复合函数的求导法则教案

§1.2.3复合函数的求导法则

教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则．

教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．

教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确．

一．创设情景

（一）基本初等函数的导数公式表

导数运算法则

1．[]'

''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]'

''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=± 3．[]

'

''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦

（2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 函数 导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =⋅> ()x y f x e ==

'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =

二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。

复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦

三．典例分析

例1求y ＝sin （tan x 2）的导数．

【点评】

求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x a x 22--的导数．

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．

例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数．

【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－

21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4

1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin

3 x cos x ＋

4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2

x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．

例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离．

【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2

令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－

31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－27

14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0．

显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2

|1271431|++-＝22716．

四．课堂练习

1．求下列函数的导数 (1) y =sin x 3+sin 33x ；（2）122sin -=

x x y ;(3))2(log 2-x a 2.求)132ln(2++x x 的导数

五．回顾总结

六．布置作业