保险精算学笔记：生命表函数与生命表构造
保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）
保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。
⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。
所以长期业务⼀般复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。
所以短期业务⼀般单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。
2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。
3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。
第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。
原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。
2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。
生命表函数与生命表构造
1 1 1 1 1 d t d t d t ... d 1 l0 2 t 0 t 1 t 2
1 1 1 1 1 [ d 0 (1 )d1 (2 )d 2 .... ( 1 )d 1 ] l0 2 2 2 2 (3.11)
ln
s ( x n) ln n p x s ( x)
xn x
故 n p x exp(
y dy) exp( x s ds
0 t 0
n
同样，对于t p x exp( x s ds)
• 死亡效力与生存函数的关系
s ( x) exp{ s ds}
0 x
• 死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g (t )
s ( x) s ( x t ) G (t ) 1 t px s ( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s ( x) s ( x)
• 概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
k px qx k k qx
设S ( x)为( x)在死亡年所活过的不足 一年的部分，它是（ 0， 1 ）上的连续分布
T（x）=K(x)+S(x)
n t 0
p x x t dt 1
根据死亡力的定义公式 ，容易得出
n
q x t p x x t dt
0
nm
qx
nm t
寿险精算第二讲：生命表构成及应用
生命表构建和运用学习重点：掌握生命表基本函数及其相互关系、了解生命表的编制方法及分类。
从概率论和数理统计角度出发、根据大数定律原则，研究人的寿命概率分布和生存函数，建立描述各年龄段死亡率的生命表来弥补生存函数的不足，从而形成较完善的生存（死亡）分布理论。
研究人类寿命的分布规律，讨论生命表构造情况是寿险精算学的基础。
在精算学中，生命表也称死亡率表或精算表。
生命表通常以10万（或100万）人作为0岁的生存人数，然后根据各年中死亡人数，各年末生存人数计算各年龄人口的死亡率、生存率，列成表格，直至此10万全部死亡为止。
生命表上所记载的死亡率、生存率是决定人寿保险费的重要依据。
是反映一个国家或一个区域人口生存死亡规律的调查统计表。
即追踪一批人，逐年记录该人群的死亡人数，得到该人群从出生到死亡为止的各年龄死亡率，并进一步构成表格式模型，称为生命表。
一、生命表简介1、生命表的编制生命表可以依据实际同时出生的一批人资料编制，即纵向跟踪这批人从出生到死亡的的全部过程。
这种生命表成为实际同批人生命表。
但在实际中取得这批人死亡事件的完整资料，而且这种生命表只能是历史的追述，不能说明现在某个时期的死亡水平。
通常采用假设同批人方法编制生命表，即把某一时期各个年龄的死亡水平当成同时出生的一批人各个年龄的死亡水平看待。
这样编制的生命表称为时期生命表或假设同批人生命表。
2、生命表的分类在人口分析中，可按性别、地区、种族等对人口进行分类，从而分别编制反映各类人口死亡规律的生命表。
（1）国民生命表和经验生命表：国民生命表根据全体国民或特定地区的人口统计资料编制的统计表；经验生命表是寿险公司根据被保险人的死亡记录所编制的生命表。
由于寿险公司要求被保险人体检合格后才予以承保，所以，经验生命表的死亡率通常低于国民生命表的死亡率。
（2）寿险生命表和年金生命表：由于逆选择现象的存在，选择年金的人一般对身体健康状况较为乐观，而选择寿险的人对身体状况不太乐观，这两类人群的死亡率是有明显区别的。
保险精算第3章(3)
s(x t)
t px
1 ty px t px
1
pxt y pxt
1
p
y x
y p xt pxy
26
例：在常数死力下求： q5 75.25
l75 56799 l76 54239 l80 43180 l81 40208
p 5 75.25 p 0.75 75.25 4 p76 0.25 p80
5 p20 0.2 p25 (10.8 p25.2 2 p26 0.6 p28 )
l25 l20
(1
0.2q25 )[1
(1
0.8q25 1 0.2q25
)
l28 l26
(1
0.6q28 )
0.00248
24
二、年龄内常数死力假设(几何插值法)
还可以怎么写？
• 令： s(x t) s(x)1t s(x 1)t 0 t 1
p0.75 75
l80 l76
p 0.25 80
0.75545
q5 75.25 0.24455
27
三、调和插值法（Balducci假设）
• 令： 1 1 t t
s(x t) s(x) s(x 1)
0t 1
• 生存函数：
t
px
s(x t) s(x)
1 1t t s(x) s(x 1)
0 t 1
1.t qx
lx
lxt lx
td x lx
tqx
2.t px
lxt lx
lx tdx lx
1 tqx
3. y qxt
lxt
lxt y lxt
yd x lx tdx
yqx 1 tqx
21
寿险精算公式集合
x kxn
Weibull 模型(1939) s( x) exp{kxn1} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题： 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。 生命表起源 生命表的定义：根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所 组成的汇总表. 生命表的发展历史：1662 年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过《生命表 的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。1693 年，Edmund Halley,《根据 Breslau 城出 生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死 亡年龄的分布。人们因而把 Halley 称为生命表的创始人。 生命表的特点：构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方 法） 生命表的构造 原理：在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
0
整值未来寿命的期望与方差
期 望 整 值 未 来 寿 命 ： (x) 整 值 未 来 寿 命 的 期 望 值 ( 均 值 ), 简 记
e ex E ( K ( x))
k k px qxk
p k 1
x
x
k 0
k 0
பைடு நூலகம்
Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k 1 px ex2
d
。计算下面各值：（1）
30
,
20
中国精算师考试生命表笔记
ò ò n mx =
n 0
lx+s
×
mx+s
ds
n
0 lx+sds
=
n dx n Lx
13、暴露数的概念
ò ò å n
¥
¥
n Lx =
0 lx+sds ，
Tx =
x
l y dy
=
Ly
y=x
，
å ò ¥
Tx* =
ly ，
y = x +1
Yx =
¥
x Tydy ，
n
fx
=
n Lx - n × lx+n n ×n dx
人数占全部死亡人数的比例， ex 为样本中实际结束总人数）
bqˆx =
b2 - 4a × nx × dx 2a nx
，其中 b =
nx
- (1-a ) × ex
+a ×dx
（2）矩估计的方差：
n
å Var[Qˆx | nx ,{ri , si}] =
i=1
q (1 - si -ri x+ri
si -ri
Sˆ(x) = p0 × p1 ×L× px-1
Var[Sˆ
(
x)
|
{ni
'}]
=
[S
(
x)]2
x -1
×[Õ(i=1来自piqi × ni
'
+
1)
-
1]
Greenwood
公式：Var[Sˆ(x)
| {ni
'}]
=
[S (x)]2
3、x 岁的人生存到（x+n）岁的概率
保险精算学3-生命表
1995年，我国编制了第一张寿险行业经验生命表，即“中 国人寿保险业经验生命表（1990-1993）”，实现了从无 到有的飞跃。
1、tLx：x岁的人在x~x+t岁间的生存人年数。
人年数（复合单位）：人群存活时间的复合单位。1 个人存活1年是1人年，2个人每人存活半年也是1人 年。
在死亡均匀分布的假设下，x~x+t岁间死亡的人数
tdx平均存活t/2年，活到lx+t的人则存活t年，故有：
t Lx
t lxt
t 2
t dx
t 2
检选生命表vs终极生命表vs综合生命表
四、各类生命表之间的关系
国民生命表与经验生命表
死亡率经验<死亡率国民
寿险生命表与年金生命表
死亡率年金<死亡率寿险
男性生命表与女性生命表
死亡率女性<死亡率男性
检选生命表与终极生命表
死亡率随承保期的增加而增加 检选生命表基于签单年龄而设计 由于验体效力的作用，在相同的年龄段，死亡
第二节 生命表基本函数
初始年龄为0岁，初始人数l0，极限年龄w=105，lw=0
一、生命表中的各类人数
1、dx：x岁的人在未来一年内（x岁~x+1岁之间）
死亡的人数。
dx lx lx1
2、tdx：x岁的人在x岁~x+t岁间死亡的人数。
t dx lx lxt dx dx1 ... dxt1
0
tm
t m qx y px x ydy
《保险精算》之三--生命表
整值剩余寿命
定义： ( x ) 未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) k, k T ( x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr( K ( X ) k ) Pr( k T ( x) k 1)
k 1
qx k qx k px k 1 px
11
(*) (**)
例： 已知l x 1000(1 解： 50 l50 (1) 20 p30 120 77.78% l30 1 30 120 1 l45 l50 (2) 20|5 q 25 l25 (1 45 50 ) (1 ) 120 120 5.26% 25 1 120 x ),计算 20 p30和 20|5 q25 . 120
F (t x) F ( x) 1 F ( x) s ( x) s ( x t ) s ( x)
17
x岁余寿的生存函数
x岁的人在x+t~x+t+u的死亡概率 t｜u q x ，以 概率的方式表示为：
t｜u
qx Pr[t T ( x) t u ]
t u q x t q x t p x t u p x t p x u q x t
保险精算之三
王明征 大连理工大学管理学院 2009年11月
第三章 生命表
2
生命表相关定义
生命表：反映在封闭人口的条件下，一批 人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统 计表。 封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变 动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出 人口。
3
生命表基本函数
lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,……ω-1。
《保险精算学》笔记：多元生命函数-8页文档资料
《保险精算学》笔记：多元生命函数第一节多元生命函数简介一、多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。
二、多元生命函数的作用养老金给付场合合伙人联保场合遗产税的计算场合三、多元剩余寿命的联合分布1、联合密度函数2、联合分布函数3、联合生存函数4、边际生存函数第二节多元生命状况一、连生状况1、连生状况定义（1）定义：当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。
当有一个成员死亡时，连生状况就结束了。
简记连生状况为：（2）连生状况剩余寿命的定义：（3）连生状况剩余寿命的性质：连生状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最小次序统计量2、两个体连生状况的生命函数（1）分布函数（2）生存函数特别：两个体剩余寿命独立场合（3）密度函数特别：两个体剩余寿命独立场合（4）死亡效力函数特别：两个体剩余寿命独立场合（5）两个体至少有一个在第年内死亡的概率（6）连生状况整值剩余寿命为的概率（7）剩余寿命的期望二、最后生存状况1、最后生存状况的定义（1）定义：只要至少有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。
当所有的成员都死亡时，最后生存状况就结束了。
简记最后生存状况为：（2）最后生存状况剩余寿命的定义：（3）最后生存状况剩余寿命的性质：最后生存状况的剩余寿命的实质上就是个生命的最大次序统计量2、多生命状况剩余寿命的关系（1）（2）（3）（4）3、两个体最后生存状况的生命函数（1）分布函数等价公式（2）生存函数等价公式（3）密度函数等价公式（4）死亡效力函数（5）最后生存状况整值剩余寿命为的概率等价公式（6）剩余寿命期望4、联合生命状态剩余寿命协方差分析第三节联合生命模型一、简介联合生命模型分为两类：Common Shock 模型和Copulas模型。
Common Shock 模型假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。
这种模型假定有时与现实情况不符，但易于分析。
Copulas模型假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。
第二章 生命表
d x n lx n d x n q n| x lx lx lx n （2）
n
px qx n
•
lx n lx n m q n px n m px n px m qx n |m x n lx
• 生命表的特点
– 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
生命表的构造
• 原理
– 在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群 的生存概率。（用频数估计频率）
• 常用符号
– 新生生命组个体数：l0 – 年龄：x – 极限年龄：
生命表的构造
• l0个新生生命能生存到年龄X的期望个数：x l
t
Lx l y dy
x
x t
• l0 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总 数： x T
Tx l y dy
x
Tx ex lx
oHale Waihona Puke 生命表实例（美国全体人口生命表）
年龄区 死亡比 期初生 期间死亡 间 例 存数 数 在年龄区间 共存活年数
有关寿命分布的参数模型
• Makeham模型(1860)
x A Bc
x
s ( x) exp{ Ax B (c x 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0
• Weibull模型(1939)
x kx n
s ( x) exp{kx n 1 /(n 1)} , k 0, n 0, x 0
s( x) s( x t ) G (t ) 1 t px s( x) d d s ( x) s ( x t ) s ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt s( x) s( x)
[经济学]保险精算_OK
![[经济学]保险精算_OK](https://img.taocdn.com/s3/m/e8543aeda76e58fafbb0039a.png)
1的00人不适用
100 x 100 x 1 1
100 x
100 x
❖26
• 上述假设的解析式中， • 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 • 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很
大的误差 • 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是
使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分 布。 • 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分 布。
T (x) X x • 可见 T的分布就是已知 X 时x 的X条件分布
❖10
三、剩余寿命
• T (x的) 分布函数： FT (t) P r(T t),t 0 P r(x X x t X x) F(x t) F(x) 1 F(x) s(x) s(x t) s(x)
❖11
❖44
例如：
p p p p p 4 [73]3
k 0
k 0
❖19
五、死亡效力
• 定义： (x的) 瞬时死亡率，简记 x
x
s(x) s(x)
f (x) s(x)
ln[s(x)]
❖20
死亡效力与其他函数的关系
• 死亡效力与生存函数的关系
x
s(x) s(x)
[ln s(x)]
x
0 ydy
x
[ln s( y)]dy
ln
s( y)
x
ln
n Lx
n
0 t lxt xtdt nlxn
n
0 t lx t pxxtdt n lxn n lxn
n
lx 0 t (t px )dt n lxn
t lxt
n
0
n
0 lxtdt n lxn
《保险精算》之三--生命表
∫
x+n
x
µ y dy = − ∫
x+n
x
s'( y) d y = − lns(y) | x + n = − [ln s ( x + n ) − ln s ( x )] x s( y)
= − ln 故有
n
s( x + n) = − ln n p x s( x)
−
x+n
p x = e ∫xµBiblioteka y dy∞ 0ex
正是T(x)随机变量的期望值
p xµ
∞ 0 t
e
x
= E [T ( x )] =
∫
t
t
x + t
dt =
∫
p xdt
23
死亡力
生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在 0~1上的积分
d x = ∫ lx + t µ x + t dt
0
1
生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx+t在0~1上的积分
26
例3.6：已知F0 (t ) = 1 − e
− λt
, λ > 0, 计算µ x 。
解：由已知条件知，f 0 (t ) = λ e − λt , 有 f 0 ( x) λ e−λ x = −λ x = λ; µx = 1 − F0 (t ) e
27
整值平均余寿与中值余寿
x岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数， 不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x) 的期望值，以ex表示，
d x + n lx + n − lx + n + m = = n px − n + m px = n px ⋅m qx + n n｜m q x＝ lx lx
保险精算第3章
lx+n n px = lx
n
px + n qx =1
5.
n
岁的人在x～ 岁生存的人年数， 岁的人在 岁生存的人年数 Lx : x岁的人在 ～x+n岁生存的人年数，简记
1 x
L = Lx
人年数是表示人群存活时间的复合单位。 人年数是表示人群存活时间的复合单位。 在死亡均匀分布假设下， 在死亡均匀分布假设下，有
100 T0 x 2. e0 = = ∫ (1− )dx = 50 0 l0 100 o
3.4 几个常用的生存模型
3.4.1 均匀分布（De Moivre分布） 均匀分布（ 分布） 分布 由法国数学家Abraham De Moivre在1724年提出） 年提出） （由法国数学家 在 年提出
f (x) =
0 1
Tx = ∫ lx+t dt
0
+∞
ex = E(T) = ∫ t ⋅ t px ⋅ µx+t dt
0
o
+∞
e0 = E( X ) = ∫
o
o
+∞
0
x ⋅ f (x)dx
+∞ l ∞ Tx x+t ex = = ∫ dt = ∫ t pxdt 0 0 lx lx
填空: 填空:
x
0 1 2 3 4 5 6
它正是 x 岁的人在 t 时间内死亡的概率 t qx
t
qx = Pr[x < X ≤ t + x X > x] F(t + x) − F(x) S(x) − S(t + x) = = 1− F(x) S(x)
1− F(t + x) S(t + x) − = t px =1 t qx = 1− F(x) S(x)
寿险理论中的生命表与生命函数
,
,
岁起 一 直 到 生 存 少 数 成 为
,
的这段时 间 内 生命表
各种 函 数
飞
、
。
以 统 计 数 字 表 明 每 年死 亡 生 存 状 态 的 表
1 9 98 《 新疆金 融 》
与生 命函 数 有 关 的 随 机 变量
年 第 四 期 ( 曾第
、
2 12
期)
①
龄
。
是指 新 生 婴 儿
的 分 布 函数
一寿
右 垂 垂企
山 山 ,, ,
幢 皿 组 口 国
任 企份 釜 任 任
企 啥企
份垂
企份
份 企 手垂 垂
份垂
份 份手 垂 协份 协 板
滋 币 盛 甲 吊 谧 通 爪 泣 协 爪 邝 味 曦 旅 d
申 甲 喇 甲
险 理 论 中 的
生命表与生命 函数
牛新华
认 , , 二二 , , , , ,
二
, 二 二二二二二二 , 二 , ,
。 。 ,
、
二 生 命表 在 保 险 中 的 运 用 生 命表
,
又 称作 死 亡 表 和 死 亡 生 残 表
O
它 是指
,
构 造 生 命表的 原 始 生 存 数 和 死 亡 率
所以 应 以 生 命
某 一 个数 目( 例 如 1 0 万 )的 在自
O
、
岁人 所组 成 的集 团
0
表 中 的原 始 生 存 数 和 死 亡 率 为 基 础 而 推 演 出 来 的
。 、
险 因 此 年 金 保 险 比死 亡 保 险 的 死 亡 率 更 低
三 对生 命函 数 的 描 述
、
保险精算 第3章1 生命函数.
表示新生儿50岁仍然生存的概率 或50岁以后死亡的概率。
3.1.2 生存函数
生存函数 S(x) Pr(X x) x 0
意义：新生儿能活过 x 岁的概率。
与分布函数的关系：S(x) 1 F(x) 与密度函数的关系：f (x) S(x) 例
Pr(X 50) S(50)
S(0) 1
前面我们讲分布函数和生存函数都是从年龄 x 0 开
始考虑的，但实际购买保险的被保险人往往已经活到
某个年龄x 岁的人，这时我们关心的是x 岁的人剩
余寿命X x 的分布。 (x) 表示一个 x 岁的人或已经活到 x 岁的人.
T (x) X x 表示 (x) 未来寿命的随机变量,即剩余
寿命,简称余命.
关于T的分布,就是 X x 时,X 的条件分布.
（X :出生婴儿的未来寿命.）
练习：设 x
F (x) 80
(0 x 80)
1 (x 80)
求：
1） s(x)
2）新生儿在30岁前死亡的概率； 3）新生儿活过50岁的概率； 4）新生儿在30岁和50岁之间死亡的概率。
Fx t F 1 Fx
x
S(x)
S(x S(x)
t)
剩余寿命 T 的生存函数,记作 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X t) s(x t) s(x)
t px 表示 x 岁的人在 x t 岁时仍活着的概率.
生存状况
从数学的角度，生存状况是一个简单的过程。 这个过程有如下的特征： 1.存在两种状态：生存和死亡。 2.生命个体可从“生存”状态到“死亡”状态，但不能
保险精算 第2章 生命表
qx
t
qx
13
ห้องสมุดไป่ตู้际通用精算符号
t
qx
s ( x) s ( x t ) Pr[T ( x) t ] FT (t ) s( x)
s( x t ) t p x 1t qx s ( x)
s( x t ) s( x t u ) q t u x t p x t u p x s ( x)
x 0 0
x
s( x t ) fT (t ) s ( x)
s( x t ) s( x t ) [ ] t px x t s ( x) s( x t )
s ( x) e
x 0 y dy
19
Actuarial Science
生存函数、死力的解析式
Lx I j
j 1
l0
E(I j ) 1 s( x) 0 (1 s( x)) s( x),( j 1, 2,..., l0 )
l x E( Lx ) E( I j ) E( I j ) l0 s( x)
j 1 j 1
27
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死亡人数
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《保险精算学》笔记：生命表函数与生命表构造
第一节生命表函数
一、生存函数
1、定义：
2、概率意义：新生儿能活到的概率
3、与分布函数的关系：
4、与密度函数的关系：
二、剩余寿命
1、定义：已经活到x岁的人（简记），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
2、剩余寿命的分布函数
5、：，
它的概率意义为：将在未来的年去世的概率，简记
3、剩余寿命的生存函数：，
它的概率意义为：能活过岁的概率，简记
特别：
（1）
（2）
（3）
（4）：将在岁与岁之间去世的概率
4、整值剩余寿命
（1）定义：未来存活的完整年数，简记
（2）概率函数：
5、剩余寿命的期望与方差
（1）期望剩余寿命：剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）剩余寿命的方差：
6、整值剩余寿命的期望与方差
（1）期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值（均值），简记
（2）整值剩余寿命的方差：
2
三、死亡效力
1、定义：的人瞬时死亡率，记作
2、死亡效力与生存函数的关系
3、死亡效力与密度函数的关系
4、死亡效力表示剩余寿命的密度函数
记为剩余寿命的分布函数，为的密度函数，则
第二节生命表的构造
一、有关寿命分布的参数模型
1、de Moivre模型（1729）
2、Gompertz模型（1825）
3、Makeham模型（1860）
4、Weibull模型（1939）
二、生命表的起源
1、参数模型的缺点
（1）至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。
这四个常用模型的拟合效果不令人满意。
（2）使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差
（3）寿险常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。
（4）在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。
2、生命表的起源
（1）生命表的定义
根据已往一定时期各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.
（2）生命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡,写过《生命表的自然和政治观察》。
这是生命表的最早起源。
1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。
人们因而把Halley称为生命表的创始人。
（3）生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）
三、生命表的构造
1、原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。
（用频数估计频率）
2、常用符号
（1）新生生命组个体数：
（2）年龄：
（3）极限年龄：
（4）个新生生命能生存到年龄的期望个数：
（5）个新生生命中在年龄与之间死亡的期望个数：
特别，当时，记作
（6）个新生生命在年龄与区间共存活年数：
（7）个新生生命中能活到年龄的个体的剩余寿命总数：
四、选择与终极生命表
1、选择-终极生命构造的原因
（1）需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。
（2）需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失
2、选择-终极生命表的使用
第三节有关分数年龄的假设
一、使用背景
生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况
二、基本原理
插值法
三、常用假定
1、均匀分布（Uniform Distribution）假定:(线形插值)
2、恒定死亡效力（Constant Force）假定（几何插值）
3、Balducci假定（调和插值）
四、三个假定下的生命表函数。