2020年丰台区高三二模(理数)

丰台区2020年高三年级第二学期统一练习

（二） 2020. 5

数学（理科）

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．复数1i

2i

-+的虚部是

(A) i - (B) 3

i 5

- (C) –1

(D) 35- 2．一个正四棱锥的所有棱长均为2

，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正 视图的面积为

(C) 2 (D) 4

3．由曲线1

y x =

与y=x ，x=4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是 (A) 3132 (B) 2316

(C) 1

ln 42

+ (D) ln41+

4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63(A) 7n ≤ (B) 7n > (C) 6n ≤ (D) 6n >

5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2取出一个记下颜色后放回，当红球取到2数恰为3次的概率是

(A) 18125 (B) 36125

(C) 44125 (D) 81125

6．在△ABC 中，∠BAC=90º，D 是BC 中点，AB=4，AC=3，则u u (A) 7-

(B) 72

-

俯视图

(C)

72

(D) 7

7．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是

(A)

(B)

(C)

(D)

8．已知平面上四个点1(0,0)A ，2(23,2)A ，3(234,2)A ，4(4,0)A ．设D 是四边形

1234A A A A 及其内部的点构成的点的集合，点0P 是四边形对角线的交点，若集合0{|||||,1,2,3,4}i S P D PP PA i =∈≤=，则集合S 所表示的平面区域的面积为

(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．在极坐标系中，圆2sin ρθ=的圆心的极坐标是____．

10

．已知椭圆22

221(7

x y m m m +=>-上一点M 到两个焦点的距离分别是5和3，则

该椭圆的离心率为______．

11．如图所示，AB 是圆的直径，点C 在圆上，过点B ，C 的切线交于点P ，AP 交圆于D ，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______． 12．某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表：

为

ˆˆ4055.25y

bx =+，据此模型可预测2020年该地区的恩格尔系数(%)为______．

13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种． 14. 在平面直角坐标系中，若点A ，B 同时满足：①点A ，B 都在函数()y f x =图

象上；②点A ，B 关于原点对称，则称点对(A ,B )是函数()y f x =的一个“姐妹点对”（规定点对(A ,B )与点对(B ,A )是同一个“姐妹点对”）．那么函数

2

4,0,

()2,0,

x x f x x

x x -≥⎧

=⎨-<⎩ 的“姐妹点对”的个数为_______；当函数()x g x a x a =--有“姐妹点对”时，a 的取值范围是______．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）

已知函数()cos sin )f

x x x x =-

（Ⅰ）求()3

f π

的值；

（Ⅱ）求函数()y f x =在区间[0,]2

π

上的最小值，并求使()y f x =取得最小值时

的x 的值．

P

B

A

16.（本小题共13分）

某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每．超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券

上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ

（Ⅰ）求a，

（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．

17.（本小题共14分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠B AF=90º，

AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．

（Ⅰ）若P是DF的中点，

(ⅰ) 求证：BF // 平面ACP；

(ⅱ) 求异面直线BE与CP所成角的余弦值；

，求PF的长度．

（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值为

3

P

F

E

D

C

A

B

18.（本小题共13分）

已知数列{a n }满足14a =，131n n n a a p +=+⋅+(n *∈N ，p 为常数)，1a ，26a +，

3a 成等差数列．

（Ⅰ）求p 的值及数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设数列{b n }满足2

n n n b a n

=-，证明：49n b ≤．

19.（本小题共14分）

在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的焦点在y 轴上，且抛物线上的点P(x 0，4)到焦点F 的距离为5．斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点．

（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程，及抛物线在P 点处的切线方程；

（Ⅱ）若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线于M ，N 两点（M ，N 位于直线l 两侧），当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程．

20.（本小题共13分）

设函数()ln ()ln()f x x x a x a x =+--(0)a >． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的最小值；

（Ⅱ）证明：对∀x 1，x 2∈R +，都有[]11221212ln ln ()ln()ln 2x x x x x x x x +≥++-； （Ⅲ）若21

1n

i i x ==∑，证明：21

ln ln 2n

n i i i x x =≥-∑ *(,)i n ∈N ．

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）