2--双曲函数和反双曲函数

附录2 双曲函数和反双曲函数

双曲正弦sinh 2

x x

e e x --=

. (arcsin h ln =x x .

y sinh x y arcsinh x

y sinh x

y arcsinh x

y x

双曲正弦的性质 sinh x 的定义域为(), R =-∞+∞, 它是奇函数, 其图形通过原点并关于原点对称, sinh x 在R 内是单调增加的. 当x 无限增大时, 其图形在第一象限内无限逼近于曲线12

x

y e =, 当x 无限减小时, 其图形在第三象限内无限逼近于曲线12

x y e -=-

.

双曲余弦cosh 2

x x

e e x -+=. (arccosh ln =x x .

y cosh x

y cosh x

y arccosh x

<

y cosh x

y arccosh x

y x

双曲余弦的性质 cosh x 的定义域为(), R =-∞+∞, 它是偶函数, 其图形通过点()0, 1并关于y 轴对称. 在(), 0-∞内, 它是单调减少的; 在()0, +∞内, 它是单调增加的. cosh01=是它的最小值. 当x 无限增大时, 其图形在第一象限内无限逼近于曲线12

x

y e =; 当x 无限减小时, 其图形在第二象限内无限逼近于曲线12

x y e -=

. 记隹如下常用关系:

注 此式与22

sin cos 1x x +=相似, 但二者不同. 关于双曲函数, 还有些恒等式, 详见——19.

y sinh x

y cosh x

y

12

e x y

12

e x

双曲正切sinh tanh cosh x x

x x

x e e x x e e ---==+.

()()11arctanh ln 1, 121+=∈--x

x x x

.

%

y tanh x

1

y arctanh x

1

y tanh x

y arctanh x

y x

双曲正切的性质 tanh x 的定义域为(), R =-∞+∞, 它是奇函数, 其图形通过原点并关于原点对称. tanh x 在R 内是单调增加的, 其图形夹在水平直线1y =和1y =-之间; 当x 无限增大时, 其图形在第一象限内无限逼近于直线

1y =;当x 无限减小时, 其图形在第三象限内无限逼近于直线1y =-.

tanh x 和sinh x 在0=x 有共同的切线=y x .

y sinh x y tanh x

y x

双曲余切cosh coth sinh --+==-x x x x x e e x x e e . ()11

arccoth ln 121

+=>-x x x x .

·

y coth x

1

y arccoth x

1

y coth x y arccoth x

y x

tanh x 和coth x 有共同的水平渐近线1=±y .

y tanh x

y coth x

1

双曲正割12

sech cosh -=

=+x x x x e e

.

()1arcsech ln 01+=<≤x x x

.

；

y sech x

y sech x

y arcsech x

y sech x

y arcsech x

y x

双曲余割12

csch sinh

-=

=-x x x x e e

.

(()1sgn arccsch ln 0+=≠x x x x

.

y csch x

y arccsch x

y csch x

y arccsch x

y x

…

sech x 和csch x 有共同的水平渐近线0=y .

y csch x

y sech x

csch x和coth 有共同的垂直渐近线.

y coth x

y csch x

1