材料力学 压杆稳定概念 欧拉公式计算临界力共33页文档
临界荷载的欧拉公式
临界荷载的欧拉公式临界荷载的欧拉公式是结构力学中的重要概念。
它描述了当柱子或杆件受到轴向压力时，即压杆受到的最大压缩荷载时，突然发生屈曲的情况。
临界荷载是结构工程设计中需要考虑的重要参数，因为了解临界荷载可以帮助工程师设计更安全和稳定的结构。
欧拉公式是描述临界荷载的数学方程，由著名的数学家欧拉在18世纪中期提出。
该公式给出了临界荷载与压杆的几何形状和材料性质之间的关系。
欧拉公式的一般形式可以表示为：Pc = (π^2 * E * I) / (L^2)其中，Pc是临界荷载，E是弹性模量，I是截面惯性矩，L是杆件的有效长度。
这个公式适用于理想化的杆件，即杆件的截面形状是均匀的，材料是均匀的，且处于完全压缩状态。
根据欧拉公式，我们可以得出以下几个关键观察点：1. 杆件的临界荷载与其弹性模量成正比。
弹性模量越大，杆件的临界荷载就越大。
这是因为弹性模量反映了材料的刚度，刚度越大，杆件就越能够抵抗压缩荷载。
2. 杆件的临界荷载与其截面惯性矩成正比。
截面惯性矩是描述杆件截面形状和尺寸的参数，它反映了截面抵抗变形和变形的能力。
截面惯性矩越大，杆件的临界荷载就越大。
3. 杆件的临界荷载与其长度的平方成反比。
杆件长度越长，临界荷载就越小。
这是因为较长的杆件更容易发生屈服和屈曲。
根据以上几个观察点，我们可以得出一些结论和设计指导：1. 为了增加杆件的临界荷载，可以选择具有高弹性模量和大截面惯性矩的材料和截面形状。
2. 如果无法改变材料特性或截面形状，可以通过减小杆件的长度来增加其临界荷载。
在设计中，我们通常会选择较短的杆件，以增加其稳定性。
3. 在设计过程中，需要对杆件的临界荷载进行合理的估计和验证。
如果杆件承受的荷载超过了其临界荷载，就需要采取一些稳定措施，以防止结构的崩塌或失效。
综上所述，临界荷载的欧拉公式提供了一种估计杆件稳定性的方法。
通过理解临界荷载与材料特性、截面形状和长度之间的关系，工程师可以更好地设计结构，并确保其在实际使用中的安全和稳定性。
第9章 压杆稳定 (材料力学)
µ l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于 是各种支承条件下，细长压杆失稳时 挠曲线中相当于 失稳时，
半波正弦曲线的一段长度 半波正弦曲线的一段长度. 长度.
(Buckling of Columns)
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 ）， 应取最小的形心主惯性矩. 应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力. 中小的一个计算临界力. 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱 若杆端在各个方向的约束情况不同（ 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临 ）， 界压力. 为其相应中性轴的惯性矩. 界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩. 即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力. 然 计算出两个临界压力. 后取小的一个作为压杆的临界压力. 后取小的一个作为压杆的临界压力. x y z
压杆 平衡状态 应力 平衡方程 极限承载能力 强度问题 直线平衡状态不变 达到限值 变形前的形状、尺寸 变形前的形状、 实验确定 稳定问题 平衡形式发生变化 小于限值 σ<σσ 变形后的形状、尺寸 变形后的形状、 理论分析计算
压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？ 压杆什么时候发生稳定性问题，什么时候产生强度问题呢？
•两端简支压杆的挠曲轴 两端简支压杆的挠曲轴
y = Asin
πx
l
•压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡 压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡—— 压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡 可有任意的微弯程度, 但轴线形状一定。 可有任意的微弯程度, 但轴线形状一定。 •临界载荷（欧拉临界载荷)与截面抗弯刚度成正比， 临界载荷（欧拉临界载荷)与截面抗弯刚度成正比， 临界载荷 与杆长的平方成反比。 与杆长的平方成反比。
材料力学笔记之——压杆稳定概念、欧拉公式
材料力学笔记之——压杆稳定概念、欧拉公式压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
稳定性是指构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力（受压直杆在压力作用下，保持原有直线平衡状态的能力）。
受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯，致使结构丧失承载能力，平衡形式的突然变化称为稳定失效，简称失稳或屈曲。
工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构在压力作用下，都可能发生失稳。
构件的失稳往往是突然发生的，造成的事故往往是灾难性的。
因构件失稳而引起的重大事故，1907年加拿大劳伦斯河上，跨长五百多米的魁北克大桥，因压杆失稳而导致整座大桥倒塌，两次事故造成88人遇难。
倒塌的魁北克大桥魁北克大桥稳定失稳造成的事故现在仍时有发生，2000年10月25日，南京电视台演播中心工地，在施工浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌事故，部分施工人员被压，35人被送往医院抢救和治疗，并有5人死亡。
因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。
下端固定、上端自由的杆件如上图 (a) 所示，下端固定、上端自由的杆件，受到压力F 作用。
当载荷小于某一个临界力Fcr，如图(b) 所示，杆件若受到某种微小干扰力f 作用下，使杆件发生微小弯曲变形，杆件偏离直线平衡位置，当撤除干扰力后，杆件又回到原来的直线平衡位置。
当压力F等于临界力Fcr时，杆件可以保持原有的直线平衡状态，受到微小干扰力f作用下，杆件发生微小弯曲变形，但是当撤除干扰力后，杆件不再回到直线平衡位置，而是保持微小弯曲变形的平衡状态，如图 (c) 所示。
但当压力F超过临界力Fcr时，在干扰力作用下，杆件不再回到直线平衡位置，载荷稍大于临界力，就足以使杆产生很大的挠度。
当F≥Fcr 时，原有的直线平衡形式是不稳定的。
使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，简称为临界力，用Fcr表示。
材料力学：压杆稳定
坍塌后的奎拜克桥
材料力学教学课件
韩国汉城
1995年6月29日下午，韩国汉城三 丰百货大楼，由于盲目扩建、加层， 致使大楼四五层立柱不堪重负而产 生失稳破坏，大楼倒塌，死502人， 伤930人，失踪113人。
2020年2月3日星期一
10
第九章 压杆稳定
中国南京 2000年10月25日上午10时，南京电视台演播中 心演播大厅的屋顶的施工中，由于脚手架失稳， 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
26
第九章 压杆稳定
1）、细长杆的临界应力
cr
2E 2
p
2E p
引入记号 1
2E p
欧拉公式的适用范围
l
i
1
2E p
2）、中长杆的临界应力（经验公式）
cr a b, 2 1
sin
kl
l
coskl
0
2020年2月3日星期一
19
第九章 压杆稳定
由于杆在微弯状态下保持平衡时，
Fy不可能等于零，故由上式得
1 sin kl l coskl 0 k 亦即 tan kl kl
满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即 Fcr l 4.49 EI
从而得到此压杆求临界力的欧拉公式：
受均匀压力的球形薄壳或薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将 不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
9
第九章 压杆稳定
由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。 历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年 加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失 稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。
细长压杆的临界压力欧拉公式
(2)
Fc r正 Fc r圆
π2EI正
( l)2
π2 EI圆
I正 I圆
a4
12 πd 4
( l)2
64
πd 2 4
2
12 πd 4
64
π 3
例2：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设 F1和F2 分别为这两个
桁架稳定的最大载荷，则
(A) F1 = F2；
π2EI
( l )2
称为长度因数，l 称为相当长度
π2EI (0.5l ) 2
0.5
Fc r
π2EI (0.7l ) 2
0.7
Fc r
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
π2EI (2l ) 2
2
Fc r
π2EI l2
1
Fc r
例1：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端约束保持不变，若将压杆的
直径缩小一半，则其临界力为原压杆的多少倍？若将压杆的横截面改变为面
积相同的正方形截面，则其临界力为原压杆的多少倍？
解：(1)
Fc r
π2EI
(l)2
π2E πd 4 64
第一讲 基本概念与欧拉公式
一：压杆稳定的概念
钢板尺：一端固 定 一端自由
Fcr ：临界压力
二：细长压杆的临界压力
一、两端铰支细长压杆的临界压力
M (x) F w
EI w M (x) F w
压杆稳定计算简介
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
临界力和欧拉公式定理
第二节临界力和欧拉公式浏览字体设置：- 11pt+ 10pt12pt14pt16pt放入我的网络收藏夹第二节临界力和欧拉公式杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将由稳定状态转化为不稳定状态。
这个压力的限度称为临界力P cr。
它是压杆保持直线稳定形状时所能承受的最小压力。
为了计算压杆的稳定性，就要确定临界力的大小。
通过实验和理论推导，压杆临界力与各个因素有关：(1) 压杆的材料，P cr与材料的弹性模量E成正比，即(2）压杆横截面的形状和尺寸，P cr与压杆横截面的轴惯性矩J成正比，即(3) 压杆的长度，P cr与长度的平方l2成反比，即(4) 压杆两端的支座形式有关，用一个系数表示，称为支座系数，列于表1-10。
表1-10 压杆长度系数杆端约束情况两端固定一端固定一端铰支两端铰支一端固定一端自由长度系数0.5 ≈0.7 1.0 2.0压杆的挠曲线形状为计算方便，写成细长中心受压直杆临界力的欧拉公式对于两端铰支的细长中心受压直杆，当其在临界力cr P，的作用下处于不稳定直线形式的平衡状态，若其材料仍处于理想的线弹性范围内，从力学的观点讲，这类稳定问题称为线弹性稳定问题。
这是压杆稳定问题中最简单的一种。
由临界力的定义可知，中心受压直杆只有在临界力的作用下才有可能在微弯形态下维持平衡(见图7-3)。
现假设压杆轴线在临界力cr P作用下呈图7-3(b)所示的曲线形态。
在图示的坐标系下，压力cr P取正值，位移忙V=f(x)以沿y轴正方向为正，弯矩的正负号规定同2.3节。
压杆任一x 截面上弯矩为将式(7-1a)代入挠曲线的近似微分方程(6-8h)中，并利用压杆支承处的边界条件就可求出压杆的挠曲线的表达式，并进一步导出压杆承受的临界力crP 。
这个临界力实际也就是使压杆维持微弯平衡的．．．．．．．．．．最小压力．．．．。
将式(7-1a)代入公式(6-8h)可得其中I 为压杆横截面的最小形心主惯性矩。
令公式(7-1b)可改写为如下形式的二阶常系数线性微分方程其通解为式中A 、B 、k 三个待定常数可利用该挠曲线的三个边界条件来确定。
材料力学2-11压杆稳定
M0
F x M0
令: k2
x L
F EI
EIy k 2 y k 2
M F
yccoskxdsinkx
边界条件为:
F
M0
F
M0
x 0, y y 0; x L, y y 0
c
M , d 0 , kL 2n 并 kL n F
kL2n
材料的σ-ε的关系为非线形，加载时切线弹性模量用Eσ表示， 卸载时弹性模量为初始弹性模量用E表示，得截面弯曲正应力： 受压区： c E y ( x ) y 受拉区： t E
( x )
得折减弹性模量：
E
4 E E E
2
Er
对于 P 的杆为中小柔度杆，其临界力用下式求：
大多数情况下可取b类。
2. 木材: 按照树种的强度等级分别给出了两种计算公式,见9-11----9-12公式。
例6 图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，直
径为： d = 0.3m，试求此杆的容许压力。
B T1 解：折减系数法 ①最大柔度 x y面内， =1.0
bh , 12
3
Fcry
2 EI y
L2 2
=0.7 ，
③压杆的临界力
bh 3 Iz , 12
Fcrz
2 EI z
( 0.7 L1 )2
Fcr min( Fcry , Fcrz )
例3 F
求下列细长压杆的临界力。
解：图(a)
F
10
30
I min
30 103 1012 2.5 109 m 4 12
A1 12.74cm 2 ,z0 1.52cm,
材料力学第13章压杆稳定
12 hb 3
12
h b
3
8
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端 约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则 其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的 横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临 界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
解：(1)
2EI Pcr ( l)2
2E d4
64
( l)2
1 16
2E I正
cr s
cr s cr s
p
cr a b
cr
2E 2
小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆
O
s
a
s
b
p
2E p
l
i
§13-4 压杆的稳定性计算
稳定性条件：
Pmax
Pc r [nst ]
式中 Pmax ------压杆所受最大工作载荷 Pcr ------压杆的临界压力 [nst ] ------压杆的规定稳定安全系数
当压杆的长细比λ＜λp时，欧拉公式已不 适用。在工程上，一般采用经验公式。 在我国 的设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物 线公式。
直线公式 cr a b
式中 a、b是与材料性质有关的系数。
表 13-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木
度问题
cr s
经验公式中，抛物线公式的表达式为
cr a1 b12
式中 a1、b1 也是与材料性质有关的系数，可
在有关的设计手册和规范中查到。
三、临界应力总图
1. 细长杆( p ), 用欧拉公式
cr
2E 2
2. 中长杆( s p ), 用经验公式
cr a b
材料力学-11压杆稳定
π D4 d4 4
D2 d2 64
D2 d 2
17mm
4
μl i
1(1100) 64.7
17
235钢
2EI
Fcr crA Fcr (l)2 ?
2E 2
(D2 d2)
4
226.14 721090(522 4424)
（1） P
F M Fw
w
d 2w
M
dx2
EI
Fw EI
d2w F
dx2
w0 EI
令: k2 F EI
d2w dx2
k2w
0
二阶线性、 常系数齐次
F Fcr 方程解 wAsin B kc xoskx
x
2019/11/22
11
wAsin B kc xoskx
② 边界条件： w(0)0 w(l )0
2 EI
Fcr (2l )2
Euler公式 （固端－自由）
15
[例1] 试由挠曲微分方程，导出下述细长压杆临界力公式
l
Fcr P
解： 1. 挠曲线近似微分方程：
EI,,w M(x) PwMe
Me x x P
令: k2 P w,, k2w Me
EI
EI
M PwMe wAs ik nx Bcoksx M e
S
P
λ μl i
a s
2E
临界应力总图
b
P
2019/11/22
24
§4 压杆的稳定校核
Stability Condition
为保证压杆有足够的稳定性——安全工作
（工作荷载）F
材力讲稿第9章压杆稳定9.2
Fcr a 2l 3 l 2a x dx 0 2 6
l
26
2
材料力学
U
l
第九章
l 2 cr 2 2 cr
压杆稳定
2 2 5 Fc2 a l l l r x dx 2 2 60 EI 2 2 2
11
材料力学
第九章
压杆稳定
[例9.3.2] 由Q235钢制成的矩形截面压杆，两端用销钉支承。 a 40mm b 60mm l 2.1m l1 2m E 205GPa
p 200Mpa 求临界压力。
解：先求压杆的柔度。 a y 不同纵向面内柔度不同，在XOY平面内： b 1 F F x l F l1 z
2 EI 2 210 109 d 4 64 Fcr 2 2 l 0.7 1.25
又由稳定性条件有：
Fcr nst Fmax 6 4 10 N 24kN
3
3 2 14
24 10 0.7 1.25 64 所以直径： d m 0.0206m 20.6mm 2 9 210 10
cr = s
9
材料力学
第九章
压杆稳定
四、临界应力总图
临界应力总图——压杆的临界应力随柔度的变化情况
cr s p cr s
a b cr
2 E cr 2
O
小 0 柔 度 杆
中 p 柔 度 杆
大 柔 度 杆
可见：压杆的临界应力随着其柔度的增大而减小
23
材料力学
第九章
压杆稳定
如图所示压杆，假设在临界载荷作用下达到微弯平衡状态。 则临界压力在轴向位移上所做的功等于压杆微弯状态下的应变 y 能，即：
材料力学 第十二章 压杆稳定
∴安全
【例12-7】图示支架，AC为圆木杆，直径d=150mm，容许应 力[]=10MPa。试确定容许荷载[P]。
B
45
A
2m
P
C
【解】
A d 2 / 4 4 l 4 2 2 l l 75 4 I d / 64 d 0.15
查表得： 0.518
Pcr cr A 182.5 106 20 30106 [ P] [ N ] 103 36.5kN nw nw 3
【例12-6】图示为型号22a的工字钢压杆，材料A3钢。已知 压力P=280kN，容许应力[]=160MPa，试校核压杆的稳定性。 【解】由型钢表查得22a工字钢的 iy 23.1mm, A 42cm2
二、临界应力总图 压杆的临界应力与柔度的关系曲线，即cr－ 曲线，称
为临界应力总图。
临界应力总图
cr
s
P
cr s
cr a b
2E cr 2
o
s
P
§12–5 压杆稳定的实用计算 可与建立压杆强度条件类似建立压杆的稳定条件：
N cr A nw Pcr 式中nw为稳定安全系数。 将 cr 代入上式，得 A N
(2) P Pcr ; 干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继 (3) P Pcr ; 干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位
压杆于直线状态由稳定平衡过度到不稳定平衡称为失去 稳定，或简称失稳。
压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态时，其轴向
压力称为压杆的临界力，用Pcr表示之。
压杆工作时决不允许失稳。
P 【解】 P
l
E
材料力学压杆稳定第3节 欧拉公式及经验公式
S
a S
b
304 235 1.12
63
综述
对于由合金钢、铝合金、铸铁等制作的 压杆，根据其柔度可将压杆分为三类：
（1） P 的压杆，称为大柔度杆或细长杆
由欧拉公式 计算其临界应力
cr
2E 2
p
（2）S P 的压杆，称为中柔度杆或中长杆
由直线型经验公 式计算临界应力
2E 12
2
206109 1602
79.3 MPa
Fcr1 cr1A 79.3106 0.00785N 623 kN
（b）第二根压杆的临界载荷
2
l2
i
21 0.025
80
60 P 100
60 P 100 该杆为中柔度压杆，用直线公式求：
有关的常数，其单位是
MPa。与前式中的 a 、
b 值是不同。
根据欧拉公式与抛物线 经验公式，得低合金结
构钢等压杆的 cr总图。
cr a1 b12
cr
2E 2
P
例7-5 3 根材料相同的圆形截面压杆，均为一端固
定、一端自由，如图所示，直径均为d 100mm，皆 由 Q235 钢制成，材料的 E 206 GPa， b 200 MPa， S 235 MPa，a 304 MPa，b 1.12 MPa。试求各杆
Fcr A
2EI (l)2 A
令 i I A
令 l
i
cr
2Ei2 (l)2
2E
(
l
材料力学59_稳定概念Euler公式
可得出
C1 sin 2kl C2 cos 2kl 0
C1 sin kl C2 cos kl cos(kl / 2) 0
(9)
2C1 cos kl 2C2 sin kl sin(kl / 2) 0
齐次方程组(9)的C1、C2和 有非零解，其系数行列式
sin 2kl cos 2kl
上两式的通解是
v1 C1 sin 2kx C2 cos 2kx
v2 C3 sin kx C4 cos kx 压杆的位移边界条件为： 在x = 0 处，v2 = 0，v2 = 0 在x = l 处，v1 = 在x =l/2 处，v1 = v2，v1 = v 2
可定出积分常数C3＝0，C4＝－，于是 v2 1 cos kx来自zliz
1 940 17.32
54.3
在xz面内失稳，曲柄销与滑块销的约束近于固支端，长度系数＝0.5，此时截面以
y轴为中性轴，于是
iy
I y b 7.22mm A 23
y
l1
iy
0.5 880 7.22
61 z
由于y>z，故连杆在xz面内失稳先于在xy面内失稳，所以应以y来求临界力。 因为y＝61<123，所以用式(7-8)计算临界应力：
cr＝235－0.00668×612=210MPa
Fcr F
210 60 25 120 103
2.63 nst
此例题中，如果要求连杆在xy和xz两平面内失稳时的临界力相等，就必须使y＝z 亦即
l 0.5l1 Iz / A Iy / A
由于l1和l相差不多，上式近似为Iz≈4Iy，可见，为使连杆在两个方向抵抗失稳的能力接 近相等，在截面设计时，应大致保持Iz≈4Iy这一关系。