9 MHz，由图中可以看到，微机械谐振器稳态振动的峰值并不是在线性固有频率点，而是向右有较小的偏移。

而且，当激励频率从0.426 0 MHz增加到0.426 1 MHz时，微机械谐振器稳态振动幅值出现了突跳，与本文的理论分析保持一致。

根据对微机械谐振器共振频率、幅频响应以及动力学特性的理论分析和数值模拟，了解了不同环境压力以及直流电压对微机械谐振器共振频率的影响规律，并通过幅频响应分析得到了不同因素影响下共振频率漂移的规律。

共振频率漂移是微机械谐振器非常重要的特性，在生物传感器、化学传感器中，都是通过测量共振频率的漂移来探测质量等因素的变化。

为设计者提供了理论依据。

通过对微机械谐振器运动方程的分析和数值模拟，清楚的了解了其响应和动力学特性。

直流偏置电压软化微机械谐振器的有效刚度，环境压力硬化微机械谐振器的有效刚度，另外，随着基底与极板间距离的增加，共振频率也逐渐的增加。

共振频率漂移是微机械谐振器至关重要的特性，一般共振式微机电器件都是通过共振频率漂移来实现其基本功能。

同时，由于微机械谐振器较高的灵敏度、较小的体积、易集成等优点被广泛应用。

微机械谐振器的频率响应特性对于共振式微机电器件是非常重要的。

例如微谐振式压力传感器，它被广泛应用于工业控制、生物检测、航天军事等领域。

了解腔内环境压力与微机械谐振器与非线性共振频率之间的关系是设计微压力传感器的关键。

本文通过分析环境压力对微机械谐振器幅频响应的影响，得到了微机械谐振器非线性共振频率与环境压力之间的关系，为微谐振式压力传感器的设计提供了理论依据。

又如，国内微陀螺仪
[16]常采用常压封装，空气阻尼成为影响陀螺性能的主要因素。

因此，在
陀螺的研制过程中，建立有效的空气阻尼模型十分关键。

本文采用了单自由度模型，分析了包括环境压力在内的各种因素对微机械谐振器的影响，并得到了相应的结论，这些结论将为陀螺仪的设计提供理论依据。

对于运动方程的三次非线性项应该包括三次机械刚度、三次非线性静电刚度以及非线性阻尼项。

所有的这三项都将对微机械谐振器的动力学特性造成影响，但是，根据Zhang等
[13]对微谐振式传感器的研究表明，当微机械谐振器处于小位移振动时，
非线性阻尼项是可以忽略的。

本文通过分析发现，当微机械谐振器处于小位移振动时，三次非线性静电刚度对微机械谐振器的振动响应有着非常重要的影响。

在某些设计参数下，如不考虑三次非线性项时，幅频响应曲线呈现硬非线性，而考虑三次非线性静电力时，幅频响应曲线呈现软非线性。

所以在微机械谐振器设计时，三次非线性静电刚度是不可忽略的。

详细的动力学模型和分析是设计共振式微机电器件的重要工具和理论依据。

温度也会对微机械谐振器的动力学特性产生影响，为了提高微机械谐振器的灵敏度，了解微机械的动力学特性，温度的影响不可忽略。

微机械谐振器的动力学特性是谐振式传感器的根本，本文分析了不同设计参数下，
微机械谐振器的动力学特性，这将为设计者设计出成本低廉、性能可靠的微机电器件提供理论依据。

本文用理论和数值的方法探究了硅微机械谐振器在交直流载荷作用下非线性动力学分析，在考虑主共振情况下，主要研究了环境压力和三次非线性静刚度对微机械谐振器动态响应的影响，主要有如下结论：
(1)通过理论分析，得到了环境压力对微机械谐振器非线性动力学的影响规律，建立了环境压力与线性共振频率和非线性共振频率的关系；
(2)根据对三次非线性静电刚度的详细讨论，得到相应的结论，即在微机械谐振器设计时，三次非线性静电刚度至关重要且不可忽略；
(3)本文虽然对微机械谐振器的非线性动力学特性进行了较为深入的研究，但也忽略了温度等其他因素对微机械谐振器的影响。

同时，本文的仿真和分析，都是基于软件上的仿真和理论上的分析，缺少对实物进行实际的测试和对理论的验证。

实验验证和更全面的参数分析是本文将来的研究方向。

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