第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数教案

正弦定理 和余弦定 理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简 单的三角形度量问题．
正弦定理、
余弦定理 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法
的应用举 解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
例
第1课时 任意角和弧度制及任意 角的三角函数
1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、_负__角__ 和_零__角__． (2)从终边位置来看，可分为_象__限__角__和轴线 角．
当
x＝－1
时，sin
θ＝－
22，cos
θ＝－
2 2.
弧长与扇形的面积
涉及弧长和扇形面积的计算，可用的公式有角 度和弧度两种表示，其中弧度表示的公式结构 简单易记好用．弧长和扇形面积的核心公式是 圆周长公式 C＝2πr 和圆面积公式 S＝πr2，当 用圆心角的弧度数 α 代替 2π 时，即可得到一 般弧长和扇形面积公式 l＝|α|r，S＝12|α|r2.

在 y 轴的非 正半轴上
αα＝2kπ＋32π，k∈Z

在 x 轴上 {αα＝kπ，k∈Z }
(3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为 β＝_α_＋__k_·_3_6_0_°__，__k_∈__Z_ (或_α_＋__k_·_2_π_，__k_∈__Z_)．
【思考探究】 (1)终边相同的角相等吗？ 它们的大小有何关系？ (2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角 吗？小于90°的角是锐角吗？
x＝1，csions
x x
＝tan x.
2.能利用单位圆中的三角函数
线推导出π2±α，π±α 的正弦、
余弦、正切的诱导公式.
知识点
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1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x
三角函 的图象.
数的图 2.理解正弦函数、余弦函数在区间
象与性 [0,2π]上的性质(如单调性、最大值和
∴角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负
半轴． 答案： (1)D
1．常见的终边相同的角的表示
角 α 终边的位置 在 x 轴的非负半 轴上
在 x 轴的非正半 轴上
角 α 的集合 {α|α＝2kπ，k∈Z}
{α|α＝2kπ＋π，k∈Z}
在 y 轴的非负半 轴上
αα＝2kπ＋π2，k∈Z
l 那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝___r__.
(3)角度与弧度的换算
π ①1°＝__1_8_0__rad；②1
rad＝__1_π8_0_°_.
(4)弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，
半径为r，又l＝rα，则扇形的面积为
S＝___12_lr__＝__12_r_2α__.
【变式训练】 1.已知角 θ 的终边上有一点 P(x，
－1)(x≠0)，且 tan θ＝－x，求 sin θ，cos θ.
解析： ∵θ 的终边过点(x，－1)(x≠0)， ∴tan θ＝－1x，又 tan θ＝－x， ∴x2＝1，∴x＝±1.
当 x＝1 时，sin θ＝－ 22，cos θ＝ 22；
∴扇形的面积为 80π cm2.
由α所在的象限确定其三角函数值的符号 1．利用终边相同的角的集合 S＝{β|β＝2kπ＋α， k∈Z}判断一个角 β 所在的象限时，只需把这个 角写成[0,2π)范围内的一角 α 与 2π 的整数倍，然 后判断角 α 的象限． 2．可根据三角函数定义讨论角 α 在各个象限三 角函数值的符号；其记忆口诀为：一全正，二正 弦，三两切，四余弦．
点 P 的坐标为( )
A．(1， 3)
B．( 3，－1)
C．(－1，－ 3)
D．(－1， 3)
解析： 根据三角函数的定义，x＝|OP|cos23
π＝2×－12＝－1.y＝|OP|sin23π＝2× 23＝
3.
∴P 点的坐标为(－1， 3)．
答案： D
4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为 ____，面积为________．
知识点
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1.会用向量知识或三角函数线推导 出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式推导出 和角公式 两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式推导出
两角和的正弦、余弦、正切公式， 了解它们的内在联系.
知识点
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倍角公式 和半角公 式、积化 和差与和 差化积
1.能利用两角和的正弦、余弦和正切公式导出 二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们 的内在联系. 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括 导出积化和差、和差化积、半角公式，但对 这三组公式不要求记忆).
3．可利用角 α 的三角函数值在各个象限的符号
记忆诱导公式，使用平方关系进行三角函数求值．
(1)若 θ＝168°＋k·360°(k∈Z)，求在[0°，360°)
内终边与θ3角的终边相同的角． (2)若 sin θ·cos θ＞0，且 tan θ·cos θ＜0，则角 θ 的终边落在( )
A．第一象限
(2)因为 sin θcos θ＞0，所以角 θ 在第一象限或 第三象限，又 tan θcos θ＜0，则角 θ 在第三或 第四象限，故角 θ 的终边落在第三象限． 答案： (2)C
【变式训练】 位于( ) A．第一象限 C．第三象限
3.(1)点 P(tan2 007°，cos 2 007°)
B．第二象限 D．第四象限
解析： ∵角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上， ∴在角 α 的终边上任取一点 P(4t，－3t)(t≠0)， 则 x＝4t，y＝－3t， r＝ x2＋y2＝ 4t2＋－3t2＝5|t|， 当 t＞0 时，r＝5t， sin α＝yr＝－5t3t＝－35， cos α＝xr＝45tt＝45， tan α＝xy＝－4t3t＝－34；
提示： (1)终边相同的角不一定相等，它们相 差 360°的整数倍． (2)第一象限角不一定是锐角，如 390°，－300° 都是第一象限角，但它们不是锐角．
小于 90°的角也不一定是锐角，如 0°，－30°，
都不是锐角．
2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角 长度等于__半__径__长___的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，用符号rad表示． (2)角α的弧度数 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，
第三章 三角函数
知识点
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任意角的概念 与弧度制、任 意角的三角函 数
1.了解任意角的概念． 2.了解弧度制的概念，能进 行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的正弦、余弦、 正切的定义.
知识点
同角三角 函数的基 本关系式 与诱导公 式
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1.理解同角三角函数的基本关
系式：sin2
x＋cos2
3．任意角的三角函数 (1)定义：设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，
y 则sin α＝__y，cos α＝__x，tan α＝____x. (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函 数的几何表示．正弦线的起点都在__x_轴___上， 余弦线的起点都是__原__点__，正切线的起点都 是_(_1_,_0_) _． (3)终边相同角的三角函数值(k∈Z) 公式一：sin(α＋k·2π)＝__s_in__α__； cos(α＋k·2π)＝__c_o_s_α__； tan(α＋k·2π)＝tan α.
当 t＜0 时，r＝－5t， sin α＝yr＝－ －35tt＝35， cos α＝xr＝－4t5t＝－45， tan α＝xy＝－4t3t＝－34. 综上可知，t＞0 时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α ＝－34；
t＜0 时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.
(2)如果 α 是第三象限的角，那么－α，2α 的终边
落在Leabharlann Baidu处？
解析： (1)∵2 007°＝360°×6－153°， ∴2 007°与－153°的终边相同，∴2 007°是 第三象限角， ∴tan 2 007°＞0，cos 2 007°＜0.
∴P 点在第四象限，故选 D.
(2)由 α 是第三象限的角得 π＋2kπ＜α＜32π＋2kπ ⇒－32π－2kπ＜－α＜－π－2kπ. 即π2＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)． ∴角－α 的终边在第二象限； 由 π＋2kπ＜α＜32π＋2kπ 得 2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)．
质
最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正
切函数在区间－π2，π2内的单调性.
知识点
函数 y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
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1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物 理意义；能画出函数 y＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ 对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化 现象的重要函数模型，会用三角 函数解决一些简单的实际问题.
1．终边与坐标轴重合的角 α 的集合为( ) A．{α|α＝k·360°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°，k∈Z} C．{α|α＝k·90°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
解析： 当角 α 的终边在 x 轴上时，可表示 为 k·180°，k∈Z. 当角 α 的终边在 y 轴上时，可表示为 k·180° ＋90°，k∈Z. ∴当角 α 的终边在坐标轴上时，可表示为
解析： 弧长 l＝3π，圆心角 α＝34π， 由弧长公式 l＝α·r 得 r＝αl ＝33π＝4，
4π
面积 S＝12lr＝6π. 答案： 4 6π
5．若 α＝k·180°＋45°，k∈Z，则 α 为第________
象限角． 解析： 当 k＝2n 时，α＝n·360°＋45°， 当 k＝(2n＋1)时，α＝n·360°＋225°， ∴α 为第一或第三象限角． 答案： 一或三
已知一扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长 l. (1)若 α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长 l. (2)若扇形周长为 20 cm，当扇形的圆心角 α 为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解析： (1)α＝60°＝π3 rad， ∴l＝α·R＝π3×10＝103π cm.
(2)由题意得 l＋2R＝20， ∴l＝20－2R(0＜R＜10)． ∴S 扇＝12l·R＝12(20－2R)·R ＝(10－R)·R＝－R2＋10R. ∴当且仅当 R＝5 时，S 有最大值 25. 此时 l＝20－2×5＝10，α＝Rl ＝150＝2 rad.
∴当 α＝2 rad 时，扇形面积取最大值．
【变式训练】 2.解答下列各题： (1)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求 扇形圆心角的弧度数；
(2)已知一扇形的圆心角是 72°，半径等于 20 cm，
求扇形的面积． 解析： (1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ ＜2π)，弧长为 l，半径为 r，
k·90°，k∈Z.
答案： C
2．已知角 α 的终边经过点( 3，－1)，则角 α
的最小正值是( )
2π A. 3
11π B. 6
5π C. 6
3π D. 4
解析： ∵sin α＝－21＝－12，且 α 的终边在
第四象限，
∴α＝161π. 答案： B
3．若点 P 在角23π 的终边上，且|OP|＝2，则
三角函数的定义 已知角 α 终边上一点 P(x，y)(该点不在单位圆 上)，求 α 的三角函数值时，可先求出该点到原 点的距离 r，利用下式求解：sin α＝yr，cos α＝xr， tan α＝xy，这也可看作三角函数的定义．
已知角 α 的终边在直线 3x＋4y＝0 上，求 sin α，
cos α，tan α 的值．
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： (1)∵θ＝168°＋k·360°(k∈Z)， ∴θ3＝56°＋k·120°(k∈Z)． ∵0°≤56°＋k·120°＜360°， ∴k＝0,1,2 时，θ3∈[0°，360°)．
故在[0°，360°)内终边与θ3角的终边相同的角
是 56°，176°，296°.
l＋2r＝10， ① 依题意有12lr＝4. ②
①代入②得 r2－5r＋4＝0， 解之得 r1＝1，r2＝4. 当 r＝1 cm 时，l＝8(cm)， 此时，θ＝8 rad＞2π rad 舍去； 当 r＝4 cm 时，l＝2(cm)，
此时，θ＝24＝12rad. (2)∵α＝1π80×72＝25π ∴S＝12α·r2＝12×25π×202 ＝80π(cm2)