数学必修2_直线与方程典型例题

第三章 直线与方程

【典型例题】

题型 一 求直线的倾斜角与斜率

设直线 l 斜率为 k 且 11<

拓展 一 三点共线问题

例 已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．

例 已知三点)0)(,0(),0,(),2,2(≠ab b C a B A )在一条直线上，则=+b

a 11

拓展 二 与参数有关问题

例 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，

求直线l 的斜率k 的取值范围.

变式训练：

已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的

取值范围.

拓展 三 利用斜率求最值

例 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求

y x

的最大值与最小值。

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

【

【典型例题】

题型 一 两条直线平行关系

例 1 已知直线1l 经过点M （-3，0）、N （-15，-6），2l 经过点R （-2，

32）、S （0，52

），试判断1l 与2l 是否平行？

变式训练：经过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是（ ）.

A ．4

B ．1

C ．1或3

D ．1或4

题型 二 两条直线垂直关系

例 2 已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．

变式训练：（1）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （-2，-1）、Q （3，-6），问1l 与2l 是否垂直？

（2）直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则12l l 与的位置关系是 .

题型 三 根据直线的位置关系求参数

例 3 已知直线1l 经过点A(3,a)、B （a-2,-3）,直线2l 经过点C （2，3）、D （-1，a-2）,

（1）如果1l //2l ，则求a 的值；（2）如果1l ⊥2l ，则求a 的值

题型 四 直线平行和垂直的判定综合运用

例4 四边形ABCD 的顶点为(2,2A +、(2,2)B -、(0,2C -、(4,2)D ，试判断四边

形ABCD 的形状.

变式训练：已知A （1，1），B （2，2），C （3，-3），求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD ．

探点 一 数形结合思想

例 5 已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y

轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.

（1）证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.

探点 二 分类讨论思想

例6 ABC ∆的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ∆为直角三角形，求m 的值.

3.2 直线的方程

3.2.1 直线的点斜式方程

【典型例题】

题型一求直线的方程

例1 写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)

B-，倾

A，斜率是4；（2）经过点(3,1)

斜角是30.

例 2 倾斜角是135，在y轴上的截距是3的直线方程是 .

变式训练：

1.已知直线l过点(3,4)

=+的两倍，则直线l的方程为

P，它的倾斜角是直线1

y x

2.已知直线l在y轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程.

3.将直线1y x =+绕它上面一点（115°，得到的直线方程

是 .

题型 二 利用直线的方程求平行与垂直有关问题

例 3 已知直线1l 的方程为223,y x l =-+的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2

l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程。

探究 一 直线恒过定点或者象限问题

例 4. 已知直线31y kx k =++.

（1）求直线恒经过的定点；

（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.

探究 二 直线平移

例 5 已知直线l ：y=2x-3 ，将直线l 向上平移2个单位长度，再向右平移4个单位后得到

的直线方程为__________________

3.2.2 直线的两点式方程

【知识点归纳】

1.直线的两点式方程：

2.直线的截距式方程：

【典型例题】

题型 一 求直线方程

例 1 已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方

程.

变式训练：

1.已知点A （1，2）、B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）.

A ．425x y +=

B ．425x y -=

C ．25x y +=

D ．25x y -=

2.已知1122234,234x y x y -=-=，则过点1122(,),(,)A x y B x y 的直线l 的方程是（ ）.

A. 234x y -=

B. 230x y -=

C. 324x y -=

D. 320x y -=

例 2求过点(3,2)P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程.

变式训练：已知直线l 过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l 的方程为

题型 二 直线方程的应用

例 3 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买

行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，其图象如图所示.

（1）求y 与x 之间的函数关系式，并说明自变量x 的取值范围；

（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？

（千克）