固体物理第一章2

' ' ' ' R ma nb pc

m’n’p’是有理数，可以取三个互质整数m、n、p,使
m:n:p=m’:n’:p’，则［mnp］表征了晶列的方向，称为
晶列指数。
注意:
(1)晶列指数用方括号[ ]表示； (2)晶列指数一定是一组互质的整数；
晶列(110)
晶列[402][2 0 1/2] 晶列[11-1] 晶列[111]
同一晶体中面间距相同的晶面族，由于在垂直于晶面的方向上，其宏
观性质相同，称为同组晶面族。 例如：｛100｝可以代表立方对称晶体的（100）、（010）与（001） 三组等价的晶面族； ｛111｝则可概括立方晶体的（111）、（111）、（111）与（111） 四组等价晶面族。
立方晶系重要的晶列与晶面
本节内容
在K空间看晶体结构
倒格子 倒格子基矢
正格子和倒格子之间的关系 本节讨论的倒格子（倒易点阵、倒格空间）与后面将要提及的 1913年，德国人厄瓦耳（P.P.Ewald1888-1985 ）为解释X射线 的单晶衍射的结果，提出了厄瓦耳球的概念，同时引进倒易空间的 概念。 倒易空间对理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心 概念。
二、晶面和晶面族
通过任意三个不在一直线上的格点有一平面，该平面包含无限个 相同格点，称为晶面。 所有与该晶面平行等距的全同晶面（无穷多）的集合，称为晶面 族。
这样一族晶面平行、等 距且各晶面上格点分布 情况相同，如图所示。
通过一格点，可以作无限多族的平行晶面。
晶面族的特征：
* * * * 平行的晶面组成晶面族，一个晶面族包含所有格点 晶面上格点分布具有周期性 同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同 同一晶面族中相邻晶面间距相等
多个）的集合称为晶列族。 同一族中的晶列互相平行等距，并且完全等同。它们具有两个特征： * 同族晶列具有相同的取向，即晶向； * 同族晶列上格点具有相同的周期。
A
标示晶列的方法
固体物理学原胞基矢表示
取晶列上的某个原子或格点为原点O 同一列上的另一个原子A的位置矢量
可表示为（任一格矢）
' ' ' ' Rl l1a1 l2 a2 l3a3
(3)遇到负数在该数上方加一横线。

OD晶列指数为[110]，OX晶列指数为[100]，OY晶列指数为[010]， OZ晶列指数为[001]，XO晶列指数为[100]，OH晶列指数为[210]， EA晶列指数为[111]，（终点坐标减始点坐标）
若遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示：l1 1, l 2 2, l 3 1
<111>

面对角线的晶向共有12个，只注
明其中一个的晶向指数，写成<110>。 [110]， [110]， [110]， [110]， OB：
[111] [111] [111] [111] [111]及其等效晶向
[011]， [011]， [011]， [011]，
[101], [101]， [101]， [101]， <110>


倒数的互质比 *
晶面族的两种标示方法：

晶面族的标示方法一：以固体物理学原胞基矢a1、a2、a3为坐
标系三个轴，用晶面族的法线的方向余弦(h1h2h3)来标示晶面，称 为该晶面族的晶面指数。

晶面族的标示方法二：以结晶学原胞基矢a、b、c为坐标系三
个轴，用晶面族的法线的方向余弦(hkl)来标示晶面，称为该晶面 族的密勒指数。
可以看成波，也就是具备波粒二象性。这是物理学中的基本概念，在固
体物理学中也是一个贯穿始终的概念： 在研究晶体结构时，必须分析X射线（电磁波）在晶体中的传播和
衍射； 在解释固体热性质的晶格振动理论中，原子的振动以机械波的形式
在晶体中传播； 在能带理论中，电子的空间分布以几率波的形式描述。
波是在晶体中传播的，所以必然受制于晶体的结构，与晶体的对称性 密切相关，包括我们后面就要讨论的各种平移、旋转、镜反射对称性。
正格子和倒格子。
K h h1b1 h2 b2 h3 b3
位移矢量就构成了倒易点阵。
取a1,a2,a3为天然长度单位得：
cos(a1 , n) : cos(a 2 , n) : cos(a 3 , n) 1 1 1 : : (3) r s t
其中r,s,t为一组有理数。 晶面的法线方向与三个坐标轴(基矢) 的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上 的截距的倒数之比。
例：
晶面ABC沿晶胞基矢方向的截距分别为4a,b 和c系数倒数比为1/4：1：1＝1：4：4，因 而其密勒指数即为 (144) ； 晶面A’B’C’D’的截距为2a,4b与∞c， 因而其密勒指数为 (210) ； 晶面EFG的密勒指数则应为 ( 263) 。
密勒指数
用一组花括号来表示不同指数的等价晶面族
a1、a2、a3为原胞基矢，l’1、l’2、l’3是整数，
且l’1：l’2：l’3 =l1：l2：l3
Байду номын сангаас
若 l1 l2 l3 是互质整数，则［l1 l2 l3］表征了晶列的方向，称为晶 列指数。
结晶学原胞基矢表示
若 a、b 、c 为晶胞的基矢，则任一格点的位置矢量（格矢）为

这族晶面中，离开原点的距离等于
μ d的晶面的方程式为
x n μd (1)
μ 为整数，x是晶面上任意点的位矢。
设此晶面与三个坐标轴的交点的截距分别为：ra1、sa2、ta3 ,依
次代入上式就得到：
ra 1 n ra 1 cos(a 1 , n) μd sa 2 n sa 2 cos(a 2 , n) μd (2) ta 3 n ta3 cos(a 3 , n) μd
布里渊区，就是试图给出晶体中传播的波的一些普遍的几何特性。
一、倒格矢
1.正格矢与倒格矢（原胞基矢中表示） 在如图所示的X射线衍射中，任一格点P的位矢为
Rl l1 a1 l2 a2 l3 a3
设 n , n 是入射线和衍射线的单位 0 矢量，经过O点和P点的X射线，衍射 前后的光程差为
a1 cos(a1 , n ) h1d a2 cos(a2 , n ) h2 d a cos(a , n ) h d 3 3 3
a3
O
A3
取 a1 , a 2 , a 3 为天然长度单位得：
a2 a1
n
A2 A1
cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n h1 : h2 : h3 (4)
下面给出立方晶格的几种密勒指数。由于坐标轴选在晶轴方向，除 晶轴的指数简单外，密勒指数简单的面也特别重要的面。
z
z
y x x
y
z
z
y x z x z
y
y x x
y
晶体中一些晶面的密勒指数
* 密勒指数简单的晶面族如（100）、（010），面间距较d大。对于
一定的晶格，单位体积内格点数一定，因此在晶面间距大的晶面上，
§1.4 晶列
晶面指数
晶体的基本特征是具有方向性，沿晶体的不同方向，晶体性质不同。
一、晶列和晶列族
联结任意二个格点的一条直线上包含无
限个相同格点，这样的一条直线称为晶列。 同一个格点可以形成方向不同的多个晶列。 每一个晶列定义了一个方向，称为晶向。 所有与该晶列平行的全同晶列（有无穷
晶列族
K h h1b1 h2b 2 h3 b3
倒格矢基矢与正格子基矢满足
b3
2 ai b j 2ij 0
倒格子基矢如图所示。
a3
(i j ) (i j )
b2
a1
b1
a2
显然，倒格子基矢与正格子基矢
互为倒逆，以它们为基矢的格子称为
格点（即原子）的面密度必然大。 * 原子聚集密度较大的晶面，它们之间的距离较大，结合力较弱，
因而容易分裂开，这样的晶面称为解理面。
*
一般而言，低指数的晶列与晶面都是比较重要的。由于面上原子
密度大，对x射线的散射强，因而密勒指数简单的晶面族，在x射线 衍射中，常被选作衍射面。
§1.5 倒格空间
在固体物理学中，为了从本质上分析固体的性质，经常要研究晶体 中的波。根据德布罗意在1924年提出的物质波的概念，任何基本粒子都
[010]
[001] [100]
OA： [100 ], [ 1 00], [010 ]， 1 0], [0
[001], [00 1 ] 100
[100]及其等效晶向
同理，沿立方体对角线的晶向共有8个，统称这些晶向时，写成
<111>。
[111]， [111] [111]， [111]， [111]， [111]， [111]， [111]， OC：
1 1 1 h1 , h2 , h3 r s t
标志这一族晶面，记为 ( h1h2 h3 ) ，称为该族晶面的晶面指数。 这里 h1，h2， h3 互质。
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是：
* * 基矢 a1 , a2 , a3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份 以 a1 , a2 , a3 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距 晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值 使用r.s.t的倒数的互质整数比(h1h2h3)，可以避免当晶面与某 轴平行时出现的无穷大。
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。 又由（3）式： a1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n 1 : 1 : 1 cos r s t
可得：
(3)
1 1 1 h1 : h2 : h3 : : r s t
通常用从原点算起的第一个晶面的截距的倒数 h1 , h2 , h3
简单立方的晶列（用[ ]表示）及等效晶列( < >)
晶向上原子排列规律相同但空间方位不同的晶向属于同一晶向族， 用<uvw>表示。
立方边OA：[100] 面对角线OB：[110]
体对角线OC：[111]
[001] [010]
[100]
OA、OB、OC的等效晶列？
由于晶格的对称性，晶体在这六个晶向方 向上的性质是完全等效的，通常写成<100>。

晶面的表示
描述一个晶面的方位:
* 在一个坐标系中表示出该平 面的法线的方向余弦； * 或者表示出这平面在三个坐 标轴上的截距。
晶面的表示（原胞基矢中表示）
选取某一格点为原点，原胞的三个
基矢a1、a2、a3为坐标系的三个轴，这 三个轴不一定相互正交。 设某一族晶面的面间距为d，它的
法线方向的单位矢量为n 。
过坐标系的原点；在基矢 a 1 , a 2 , a 3 末端上的格点也一定落在该晶面族 的晶面上；
*
同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原点与基矢的
末端间一定只有整数个晶面。
a1 n h1d a2 n h2 d a n h d 3 3
P
AO OB Rl n0 Rl n Rl n n0
B
A O
由衍射理论可知，衍射极大的条件为
Rl n n0
其中λ 为波长，μ 为整数。
令
2 n n0 k k0
注意：这里取天然 长度单位，即将基 矢 a1、a2、a3 的长 度看作1。
晶面指数与截距的关系
设
a1 , a 2 , a 3 的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、h3d的
晶面 上，这里 h1、h2、h3为整数 。
*
所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必有一个晶面通

则衍射极大的条件又可以写成
Rl k k0 2
若令
k k0 K h
则有
Rl K h 2
式中 R 是格点的位矢（平移矢量），也称为正格矢；而 K h l
是正格矢的倒矢量，称为倒格矢。
正格矢是正格子基矢的线性组合，根据定义式，我们可设倒格 矢亦为线性组合，并写成