第3章周期信号的傅里叶变换

例:
求周期性单位冲激函数序列 T (t ) 的频谱。
n
T (t )

(t mT )
T(t )

( m为 整 数 )

-3T -2T -T 0 T 2T3T t
图 3.3-12 周期冲激序列
解: Fn 1 T

1 [ T ( t )] 2 ( n ) ( n ) ℱ n T n
pT t
1源自文库
的频谱函数。
t -T / 2 0 / 2 T n 解： PT (t ) 2 Fn ( n) Fn Sa( ) T 2 n


n ) 2 sin( n 2 ( n ) PT ( t ) 2 Sa( ) ( n ) 2 n n T n
Y ( j ) H ( j ) F ( j )
称为系统的幅频特性（或幅频响应）
称为系统的相频特性（或相频响应）
( ) y ( ) f ( )
H ( j ) 是 的偶函数， ( )是 的奇函数。
幅频特性和相频特性的物理含义:
幅频特性代表系统对不同频率输入信号放大或衰减的 倍数. 相频特性代表系统对不同频率输入信号相移的大小.
1 j0t sin( 0 t ) (e e j0t ) j [ ( 0 ) ( 0 )] 2j
正、余弦信号的波形及频谱如下图所示:
1
f (t)=cos0t

0
F(j)
t
-0
0
0

(a) 余弦脉冲及其频谱
1
f (t)= sin0t
X()
, ,
n 0 , 1 , 2 ,...... n 1 , 2 , .....
fT ( t )
n
F e
n

jnt
1 Fn T

T 2 T 2
2 , (基 波 角 频 率 ) T
fT (t )e
jn t
dt
有没有办法利用非周期典型信号的傅里叶变换和傅里 叶变换的性质去求周期信号的傅里叶级数呢？
此处，
Fn 代表虚指数分量的幅度和相位。
n ) 2 sin ( n 2 ( n ) PT ( t ) 2 Sa( ) ( n ) 2 n n T n [pT(t)]
ℱ
-Ω 0 Ω

图 3.3-11 周期矩形脉冲的傅立叶变换T 4
第三章 连续信号与系统的实频域分析
主讲人：史洪宇
复习
傅里叶变换的性质
a0 an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
2 T 2 a n T f ( t ) cos(nt )dt T 2 2 T b n 2T2 f (t ) sin (nt )dt T
) 若令响应 y(t ) 的频谱函数为 Y ( j，则由上式得
Y ( j ) H ( j ) F ( j )
3、频率响应的定义
频率响应（函数）（有时也称为系统函数）可定义 为系统响应（零状态响应）的傅里叶变换 Y ( j ) 与激励的傅里叶变换F ( j ) 之比，即
Y ( j ) H ( j )def F ( j )
n
T 2 T 2
2 , (基 波 角 频 率 ) T
jn t
fT (t )e
dt


n
2
n
Fn ( n)
ℱ[ f
T
( t )]
ℱ[ F e
n n n n

jn t
]
n
F ℱ[e
e
cos 0 t
e
j 0 t
y f (t )
H ( j0 ) e
H ( j 0 ) e j 0 t e 2
j 0t 0
j 0 t 0
H ( j0 ) e 2
j 0 t 0
H ( j0 ) e j ω0t ω0 H( jω0 ) e j ω0t ω0 y f (t ) 2
n

jn t
]
2
F ( n )
上式表明，周期信号的傅里叶变换（或频谱密度函 数）由无穷多个冲激函数组成，这些冲激函数位于信 号的各谐波角频率 n( n 0,1,2,)处，其强度 为各相应幅度
此处，
Fn
的
2 倍。
Fn 代表虚指数分量的幅度和相位。
例
求周期性矩形脉冲信号PT (t )
本题
H( j0 ) sin0t 0
f (t ) 2 4 cos(5t ) 4 cos( t ) 10 yt 2 H j 0 cos0 0 4 H j 5 cos5t 5
4 H j10 cos10t 10
cos0 t作用于频率响应为 j 的系统所产生 H 的响应为 H ( j ) cos t 0 0

0
同理 sin t作用于频率响应为H j 的系统 0 所产生的响应为 H ( j0 ) sin 0t 0


H ( j0 ) cos0t 0
4、频域分析
利用频域函数分析系统问题的方法，常称为频域 分析法或傅里叶变换法。 时域分析与频域分析的关系如下图所示。
f t
LTI系统
y f t
f t ht yt
F j H j Y j
图3.4-1 频域分析示意图
5、例题
例3.4-1 某LTI系统的幅频响应 H ( j )和相频响应 ( ) 如 下图所示。若系统的激励 f (t ) 2 4 cos(5t ) 4 cos( t ) ， 10 求系统的响应。 书上介绍了两种方法,一种 是傅里叶级数法;一种是傅里叶 变换法;但对于周期信号还有一 种方法----正、余弦函数响应法。
H j

1
- 10
-5 0
5
10


解法三：正、余弦函数响应法
f (t ) e
j t
y
j0 t
f (t ) e
y f (t ) H ( j0 ) e
H ( j 0 ) e
j 0
f
(t ) H ( j ) e
j t
j 0 t j 0 t
j
0
t
-0 -j
0 0

(b) 正弦脉冲及其频谱
图 3.3-10正、余弦函数及其频谱
二、一般周期函数的傅里叶变换 一周期为 T 的周期函数 fT (t )
fT ( t )
n
F e
n

jnt
1 Fn T

ℱ fT (t )] ℱ Fne jn t ] Fn ℱ[e jn t ] [ [
2、任意信号输入时的响应
1 当激励为任意信号 f (t )，由式 f ( t )def 2



F ( j )e jt d
得 f (t ) 1
F ( j )d jt F ( j )e d 2 e 2
jt

F ( j )d y( t ) H ( j )e jt 2 1 F ( j ) H ( j )e jt d 2
取傅里叶逆变换得
y(t ) (e e
t
2 t
) (t )
例3.4-3 如下图所示的 RC 电路，若激励电压源 us (t ) 为 单位阶跃函数 (t ) ，求电容电压 uc (t )的零状态响应。
us(t )=U(t) 1 R

H ( j0 ) e
j ω0 t ω0
H(jω0 ) e 2
j ω0 t ω0
H ( j0 ) cos0t 0
cos0 t作用于频率响应为 j 的系统所产生 H 的响应为
H ( j0 ) cos0t 0
，
对方程取傅里叶变换，得
jY ( j ) 2Y ( j ) F ( j )
由上式可得该系统的频率响应函数 Y ( j ) 1 H ( j ) F ( j ) j 2
1 f ( t ) e ( t ) F ( j ) j 1
t
1 Y ( j ) H ( j )F ( j ) ( j 2)( j 1) 1 1 j 1 j 2
•再讨论任意信号作用系统所引起的响应，得出响应的频域求解 方法；从而引出频域中反映系统特性的函数-----频率响应（函 数）。
1、 虚指数函数 零状态响应 设
f (t ) e
jt
作用于LTI系统所引起的
f (t ) e
j t
系统的冲激响应是 h(t )

y f (t ) f (t ) h(t )
T 2 T 2
1 jnt T (t )e dt T


T 2 T 2
(t )e
jnt
1 dt T
1 [ T ( t )] 2 ( n ) ( n ) ℱ n T n 令 ( ) ( n )


h( )e
j t
j ( t )
d
h( )e

j
j
d e
H ( j ) e j t
H ( j ) h( )e

d为 频 率 响 应 函 数
h(t ) H ( j )
虚指数函数作用于 LTI系统所引起 的响应（零状态） 是系数为 H j 的同频率的虚指数函数，仅是幅度及相 位发生变化，但频率不变。 。
3.3 §周期信号的傅里叶变换
一、 正、余弦函数的傅里叶变换
1 2 ( )
根据频移特性得
e e
j 0 t j 0 t
2 ( 0 ) 2 ( 0 )
所以，正、余弦函数的傅里叶变换为
1 j 0t cos( 0 t ) (e e j0t ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2
H ( j ) H ( j ) e
令 则有
j y ( )
j ( )
j f ( )
Y ( j ) Y ( j ) e , F ( j ) F ( j ) e Y ( j ) H ( j ) , ( ) y ( ) f ( ) F ( j )
yt 2 2 cos 5t 90

o

- 10
H j

1
-5 0
5
10


例3.4-2 描述某系统的微分方程为 y' (t ) 2 y(t ) f (t )
t 求输入 f (t ) e (t )时系统的零状态响应。
解: 令
f (t ) F ( j ), y(t ) Y ( j )

的冲激序列。其中
2 T
§3.4 LTI系统的频域分析
前面我们讨论了信号的频域分析，本节将研究系统 的激励与响应在频域中的关系，即系统的频域分析。
一、频率响应
傅里叶分析是将信号分解为众多不同频率 的虚 指数函数之和（积分），因此：
•首先讨论虚指数函数作用于LTI系统引起的响应(零状态）；

T (t ) ( )
1
n
T(t )
(t )



-3 -2 - 0 2 3

周期冲激序列的傅立叶变换
-3T -2T -T 0 T 2T3T t
图 3.3-13 周期冲激序列
可见：时域中周期为 T 的单位冲激序列，在频域中是
周期为 ，强度为