八年级上册轴对称解答题专题练习(解析版)

八年级上册轴对称解答题专题练习（解析版）

一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）

1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=?，45C ∠=?，8AB =，14BC =，点E 、F

分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=?，

PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．

（1）求边AD 的长；

（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769

或32 【解析】【分析】

（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；

（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；

（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】

（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H

∵∠C=45°，DH ⊥BC ∴△DHC 是等腰直角三角形 ∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90° ∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8

∴HC=8 ∴BH=BC －HC=6 ∴AD=6

（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G

∵EF ∥AD,∴EF ∥BC ∴∠EFP=∠C=45° ∵EP ⊥PF

∴△EPF 是等腰直角三角形

同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形 ∵AE=x

∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x ∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=

()1

x + 同理，PR=

y ∵AB=8，∴EB=8－x ∵EB=QR

∴8－x=()11622

x y ++ 化简得：y=－3x+10

∵y ＞0，∴x ＜

103

当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值

则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1 ∴1≤x ＜

103

（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=

=AE

∴188176662339

ABCD S ??=

?++?= ???梯形情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：

与（2）相同，可得y=3x －10 则当y=2时，x=4，即AE=4 ∴()1

6644322

ABCD S =?++?=梯形【点睛】

本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．

2．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC 边上的中线AD 的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE.根据SAS 可证得到△ADC ≌△EDB ，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

（直接运用）如图②，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ，AF 是ACD 的边CD 上中线.求证：BE=2AF.

（灵活运用）如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；

（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到

∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明

△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.

（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.

【详解】

（1）∵△ADC≌△EDB，

∴BE=AC=8，

∵AB=12，

∴12-8＜AE＜12+8，

即4＜AE＜20，

∵D为AE中点

∴2＜AD＜10；

（2）延长AF到H，使AF=HF，

由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，

∵AB⊥AC，AD⊥AE，

∴∠BAE+∠CAD=180°，

又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，

∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，

∴∠ACH+∠CAD=180°，

故∠BAE= ACH，

又AB=AC，AD=AE

∴△BAE≌△ACH（SAS），

故BE=AH,又AH=2AF

∴BE= 2AF.

（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：

延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，

由题意得△DBF≌△ADG，

∴FD=GD，BF=AG,

∵DE⊥DF，

∴DE垂直平分GF,

∴EF=EG,

∵∠C=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

又∠B=∠DAG，

∴∠DAG +∠CAB=90°

∴∠EAG=90°，

故EG2=AE2+AG2，

∵EF=EG, BF=AG

∴EF2=AE2+BF2，

则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.

【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.

3．问题探究：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

（1）证明：AD=BE；

（2）求∠AEB的度数．

问题变式：

（3）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．（Ⅰ）请求出∠AEB的度数；（Ⅱ）判断

线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）（Ⅰ）90°；（Ⅱ）AE=BE+2CM，理由见详解.【解析】

【分析】

（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD=BE；

（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出

∠ADC=120°，从而可以求出∠AEB的度数；

（3）（Ⅰ）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC=BC，CD=CE，

∠ACB=∠DCE=90°，据此判断出∠ACD=∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE=AD，∠BEC=∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°；（Ⅱ）根据DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，可得CM=DM=EM，所以DE=DM+EM=2CM，据此

判断出

AE=BE+2CM．

【详解】

解：（1）如图1，

∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，

AC BC

ACD BCE CD CE

∠=∠

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE；

（2）如图1，∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，

∵△DCE为等边三角形，

∴∠CDE=∠CED=60°，

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=120°，

∴∠BEC=120°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°；

（3）（Ⅰ）如图2，

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∠CDE=∠CED=45°，

∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

AC BC

ACD BCE

CD CE

∠=∠

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE=AD，∠BEC=∠ADC，

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC=180-45=135°，

∴∠BEC=135°，

∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°，

故答案为：90°；

（Ⅱ）如图2，∵∠DCE=90°，CD=CE，CM⊥DE，

∴CM=DM=EM，

∴DE=DM+EM=2CM，

∵△ACD≌△BCE（已证），

∴BE=AD，

∴AE=AD+DE=BE+2CM，

故答案为：AE=BE+2CM．

【点睛】

本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

4．如图，在等边ABC

?中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AE CD

=，BD 交CE于点P．

（1）如图1，求证120

BPC?

∠=；

（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM．

①如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是；

②若点A，P，M三点不共线，如图3，问①中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

【答案】（1）证明过程见详解；（2）①2

AP PM

=；②结论成立，证明见详解

【解析】

【分析】

（1）先证明()

AEC CDB SAS

≌，得出对应角相等，然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论；

（2）①2

AP PM

=；由等边三角形的性质和已知条件得出AM⊥BC，∠CAP＝30°，可得PB＝PC，由∠BPC＝120°和等腰三角形的性质可得∠PCB＝30°，进而可得AP＝PC，由30°角的直角三角形的性质可得PC＝2PM，于是可得结论；

②延长BP至D，使PD＝PC，连接AD、CD，根据SAS可证△ACD≌△BCP，得出AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，然后延长PM至N，使MN＝MP，连接CN，易证△CMN≌△BMP （SAS），可得CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，最后再根据SAS证明△ADP≌△NCP，即可证得结论．

【详解】

（1）证明：因为△ABC为等边三角形，所以60

A ACB

∠=∠=?

∵

AC BC

A ACB

AE CD

∠=∠

，∴()

AEC CDB SAS

≌，∴AEC CDB

∠=∠，

在四边形AEPD中，∵360

AEC EPD PDA A

∠+∠+∠+∠=?，

∴18060360

AEC EPD CDB

∠+∠+?-∠+?=?，

∴120

EPD

∠=?，∴120

BPC

∠=?；

（2）①如图2，∵△ABC是等边三角形，点M是边BC的中点，

∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠CAP＝

∠BAC＝30°，∴PB＝PC，

∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°，

∴PC＝2PM，∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，

∴AP ＝PC ，∴AP ＝2PM ；故答案为：2AP PM ；

②AP ＝2PM 成立，理由如下：

延长BP 至D ，使PD ＝PC ，连接AD 、CD ，如图4所示：则∠CPD ＝180°﹣∠BPC ＝60°， ∴△PCD 是等边三角形，

∴CD ＝PD ＝PC ，∠PDC ＝∠PCD ＝60°，

∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ，∠ACB ＝60°＝∠PCD ， ∴∠BCP ＝∠ACD ， ∴△ACD ≌△BCP （SAS ）， ∴AD ＝BP ，∠ADC ＝∠BPC ＝120°， ∴∠ADP ＝120°﹣60°＝60°，

延长PM 至N ，使MN ＝MP ，连接CN ， ∵点M 是边BC 的中点，∴CM ＝BM ， ∴△CMN ≌△BMP （SAS ）， ∴CN ＝BP ＝AD ，∠NCM ＝∠PBM ， ∴CN ∥BP ，∴∠NCP +∠BPC ＝180°， ∴∠NCP ＝60°＝∠ADP ，

在△ADP 和△NCP 中，∵AD=NC ，∠ADP =∠NCP ，PD=PC ， ∴△ADP ≌△NCP （SAS ）， ∴AP ＝PN ＝2CM ；

【点睛】

本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性

质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

5．已知：等边ABC ?中．

（1）如图1，点M 是BC 的中点，点N 在AB 边上，满足60AMN ∠=?，求AN

的值．

（2）如图2，点M 在AB 边上（M 为非中点，不与A 、B 重合），点N 在CB 的延长线上且MNB MCB ∠=∠，求证：AM BN =．

（3）如图3，点P 为AC 边的中点，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，满

足AEP PFC ∠=∠，求

BF BE

-的值．【答案】（1）3；（2）见解析；（3）3

．

【解析】【分析】

（1）先证明AMB ?，MBN ?与MAN ?均为直角三角形，再根据直角三角形中30所对的

直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN ，AB=2BM ，最后转化结论可得出BN 与AN 之间的数量关系即得；

（2）过点M 作ME ∥BC 交AC 于E ，先证明AM=ME ，再证明MEC ?与NBM ?全等，最后转化边即得；

（3）过点P 作PM ∥BC 交AB 于M ，先证明M 是AB 的中点，再证明EMP ?与FCP ?全等，最后转化边即得．【详解】

（1）∵ABC ?为等边三角形，点M 是BC 的中点 ∴AM 平分∠BAC ，AM BC ⊥，60B BAC ∠=∠=? ∴30BAM ∠=?，90AMB ∠=? ∵60AMN ∠=?

∴90AMN BAM ∠+=?∠，30∠=?BMN ∴90ANM ∠=?

∴18090BNM ANM =?-=?∠∠ ∴在Rt BNM ?中，2BM BN =

在Rt ABM

?中，2

AB BM

∴24

AB AN BN BM BN

=+==

∴3

AN BN

=即3

=．

（2）如下图：

过点M作ME∥BC交AC于E

∴∠CME=∠MCB，∠AEM=∠ACB

∵ABC

?是等边三角形

∴∠A=∠ABC=∠ACB=60?

∴60

AEM ACB

∠=∠=?，120

MBN=?

∠

∴120

CEM MBN

∠==?

∠，60

AEM A

∠=∠=?∴AM=ME

∵MNB MCB

∠=∠

∴∠CME=∠MNB，MN=MC

∴在MEC

?与NBM

?中

CME MNB

CEM MBN

MC MN

∠=∠

∴()

MEC NBM AAS

≌

∴ME BN

∴AM BN

（3）如下图：

过点P作PM∥BC交AB于M

∴AMP ABC

∠∠

∵ABC

?是等边三角形

∴∠A=∠ABC=∠ACB=60?，AB AC BC

∴60AMP A ==?∠∠

∴AP MP =，180120EMP AMP =?-=?∠∠，180120FCP ACB =?-=?∠∠ ∴AMP ?是等边三角形，120EMP FCP ==?∠∠ ∴AP MP AM == ∵P 点是AC 的中点 ∴111

222

AP PC MP AM AC AB BC ====== ∴1

AM MB AB ==

在EMP ?与FCP ?中

EMP FCP AEP PFC MP PC ∠=∠??

∠=∠??=?

∴()EMP FCP AAS ??≌ ∴ME FC =

∴13

BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=

+= ∴3

2BC

BF BE BC BC -==．【点睛】

本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定，通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法．

6．如图，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边△CDE ，连结BE ．（1）求∠CAM 的度数；

（2）若点D 在线段AM 上时，求证：△ADC ≌△BEC ；

（3）当动D 在直线．．AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断∠AOB 是否为定值？并说明理由．

【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．【解析】【分析】

（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；

（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，由等式的性质就可以∠BCE ＝∠ACD ，根据SAS 就可以得出△ADC ≌△BEC ；

（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出△ACD ≌△BCE 而有∠CBE ＝∠CAD ＝30°而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出△ACD ≌△BCE 同样可以得出结论．【详解】

（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°． ∵线段AM 为BC 边上的中线，∴∠CAM 1

=∠BAC ，∴∠CAM ＝∠BAM ＝30°．（2）∵△ABC 与△DEC 都是等边三角

形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠DCB ＝∠DCB +∠BCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．

在△ADC 和△BEC 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =??

∠=∠??=?

，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；

（3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．理由如下：

①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，则∠CBE ＝∠CAD ＝30°，又∠ABC ＝60°，∴∠CBE +∠ABC ＝60°+30°＝90°．

∵△ABC 是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，∴AM 平分∠BAC ，即

11603022

BAM BAC ∠∠==??=?，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．

②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2． ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角

形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．

在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =??

∠=∠??=?

，

∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°．由（1）得：∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°． ③当点D 在线段MA 的延长线上时． ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角

形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠ACE ＝∠BCE +∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ．

在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =??

∠=∠??=?

，

∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ．由（1）

得：∠CAM ＝30°，∴∠CBE ＝∠CAD ＝150°，∴∠CBO ＝30°，∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．

综上所述：当动点D 在直线AM 上时，∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

7．如图，已知ABC ?()AB AC BC <<，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：

（1）在边BC 上找一点M ，使得：将ABC ?沿着过点M 的某一条直线折叠，点B 与点

C 能重合，请在图①中作出点M ；

（2）在边BC 上找一点N ，使得：将ABC ?沿着过点N 的某一条直线折叠，点B 能落在边AC 上的点D 处，且ND AC ⊥，请在图②中作出点N . 【答案】（1）见详解；（2）见详解．【解析】【分析】

（1）作线段BC 的垂直平分线，交BC 于点M ，即可；

（2）过点B 作BO ⊥BC ，交CA 的延长线于点O ，作∠BOC 的平分线交BC 于点N ，即可．【详解】

（1）作线段BC 的垂直平分线，交BC 于点M ，即为所求．点M 如图①所示：（2）过点B 作BO ⊥BC ，交CA 的延长线于点O ，作∠BOC 的平分线交BC 于点N ，即为所求．点N 如图②所示：

【点睛】

本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的中垂线和角平分线，是解题的关键．

8．在等边ABC ?中，点O 在BC 边上，点D 在AC 的延长线上且OA OD =.

（1）如图1，若点O 为BC 中点，求COD ∠的度数；（2）如图2，若点O 为BC 上任意一点，求证AD AB BO =+.

（3）如图3，若点O 为BC 上任意一点，点D 关于直线BC 的对称点为点P ，连接

,AP OP ，请判断AOP ?的形状，并说明理由.

【答案】（1）30；（2）见解析；（3）AOP ?是等边三角形，理由见解析. 【解析】【分析】

（1）根据三角形的等边三角形的性质可求1

302

CAO BAC ∠=

∠=?且,90AO BC AOC ⊥∠=?，根据OA OD =，等腰三角形的性质得到D ∠的度数，再通过

内角和定理求AOD ∠，即可求出COD ∠的度数.

（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E 先证明COE ?为等边三角形，再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=?，120DCO ∠=?，再证明()AOE DOC AAS ???，得到

CD EA =，再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过，又因为AD AC CD =+，通过等量代换即可得到答案.

（3）通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ???，得到OP OD =，又因为OA OD =，得到AO=OP ，证得AOP ?为等腰三角形，如解析辅助线，由（2）可知得

AOE DOC ???得到AOE DOC ∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE ∠=∠=°

，即可证得AOP ?是等边三角形. 【详解】

（1）∵ABC ?为等边三角形 ∴60BAC ∠=? ∵O 为BC 中点

∴1

302CAO BAC ∠=∠=?

且,90AO BC AOC ⊥∠=? ∵OA OD =

∴AOD ?中，30D CAO ∠=∠=? ∴180120AOD D CAO ∠=?-∠-∠=? ∴30COD AOD AOC ∠=∠-∠=?

（2）过O作//

OE AB，OE交AD于E ∵//

OE AB

∴60

EOC ABC

∠=∠=?

CEO CAB

∠=∠=?

∴COE

?为等边三角形

∴OE OC CE

180120

AEO CEO

∠=?-∠=?

180120

DCO ACB

∠=?-∠=?

又∵OA OD

∴EAO CDO

∠=∠

在AOE

?和COD

?中

AOE DOC

EAO CDO

OA OD

∠=∠

∴()

AOE DOC AAS

???

∴CD EA

∵EA AC CE

BO BC CO

∴EA BO

∴BO CD

=，

∵AB AC

=，AD AC CD

∴AD AB BO

（3）AOP

?为等边三角形

证明过程如下：

连接,

PC PD，延长OC交PD于F

∵P D 、关于OC 对称

∴,90PF DF PFO DFO =∠=∠=? 在ODF ?与OPF ?中，

PF DF PFO DFO OF OF =??

∠=∠??=?

∴()ODF OPF SAS ??? ∴OP OD =,POC DOC ∠=∠ ∵OA OD = ∴AO=OP

∴AOP ?为等腰三角形

过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E 由（2）得AOE DOC ??? ∴AOE DOC ∠=∠ 又∵POC DOC ∠=∠ ∴AOE POF ∠=∠

∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠ 即AOP COE ∠=∠ ∵AB ∥OE ，∠B=60° ∴60COE B ∠=∠=? ∴60AOP COE ∠=∠=° ∴AOP ?是等边三角形. 【点睛】

本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题，灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系，以及等边三角形的性质是解答此题的关键.

9．（1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数

（2）拓展，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，请把△ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.

（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.

【解析】

【分析】

（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可；（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】

（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，

如图1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，

∴∠C=90°-23°=67°，

∵MN垂直平分AB，

∴BD=AD，

∴△ABD是等腰三角形，

∴∠BAD=∠ABC=23°，

∴∠ADC=2∠ABC=46°，

∵∠BAC=90°，

∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，

∴∠DAC=∠C，

∴△DAC是等腰三角形，

同理：图2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，图3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.

（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC，

∵点O是三角形垂直平分线的交点，

∴OA=OB=OC，

∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，

∵AB=AC，∠BAC=45°，

∴∠ABC=∠ACB=67.5°，

∴AD是BC的垂直平分线，

∴∠BAD=∠CAD=22.5°，

∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，

∴∠OBC=∠OCB=45°.

（3）①如图，当PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ时，

∵∠A=30°，PB=PQ，

∴∠ABP=∠A=30°，