四川省广元市宝轮中学2017届高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年四川省广元市宝轮中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是题目要求的）1．设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A．1 B．C．D．22．设集合A={x|2x﹣1≥5}，集合，则A∩B等于（）A．（3，7） B．[3，7]C．（3，7]D．[3，7）3．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．25．设，，c=lg0.7，则（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c6．若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）7．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|=（）A．B． C．D．108．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，）C．[，）D．[，1）9．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元10．一个几何体的三视图如图，则其表面积为（）A．20 B．18 C．14+2D．14+211．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．12．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）二.填空题（每题5分，满分20分）13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=．14．在的展开式中，x2的系数为（用数字作答）．15．根据如图，当输入x为2006时，输出的y=．（用数字作答）16．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为．三.解答题（本大题个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设数列{a n}的各项均为正数，它的前n项的和为S n，点（a n，S n）在函数y=x2+x+的图象上；数列{b n}满足b1=a1，b n+1（a n+1﹣a n）=b n．其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求证：数列{c n}的前n项的和T n＞（n∈N*）．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC和CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4，∠BAC=90°．（Ⅰ）求证：B1D⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角B1﹣AE﹣D的余弦值．19．某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．（1）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？（2）若从所有甲部门人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．21．函数f（x）=lnx，g（x）=x2．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣x+1的最大值；（Ⅱ）对于任意x1，x2∈（0，+∞），且x2＜x1，是否存在实数m，使mg（x2）﹣mg（x1）＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立，若存在求出m的范围，若不存在，说明理由．22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．2016-2017学年四川省广元市宝轮中学高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，满分60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是题目要求的）1．设i是虚数单位，复数z=，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵z===i（1﹣i）=i+1，则|z|=．故选：B．2．设集合A={x|2x﹣1≥5}，集合，则A∩B等于（）A．（3，7） B．[3，7]C．（3，7]D．[3，7）【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B的等价条件，利用交集定义进行求解即可．【解答】解：A={x|2x﹣1≥5}={x|x≥3}，集合={x|7﹣x＞0}={x|x ＜7}，则A∩B={x|3≤x＜7}，故选：D．3．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．4．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣ B．﹣ C．D．2【考点】圆的一般方程；点到直线的距离公式．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．5．设，，c=lg0.7，则（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜b＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】由于幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增，可得a，b的大小关系；又c=lg0.7＜0，即可得出．【解答】解：由于幂函数f（x）=在（0，+∞）上单调递增；∴0＜＜，又c=lg0.7＜0，∴c＜a＜b．故选：C．6．若将函数y=2sin2x 的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）A ．x=﹣（k ∈Z ） B ．x=+（k ∈Z ） C ．x=﹣（k ∈Z ）D ．x=+（k ∈Z ）【考点】正弦函数的对称性；函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】利用函数y=A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．【解答】解：将函数y=2sin2x 的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x +）=2sin （2x +），由2x +=kπ+（k ∈Z ）得：x=+（k ∈Z ），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k ∈Z ），故选：B ．7．设x ，y ∈R ，向量=（x ，1），=（1，y ），=（2，﹣4），且⊥，∥，则|+|=（ ）A ．B ．C ．D ．10【考点】平行向量与共线向量；向量的模．【分析】由向量平行与垂直的充要条件建立关于x 、y 的等式，解出x 、y 的值求出向量的坐标，从而得到向量的坐标，再由向量模的公式加以计算，可得答案．【解答】解：∵，且，∴x•2+1•（﹣4）=0，解得x=2．又∵，且， ∴1•（﹣4）=y•2，解之得y=﹣2，由此可得，，∴=（3，﹣1），可得==．故选：B8．已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，）C．[，）D．[，1）【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数的单调性以及一次函数，对数函数的性质，求出a的范围即可．【解答】解：由题意得：，解得：≤x＜，故选：C．9．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元【考点】简单线性规划．【分析】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．【解答】解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=280010．一个几何体的三视图如图，则其表面积为（）A．20 B．18 C．14+2D．14+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得其直观图，从而求各个面的面积之和即可．【解答】解：由三视图得其直观图如下，由正方体截去四个角得到，故其表面积S=2×2+×2×2+4××2×2+4×××=20；故选A．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F2的直线交双曲线的右支于P，Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先作出图形，并作出双曲线的右准线l，设P到l的距离为d，根据双曲线的第二定义即可求出Q到l的距离为．过Q作l的垂线QQ1，而过P作QQ1的垂线PM，交x轴于N，在△PMQ中有，这样即可求得d=，根据已知条件及双曲线的定义可以求出|PF2|=2c﹣2a，所以根据双曲线的第二定义即可得到，进一步可整理成，这样解关于的方程即可．【解答】解：如图，l为该双曲线的右准线，设P到右准线的距离为d；过P作PP1⊥l，QQ1⊥l，分别交l于P1，Q1；∵，3|PF2|=2|QF2|；∴，；过P作PM⊥QQ1，垂直为M，交x轴于N，则：；∴解得d=；∵根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=2c﹣2a；∴根据双曲线的第二定义，；整理成：；∴解得（舍去）；即该双曲线的离心率为．故选A．12．若函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y 轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）【考点】函数的图象．【分析】由题意可得e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，函数h（x）=e x﹣﹣ln （﹣x+a）为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈（﹣∞，0），满足x02+e x0﹣=（﹣x0）2+ln（﹣x0+a），即e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）=0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0﹣﹣ln（﹣x0+a）也趋近于负无穷大，且函数h（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）为增函数，∴h（0）=e0﹣﹣lna＞0，∴lna＜ln，∴a＜，∴a的取值范围是（﹣∞，），故选：A二.填空题（每题5分，满分20分）13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=1．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b【解答】解：∵sinB=，∴B=或B=当B=时，a=，C=，A=，由正弦定理可得，则b=1当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾故答案为：114．在的展开式中，x2的系数为﹣14（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，求出r，代入通项求出展开式中x2的系数．【解答】解：展开式的通项令得r=1故x2的系数为（﹣2）×C71=﹣14故答案为﹣1415．根据如图，当输入x为2006时，输出的y=10．（用数字作答）【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，可得x=2006，x=2004满足条件x≥0，x=2002满足条件x≥0，x=2000…满足条件x≥0，x=0满足条件x≥0，x=﹣2不满足条件x≥0，y=10输出y的值为10．故答案为：10．16．已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）=x3﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件先求出函数在[0，2）上的零点个数，利用函数的周期性进行判断即可．【解答】解：当0≤x＜2时，由f（x）=x3﹣x=0得x（x2﹣1）=0，得x=0或x=1或x=﹣1（舍），∵函数的周期是2，∴当2≤x＜4时，函数的零点为2，3，当4≤x＜6时，函数的零点为4，5，当x=6时，函数的零点为6，故函数f（x）在区间[0，6]有7个零点，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7个，故答案为：7三.解答题（本大题个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．设数列{a n}的各项均为正数，它的前n项的和为S n，点（a n，S n）在函数y=x2+x+的图象上；数列{b n}满足b1=a1，b n+1（a n+1﹣a n）=b n．其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求证：数列{c n}的前n项的和T n＞（n∈N*）．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）根据数列项和前n项和之间的关系即可求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出c n=是表达式，利用错位相减法求出数列{c n}的前n项的和，即可得到结论．【解答】解：（1）∵点（a n，S n）在函数y=x2+x+的图象上，∴，①当n≥2时，，②①﹣②得：，即，∵数列{a n}的各项均为正数，=4（n≥2），∴a n﹣a n﹣1又a1=2，∴a n=4n﹣2；∵b1=a1，b n+1（a n+1﹣a n）=b n，∴，∴；（2）∵，∴，4T n=4+3•42+5•43+…+（2n﹣3）•4n﹣1+（2n﹣1）•4n，两式相减得，∴．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是BC和CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4，∠BAC=90°．（Ⅰ）求证：B1D⊥平面AED；（Ⅱ）求二面角B1﹣AE﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别计算•=0，•=0，利用直线与平面垂直的判定定理可证B1D⊥平面AED；（Ⅱ）由（Ⅰ）分别求出平面AED和平面B1AE一个法向量；利用空间两个向量的夹角公式即可求出二面角B1﹣AE﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，∵AB=AC=AA1=4，∴A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），B1（4，0，4），∴=（﹣2，2，﹣4），=（2，2，0），=（0，4，2），∵•=﹣4+4+0=0，∴⊥，即B1D⊥AD，∵•=0+8﹣8=0，∴⊥，即B1D⊥AE，又AD，AE⊂平面AED，且AD∩AE=A，则B1D⊥平面AED；（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（﹣2，2，﹣4），为平面AED的一个法向量，设平面B1AE的法向量为=（x，y，z），∵=（0，4，2），=（4，0，4），∴，得，令y=1，得x=2，z=﹣2，即=（2，1，﹣2），∴cos（，）===，∴二面角二面角B1﹣AE﹣D的余弦值为．19．某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作．（1）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？（2）若从所有甲部门人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”20人中抽取8人，每个人被抽中的概率是=．根据茎叶图，“甲部门”人选有10人，“乙部门”人选有10人．可得所以选中的“甲部门”人选，“乙部门”人选．设事件A“至少有一名甲部门人被选中”，其对立事件为．P（A）=1﹣P（）．（2）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，利用“超几何分布”即可得出．【解答】解：（1）用分层抽样的方法从“甲部门”和“乙部门”20人中抽取8人，每个人被抽中的概率是=．根据茎叶图，“甲部门”人选有10人，“乙部门”人选有10人．所以选中的“甲部门”人选有=4人，“乙部门”人选有10×=4人．设事件A“至少有一名甲部门人被选中”，其对立事件为．P（A）=1﹣P（）=1﹣=．因此，至少有1人是“甲部门”人选的概率是．（2）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．因此，X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），可得直线TF的斜率k TF=﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．直线方程与椭圆方程可得根与系数的关系．由于四边形OPTQ是平行四边形，可得，即可解得m．此时四边形OPTQ的面积S=．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得c=2，a=，b=．∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m），则直线TF的斜率，∵TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，化为（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，△＞0，∴y1+y2=，y1y2=．∴x1+x2=m（y1+y2）﹣4=．∵四边形OPTQ是平行四边形，∴，∴（x1，y1）=（﹣3﹣x2，m﹣y2），∴，解得m=±1．此时四边形OPTQ的面积S=═=．21．函数f（x）=lnx，g（x）=x2．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣x+1的最大值；（Ⅱ）对于任意x1，x2∈（0，+∞），且x2＜x1，是否存在实数m，使mg（x2）﹣mg（x1）＞x1f（x1）﹣x2f（x2）恒成立，若存在求出m的范围，若不存在，说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的定义域、导数h′（x），由导数的符号可知函数单调性，根据单调性即可得到最大值；（Ⅱ）mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f （x2）＞mg（x1）+x1f（x1），设φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，又0＜x1＜x2，则只需φ（x）在（0，+∞）上单调递减．从而有φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上恒成立，分离出参数m后化为函数最值即可，利用导数可求得函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）函数h（x）的定义域为（0，+∞），∵h（x）=lnx﹣x+1，∴h′（x）=﹣1=，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．∴h（x）在（0，1）上是单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=0，即函数的最大值为0．（Ⅱ）若mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）＞mg（x1）+x1f（x1），设φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，又0＜x1＜x2，则只需φ（x）在（0，+∞）上单调递减．∴φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得2m≤，设t（x）=，则t′（x）=，知函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即t（x）min=t（1）=﹣1．∴存在实数m≤﹣，使mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）恒为正数．22．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2．（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．【考点】椭圆的参数方程；点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程；直线的参数方程．【分析】（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C的普通方程．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P到直线l的距离的最大值．【解答】解：（1）由得ρ（cosθ+sinθ）=4，∴直线l：x+y ﹣4=0．由得C：．（2）在C：上任取一点，则点P到直线l的距离为d==≤=3．∴当=﹣1，即+2kπ，k∈z 时，d max=3．2017年2月14日。